数与式讲义
第一讲数与式
第一讲 数与式基础知识有理数有两种分类方式：有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数 代数式从确定的数到字母表示数，并且表示数的字母像数一样地参加运算，进而引入代数式，是数学发展史上的一个里程碑，也是我们学习过程的一次飞跃。
代数式使数量关系的表示简洁明了，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示，是从具体到抽象与概括有有力工具，给研究和计算带来了极大方便。
在列代数式时，就注意以下几点：1、在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母表示2、字母与字母相乘可以省略乘号3、在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式4、列代数式是应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来5、代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘是必须把带分数化成假分数。
拓展知识：1、 数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。
（1） 所有有理数组成的数集叫做有理数集；（2） 所有的整数组成的数集叫做整数集。
2、 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。
3、 根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a ，它的绝对值是非负数。
4、 比较两个有理数大小的方法有：（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；（3） 做差法：a –b>0 ⇔a>b;（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.（做差法与做商法如何进行选择？）数学思想数形结合思想分类讨论的思想整体思想转化的思想一、 妙用定律巧求值例1计算)20031...3121()20041...31211()20031...31211)(20041...3121(+++⨯++++-+++++++例2求1002-992+982-972+…+42-32+22-12例3 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．二、 比较数的大小例4比较a1与a ，3a 与2a 的大小关系例5设a 1,a 2,a 3,…a 2000都是有理数，令)...)(...(),...)(...(199932200021200032199921a a a a a a N a a a a a a M ++++++=++++++=，试比较M 、N 的大小。
数与式的运算
解法一：原式=
解法二：原式=
你能评价一下解法一、二的差异吗？
第一讲 习题 A 组 1．二次根式 a 2 a 成立的条件是( ) A． a 0 B． a 0 D． a 是任意实数 2．若 x 3 ，则 9 6 x x 2 | x 6 | 的值是( A．－３ D．９ 3．计算： (1) ( x 3 y 4 z ) 2 (2a 1 b) 2 (a b)(a 2b) B．３ ) C．－９ C． a 0
a a( a b) a a( a b) 1 a b 1 a b
( a b) ( a b) ( a b )( a b )
2 a ab
试对本例的解题技巧做一评价： 【例6】设 x
2 3 2 3 ,y 2 3 2 3
，求 x3 y 3 的值．
思考：此题中让你眼前一亮的技巧是？
3abc 3 abc
引申：同学可以探求并证明： a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 二、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下： 第一讲
2 (1) ( a ) a (a 0)
原式= a
bc ac ab b c bc ac ab
①
a ( a ) b(b) c(c) a2 b2 c2 bc ac ab abc
a 3 b 3 (a b)[(a b) 2 3ab] c(c 2 3ab) c 3 3abc a 3 b 3 c 3 3abc ②，把②代入①得原式=
(2)
(3) (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)3
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第一讲 数与式（2）学习目标1、 掌握各种乘法公式的书写，并会灵活运用。
2、 熟悉因式分解的一般步骤。
3、 掌握十字相乘法学习过程 一、 知识方法归纳 1、 乘法公式：1) 平方差公式： 2) 完全平方公式： 3) 立方和公式： 4) 立方差公式： 5) 三数和平方公式： 6) 两数和立方公式：2、分解因式：把一个多项式化成 ，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
也叫 。
例如：3ax+3bx= 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
3、因式分解的方法 1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有 ，可以把这个公因式提到 ，将多项式写成 的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的 。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数:取各项系数的最大公约数（什么是最大公约数？如何求最大公约数？） 字母:取各项都含有的字母 指数:取相同字母的最低次幂例如：123a 3b c +6422a b c —8323a b c 的公因式是 。
②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
例1、把—122a b —182ab —2433a b 分解因式.例2、把多项式3（x-4）+x(4-x)分解因式（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
逆用平方差公式:逆用完全平方公式： 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例如：因式分解2a -14a+494、 十字相乘法：首项系数为一的二次多项式2()()()x p q x pq x p x q +++=++方法：常数项分成p 和q ， p+q 为一次项系数xxp q例如：230x x --二、当堂测试1.分解因式4353x x x ++2.分解因式：2m n n -= _______ ．3.因式分解2310x x +-4．分解因式：(1)=-a a 422；(2)269a a -+=5.已知ab= -1,a+b=2，则式子b a a b +=。
第一讲 数与式
