南邮高等数学上练习册-最全答案
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2 2
三、1、 (2nπ ，nπ + π ) ( n = 0， 1， 2， ) 2 ± ±
lim ln sin x = 0
x→
π
2
2、1/4
3、0
4、3
0 + 6、 ( −∞，] 单调减， [ 0， ∞ ) 单调增
五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。 六、 y = 2 x 八、连续 第四章 4.1 不定积分 七、 H = D = 2
3
V0
π
4 极小值 f (1) = 0 ,极大值 f (e ) = 2 e 2 2. x = , x = 0 5
2
不定积分的概念
3. 极大值 y x = 2 = 13 ,极小值 y x =3 = 12.5 . 4. a = −3, b = 0, c = 1 5. f ( x0 ) 是极小值
4.
1 2
5. 1
6. 0
8. 1
10. 1
3.3 泰勒公式 2.5 函数的微分
（ 2 1 (1) 2 x + e ) sin （x + e ) dx.
x 2 x
1. f ( x) = −
2 π π − sec 2 ξ tan ξ ( x − )3 , ξ 在 x, 之间. 3 4 4
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高等数学作业（上）参考答案
第一章
函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(4) 1 + e
−x
x→ ⎯⎯+∞ →1， ⎯
x → ∞ 时, 1 + e − x 的极限不存在.
2011高等数学练习册详细答案
y 1
《高等数学》（上）练习册解答
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当1 x 4 时，y x 2 ， x
y
1 y 16．
当 4 x 时，y 2 x ， x log 2 y 16．
x x x
3 、 如 果 对 某 个 0, 存 在 0, 使 得 当 0< | x x0 | 时 ， 有 f ( x) A , 那 末
x x0
lim f ( x) A.
x x0
[ [
╳ ] ╳ ]
4、如果在 x0 的某一去心邻域内， f ( x) 0, 且 lim f ( x) A, 那末A 0.
5、 如果 lim f ( x) A 且 A 0, 那么必有 X 0, 使 x 在 X , X 以外时 f ( x ) 0. [
x
√
]
二．单项选择题 1、从 lim f ( x) 1 不能推出
x x0
C
。
（A） lim f ( x) 1 （B） f ( x0 0) 1 （C） f ( x0 ) 1 （D） lim[ f ( x) 1] 0
此时x 1 n 1，n 2, ( x 1) [ x 1] x 1, (n 1) x 1 x n ( x ) ， 故 ( x ) 是以1为周期的周期函数 。
二、单项选择题 1、下面四个函数中，与 y=|x|不同的是( A ) （A） y | e
n n
证明 因为数列{xn}有界, 所以存在 M, 使nZ, 有|xn|M. 又 lim y n 0 , 所以>0, NN, 当 n>N 时, 有 | y n |
高等数学册第六版课后习题答案上
1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241xy -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1||11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n .(2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212n x n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2c o s ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ; 分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22na n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x . 证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x xx .(4)21241lim 321=+--→x x x .分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x ,所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-. 所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x 1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n x x ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x . 证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x xx ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 20230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x xx ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n nn n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→xx x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2s i n l i m 2s i n s i n 2l i m s i n 2c o s 1l i m 0200===-→→→x x xx x x x x x x x . (6)nn n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数).解 x x x x x n nn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 1)1(lim -→;解 11)(10)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)xx x 1)21(lim +→;解222122101])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→;解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明 仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明 仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ;证明 因为nn 11111+<+<,而 11l i m=∞→n 且1)11(lim =+∞→nn , 由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明 因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22)1 211(n n n n n n n n n n ,而 1l i m 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(l i m 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明 因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -.证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时,y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n xx x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→xx x ,0tan lim2=+→xx k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2 ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续. 习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(s i n )4()2(s i n l i m334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62c o s 2l n ()6()2c o s 2l n (lim 6=⋅==→πππf x x .。
南京邮电大学高数书上的习题答案下册
