三年级奥数_等差数列求和(一)知识讲解
三年级秋季奥数：巧妙求和
巧妙求和（一）知识要点：1、一定量的数按照顺序排成一串，就叫作数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，最末一个数称为末项，数列中数个数称为项数。
如：3、6、9、12----、96，首项是3，末项是96，项数为32.2、如果一个数列的每一项和前一项的差相等，就叫作等差数列。
每一项和前一项的差叫作公差。
如以上的就是等差数列，公差为3.芝麻开门：同学们听过德国数学家高斯的故事吗？高斯在10岁的时候就显示出与众不同的数学才能。
在一次数学课上，数学老师提出这样的一个问题。
计算：1+2+3+---+99+100的和？正当其他同学还在苦思冥想时，高斯已经算出了答案：5050，老师和同学们都很惊诧他的运算速度。
同学们你们知道小高斯为什么能这么快就能计算出答案吗？他究竟用了什么方法呢？下面我们就来探究一下。
经典范例例1: 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和。
思路解析：在计算这样的算式时，如果我们依次计算，数字太大、太多，计算起来特别麻烦还容易出现错误。
于是，我们就要调整思维方式，观察算式，寻找规律。
解：方法一：观察得到把最小的数和最大的数相加得11，然后再依据规律依次相加，总共有5对得11的算式，没有多余的数。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11×5=55方法2：找出和为10的式子，但会出现多余的数，然后再把多余的数加上去。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5+10=10×4+15=55例2：计算1+3+5+7+9+11+13+15+17思路解析：在这个算式中，首项和末项的和是1+17=18，次项和3+15=18也是18，依次结合，最后把多余的项加上去。
解：方法一：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）+（3+15）+（5+13）+（7+11）+9=18×4+9=72+9=81方法2：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）×9÷2=18×9÷2=162÷2=81小结：1、在例1和例2中，每一项和前一项的差都是相同的，因此都是等差数列。
小学奥数 等差数列的认识与公式运用 精选例题练习习题(含知识点拨)
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即， 和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
三年级奥数高斯求和
高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。
等差数列求和技巧
等差数列求和技巧在数学中，等差数列是指数列中任意两个相邻数之间的差值保持恒定的数列。
求解等差数列的和是数学中常见的问题之一。
本文将介绍几种常用的等差数列求和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列求和公式对于一个等差数列，我们可以使用求和公式来计算其总和。
假设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的和。
二、等差数列求和通用步骤下面是一般情况下求解等差数列和的通用步骤：1. 确定数列的首项a、公差d以及项数n。
2. 使用求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)计算出总和Sn。
三、等差数列求和技巧除了以上的通用步骤外，我们还可以运用一些技巧来简化等差数列求和的计算过程。
1. 利用对称性对于等差数列来说，如果其项数为奇数，那么数列的中间项与首项和末项的和是相等的。
我们可以直接使用这个性质来求和，而不需要使用求和公式。
例如：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 10 + 10 + 5 = 252. 利用求和公式的性质我们可以对等差数列进行逆序求和，并与原始的求和公式相加，从而得到每一项的和。
例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2将两个等式相加，得到：2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n+1)得出等差数列的和为：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/23. 利用倍数关系如果一个等差数列的公差为1，那么该等差数列的和可以简化为项数n的平方。
例如：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2 ≈ n^2/2 (当n足够大时)四、实例演算为了更好地理解和掌握等差数列求和技巧，下面我们以几个实例来进行演算。
2011年三年级奥数春季班第一讲 等差数列基础
第一讲等差数列基础一、等差数列的相关概念定义：任意相邻两个数的差是相等的一列数项：首项、中项、末项项数：就是等差数列一共有多少个数公差：相邻两数之间的差通项：数列中每一项的通用表示二、基本公式1.通项公式：已知首项和公差，求第n项第n项=首项+（n-1）×公差辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，公差个数比项数少1，第2项是第1项加1个公差，第3项是第1项加2个公差，第5项是第一项加4个公差……）2.项数公式：已知首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差+1辅助记忆：青蛙跳荷叶（荷叶数代表项数，青蛙从第一片荷叶开始跳，先算共跳了几次，在看跳到第几片荷叶上。
）【注】：此公式为求和公式的基础3.求和公式：任何等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2【注】：高斯求和，皮鞋定理4.中项定理：对于容易找到中项的等差数列求和较方便和=中间数×项数（1）求和公式和中项公式的联系：和=（首项+末项）×项数÷2=（首项+末项）÷2×项数= 中间数×项数【注】中间数为平均数（2）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。
那么中项就是100÷5=205、等差数列中任意两项的差第n项-第m项=公差×（n-m）26.常用熟记公式: 从1开始连续奇数列求和=项数即：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2图示：1 3 5 7 9二例题解析1、直接运用公式进行计算例1 1+2+3+……+1992+1993的和。
解析：题目告诉的是一个等差数列，那就看问的是什么，用相应的公式求解即可。
问上述等差数列的和，直接利用求和公式：原式=（1+1993）×1993÷2=1994÷2×1993=997×1993=1000×1993-3×1993=1993000-5979=1987021【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。
奥数题等差数列求和及应用一