初中数学暑假复习讲义第一讲 数与式一、学习指引1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算 （4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧. （2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算.（4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.二、典型例题例1. 计算 （1）99163135115131++++（2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－ （1＋21＋31＋……＋20021）（21＋31＋……＋20011）（3）设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.例3.（1） 一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A.（11，3） B.（3，11） C.（11，9） D.（9，11）例4. 已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则99a = .例5.（1）y ＝︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －３︱的最小值 .（2）试求︱x －１︱＋︱x －２︱＋︱x －３︱＋……＋︱x －1999︱的最小值.例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ． （2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，(3) 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为kn2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．26134411第一次F ② 第二次F ① 第三次F ② …例7.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ ； (2) 若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xy y x x yx +--=__________；(3)设512a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. (4)已知b a x -=c b y -=ac z -,那么x+y+z= .例8.（1）如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1(2) 已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43例9.(1)设Ｎ＝２３x ＋９２y 为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有多少对？(2)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？(3) 如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a b 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 各边的中点为顶点作菱形2222A B C D ，……，如此下去．则得到四边形2009200920092009A B C D 的面积用含a b 、的代数式表示为__________.4=1+3 9=3+616=6+10…第一讲 实数同步练习活动基地 班级 姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.562. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 （ ） Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++； ③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402）7．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题8.观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9．已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .10．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式nb ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ． 12. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．三、解答题13.１21＋2221＋3321＋4421＋ (101021)序号1 2 3 …图形… y xOC 1B 2A 2 C 3B 1 A 3B 3 A 1C 2（第5题图）14. 若４x －３y －６z=0, x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225z y x z y x ---+的值.【能力拓展】15．如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = .（第2题）17.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推. （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.OA BCD A 1O 1 BC A E 1 E 2 E 3D 4 D 1 D 2D 3 （第15题）第一讲数与式（典型例题）例1.（1）115（2）20021 提示：设1＋21＋31＋……＋20011＝a ，21＋31＋……＋20011＝b ，则a －b ＝1 (3) D例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4.9999100例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x 取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000 例6.（1）3或-1（2）B （3）98 例7.（1）y x y -2（2）151（3）-2 （4）0 例8.（1）C （2）D 例9.（1）27（2）5（3）（21）3000第一讲 数与式（同步练习）【基础巩固】 一．选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A 二．填空题 7.208.512，45 9.12++n n 10.528 11.（2n -1,2n-1） 三．解答题 12.102410235513.-13 【能力拓展】 14.（11+n ）215.3n 16. 17.1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ②x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3第二讲 方程与方程组一、学习指引1．知识要点（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程 （5）方程的整数根 （6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论．（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， b 2-4ac 称为该方程的根的判别式． （4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。