南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章 习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I 习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或 (2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰eey dx y x f dy(6).),(),(arcsin arcsin 10arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 0210⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d 11.(1) ;434a π(2) ;12- (3) ;)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π(5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1) ;54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章 习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ2. (1);212+n a π (2);)12655(121-+ (3);2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6).152563a3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsina 处. 4..6πk6. (1) ;23a π-(2) ;2π- (3);1514- (4);3233ππa k -(5) ;13 (6) .21 7. (1) ;334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328.;)(12z z mg - 9..23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11. .941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2) .3012. (1) ;12 (2) ;0 (3);24a π(4) ;42π (2).6742sin -3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23-4. (1);2122122y xy x ++ (2);cos cos 22y x x y + (3).12124223y y ye e y x y x +-+习题8.3 1.⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ3. (1) ;313π (2) ;30149π (3).10111π4. (1);614 (2) ;427- (3) ;)(22h aa -π (4).215644a 5.).136(152+π6. (1);10527R π (2);23π (3);21 (4) .81 7.(1) ⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP 8..8π习题8.41. (1) ;23 (2) ;5125a π (3);81π (4);525a π(5).4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π3. (1);222z y x ++ (2);)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy -- (3).2x 习题8.5 1. (1);32a π- (2));(2b a a +-π (3);20π-(4) .29- 2. (1);642k j i ++ (2);j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xyz x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k3. (1) ;0 (2).4-4. (1) ;2π (2) ;12π6. .0总习题8 1. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4);6π-(5);)(22223γβαπ++R (6);23R π (7) );(C(8) ).(B2.(1);2arctan222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π3. (1) ;arctan2RH π (2);414h π- (3);2π4. .85. .21 6. .2 7..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ8. .23 习题9. 1 1. (1)2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2)11(1)-+=-n n n u n;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4)1sin (1)-=-n n nx u n.2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n ss u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛.6. 提示：11≤nn ab ab . 7. 211()2≤+n n u u n. 8. 提示：0≤-≤-nnn nc ab a . 9. 提示：≤⋅n nn na ba b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2)111,[,]222=-R ; (3)1,[1,1]=-R ; (4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5)3,[0,6)=R ; (6)1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-x x x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4)ln(1)(11)1---<<-xx x x.3.2()arctan ,[1,1];2=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4)2(1)ππ-+.习题9. 4 1.20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n .2. (1)210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2)11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑nn nn x x na ; (3)(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ;(4)2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n nn x x n ；(5)111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1)11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑n n n n x x ;(2)111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n;(3) 0(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑n n ex x n ;(4) 2211113(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n . 4.(1)1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ;(2)2101(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6.11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n . 7. (1)0.9848; (2)0.9461.习题9. 5 2. (1)11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±; (3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ;(4)33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2)221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x . 4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n nn(0,)π∈x .5.211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n . 