等差数列求和及应用一等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫做末项。
（以下公式要求熟记）基本公式：和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=末项-（项数-1）×公差 公差=1--项数首项末项例1、 计算：1+2+3+4+…+99+100=例2、 计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=例3、 数列4，9，14，19，…的第80项是多少例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，…这数列中前100个数的和是多少例5、 求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少例6、 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛例7、 小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。
如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。
问小红家的门牌是几号全胡同里共有几家例8、 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。
小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。
问：共有多少个盒子家庭作业：【1】计算 ⑴ 2+4+6+8…+198+200 ⑵ 3+10+17+24+31+…+94 ⑶ 77+74+71+……+11+8+5【2】已知等差数列3，7，11，15，…，195，问这个数列共有多少项【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的第25项是多少第36项是多少【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，公差是6，这列数的总和是多少【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数的前50个数的和是多少【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。
奥数秘籍数列与等差数列求和
奥数秘籍数列与等差数列求和在数学中，奥数是指奥林匹克数学竞赛的简称。
作为一种高难度的数学考试，奥数要求学生具备扎实的数学基础和高超的解题能力。
在奥数中，数列与等差数列求和问题是一个常见而重要的内容。
本文将介绍奥数秘籍数列与等差数列求和的方法，帮助读者更好地应对这一题型。
数列是数学中常见的一种数值排列形式，其中每一个数都按照一定的规律进行排列。
而等差数列是最常见的一种数列类型，其中每一项与前一项之间的差值都保持相等。
等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
在解决数列问题时，首先要确定数列的类型。
如果题目明确给出数列的类型，那么我们就可以直接应用相应的公式进行求解。
例如，如果题目说给定的数列是等差数列，那么我们就可以使用等差数列的求和公式进行计算。
等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。
在这个公式中，我们首先要确定首项a1和末项an，同时也需要知道项数n。
通过代入这些已知条件，我们就可以得出数列的和。
当我们遇到数列问题时，往往需要通过观察数列的特点来解决。
对于等差数列来说，我们要注意数列的首项和公差之间的关系，以及数列的前n项和与项数之间的关系。
除了等差数列的求和问题，我们还经常遇到其他类型的数列求和问题。
例如，等比数列的求和问题、斐波那契数列的求和问题等等。
对于这些问题，我们可以应用相应的数列求和公式进行计算。
总结来说，奥数秘籍数列与等差数列求和的核心是观察数列的规律以及运用相应的公式进行计算。
通过练习和实际应用，我们可以逐渐掌握不同类型数列的求和方法，并在奥数竞赛中取得好成绩。
希望本文能为读者解决奥数秘籍数列与等差数列求和问题提供一些帮助。
通过理解数列的规律和应用相应的公式，我们可以更好地解决数学问题，并在数学学习中取得更好的成绩。
最后，祝愿大家在奥数竞赛中取得优异的成绩！。
小学奥数：1-2-1-1 等差数列的认识与公式运用.教师版
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是 3 ， 那么每组有 3 个数，我们数列中的数都在每组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位，4 到 48 有 48 4 1 45 项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项 末项) 项数÷2
【例 6】 从 1 开始的奇数：1，3，5，7，……其中第 100 个奇数是_____。
【考点】等差数列的基本认识
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】略
【答案】199
【例 7】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91 排列的规律，推知 a =________ 。
【考点】等差数列的基本认识
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62
【答案】 62
【例 5】 已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多
少？
【考点】等差数列的基本认识
例题精讲
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
卡尔·弗里德里希·高斯
（一）数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
像这样按照一定规律排列成的一列数我们称 它为数列 数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数；
（二）等差数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
（公差=1） （公差=2） （公差=5）
通过观察，我们可以发现上面的每一 个数列中，从第一项开始，后项与前项 的差都相等的，具有这样特征的数列称 为等差数列，这个差称为这个数列的公 差。
44 44 44 44 44 44 44 44 44
两数列之和=（6+38）×9
原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努+ 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4
原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
三年级奥数_等差数列求和(一)
小故事
男孩发现：第一个数加最后一个 数是101，第二个数加倒数第二个数 的和也是101，……共有50对这样的 数，用101乘以50得到5050。这种算 法是教师未曾教过的计算等级数的方 法，高斯的才华使老师——彪特耐尔 十分激动，下课后特地向校长汇报， 并声称自己已经没有什么可教这位男 孩的了。