《第13章 轴对称》单元测试题

《第13章轴对称》单元测试题
一．选择题（共10小题,30分）
1．下列图形中为轴对称图形的是（）
2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）
A．25°B．45°C．30°D．20°
3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（）
A．14B．16C．18D．20
4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（）
A．（5，1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，1）D．（﹣5，﹣1）
5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（）A．14cm B．10cm C．14cm或10cm D．12cm
6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB ＝80°，那么∠EBC等于（）
A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°
8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．边上的高也是这边的中线的三角形
10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）
A．6B．8C．9D．10
二．填空题（共8小题，24分）
11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为．
13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是．14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝°．
15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为．
16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．
三．解答题（共7小题，66分）
19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．
21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．
24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？
③若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）．
《第13章轴对称》单元测试题答案1．D．2．B．3．B．4．B．5．A．6．C．7．C．8．A．9．D．10．C．11．5．12．14．13．（1，2）．14．35．15．40°．16．45．17．45°．18．9.6．19．解：PA＝PC．
理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴PA＝PB，PC＝PB，
∴PA＝PC．
20．解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B
又因为∠CAE＝∠B+30°
故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20°
∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°．
21．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点C1的坐标为（4，3）；
（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．
22．解：∵△ABC是等腰三角形，
∴不妨设AB＝AC，
又∵一边长为5，
①设AB＝AC＝5，
∵△ABC的周长为22，
∴BC＝22﹣5﹣5＝12；
∵5+5＜12，
∴不成立（舍）；
②设BC＝5，
∵△ABC的周长为22，
∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5，
∵8.5+5＞8.5，符合题意，
∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．
23．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，
∴∠AFB＝∠BED，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
24．解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，
∴∠1＝∠3，
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴DB＝DO，
同理可得EO＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，∵△ABC的周长为15，
∴AB+AC+BC＝15，
而BC的长为6，
∴AB+AC＝9，
∴△ADE的周长为9．
25．解：（1）CD＝PE+PF，
理由：如图1，连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S
△ABC ＝AB×CD，S
△PAB
＝AB×PE，S
△PAC
＝AC×PF，
又∵S
△ABC ＝S
△PAB
+S
△PAC
∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE+PF；
（2）①中关系还成立，
理由：连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S
△ABC ＝AB×CD，S
△PAB
＝AB×PE，S
△PAC
＝AC×PF，
又∵S
△ABC ＝S
△PAB
+S△PAC
∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE+PF；
（3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD，如图2，连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵S
△ABC ＝AB×CD，S
△PAB
＝AB×PE，S
△PAC
＝AC×PF，
又∵S
△ABC ＝S
△PAC
﹣S
△PAB
∴AB×CD＝AC×PF+AB×PE，
∵AB＝AC，
∴CD＝PF﹣PE；
如图3，过点C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°．
∴四边形CGED为矩形．
∴CD＝GE，GC∥AB．
∴∠GCP＝∠B．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP．
在△PFC和△PGC中，，
∴△PFC≌△PGC（AAS），
∴PF＝PG．
∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；。