6.121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n .习题9. 61. (1)221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l l n xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T; (3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n .2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n xn n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ; 221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n .3.2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n.4. (1)1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ;(2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n; (3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7.121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n tf t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2)1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4)2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5)1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6)01<<a 时收敛, 1>a 时发散,1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散.4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛.5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4)(1,1)-. 7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ;(2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x(3)21(02)(2)-<<-x x x ; (4)2222(22)(2)+-<-x x x .8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1) 881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2)210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n .10.3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ； （2）2 ； （3）1 ； （4）2，2.（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ； （2）2220x y xy y '''-+=，5.（1）222xy y+= ； （2）2xy xe =，6.20x yy '+= ， 习题10.2 1.（1）22(1)x y C-+= ； （2）222(1)(1)x y Cx ++=（3）sin cos y x C = ； （4）1010xy C-+=（5）()(1)y C x a ay =+- ； （6）2(1)y x x C+=2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+； （2）arctan 4xy eπ-= ；（3）(1)1x y += ； （4）ln tan 2xy =，3.()ln 1f x x =+4.（1）cxy xe =； （2）3()x yy Ce =； （3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x Cx=5.（1）33x y Ce -=； （2）()xy x C e -=+； （3）(ln ln )y x x C =+ （4）2sin 1x C y x +=-； （5）12(1)yx y Ce =+； （6）()x x C y e +=6.（1）x a e ab e y x+-=； （2）1cos xy xπ--=； （3）21y x x =- （4）sin 2sin 1xy e x -=+-7.（1）535(5)2y xCx +=； （2）822931(1)y x C x =-+-； （3）22212x yCe x x =---； （4）3243(12ln )xyx x C-=-+8.（1）21xy e=-； （2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=； （2）是，cos cos y x x y C+=（3）是，2(1)e Cθρ+=10.（1）4242x xy y C+-=； （2）arctan()x x C y=+ （3221arctan xx y Cy++=； （4）2x y C y x=+11.约3.4秒， 13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x eC -=-+；（3）1211y C x C=-+； （4）221124(1)()C y C x C -=- 习题10.31.(1) 相关； （2）无关； （3）无关； （4）相关，2.212()x y C C x e =+，3.（1）212xy C x C e -=+ ； （2）212(21)xy C eC x =++5.2212()(1)1y C xx C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑，7.（1）2312xxy C eC e -=+； （2）412xy C C e =+（2）(12)(12)12xxy C eC e =+； （4）21233(cossin )22x y e C x C x -=+(5)当0a <时，12ax axy C e C e --=+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C ax C ax=-+-；(6）当1λ>时，22(1)(1)12x xy C eC e λλλλ-+----=+；当1λ=时，12x xy C e C xe λλ--=+；当1λ<时，2212(11)xy eC x C x λλλ-=-+-；（7）1234cos sin xx y C eC e C x C x-=+++；21xλ- （8）123cos sin y C x C x C =++； （9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x=+++；（10）y =21234()()xxC C x eC C x e -+++；（11）2123()axy eC C x C x =++； （12）1234()cos sin x y C C x e C x C x=+++；8.（1）342xxy ee=+； （2）2(2)xy x e -=+； （3）2(42)x y x e -=-；（4）(cos3sin3)xy ex x -=+； （5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ， 10.（1）3122xx y C eC e =++； （2）2121()(1)4x y C C x e x =+++；（3）3212123xy CC e x x x =+---； （4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474xx y C eC e x x =+++；（6）21233231()sin 2cos 226262xy eC x C x x -=+-++，11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x=++++； （2）4[()cos2()sin 2]xy xeB Cx x D Ex x =+++； （3）2[()(cos2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++； （4）32[()(cos2sin 2)]xy ex Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++； （6）2xy A =，12.（1）21122xx y e e x -=---； （2）11cos3cos 248y x x =+； （3）(sin )xy ex x -=-； （4）2sin xy xex=，13.