有理数及其运算
第二章有理数及其运算第一讲有理数(教案)
-突破方法：通过具体案例，强调运算顺序的重要性，并引导学生用括号明确运算顺序。
-实际应用题的解决：难点在于如何将实际问题抽象成有理数运算问题，以及如何列式和计算。
-突破方法：提供多样化的实际应用题，引导学生逐步学会提取信息、建立数学模型并解决问题。
2.培养学生运用有理数进行逻辑推理，提高逻辑思维能力，增强数学抽象素养。
3.培养学生熟练掌握有理数的运算，提高运算速度和准确性，强化数学运算素养。
4.引导学生通过解决实际问题，培养数据分析素养，提高解决问题的能力。
5.激发学生主动探究有理数性质和运算规律的意识，培养数学探究素养，增强创新精神。
6.培养学生合作交流、分享学习心得的习惯，提高数学交流素养，增进团队合作意识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解有理数的基本概念。有理数是可以表示为两个整数比的数，如分数、整数。它是数学运算的基础，广泛应用于各个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了有理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的分类和运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示有理数运算的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总
(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总有理数的性质及其运算知识点汇总一、有理数性质有理数是可用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数和零。
有理数的性质如下：1. 有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
2. 有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。
3. 有理数的乘法满足分配律。
4. 有理数的加法、减法和乘法仍然是有理数。
5. 有理数可以用小数形式表示。
二、有理数运算知识点1. 有理数的加法有理数的加法满足以下规则：- 两个正有理数相加，结果仍为正有理数。
- 两个负有理数相加，结果仍为负有理数。
- 正有理数和负有理数相加，结果为它们的差的绝对值的符号与较大绝对值的符号相同。
2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法运算，规则如下：- 减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。
3. 有理数的乘法有理数的乘法满足以下规则：- 正有理数乘以正有理数，结果仍为正有理数。
- 负有理数乘以负有理数，结果仍为正有理数。
- 正有理数乘以负有理数，结果为它们的积的符号为负。
- 任何数乘以零，结果为零。
4. 有理数的除法有理数的除法可以转化为乘法运算，规则如下：- 除以一个有理数等于乘以这个有理数的倒数（除数不为零）。
5. 有理数的运算顺序有理数的运算顺序遵循以下规则：1. 先计算括号中的内容。
2. 然后按照先乘除，后加减的顺序计算。
3. 如果有多个乘法或除法，按照从左到右的顺序进行。
6. 有理数的小数形式表示有理数可以用小数形式表示，其中：- 有限小数是按照小数位数为限的。
- 循环小数是具有重复循环数字的。
以上是有理数的性质及其运算知识点的汇总，希望对你有所帮助。
有理数及其运算要点整理
有理数及其运算要点整理1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。
有理数包括整数、分数和小数。
2. 有理数的运算2.1 加法与减法有理数的加法和减法遵循以下规则：- 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
- 异号相减：一个正数减去一个负数，相当于两个正数相加；一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加。
- 异号相减取相反数：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
2.2 乘法与除法有理数的乘法和除法遵循以下规则：- 同号相乘：两个正数相乘，结果仍为正数；两个负数相乘，结果仍为正数。
- 异号相乘：两个不相等的有理数相乘，结果为负数。
- 除法是乘法的逆运算：一个数除以另一个数，等于将被除数乘以除数的倒数。
3. 有理数运算的要点3.1 加法与减法的要点- 将有理数按照同号、异号分类进行计算，遵循同号相加、留号不变；异号相减，取相反数相加的原则。
- 确保有理数的运算过程中，将同种类型的数进行运算，如整数与整数相加，分数与分数相加，小数与小数相加。
3.2 乘法与除法的要点- 乘法的结果符号由乘数和被乘数决定，同号得正，异号得负。
- 除法的结果符号由被除数和除数决定，同号得正，异号得负。
- 乘法和除法都要注意化简分数，使结果尽量简化。
4. 示例4.1 加法与减法示例例1：计算 -5 + (-3)。
解：两个负数相加，结果仍为负数，所以 -5 + (-3) = -8。
例2：计算 -4 - 2。
解：一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加，所以 -4 -2 = -6。
4.2 乘法与除法示例例3：计算 -2 × 3。
解：两个不相等的有理数相乘，结果为负数，所以-2 ×3 = -6。
例4：计算 12 ÷ (-4)。
解：一个正数除以一个负数，结果为负数，所以 12 ÷ (-4) = -3。
以上是有理数及其运算的要点整理，希望对你理解有理数的运算有所帮助。
有理数加减乘除法
有理数加减乘除法有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。
有理数运算是数学中的基本运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
有理数的运算规则和方法是学习数学的重要内容之一，本文将介绍有理数的加减乘除法及其运算规则。
一、有理数的加法有理数的加法是指在两个有理数之间进行相加运算，其运算规则如下：1. 同号相加，取绝对值相加，符号不变。
例如，(-3) + (-4) = -7。
2. 异号相加，取绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数的符号决定。
例如，(-2) + 3 = 1。
3. 加法满足交换律和结合律。
即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。
二、有理数的减法有理数的减法是指在两个有理数之间进行相减运算，其运算规则如下：1. 减去一个负数可以看作是加上一个正数。
即a - (-b) = a + b。
2. 减法也满足交换律和结合律。
三、有理数的乘法有理数的乘法是指在两个有理数之间进行相乘运算，其运算规则如下：1. 同号相乘，结果为正，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × (-3) = 6。