初高中衔接 专题讲义一、数与式的运算(4课时)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1．实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2．乘法公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 二、目标要求1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式 （1）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 （2）bd x bc ad acx d cx b ax +++=++)())((2 （3）立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ （4）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++- （5）两数和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+ （6）两数差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-（7）三数和的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 四、典型例题 例1、计算：（1）)5)(2(-+x x （2）)23)(32(-+x x （3）3)12(-x （4）2)2(c b a -+例2：已知3=+y x ，8=xy ，求下列各式的值（1）22y x +；（2）22y xy x +-；（3）2)(y x -；（4）33y x +分析：（1）xy y x y x 2)(222-+=+ （2）xy y x y xy x 3)(222-+=+-（3）xy y x y x 4)()(22-+=-（4）]3))[(())((22233xy y x y x y xy x y x y x -++=+-+=+ 例3：已知4=++c b a 4=++ac bc ab 求222c b a ++的值 分析：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++= 变式：已知：0132=+-x x ，求331xx +的值。
(精品)数学讲义九年级寒假班第1讲：数与式-教师版
数与式知识结构模块一：实数与运算知识精讲一、数的整除1、整数的意义和分类：自然数：零和正整数统称为自然数；整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除：(1)整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．(2)整除的条件(两个必须同时满足)：○1除数、被除数都是整数；○2被除数除以除数，商是整数且余数为零．3、除尽与整除的异同点：相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除；不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零．4、因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)．注意：(1)在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；(2)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在．5、求一个数的因数的方法：(1)列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数．(2)列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数．6、求一个数的倍数的方法：求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数．7、因数和倍数的性质(规律总结)：1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数．8、2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8的数．9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：在自然数中，是2的倍数的数是偶数(即个位是0，2，4，6，8的数)；在自然数中，不是2的倍数的数是奇数(即个位是1，3，5，7，9的数)注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数；一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数．10、5的倍数的特征：个位数字是0或5的整数，都是5的倍数．11、3的倍数的特征：一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数．注：(1)既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数(或者说是10的倍数的整数)；(2)既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是15的倍数的整数)；(3)既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是6的倍数的整数)；(4)既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是30的倍数的整数)．12、 素数与合数： 素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数． 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数．13、 素因数和分解素因数：素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式． 14、 分解素因数的方法： 分解素因数的方法通常有以下两种：树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式．短除法：先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式． 二、 分数 1、 分数的意义：把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示．2、 分数和除法的关系： 两个正整数相除，他们的商可以用分数表示，具体关系如下：==÷被除数分子被除数除数除数分母，即：p p q q ÷=，其中p 为分子，q 为分母．读法：p q 读作q 分之p ．特别地，当q = 1时，1pq =．3、 用数轴上的点表示分数：任何一个分数可以用数轴上的点来表示．4、 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：a a k a nb b k b n⨯÷==⨯÷(0b ≠，0k ≠，0n ≠)5、 最简分数：分子和分母互素的分数，叫做最简分数．6、 约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．7、 通分：将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．(1)两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公倍数作公分母． (2)通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变．(3)通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分子扩大相应的倍数． 8、 分数的大小比较：(1)同分母的分数，分子大的那个分数较大． (2)同分子分数，分母大的那个分数反而小．(3)异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的大小关系． 