（1）121(ln )y C x C x=+； （2）12ln y C C x ax=++；（3）212(ln )ln y x C x C x x=++； （4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.g x a t a= ； 15.约1.9秒 ，总习题10 1.（3）23222(ln )33x x x C y=-++； （4）2212x y C y-= ；（5）1()C xy x c x C C x -=--； （6）11y x=- ， 2.()1f x x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx+= ，6.（1）21213()164x x y C C x e e -=+++； （2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--；(3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12cos(3)sin(3)sin(ln )2xy C x C x x =++ ，7.()x ϕ=22121(1)22xx x xC eC e x e ++-，8.1sin 2xx y ee x-=-- 9. 约2.8秒.习题11. 11. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()13131313313π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2)3131101Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3)7752926Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; (4)Re 1,Im 3,13,10,arctan32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z .2. 1,11==x y .3. (1)2cos sin 22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=ii e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e;(4)422(cos sin )2144πππ---=+-+i i i e i .6. (1)8-i; (2)16316-i; (3)75666121242,2,2πππ-ii i eee;3131,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面.10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支；(4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v；(3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在. 4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 230=x y 上可导，在复平面上处处不解析；(3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析；(4) 在复平面上处处可导、处处解析. 3. (1) 除=±z i外在复平面上处处解析,222()(1)'=-+z f z z ;(2) 当0≠c 时除=-d z c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4.3,1,==-=l n m3()=f z iz ,2()3'=f z iz .习题11. 41. (1) -ei ; 42(1)2e i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1) 1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2)4ln5arctan (21),3i k i k Zπ-++∈; (3)2,k ek Zπ-∈; (4)1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈.3. (1)k π; (2)2k ππ+; (3) (21)k iπ+; (4)4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±. 4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k iπ+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z ''==. 6. Lnzw ze αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=.总习题 111. (1) 333333Re ,Im ,2,,222422z z z argz z i π=-====--;(2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=；(4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-. 2. (1)2(13i ; (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)2(22)i±; (2)2468tan ,0,,,,45555i i eααππππα-=.6. ()f z 处处不可导、处处不解析. 8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -. 习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +. 3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8iπ. 6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4)2211(tan1tan 11)122th ith -+++.习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) e π；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7)；(8) 12iπ.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 4 4.2222,()(1)v x xy y C f z i z iC=+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC-+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +. 6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时,()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5.2iπ. 9.12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2； 2； (3)1； (4)1.习题13. 2 1. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3)40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑；(4)212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6)20,!nn z R n ∞==∞∑.3. (1)11(1)(1),22n n nn z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323nn n n n z R ∞++=---=∑；(3)10310[(1)],(13)n nn n z i R i ∞+=-+-∑； (4)11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑.习题13. 3 2. (1)1(1)nn z ∞=---∑,201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2)1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4)11200()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5)2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑；30(1)(1),1()nnn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z zz z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点；(3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点；(5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)kzk i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；,(1,2,)k i k k ππ±±=均为一级极点. 