概率统计公式(大全)
概率统计公式大全
概率统计公式大全 Ting Bao was revised on January 6, 20021
第1章随机事件及其概率
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率统计公式大全(复习重点)汇总【范本模板】
第一章随机事件和概率(1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事)：m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成.（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件(至少有一个）顺序问题（4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A,B,C，…表示事件,它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B.A、B中至少有一个发生的事件:A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差，记为A—B，也可表示为A—AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率统计公式大全
概率统计公式大全第1章随机事件及其概率P(A) =P(B 1)P(A| B 1) P(B 2)P(A| B 2)P(B n )P(A|B n )。
我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发 生或A 不发生；n次试验是重复进行的，即A 发生的 概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否公式2°则有nA二B ii -4(16 设事件B 1, 1。
B 1， P(Bi)>0，—, B 2，…， B 2 •… 2 •…B n及A 满足Bn两两互不相贝叶斯 nA B i，且 P(A)公式 (用于 求后验P(B i /A)nP(B i )P (A/Bi),i=1 , 2, •…n o、P(B j)P(A/B j)此公式即为贝叶斯公式。
驴i), (“1, 率 o P( B i/ A), 后验概率 o 的概率规律，并作出了由果溯因”的 推断。
2,…，ni =1 2(17)伯努利第二章随机变量及其分布P k二 1 (1) P k_o ,kT2, (2) k.（ 1） 离散型随机变量的 分布X对于连续型随机变量 , F(x) = f(x)dxa4)分布 函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函 数F(x) =P(X沁)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a XEb) =F(b)—F(a)可以得到X 落入区 间(a,b ］的概率。
分布函数F(x)表示随机变量 落入区间(-X, x ］的概率。
分布函数具有如下性质:1° 2°岂 F (x)乞 1, -二：：x ：：二; F(x)是单调不减的函数，即-X2时, 有34° 5°F(X 1)二 F (X 2)；F(-：：)二 Jim F(x) = 0 , F(二)二 JimF(x)二 1 ； 即F(x)是右连续的；F(x 0HF(x), P(X = x) = F(x) _ F(x _0)。
概率和统计公式大全
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1，X2,…Xm，Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2，…Xm)和g（Xm+1，…Xn）相互独立。
特例:若X与Y独立,则：h（X）和g（Y）独立。
例如:若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的.
这种试验称为伯努利概型,或称为重伯努利试验.
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为,用表示重伯努利试验中出现次的概率,
（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积,则称（X,Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D)。
例如图3.1、图3.2和图3。3。
y
1
D1
O1x
图3.1
y
D2
1
1
O2x
图3.2
y
D3
d
c
Oa bx
图3.3
（9）二维正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
,
Z=max，min（X1,X2，…Xn)
若相互独立,其分布函数分别为，则Z=max，min（X1,X2，…Xn)的分布函数为：
分布
设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W~，其中
概率论数理统计公式整理
概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。
2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。
-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。
-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。
3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。
-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。
- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。
- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。
3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。
概率统计公式集
*比例P的置信区间
s n 1
12 / 2 (n 1)
,
s n 1
2 / 2 (n 1)
]
X ~ b(1, p)
x u1 / 2 x (1 x ) / n
*一个正态总体均值、方差的显著水平为 的检验
0 0 u检验 已知 0 0 0 0
*中心极值定理 如
X ~ N ( , 2 )
X ~ N ( ,
2
n
)
*一个正态总体均值、方差、标准差的1-
估计 ,已知, x u1 / 2
置信区间
n
s 估计 ,未知, x t1 / 2 (n 1) n (n 1)s 2 (n 1)s 2 估计 2 , 未知,[ 2 , 2 ] 1 / 2 (n 1) / 2 (n 1)
E(X),Var(X)存在
Var(C)= 0 Var(aX)=a2Var(X) Var(X+b)=Var(X) Var(aX+b)= a2Var(X)
对任意两个随机变量X1与X2，有
E(X1+X2)= E(X1)+E(X2)
设随机变量X1与X2独立，有
Var(X1 X2)= Var(X1)+Var(X2)
水平 A1 A2 … Ar y11 y21 yr1 试验数据 , y12 , … , y1m , y22 , … , y2m … , yr2 , … , yrm 和 T1 T2 … Tr T 均值 y1 y2 … yr y
来源
因子A
误差 e
偏差平方和
Ti 2 T 2 SA n i 1 m Se ST S A
概率统计 基本公式
1 1− x2
1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccot x)′ = − 1
1+ x2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + uv′
3. 复合函数求导法则
(Cu)′ = Cu′ ( C为常数 ) u ′ u′v − uv′ (v ≠ 0) ( )= 2 v v
y = f (u) , u = ϕ(x)
dy dy d u ⋅ = = f ′(u) ⋅ϕ′(x) dx d u dx
二、 基本积分表
(1)
∫ kdx = kx + C
xµ dx = ∫
( k 为常数)
(2)
1 xµ +1 + C µ +1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = x
ln x + C
dx (4) ∫ = arctan x + C 1+ x2
需要满足一定的条件
分部积分法
∫ uv′ dx = uv − ∫ u′v dx
或
∫ ud v = uv − ∫ v du
1) v 容易求得 ;
分部积分公式
容易计算 .
y y = y2 (x)
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : • 若积分区域为
D
y = y1(x) a bx
则
∫∫D f (x, y) dσ = ∫a d x∫y (x)
Inan = nIna
(2) In( a / b) = Ina − Inb
Ine = x
x
In(1/ b) = −Inb
1
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.
资料
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
均匀分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
。
（2） 连续型随 机变量的 分布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ,
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（5） 八大分布
二项分布 即 B(n,p)
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一 些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列
顺序问题
（4） 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
随 机 试 验 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
和 随 机 事 验。
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
（8） 古典概型
1° 1, 2 n ，
2°
P(1 )
P(2 )
P( n
)
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
P(A)= P(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14） 独立性
（15） 全概率公 式
若事件 A ，B 相互独立，则可得到 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独
立。
必然事件 和不可能事件Φ与任何事件都相互独立。
Φ与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
（11） 减法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12） 条件概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下， P( A)
（6） 事件的关 系与运算
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也
可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
果溯因”的推断。
.
资料
（17）
伯努利概 型
我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
泊松分布是二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
P( X
k)
CMk
•
C nk N M
,
k
0,1,2, l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
几何分布
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
n
A Bi
2°
i 1
，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，…， n ，
（16） 贝叶斯公 式 （用于求 后验概率）
事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
.
资料
（13） 乘法公式
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如：P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) P(B)P(A/ B)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
设 A，B，C 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]的概率。
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 即 B(1,p)
.
资料
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
1 ex , 0,
记住积分公式：
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
.
资料
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
（4） 分布函数
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
指数分布
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
F(x)
件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5） 基本事件、 样本空间 和事件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Φ，则表示 A 与 B 不可能同时发
生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
.
资料
Ω-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
资料
第 1 章 随机事件及其概率
（1） 排列组合 公式
Pmn
m! (m n)!