三、 比和比例 1、 比的定义：a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记做a :b ，或写成ab，其中0b ≠，读作：a 比b ，或a 与b 的比．“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数a 叫做比的前项；比号后面的数b 叫做比的后项．前项a 除以后项b 所得的商叫做比值．2、 比与分数、除法之间的关系： 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和除式的商．求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位．3、 比的基本性质：(1)比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变．即:::a b a b ma mb m m==(0m ≠)．运用比的性质可以把比化成最简整数比．(2)三项连比的性质：若::p q m n =，::q r n k =，则::::p q r m n k =，若0k ≠，则::::::p q rp q r pk qk rk k k k==． 4、 比例：(1)表示两个比相等的式子，叫做比例．式子表示为：::a b c d =； (2)内项、外项：b 、c 叫做比例的内项；a 、b 叫做比例的外项； (3)比例中项：当b = c 时，::a b c d =，b 叫做比例中项．5、比例的基本性质：若::a b c d=或a cb d=，则ad bc=．反之若a，b，c，d都不为零，且ad bc=，则::a b c d=或a cb d=．即：内项之积等于外项之积．6、比例尺：(1)图上距离与实际距离的比叫做比例尺；(2)图上距离：实际距离=比例尺；(3)比例尺是一个比，是一个图上距离与实际距离的比．四、实数1、有理数、无理数及数轴表示：有理数：整数与分数统称为有理数无理数：无限，不循环小数数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．有理数在数轴上的表示：○1任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数；○2在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0；○3数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数．2、相反数：(1)相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．(2)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零．(3)互为相反数的两数和为0；反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数．即如果a、b互为相反数，那么a + b = 0．反之，如果a + b = 0，那么a、b互为相反数．(4)互为相反数的两个数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等．3、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．倒数是本身的数是1和1-，而0没有倒数．4、绝对值：(1)绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一般用符号a表示a的绝对值．(2)任何一个数的绝对值都大于或等于零，即0a ≥．(3)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．反过来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，即非正数；即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(互为相反数的两个数，它们的绝对值相等)．5、 平方根、立方根、n 次方根：平方根：若一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根．任何实数有唯一确定的立方根．正数立方根是一个正数；负数立方根是一个负数；0的立方根是0． n 次方根：如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根； 奇次方根性质：实数a偶次方根性质：正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，用“”表示；0的偶次方根是0，负数没有偶次方根． 6、 实数及运算：0⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数运算：加、减、乘、除、乘方、幂运算．7、 近似数、有效数字及科学记数法： 近似数：一个数与准确数相近(比这个准确数略多或略少)，这个数称为近似数． 有效数字：是指从左边第一个不是零的数字起往右到末位数字为止的的所有数字．科学计数法：10n N a =⨯(110a ≤<，n 为正整数)【例1】 (2015学年·奉贤区二模·第1题)如果两个实数a ，b 满足a + b = 0，那么a 、b 一定是( )A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数【难度】★ 【答案】C【解析】根据相反数的性质，互为相反数的两数和为0，反过来说和为0的两个数互为相反 数，故选C ，A 、B 表述不全． 【总结】考查相反数的性质．【例2】 (2015学年·浦东新区二模·第1题)2016的相反数是( )A ．12016B ．2016-C ．12016-D ．2016【难度】★ 【答案】B【解析】根据相反数的概念，a 的相反数为a -，故选B ． 【总结】考查相反数的概念．【例3】 (2015学年·宝山区、嘉定区二模·第1题)2-的倒数是( )A ．5-B ．2C ．12D ．12-【难度】★ 【答案】D【解析】根据倒数的概念，()0a a ≠的倒数为1a，故选D ． 【总结】考查倒数的概念．【例4】 (2014学年·黄浦区二模·第1题)下列分数中，可以化为有限小数的是( )A ．115B ．118C ．315D ．318【难度】★ 【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，A 、B 都是最简分数，不满足条件；31155=，31186=，可知C 选项满足要求．【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数．【例5】 (2015学年·松江区二模·第1题)下列各数是无理数的是( )例题解析A ．227BCD ．16【难度】★ 【答案】B是开方开不尽的数，是无理数． 【总结】考查无理数的概念和区分．【例6】 (2015学年·黄浦区二模·第1题( )A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】12<<，可知其整数部分为1，故选B ． 【总结】考查无理数的大致范围的确定．【例7】 (1)(2015学年·浦东新区二模·第7题)计算：113-=______． (2)(2015学年·黄浦区二模·第7题)计算：2-=______．(3)(2015学年·虹口区二模·第7题)当1a =时，3a -的值为______．【难度】★【答案】(1)23；(2)2；(3)2． 【解析】(1)11211333-=-=；(2)22-=；(3)313312a -=-=-=．【总结】考查有理数去绝对值的计算．【例8】 (1)(2015学年·长宁区、金山区二模·第7题)计算：23-=______． (2)(2015学年·静安区二模·第7题)计算：()32--=______．(3)(2015学年·闵行区二模·第7题)计算：22-=______．【难度】★【答案】(1)19；(2)18-；(3)4．