2. (1)z a =,m n+级极点；(2)z a=,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级 极点，当m n =时为可去奇点； (3)z a=为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e iπ；(3)2iπ-；(4)2iπ.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z-=. 3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；2； 24. (1)1111,()ln arctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1)101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3)210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑.6. (1) 在014z <-<内，11(1)54nn n z z ∞+=-=--∑； 在41z <-<+∞内，10145(1)nn n z z ∞+==--∑；(2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在025z <-<内，11101(2)(2)()(1)(2)25n n n nn n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑；(3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4)1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()kzk i k Z π=∈为一级极点． 9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Zz ππππ++=-+∈；(2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+,42313Re [,]8(1)z s i i z +-=+； (3)1Re [cos,1]01s z=-；(4) 1Re [,0]0s zshz =,11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=；(3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； 2(1)a a +.。
高等数学上册习题册答案
高等数学上册习题册答案高等数学是大学中的一门重要课程，它对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着重要的作用。
而习题册作为高等数学学习的重要辅助材料，对于巩固和提高学生的数学水平至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供高等数学上册习题册的一些答案，帮助大家更好地学习和掌握这门课程。
第一章：极限与连续1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的极限。
解：我们可以通过直接代入法求得极限。
当x趋近于任意实数时，函数f(x)的极限为无穷大。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限。
解：我们可以通过化简的方法求得极限。
将分子进行因式分解，得到f(x) = (x + 2)，所以当x趋近于2时，函数f(x)的极限为4。
第二章：导数与微分1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数。
解：我们可以通过求导的方法求得导数。
对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，它的导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解：我们可以利用链式法则求得导数。
对于函数f(x) = e^x * sin(x)，它的导数为f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)。
第三章：微分中值定理与导数的应用1. 求函数f(x) = x^3在区间[0, 1]上的极大值和极小值。
解：我们可以通过求导和二阶导数的方法求得极值。
首先，求得f'(x) = 3x^2，然后求得f''(x) = 6x。
对于区间[0, 1]，当x = 0时，f''(x) = 0，所以函数f(x)在x= 0处取得极小值；当x = 1时，f''(x) = 6，所以函数f(x)在x = 1处取得极大值。
2. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程。
南邮高等数学上练习册_最全答案
南邮高等数学上练习册_最全答案第1章极限与连续函数1、(1) x--(2) ]3,0()0,( -∞(3) 奇函数 (4) ）（101log 2<<-x xx (5)22+x(6)xe1sin 2-2、><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x x x x x f 4)(max =x f数列的极限1、(1) D (2) C (3) D函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C 极限运算法则1、 (1) 21- (2) 21 (3) ∞ (4)1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 23x (2)1- (3)62(4) 1 (5) 4 (6) 1 4、a = 1 b = -1 极限存在准则两个重要极限1、(1) 充分(2) ω 0 (3) 3-e 2e2、(1) 32 (2) 2 (3) 1-e无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) C2、(1) 23- (2) 23 (3) 32-3、e函数的连续性与间断点1、(1) 2 (2) 跳跃无穷可去2、(1) B (2) B (3) B3、12e -4、1,2a b ==5、(1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断点；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点6、e b a ==,0闭区间上连续函数的性质 1、2、略总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3) 21 (4) 2(5) 2 8-(6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃可去 (10) 22、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D(6) B (7) D (8) D (9) B(10) B3、（1）??≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）??≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2 x x x x x x x x p P（3）15000=P （元）。
南京邮电大学《线性代数与解析几何》参考答案