2. 异号相乘，结果为负，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × 3 = -6。
3. 乘法满足交换律和结合律。
四、有理数的除法有理数的除法是指在两个有理数之间进行相除运算，其运算规则如下：1. 除以正数，结果的符号由被除数决定。
2. 除以负数，结果的符号与被除数相反。
3. 除法满足结合律，但不满足交换律。
总结：有理数的加减乘除法是数学中的基本运算，通过熟练掌握运算规则和方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
在实际生活和学习中，有理数的加减乘除法应用广泛，例如在计算金融、纳税、商品价格等方面都离不开有理数的运算。
因此，学好有理数的运算是数学学习的基础，也是实际应用的必备技巧。
总之，有理数的加减乘除法在数学中占据重要地位，通过理解和掌握运算规则，可以轻松进行相关计算。
有理数的运算与应用
有理数的运算与应用有理数是指可以表示成分数形式的数，包括整数、分数和小数。
有理数的运算是数学中的基础知识之一，它涉及到加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
本文将就有理数的运算及其应用进行探讨。
一、加法运算加法是最基本的运算之一，用来表示两个数的和。
对于有理数的加法，我们可以将其分为同号数相加和异号数相加两种情况。
1. 同号数相加当两个有理数同为正数或同为负数时，它们的和的绝对值等于这两个数绝对值的和，符号由原来的数共同决定。
例如，将3和7相加，由于它们同为正数，所以和为10。
可以表示为：3 + 7 = 10。
同样地，若将-5和-2相加，由于它们都是负数，所以和为-7。
可以表示为：-5 + (-2) = -7。
2. 异号数相加当两个有理数异号相加时，它们的和的绝对值为它们绝对值的差，符号由绝对值较大的数决定。
例如，将-4和2相加，由于-4的绝对值大于2，所以和为-2。
可以表示为：-4 + 2 = -2。
同样地，若将5和-3相加，由于5的绝对值大于-3，所以和为2。
可以表示为：5 + (-3) = 2。
二、减法运算减法是表示两个数相减的运算，可以看作是加法的逆运算。
对于有理数的减法，可以通过加法的方式来处理。
例如，将8减去3，可以转化为8加上-3，即8 + (-3)，所以差为5。
可以表示为：8 - 3 = 5。
同样地，将-4减去-2，可以转化为-4加上2，即-4 + 2，所以差为-6。
可以表示为：-4 - (-2) = -6。
三、乘法运算乘法是表示两个数相乘的运算，包括正数、负数和0的乘积。
对于有理数的乘法，可以根据乘法的性质进行计算。
1. 同号数相乘当两个有理数同为正数或同为负数时，它们的乘积为正，乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。
例如，将2和3相乘，由于它们同为正数，所以乘积为6。
可以表示为：2 × 3 = 6。
同样地，将-4和-5相乘，由于它们都是负数，所以乘积为20。
可以表示为：-4 × (-5) = 20。
《有理数》有理数及其运算
《有理数》有理数及其运算汇报人：日期:contents •有理数的定义与分类•有理数的运算•有理数的混合运算•有理数的应用•有理数的数学史•有理数的实际应用案例目录01有理数的定义与分类有理数是一个数学术语，它表示为分数或整数。
有理数是由两个整数的商所得到的数，其中分子和分母都是整数。
有理数包括有限小数和无限循环小数，它们都可以表示为分数形式。
定义分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
负有理数包括负整数和负分数。
正有理数包括正整数和正分数。
零是整数，它在有理数中起着特殊的作用，它是正有理数和负有理数的分界点。
02有理数的运算从低位到高位依次相加进位时，横线下面写几，下面用0顶替借位时，横线上面写几，同时下面减去一个相同数位的数相同数位对齐，是减法时，从高位到低位依次相减相同数位对齐进位时，横线下面写几，上面用0顶替相同数位对齐，是加法时，从低位到高位依次相加退位时，横线上面写几，同时下面加一个相同数位的数相同数位对齐从高位到低位依次相减乘法第一个数有几位数，积就有几位小数进位时，将进位点写在横线的上面，向高位进位从右向左，依次用第二个数的每一位去乘第一个数的每一位小数部分末尾有0，根据小数的基本性质，应该点上小数点除法商的小数点要和被除数的小数点对齐从高位除起，按照整数除法的法则进行计算如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除整数部分有余数，要在后面添0继续除03有理数的混合运算先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
在没有括号的不同级运算中，先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
顺序结合律与分配律结合律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$结合律与分配律是运算的基本性质，它们可以用于简化运算过程，提高运算效率。
专题01 有理数及其运算六大题型(解析版)
专题01 有理数及其运算六大题型
相反意义的量
【变式训练】
1．（广东省云浮市罗定第一中学2022~2023学年七年级下学期期末数学试题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上20℃记作20+℃，则零下10℃可记作（ ）A ．10-℃
B ．0℃
C ．10℃
D ．20-℃
【答案】A
【分析】根据正负数表示相反意义的量进行作答即可．
【详解】解：由题意可知，零下10℃可记作10-℃，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正负数表示相反意义的量．解题的关键在于理解题意．
求一个数的相反数、绝对值【变式训练】
科学记数法
【变式训练】
有理数比较大小
【变式训练】
【变式训练】
利用数轴比较大小
A ．a b
>B ．0a c ->【变式训练】
1．（2023上·广东东莞·七年级统考期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错
①a b <；②a b >；③0
b a ->
A．2B．1
故选：A
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题
三、解答题。
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（1）(-2.48)+4.33+(-7.52)+(－4.33)
解:原式=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]
=(-10)+0
=-10
（2）
5 6
(
6) ( 7
1) 6
二 有理数加法运算律的应用
例3 每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录 如图所示，与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克
答案：304千克.