【解析】(1)2211339-==；(2)()()331112882--===---；(3)2244-=-=． 【总结】考查负指数幂的乘方运算．【例9】 (2015学年·闸北区二模·第2题( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在【难度】★ 【答案】A4的算术平方根，即为2，故选A ． 【总结】考查开方的意义．【例10】 (2015学年·杨浦区二模·第1题)下列等式成立的是( )A 2=±B ．227π=C 322=D ．||a b a b +=+ 【难度】★ 【答案】C4的算术平方根，即为2，A 错误；227是有理数，是无限循环小数，π是 无理数，是无限不循环小数，不可能相等，B 错误；C 表示分数指数幂，正确；D 要根 据a b +与0的大小关系分类讨论，D 错误；故选C ． 【总结】考查与实数相关的计算．【例11】 (2014学年·闸北区二模·第1题)8-的立方根是( )A ．2B ．2-C ．2±D 【难度】★ 【答案】B【解析】根据()328-=-2-，故选B ． 【总结】考查有理数的立方根，注意立方根只有一个．【例12】 (2014学年·普陀区二模·第9题)． 【难度】★【答案】(13=+=． 【总结】考查简单的无理数计算法则．【例13】 (2015学年·徐汇区二模·第2题)实数n 、m是连续整数，如果n m ，那么m n +的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．13【难度】★ 【答案】C56<，可知5n =，6m =，得11m n +=，故选C ． 【总结】考查无理数范围的大致确定．【例14】 (2015学年·静安区二模·第1题)下列各数中，与112282-相等的是( )A ．122B ．126C ．124D ．3【难度】★ 【答案】A 【解析】()()1111111132222222282222222122-=-=⨯-=-⨯=，故选A ．【总结】考查分数指数幂的计算．【例15】 (1)(2015学年·普陀区二模·第1题)据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是( )A ．68.001610⨯B ．78.001610⨯C ．88.001610⨯D ．98.001610⨯(2)(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第7题)据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为____________人次．【难度】★【答案】(1)B ；(2)63.1210⨯．【解析】(1)根据科学计数法的表示方法，科学计数法的次数为首位后面所有整数部分的个 数，可知本题次数为7次，故选B ；(2)万即为410，可知312万424631210 3.121010 3.1210=⨯=⨯⨯=⨯． 【总结】考查科学计数法的表示方法．【例16】 (1)(2015学年·松江区二模·第19题)计算：201(1( 3.14)3π--+-(2)(2015学年·崇明县二模·第19题)计算：11231271)2-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】(1)11；(2)4 【解析】(1)原式)21311911112=-++⨯=+；（2）原式()()133342134214=+--+=+-=．【总结】考查实数的四则混合计算．【例17】 (1)(2015学年·长宁区、金山区二模·第19题)计算：()12121sin 45()12(31)cot 302-︒+--⋅-+︒．(2)(2015学年·闸北区二模·第19题)计算：111cos3013331-⎛⎫︒++-- ⎪-⎝⎭． (3)(2015学年·杨浦区二模·第19题)计算：011(32)()6cos303273--++︒--．【难度】★★【答案】(1)32-；(2)7232-；(3)43+．【解析】(1)原式()221213131********⎛⎫=+-+=+-++=- ⎪ ⎪-⎝⎭； (2)原式331731323222+=++--=-； （3）原式()313633343323432=++⨯--=+-=+． 【总结】考查实数和特殊角的锐角三角比结合的四则混合计算．一、 代数式1、 代数式有关概念：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．如：2n -、0.8a 、2500n +、abc 、222ab ac bc ++、3x、0、π等．二、 整式1、 整式概念：单项式和多项式统称为整式．单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或者字母也叫做单项式)．如：代数式3a 、mn -、2x 、2、π，它们都是单项式． 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．模块二：式与运算知识精讲2、 整式加减，乘除，乘方运算： (1)加减运算：合并同类项同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也叫同类项．(①所含字母相同；②相同字母的次数也相同．) (2)乘法，除法，幂的乘方，积的乘方 pqp qa a a+=，p q p qa a a-÷=，()qp pqaa =，()pppab a b =，pp p a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、 乘法公式： 平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．4、 因式分解： 把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法．三、 分式1、 分式有关概念及基本性质：(1)概念：一般地，如果两个整式A 、B 相除，即A B ÷时，可以表示为A B ．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式．A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．(2)分式有意义、无意义的条件：①分式A B 有意义的条件是：0B ≠；②分式AB无意义的条件是：0B =．(3)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：A A M A NB B M B N ⨯÷==⨯÷，其中M 、N 为整式，且0B ≠，0M ≠，0N ≠． 2、 分式加减，乘除，乘除运算3、 分数指数幂，负指数幂及有关运算：分数指数幂：n ma =0a ≥，m 、n 为正整数，1m >)n ma-=(0a >，m 、n 为正整数，1m >)负指数幂：1m ma a -=(0a ≠，m 为正整数)四、 二次根式1、 二次根式有关概念：形如a (0a ≥)的式子叫做二次根式．(1)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式． ○1被开方数中各因式的指数都为1；○2被开方数不含分母 (2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式． 2、 二次根式的性质及运算：(1)()2a a =(0a ≥)；(2)()()()20000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；(3)ab ab =(0a ≥，0b ≥)；(4)a ab b=(0a ≥，0b >)【例18】 (2015学年·闵行区二模·第1题)如果单项式22n a b c 是六次单项式，那么n 的值取( )A ．6B ．5C ．4D ．3【难度】★ 【答案】D【解析】根据单项式的次数的概念，可得216n ++=，得3n =，故选D ． 【总结】考查单项式的次数的概念，注意不要遗漏1次．