《线性代数与解析几何》练习册参考答案第1章1.1 1.7;2 i =4,j =5;3,+,-3(1)1;(2) -1；4，（1）1；（2）3333a b c abc ++-;(3) 288;(4) abcd .1.2 1.(1)27a ;(2)5a ;2 (1)-3;(2) 3()a b c ++;(3)0;(4) 16；（5） 123b b b ；(6) 12341a a a a ++++ 1.3 .1.12;2(1)12;(2) 12(1)(2)(2)x x x --+;3. 1, -1;4.0,86.5.14142323()()a a b b a a b b --; 6.0,-1,2,3;7. 4142439A A A ++=-,444518A A +=.8.-2. 1.4 1(1) (1,2,3)T ;(2) (,,)T a b c - 2. 1或-2；3；313λλ≠≠且. 第2章2.1 121002211X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2.61010AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131262129BA ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，111152017T B C A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭;,3 (1)112233AB a b a b a b =++,111213212223313233a b a b a b BA a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）111213*********3233nn a b a b a b BA a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（） 4.（1）cos sin sin cos n n n n θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭;（2）121(1)200nn n nn n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；5. 000000008⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;7. 1200b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,b b 是任意常数。
南邮数学实验答案
第一次练习题1、求032=-x e x 的所有根。
>>x=-5:0.01:5;y=exp(x)-3*x.^2;plot(x,y);grid on>> fsolve('exp(x)-3*x.^2',-1)Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zeroas measured by the default value of the function tolerance, andthe problem appears regular as measured by the gradient.<stopping criteria details>ans =-0.4590>> fsolve('exp(x)-3*x.^2',1)Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zeroas measured by the default value of the function tolerance, andthe problem appears regular as measured by the gradient.<stopping criteria details>ans =0.9100>> fsolve('exp(x)-3*x.^2',4)Equation solved.fsolve completed because the vector of function values is near zeroas measured by the default value of the function tolerance, andthe problem appears regular as measured by the gradient.<stopping criteria details>ans =3.73312、求下列方程的根。
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第1章极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,( -∞ (3)奇函数(4) ）（101log 2<<-x xx(5)22+x (6)xe 1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分(2) 充要1.4 无穷小与无穷大1、(1)D (2) D (3) C (4) C1.5极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 23x (2)1- (3)62 (4) 1 (5) 4 (6) 1 4、a =1b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1)充分 (2) ω 0 (3) 3-e 2e2、(1)32(2) 2 (3) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3)C2、(1) 23- (2) 23 (3) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 2 (2) 跳跃无穷可去2、(1) B (2) B (3) B3、12e-4、1,2a b ==5、(1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断点；(2)0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.9 闭区间上连续函数的性质1、2、略1.10 总 习 题1、(1) 2 (2)},,,max{d c b a (3)21(4)2 (5) 28- (6) 2 (7) 23(8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 22、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P （3）15000=P （元）。
4、(1)x (2)32 (3)-21 (4) 1 (5)e1 (6) 0 (7)e 1 (8)21 (9)a ln (10)n n a a a 21(11)1 6、a =1 b =07、a =1 b =21- 8、0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是可去间断点 )0(≠=k k x π是无穷间断点 9、)(x f 在()()(,1),1,1,1,-∞--+∞连续 1x =±为跳跃间断点10、3lim =+∞→n n x11、)(x f 在),(+∞-∞处处连续第2章 导数与微分2.1 导数的定义1、(1) 充分必要(2)充要 (3))(0x f ')()(0x f n m '+ (4) !9- (5) 21x -x 214743--x 2、切线方程为12ln 21-+=x y 法线方程为42ln 2++-=x y 4、2=a 1-=b 5、提示：左右导数定义2.2 求导法则 1、(1) x x e x xe 22+(2)x x 1sin 12(3) 222)1(21x x x +-- (4) 2)ln 1(2x x +- (5) 21x x +(6)x x e e tan -(8))()(23x f x f '- 2、（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0001cos 1sin 2x x x x x （2）)221x a + （3）323sin ln cos ln sin 2xx x x x x x x -- (4))]()([(2222x f x f xe x '+3、)(2a ag4、(1)xy xy xe xy x y xy y ye -+-)sin(2)sin((2)y x yx -+(3) 22ln ln xx xy y y xy -- (4))]1ln(1)1(1[)1(21x xx x x x +-++5、0=-y x6、(1)212tt-(2) 1- 2.3 高阶导数及相关变化率1、(1)2)64(3x e x x +)(4)(2222x f x x f ''+' (2) )2sin(πnax a n +)2cos(πn ax a n + (3) n x a a )(ln n n x n )!1()1(1--- (4) 1)(!)1(+±-n na x n nnn x n x n )1()!1()1()!1()1(1--++---(5))24cos(212πn x n +-2、)2sin 2cos 502sin 21225(2250x x x x x -+(1) 3、(1) ⎩⎨⎧<>0206x x (2) 2 (3)3)1(y y+ (4)2)cos 1(1t a -- (5))(1t f ''2.4 微 分1、(1)0.11601y ∆=0.11dy =(2)C x++-11C x +2 (3)C e x +441(4)C x n n +++111(5)C x ++)13sin(31 2、(1) A (2) B 3、(1)dx x x x)33ln 31(232-⋅(2) dx xx 2tan - (3)dx x f x f x f )]())(cos()21(2['+-'-4、dx y x y x )ln(3)ln(2-+-+5、)cos(22x x )cos(2x xx 3)cos(222.5 总 习 题1、(1)1-(2)①0>n ②1>n ③2>n (3)1-1- (4)34cos sin t t t t -(5)32sin cos xx x x - (6))(200x f x ' 2、(1)B (2)B (3)C (4)A (5)B4、(1) x x x x x xcos ln 3ln 3tan 232cot 21-+(2)113+x (3)x x x x )ln 1(2sin 2ln 2-- (4)212)(1ln sec a a xx x ax a a a ++⋅- (5)mx x x n