课堂小结
1.有理数加法的运算律
加法交换律： a+b=__b_+_a_
学科网
加法结合律:（a+b）+c=__a_+_(b_+_c_)___
2.灵活运用加法运算律可使有理数多位数加 法运算边的简便快速.
解法2：每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的 千克数记作负数，10袋小麦对应的数为+1，+1，+1.5，－1， +1.2，+1.3，－1.3，－1.2，+1.8，+1.1 1+1+1.5+（－1）+1.2+1.3+（－1.3）+（－1.2）+1.8 +1.1 ＝［1+（－1）］+［1.2+（－1.2）］+［1.3+ （－1.3）］+（1+1.5+1.8+1.1）＝5.4
2.计算
(1)1（ 1） 1 （ 1） 23 6
（1 1）（[ 1）（ 1）]
3
2
6
42 2 33 3
(2)3 1 （ 2 3） 5 3 （ 8 2）
4
54
5
（3 1 5 3）（[ 2 3）（ 8 2）]
44
5
5
9 11
=－2
3. 现有10筐苹果,以每筐30千克为准,超过的千克数记 为正数,不足的千克数记为负数,记录如下（单位:千 克）: 2, -4, 2.5, 3, -0.5,1.5, 3, -1, 0, -2.5 问这10筐苹果总共重多少?
通过上面的计算和对比你能发现什么？你能 用字母表示出这个规律吗？
加法的交换律： a+b=b+a 加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
典例精析
例1 计算16+（－25）+24+（－35） 解： 16+（－25）+24+（－35） ＝16+2学4科网+［（－25）+ （－35）］ ＝40+（－60）＝－20
第二章 有理数及其运算
2.4 有理数的加法
第2课时 有理数加法的运算律
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律. 2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算(重点、难 点）
导入新课
情境引入
为了防止水土流失，保护环境，某县从2012年起开始 实施植树造林，其中2012年完成786亩，2013年完成957亩， 2014年完成1214亩，2005年完成1543亩．回答下列问题．
怎样使计算简 化的?这样做 的根据是什么?
把正数与负数 分别相加,从而计算 简化,这样做既运用 加法交换律又运用
加法的结合律
使用运算律通常有下列情形： (1)互为相反数的两个数可先相加； (2)几个数相加得整数时,可先相加； (3)同分母的分数可以先相加； (4)符号相同的数可以先相加.
例2 计算
问题：该县从2012年到2015年一共完成植树造林多 少亩？看谁算得又快又对？
讲授新课
一 加法运算律
合作探究
3 ﹢ -5
-5 ﹢ 3
＿ ﹦ -2 ＿ ﹦ -2
你们能再举一些数字也符合这样的结论吗？试试看！
（3 3
＿ ﹢ -5 ）﹢ -7 ﹦ -9 ＿ ﹢（ -5 ﹢ -7 ）﹦ -9
你们能再举一些数字也符合这样的结论吗？试试看！
学科网
或不足多少千克？10袋小麦的总重量是多少？
91
91
91.5
91.3
Байду номын сангаас
88.7
88.8
89
91.2
91.8
91.1
解法1：先计算10袋小麦的总重量
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1 ＝905.4
再计算总计超过多少千克 905.4－90X10＝5.4 答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是 905.4千克.
90×10+5.4＝905.4 答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是 905.4千克.
当堂练习
1.计算： （1）23+（－17）+6+（－22）
＝（23+6）+[（－17）+（－22）] ＝29－39 ＝－10
（2）（－2）+3+1+（－3）+2+（－4） ＝（3+1+2）+[（－2）+（－3）+（－4）] =6－9 =－3