【例19】 (2014学年·金山区二模·第2题)下列代数式中是二次二项式的是( )A ．1xy -B ．211x + C ．22x xy + D ．41x +【难度】★ 【答案】A【解析】二次二项式首先是整式，B 、D 错误；C 是三次二项式，选A ． 【总结】考查多项式的次数和项数的相关概念．【例20】 (2015学年·崇明县二模·第7题)购买单价为a 元的笔记本3本和单价为b 元的铅笔5支应付款______元． 【难度】★ 【答案】()35a b +．【解析】根据总价=单价×数量，可知总花费为()35a b +元，注意加上括号． 【总结】考查代数式的表示，注意一定要加上括号．例题解析【例21】 (2014学年·静安区、青浦区二模·第2题)某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了m %，那么二月份的产值(单位：万元)为( )A ．(1%)a m +B ．(1%)a m -C ．1%am +D ．1%am -【难度】★ 【答案】C【解析】设二月份产值为x 万元，则有()1%m x a +=，解得：1%ax m =+，故选C ．【总结】考查分数中的单位“1”应用问题，可用设未知数进行求解计算．【例22】 (2015学年·奉贤区二模·第2题)若x = 2，y =1-，那么代数式222x xy y ++的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【难度】★ 【答案】B【解析】()()22222211x xy y x y ++=+=-=，故选B ． 【总结】考查完全平方公式的应用，简化计算．【例23】 (2015学年·静安区二模·第8题)下列计算结果正确的是( )A ．428a a a =B ．()246a a =C ．()222ab a b =D ．()222a b a b -=-【难度】★ 【答案】C【解析】对A 选项，同底数幂的的乘法运算，42426a a a a +⋅==，A 错误；对B 选项，幂的乘方运算，()24428a a a ⨯==，B 错误；对C 选项，积的乘方运算，C 正确；对D 选项，完全平方公式，()2222a b a b ab -=+-，D 错误；故选C ． 【总结】考查幂的运算．【例24】 (1)(2015学年·闸北区二模·第7题)计算：52a a ÷=______． (2)(2015学年·徐汇区二模·第7题)计算：3242a b ab ÷=______． (3)(2015学年·徐汇区二模·第8题)计算：2(3)m m -=______．(4)(2014学年·长宁区、金山区二模·第8题)计算：()23m n -=______．【难度】★【答案】(1)3a ；(2)22a b ；(3)226m m -；(4)62m n ．【解析】(1)52523a a a a -÷==；(2)()323121242422a b ab a b a b --÷=÷=；（3）22(3)22326m m m m m m m -=⋅-⋅=-；(4)()()2233262m n m n m n -=⋅=．【总结】考查幂的运算和整式的乘法计算．【例25】 (1)(2015学年·闸北区二模·第8题)分解因式：236x x -=______． (2)(2015学年·长宁区、金山区二模·第8题)分解因式：229x y -=______． (3)(2015学年·普陀区二模·第7题)分解因式：22ma mb -=______．(4)(2015学年·奉贤区二模·第8题)分解因式：2215x x --=______．【难度】★【答案】(1)()32x x -；(2)()()33x y x y +-；(3)()()m a b a b +-；(4)()()53x x -+． 【解析】(1)提公因式法：()23632x x x x -=-；(2)公式法，平方差公式：()()()22229333x y x y x y x y -=-=+-； (3)先提公因式，后用平方差：()()()2222ma mb m a b m a b a b -=-=+-； (4)十字相乘法：()()221553x x x x --=-+．【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．【例26】 (2015学年·闸北区二模·第1题)下列代数式中，属于分式的是( )A ．3-B ．12a b -C ．1x D ．34a b -【难度】★ 【答案】C【解析】根据分式的概念，分母含有未知数的代数式是分式，可知选C ． 【总结】考查分式的概念．【例27】 (2015学年·静安区二模·第8题)如果分式242x x -+的值为零，那么x 的值为______．【难度】★ 【答案】2【解析】分式值为0，则有24020x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得：2x =．【总结】考查分式值为0的条件，注意分母一定不能为0．【例28】 (1)(2015学年·杨浦区二模·第7题)计算：b aa b b a+=--______．(2)(2015学年·闸北区二模·第9题)化简分式：226x x x -+-=______．【难度】★ 【答案】(1)1-；(2)13x +． 【解析】(1)原式()1a b b a b a a b a b a b a b ---=-===-----； (2)原式()()21323x x x x -==+-+． 【总结】考查分式的化简和加减计算．【例29】 (2015学年·松江区二模·第2题)下列式子中，属于最简二次根式的是( )ABCD【难度】★ 【答案】D【解析】根号中不含有开方开的尽的数或字母的式子是最简二次根式，且不能含有分母，=3=，可知A 、B 、C 都不是最简二次根式，选D ． 【总结】考查最简二次根式的概念．【例30】 (2015学年·奉贤区二模·第7题)=______． 【难度】★【答案】= 【总结】考查二次根式的化简计算．【例31】 (2015学年·长宁区、金山区二模·第1题)是同类二次根式的是( )ABCD【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，A选项被开方数是2a2==，是同类二次根式，故选C ．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．【例32】 (1)(2015学年·杨浦区二模·第7题)b 的一个有理化因式：________．(2)(2015学年·闵行区二模·第2题)( )ABC 1+D 1【难度】★【答案】(1)b ；(2)B【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两个式子互为有理化因式，可知(1)答案不唯一，一般改变式子各项中间的符号，b ，根据平方差公式，可知积不含有根号，可知两式互为有理化因式；(2)类型选择这个根式的倍数，故选B ．【总结】考查有理化因式的概念．【例33】 (2015学年·浦东新区二模·第2题)x 的值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，可知23x x +=，解得：1x =，故选C ． 【总结】考查根据同类二次根式的概念求解未知数的值．【例34】 (2015学年·闵行区二模·第1题)在实数范围内分解因式：32a a -=______． 【难度】★★【答案】(a a a ．【解析】()(3222a a a a a a a -=-=．【总结】考查在实数范围内分解因式，在方程有实数根的前提下可在实数范围分解因式， 即()()212ax bx c a x x x x ++=--．【例35】 (2015学年·黄浦区二模·第19题)化简求值：221412x x x x x x-+--+，其中1x ． 【难度】★★【答案】化简结果为1x x+，代值计算得：2+ 【解析】化简分式，原式()()()221121121x x x x x x x x x x x x+-+++=⋅-=-=-+，将1x 代入，即得)112x x +==．18 / 27【总结】考查分式的化简和代值计算．