x mx m n n sin sin cos cos cos 1⋅⋅-⋅- (6))(2)()(ln 2)()(ln 2)()(ln 22x f x x x f x g x x f x g x x f x xg '-'+(7)⎩⎨⎧-<><<-222220x x xx 或(8)])1(2cot 1[21xxe e x x --+x e x x -⋅1sin(9))()()())(ln()()()(2x x x x x x x ψϕϕψψϕψ'-' (10)22ln ln xy y y xy x x -- (11))()(2)()(22y f x x yf y f x f y x '+-'-(12)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+='0,sin 2sin 0,11)(22x x x x x x xx f (13)2-e (14)283e (15)θθ4cos sin 31a (16)3481t t -(17)])1(1)1(1[!)1(211+++---⋅n n n x x n(18))24cos(41πn x n +-(19)dx xye x xy xye y yx y x ++--+ 7、)1(21-''=f a )1(-'=f b )1(f c = 8、2 第3章 中值定理与导数应用3.1 中值定理1、(1) 是2π(2)4 )2,1)(1,0(),0,1(),1,2(---2、(1) B (2)B3.2 洛必达法则1、(1) 1-4- (2) 12、(1)A (2)C3、(1)21(2)31 (3)1 (4) 1 (5)81-3.3 泰勒公式1、(1) )(!!3!2132n nx o n x x x x ++++++ (2) )()!12()1(!3121213---+--++-n n n x o n x x x (3) )()!2()1(!21222n nn x o n x x +-++- (4))()1(212n nn x o nx x x +-++-- (5))(12n n x o x x x +++++2、 4324()4(11)4(37)4(2156）-+-+-+-+-x x x x3、)()!1()1(3132n n n x o n x x x x +--++-- 4、31,34-==b a 3.4 函数的单调性和极值1、(1) [0,2] (][),02,-∞+∞ (2) 531和=x 2、(1)C (2)C (3) A3、(1) 单调递增区间为),3[]1,(+∞⋃--∞ 单调递减区间为)3,1(- (2) 单调递增区间为),1(+∞e 单调递减区间为)1,0(e4、极小值为0)0(=y5、23=a ，21=b7、当e a 1>时，方程无实根；当ea 1=时，方程有一个实根e x =；当ea 10<<时，方程有两个实根。
8、最大值为7)2(=-f 最小值为21)4(-=-f 9、32πV r =，34πV h = 3.5 函数图形的描绘1、(1) 凹 > (2) 拐点 (3) )4,1(2、(1)C (2)A3、),1(21--e),1(21-e 为拐点 凸区间为)1,1(- 凹区间为),1()1,(+∞--∞4、23-=a 29=b3.6 总 习 题1、(1)1 (2) 1-0(3) 0或1(4) 82±(5)2 2、(1)A (2) C (3)D (4)D (5) B (6)A （7）B (8) C (9) D7、(1) 121-(2) π2-e (3)112-(4)41- (5)2e -9、1)0(-=f 0)0(='f 37)0(=''f 10、2=a 1-=b13、(1)极大值2)0(=f 极小值e e ef 2)1(-=(2)极大值 0)1(=-y 极小值为343)1(⋅-=y14、凸区间为)1,0()1,( --∞ 凹区间为),1()0,1(+∞-拐点为)0,0(1=x ，1-=x 为垂直渐近线方程x y =为斜渐近线方程15、R 32 16、3x =- 17、3318、(1) )2ln ,1(-)2ln ,1(为拐点 凸区间为),1()1,(+∞--∞凹区间为)1,1(- (2) 凸区间为)1,0()1,( --∞ 凹区间为),1()0,1(+∞-拐点为)0,0(1=x ，1-=x 为垂直渐近线方程x y =为斜渐近线方程19、e x 1-=为垂直渐近线 e x y 1+=为斜渐近线20、（1）当34316163a b =时该方程有唯一实根（2）当34316163a b >时该方程无实根第4章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质1、是同一函数的原函数2、x x cot arc 2arctan 或π+-3、(1) C x x x x +--+2215225 (2) C x e x +-arcsin(3) C x x ++cos (4) C x +tan 21 4、1ln +=x y4.2 换元积分法4.2.1 第一类换元法1、(1)C x ++ln 21ln 21 (2) C x+-461(3) C x +sin 2 (4) C x ++-)cos 4ln((5) C x +3arcsin 31 (6) C x +32arctan 61(7) C e x ++)2ln( (8) C x +4)(arctan 41(9) C x +--232)1(31 (10) C e F x +--)(2、(1)C x x +-+2949123arcsin 31 (2)C x x ++-)]4ln(4[2122(3)C x x C x +-+2cot 2csc ln tan ln 或 (4) C xx +-ln 14.2.2第二类换元法1、C x x ++-)21ln(22、C x xx +--212arcsin 213、C x x +---24arctan 24224、C xx x +-+-211arcsin5、C x x ++126、C xx +-12 4.3 分部积分法1、(1) C x x x ++-2sin42cos 2 (2) C xx x +--1ln 1(3) C x x x x x ++-2ln 2ln 2 (4) C x x e x +++--)22(2(5) C x x e x+--)cos (sin 2 (6) C x x x ++)]sin(ln )[cos(ln 22、(1) C x xx x x +-+-2214arcsin 41arcsin 21(2) C x e x +-)1(2 (3)C x x x x +++-cos ln tan 212(4) C x x x x +---cot )ln(sin cot(5) C x x e x ++-)22sin (sin 5123、C x e x+-)1(4.4 有理函数和可化为有理函数的积分1、C x x x x x x ++---+++1ln 41ln 3ln 8213123 2、C x x ++-+1ln )1ln(2123、C x x ++-)6ln(481ln 6184、C x xx +-++]sin ln 2tan ln 2)cos 2[ln(315、C x+)3tan 2arctan(3216、C x x ++661ln 6 4.5 总 习 题1、 (1) C x +cos (2) C e x x ++ (3) )3(x f2、 (1) C (2) B (3) A (4) D3、(1) C e x +2361 (2) C x x +--tan cot (3) C x +2)tan (ln 41(4) C x x x +-++-23arctan 4)136ln(212(5) C x x x +++⋅-)1ln(44244(6)C x C x+-+1arctan 1arccos 2或 (7)C e e x x ++-+4347)1(34)1(74 (8) C x x x x x ++++++++)34412ln(453444122(9) C x x +--)2arctan 21(2ln 1 (10) C e x +2sin 21(11) C x +2tan 21(12) 21tan ln cos 2x x C ++(13)C x x x +--cot 21sin 22 (14)C x x +--2cos 418cos 161(15)211ln tan tan 4282x xC ++ (16) C x x x ++-844181arctan 81 (17) C x x x +-ln (18) C x x +-+-2]ln )1[ln(21(19) C x +)ln(sin ln(20) C x x x x ++-+--)4cot()4csc(ln 221)cos (sin 21ππ (21)C x x x ++-tan ln 2)sin 1cos 1(2122 (22) C x x x x x ++-+--)1ln(21ln )(arctan 21arctan 122(23) ()sin f x x C +4、C e x ee xxx ++-++-)1ln()1ln( 5、⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++=⎰1112)1()(22x C x x C x dx x f6、C x x +---)1ln(2127、C x x +-+1ln 2 8、C x x x x+++-+)1ln(122第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念 5.2 定积分的性质1、(1) 0 (2) 1 (3) 23 (4) 24R π(5)⎰+512)12(dx