三角形的证明详细知识点、例题、习题)

第一章 三角形的证明

一、全等三角形

（1）定义： 能够完全相等的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 （3）判定：SAS 、SSS 、ASA 、AAS 、HL

注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必

须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 证题的思路：

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⎪⎪⎩

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⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪

⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）

找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS

例题解析：

二、等腰三角形

1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．

3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）．

4. 等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；

等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.

判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形.

5. 含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

例题解析：

三、.直角三角形

1. 勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

2. 命题与逆命题

命题包括题设和结论两部分；

逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；

3. 直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释：

①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边

的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三

边的平方”

例题解析

四、线段的垂直平分线

1. 线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

3. 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.

要点诠释：

①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范

围；

②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.

例题解析

五、.角平分线

1. 角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

2. 三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

3. 如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：

①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；

③几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平

分线时，要构造全等三角形

例题解析：

【课堂练习】

1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（）

A.5 cm

B.6 cm

C.5cm

D.8 cm

2、如图，已知∠1＝∠2，则不一定

．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD

C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA

3 、如上图，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）． 4、已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角

形的周长是（ ）

A ． 20或16

B ． 20

C ． 16

D ．以上答案均不对

5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7

C ．8

D ．9

6、一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．

7、等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。 8．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ） A ．

20° B ． 50° C ． 60° D ． 80°

A

B

图3

9、如图，在Rt△ABC中∠C=90度,∠B=2 ∠A，AB=6cm，则BC=________.

10、如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB= _______.

11、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，

且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．(SAS)

12．已知:如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证:BC＝DE.

A

B

E

D

C