【例36】 (2015学年·静安区二模·第19题)先化简，再求值：2222211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中51a =+，51b =-．【难度】★★ 【答案】化简结果aba b+，代值计算得25．【解析】化简分式，原式()()()2a b a b a b ab ab a b a b ab a b a b a b---=÷=⋅=+-+-+，将51a =+，51b =-代入，即得()(()()515125255151aba b+-===+++-． 【总结】考查分式的化简和代值计算．【例37】 (2015学年·宝山区、嘉定区二模·第19题)化简，再求值：x x x x x x -⎛-÷⎪+⎭，其中22x =+． 【难度】★★ 【答案】化简结果1xx -，代值计算得2． 【解析】化简分式，原式221x xxx xx x x x x x x =⋅==--+-， 将22x =+代入，即得()()22222121221x x +==+-=-+-．【总结】考查分式的化简和代值计算．【习题1】 下列分数中，能化为有限小数的是( )A ．327B ．214C ．1352D ．115【难度】★ 【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，D 是最简 分数，不满足条件；31279=，21147=，131524=，可知C 选项满足要求．【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数．随堂检测【习题2】 (2014学年·闵行区二模·第1题)下列各数中，是无理数的是( )AB ．2πC ．247 D 【难度】★ 【答案】B【解析】根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，π是无理数，2π也是无理数． 【总结】考查无理数的概念和区分．【习题3】 (2015学年·虹口区二模·第1题)计算3(2)-的结果是( )A ．6B ．6-C ．8D ．8-【难度】★ 【答案】D【解析】()()()()322228-=-⨯-⨯-=-，故选D ． 【总结】考查乘方的意义和相关计算．【习题4】 (1)(2014学年·长宁区、金山区二模·第7题)计算：129- =______． (2)(2014学年·闸北区二模·第7题)计算：22-=______． (3)(2014学年·闵行区二模·第7题)计算：124=______．(4)(2014学年·浦东新区二模·第7题)2=______．【难度】★【答案】(1)13；(2)14；(3)2；(4)2【解析】(1)12193-==；(2)2211224-==；(3)1242=；22= 【总结】考查分数指数幂和负数指数幂的相关计算．【习题5】 (2014学年·闸北区二模·第8题)用科学记数法表示：3402000 = ________． 【难度】★【答案】63.40210⨯．【解析】根据科学计数法的表示方法，科学计数法的次数为首位后面所有整数部分的个数， 可知本题次数为6次，即63402000 3.40210=⨯． 【总结】考查科学计数法的表示方法．【习题6】 (2014学年·浦东新区二模·第1题)下列等式成立的是( )A ．2222-=-B ．632222÷=C ．325(2)2=D ．021=【难度】★【答案】D【解析】对A 选项，负指数幂，2211224-==，224-=-，A 错误；对B 选项，同底数幂的 除法，636332222-÷==，B 错误；对C 选项，幂的乘方，()23326222⨯==，C 错误； 对D 选项，任何非零数的零次幂都等于1，D 正确． 【总结】考查幂的相关计算．【习题7】 (2015学年·浦东新区二模·第2题)下列各整式中，次数为5次的单项式是( )A ．4xyB ．5xyC ．4x y +D ．5x y +【难度】★ 【答案】A【解析】C 、D 是多项式，错误；根据单项式次数的概念，所以字母的指数和是单项式的次 数，A 选项次数为145+=，B 选项次数为156+=，故选A ． 【总结】考查单项式的次数的概念．【习题8】 (2015学年·黄浦区二模·第2题)下列计算中，正确的是( )A ．()325a a =B ．321a a ÷=C ．224a a a +=D ．43a a a -=【难度】★ 【答案】D【解析】对A 选项，幂的乘方，()32236a a a ⨯==，A 错误；对B 选项，同底数幂的除法，3232a a a a -÷==，B 错误；对C 选项，合并同类项计算，()2222112a a a a +=+=，C错误；对D 选项，合并同类项计算，()4343a a a a -=-=，D 正确． 【总结】考查幂的乘法和合并同类项的相关计算．【习题9】 (2014学年·奉贤区二模·第7题)用代数式表示：a 的5倍与b 的27的差：___________． 【难度】★ 【答案】257a b -．【解析】略．【总结】考查代数式的表示，注意连接词表示的先后顺序．【习题10】 (1)(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第8题)计算：2(2)x x --=______．(2)(2015学年·黄浦区二模·第9题)计算：()()22a b a b +-=_____．【难度】★【答案】(1)224x x -+；(2)224a b -．【解析】(1)原式()()222224x x x x x =⋅--⋅-=-+；(2)()()()22222224a b a b a b a b +-=-=-．【总结】考查整式的乘法计算和乘法公式的应用．【习题11】 (1)(2015学年·奉贤区二模·第8题)因式分解：2a a -=______． (2)(2014学年·黄浦区二模·第8题)因式分解：2288x x -+=______． (3)(2014学年·金山区二模·第9题)因式分解：3x x -=______． (4)(2014学年·静安区、青浦区二模·第8题)分解因式：2269x xy y -+=________________．【难度】★【答案】(1)()1a a -；(2)()222x -；(3)()()11x x x +-；(4)()23x y -．【解析】(1)提公因式法：()21a a a a -=-；(2)先提公因式，后完全平方：()()()22222288244222222x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅+=-； (3)先提公因式，后用平方差：()()()32111x x x x x x x -=-=+-；(4)公式法，完全平方公式：()()22222692333x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-． 【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．【习题12】 (2015学年·黄浦区二模·第3题)( )ABCD【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，=C ．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．【习题13】 (2014学年·闵行区二模·第2题)二次根式a +( )A ．2(a +B ．2(aC ．aD ．a 【难度】★ 【答案】C【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两个式子互为有理化因式，可知答案不唯一，一般改变式子各项中间的符号，即选择b ，根据平方差公式，可知积不含有根号，故选C ．【总结】考查有理化因式的概念．【习题14】 (1)(2014学年·黄浦区二模·第19题)计算：)1134811-+-+-．。
初一数学辅导：数与式的基础知识讲解
初一数学辅导：数与式的基础知识讲解1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
中考复习第一章 数与式讲义