x 2、(1) D (2) C 3、⎰21ln xdx 较大 4、⎰+1211dx x………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 5、41022222---≤≤-⎰edx e exx5.3 微积分基本定理1、(1)101± (2)t cot - (3))(a af (4))41,0( (5) 02、(1) A (2) A (3) B3、1sin cos -x x 4、31 5、(1)41π+(2) 1ln 1+-a ae (3) 4 (4)3346、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=ππx x x x x F ,10),cos 1(210,0)(7、a =4 b =15.4 定积分的换元积分法与分部积分法5.4.1 定积分的换元积分法1、(1)232-(2) 211--e (3)26-+e e(4)6483π (5)516π 2、(1) D (2) A3、(1) 41π- (2)23ln2311-5.4.2 定积分的分部积分法1、(1)1 (2)44ln 4- (3)π (4)1582、(1)214-π (2) 2ln 31 (3))11cos 1sin (21+-e e(4))2(51-πe(5)214-π3、05.5 广义积分1、(1)发散 (2)a1 (3)发散 (4) -1 (5)322)1(23-e (6)发散2、(1) 0 (2) 2π (3) )32ln(2++π3、时当1>k ⎰+∞2)(ln kx x dx 收敛 时当1≤k ⎰+∞2)(ln kx x dx 发散5.6定积分的几何应用1、(1)29(2) 6a (3) ⎰ba dx x xf )(2π 2、2316-+π3、23ln 211+4、π7128π5645、290π5.7 定积分的物理应用1、g πρ18752、44gR ρπ3、g ρ724、g ρ1685.8 总 习 题1、(1) 0 (2) 1 (3) e22- (4)0(5)25(6) 2ln 3(7))32ln(6++ (8)24π (9)82、(1) D (2) A (3) D (4) C (5) B3、(1) 61- (2)121 (3)yx y x y 2)(cos )(cos 122---+(4)432x ex-(5)23810-(6)π12835 (7)2π(8)463ππ-(9)12(10)34 (11)2ln 418-π(12)ee e +++12ln1 (13)4π (14)16π (15)2ln 21- (16)51 (17)4π (18)发散 (19)316-e(20)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=243211,421,41)(22x x x x xx x x x F10、2112、22-π13、2ln =a 14、4π2π15、334+π16、117、6π18、)(7273732为比例常数k a kc 19、g r 434π第6章 常微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程 6.2.1可分离变量的微分方程1、(1) 33x Cey -= （2）222)1)(1(Cx y x =++(3)C x x y =++)1(22、(1) Cx xe y = (2) 333y x Ce y =6.2.2一阶线性微分方程1、(1) )(C x e y x +=- (2) )1(12+=yCe y x 2、(1) )(213x x y += (2) 1sin 2sin -+=-x e y x 3、53525Cx x y +=-4、)cos (sin 21)(x e x x x f --+= 6.2.3几类可降阶的高阶微分方程1、(1) 21)(C e x C y x +-=-(2) 21)cos(ln C C x y ++-=2、(1) xy 11+=(2) 1)1(+-=x e y x 6.3 高阶线性微分方程 6.3.1 高阶线性微分方程解的结构1、2)(21x e x C C y +=2、1)1()1(221+-+-=x C x C y6.3.2常系数线性微分方程1、(1) xxeC e C y 3231-+= (2) xeC C y 421+=(3) xxeC eC y )21(2)21(1-++=(4) )23sin 23cos (2121x C x C e y x +=- (5) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxeC eC y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当(6) x C x C C y sin cos 321++=(7) x x e x C C e x C C y 24321)()(-+++= 2、(1) =*y )sin cos (x b x a e x +(2) =*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++ (3) =*y )(23c bx ax xe x ++(4)=*y x d cx x b ax sin )(cos )(+++(5) x e dx x b ax Ce x sin )(cos )(++++ 3、(1) )1(41)(221x e x C C y x +++= (2) )cos (sin 2121x x e C C y x +-+=- (3) xx e e x C C y 2221161)(-++=4、(1) x x y cos 813cos 241+= (2) )sin (x x e y x -=-6.3.3欧拉方程1、x x C x C y 212231++= 2、)sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([21x x x C x C x y ++= 6.4 总习题1、(1) 211ln(1)ln 222xy e =++- (2))sin(x y Ce x =(3) 2321y Cy x += (4) xCx x x y +-=-ln 23(5) 212111ln 1C x C C C x y ++-=(6) 1)1(=-y x2、(1) 43161)(2221+++=-x x e e x C C y (2) x x C x C e y x 2cos 263)23sin 23cos (2121++=-212sin 131+-x (3) 421)2343(2x x xe e x e x y -+++= (4) x xe y x sin 2=3、1ln )(+=x x f4、x e x f 2)(-=5、)(2x C x y -=6、]1,0[,156)(2∈++-==x x x x f y7、x xx x f cos 2sin 21)(+=高等数学(上)期中模拟试卷(一)一、1.C 2. B 3. C 4. B 5. B 二、1.41 2. 313. x xe 244. 05. )90609(3238++x x e x6.dx e e21+7. (-2,0) (0,2) (-∞,0)三、1.21 2. 213.)1cos ln 1sin 1(1121sin2xx x x x xx x-++ 4. 切线方程2πe y x =+ 四、3lim =+∞→n n x五、当e 1>β时原方程无实根 当e 1=β时原方程有唯一实根 当e1<β时原方程有两个相异实根七、当半径r R 2=时体积最小高等数学(上)期中模拟试卷(二)一、1.B 2. B 3. C 4. B 5. C 二、1. 4ln 2.0 1 3.e 4. 10)1(!9x - 5. dx x xx x xx)sin ln (cos sin + 6. (-∞,0)),21(21-±e 三、1. 1 2. 61-e 3. 切线方程1+=x y四、251+ 五、当ea 1>时原方程无实根 当e a 1=时原方程有唯一实根当01≤<a e a 且时原方程有唯一实根当e a e a 101<<<且时原方程有两个相异实根七、H R 2274π高等数学(上)期末模拟试卷(一)一、1.B 2. B 3. D 4. C 5. D 二、1. 22ππa x y =+2. (b ,+∞) ，(b ,a )3. 14.34π5. )(C e x y x += 三、1. 21-e 2. C x x e x ++--)cos (sin 23. )12(4-4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤=216722103)(23x x x x x x F ，，六、4250gr π七、1. Cx x y +=2 2. 133++=x x y 八、x x x e x f x 231)(23+-+=- 高等数学(上)期末模拟试卷(二)一、1.D 2. A 3. A 4. C 5. D 二、1.)2,2(2e2.2-3.2ln 32-4. 15.052=+'+''y y y 三、1. e 2. 0 ，-2 3.C x x ++212arctan 21 4.324ln - 四、当k < 0时原方程无实根，当k = 0时原方程有唯一实根， 当k > 0时原方程有两个相异实根 六、)(5.247KJ七、x y arcsin =八、xx x e x x e e x y ----+-=)63(78)(2………………………………………………最新资料推荐………………………………………。