第一章 数与式第一节 实数[知识要点]实数的分类1、实数相关概念 （1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
a （a ≠0）的倒数为.（2）相反数：若a 、b 互为相反数，则a+b=0 或a=-b（3） 绝对值：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2、科学记数法把一个数记成±a ³10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数）3、实数运算（平方、绝对值、特殊角三角函数值、负指数幂）（1）乘方：几个相同因数的积（2）0次幂：10=a （a ≠0）（3）负整数指数：nn a a 1=-（a ≠0，n 为正整数） （4）特殊角的三角函数值sin30°=1/2 cos30°=√3/2 tan30°=√3/3 sin45°=√3/3 cos45°=√2/2 tan45°=1sin60°=√3/2 cos60°=1/2 tan60°=√3运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算从左向右进行，有括号，先做括号内运算，按小括号、中括号、大括号进行。
4、实数大小比较（1）差值比较法：①a-b>0⇔a>b ②a-b<0⇔a<b ③a-b=0⇔a=b（2）平方比较法：a>b>0b >⇔a例题：1.下面的数中，与-3的和为0的是 ………………………….（ ） A.3 B.-3 C.31 D.31- 2、—2的倒数是（ ）A 、—21 B 、21 C 、2 D 、—23、2-的绝对值是（ ）A ．2-B ．2C ．22-D ．22 4、安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（ ）A.3804.2³103B.380.42³104C.3.842³106D.3.842³1055、用科学记数法表示537万正确的是（ ）A 、537³104B 、5.37³105C 、5.37³106D 、0.537³1076、火星和地球之间的距离为34，000，000千米，用科学记数法表示为（ ）A 、0.34³108千米B 、3.4³106千米C 、34³106千米D 、3.4³107千米7、计算32)2(x -的结果是（ ）A.52x -B. 68x -C.62x -D.58x -8、下列运算正确的是（ ）A 、2x+3y=5xyB 、5m 2²m 3=5m 5C 、（a —b ）2=a 2—b 2D 、m 2²m 3=m 69、计算：2sin300+（—1）2—22-10、911)1(8302+-+--+-π 11、－2，0，2，－3这四个数中最大的是（ ）A.－1B.0C.1D.2第二节 整式1、代数式把问题中与数量有关的词语用含数、字母运算符号的式子表示出来。
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核心考点一：实数的概念及其分类知识点回顾：请你解答下列问题：1、在实数3.14、41、2、0、•3.0、0.00182732…、1+π、30sin 、3-、4中有理数有；无理数有 。
2、（03年）实数722，sin30º，2+1，2π，(3)0，|-3|中，有理数有 。
3、把下列各数分别填写在相应的括号内：0.555-，2π，0， 3.151551555-39 45tan ，227，(0π 3.1415926，30cos ，()23-。
自然数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正实数集合{ } 分数集合 { } 负无理数集合{ }核心考点二：实数的有关概念及性质请你解答下列问题：1、（1）3-的绝对值等于 ；（2）=-21 。
2、2的倒数是 ；（2）2-的倒数是 ；（3） 倒数为。
3、（1）12-的相反数是 ；（2的相反数是 ；（31-的相反数是 。
4、如右图，a 、b 为有理数，下列表述准确的是（ ）A 、0,0a b >>B 、a b <C 、a b -<-D 、0a b +< 5、数a 、b 在数轴上表示如右图所示，则下列结论错误的是（ ） A 、0a b +< B 、0ab < C 、a b <D 、0a b -<6、若数a在数轴上对应的点如右图所示，则化简1a +的结果是（ ） A 、1a + B 、1a -+ C 、1a - D 、1a --7、如右图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a 、a -、1的大小关系表示正确的是（ ） A 、a ＜1＜a - B 、a ＜a -＜1 C 、1＜a -＜a D 、a -＜a ＜18、（05年）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2a b a --的结果是（ ） A 、2a -b B 、b C 、-b D 、-2a +b核心考点三：平方根、算术平方根、立方根请你解答下列问题：1、（1）4的平方根是 ；（2）49的算术平方根是 ；（3）若x 的立方根是3-，则x = 。
2、（1的算术平方根是 ；（2的平方根是 ；（3）﹣8的立方根是 。
3、（1）169的平方根为 ；（2）14的算术平方根为 ；（3）若25x =，则x = 。
4、（1）0的平方根是 ；（2的算术平方根是 ；（3）9的立方根是 。
5、一个数的平方根分别为1x +、5x -，则x = ，这个数是 。
6、（1）49的平方根是 ；（2）125的立方根是 。
7、（1）平方根等于本身的实数是 ；（2）立方根等于本身的实数是 。
8、()29-的平方根是x ，64的立方根是y ，则x y +的值为 。
9、下列各式中无意义的是（ ）A B C D 10、下列正确的是（ ）A 、无限小数都是无理数B 、无理数是无限小数C 、负数也有平方根D 、负数没有立方根 11、下列说法正确的是（ ）A 、任意数的算术平方根都是非负数B 、0.01是0.1的算术平方根C 4=，则4x =D 无论取任何数都有意义核心考点四：非负数问题请你完成下列题目：1、若20x -+=，则x = ，y = ，x y = 。
2、若30a -+=，则a b +＝ 。
3、已知x ，y ()2320y +-=，则x y -= 。
4、如果()0642=++-y x ，那么=+y x 。
5、032=++-b a ，则()=-2b a 。
6、()01222=-+-y x ，则=++3232y x 。
7、如果()0522=-++-y x x ，则()=-yx 。
8、已知()2230x z -+-=，则()zxy = 。
9、0473=-+-+x y x ，则=-y x 。
100+=，则100101a b += 。
11、已知：a 、b 、c 是△ABC +=（ ）A 、22a b -B 、22b a -C 、2cD 、2c -核心考点五：近似数、科学计数法与有效数字请你解答下列问题：1、（06年）今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿精确到（ ）A 、百亿位B 、亿位C 、百万位D 、百分位2、（09年）经公安部交管局统计，今年5月份全国因道路交通事故造成伤亡共25591人、这个数据用科学记数法可以表示为（ ）A 、52.559110⨯ B 、325.59110⨯ C 、42.559110⨯ D 、62.559110⨯ 3、（11年）今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（ ） A 、5.6×103 B 、5.6×104 C 、5.6×105 D 、0.56×1054、（07年）今年参加我市初中毕业生学业考试的考生总数为45730人，这个数据用科学记数法表示为（ ） A 、50.457310⨯ B 、44.57310⨯ B 、44.57310-⨯ D 、34.57310⨯5、（10年）为保护水资源，某社区新建了雨水再生工程，再生水利用量达58600立方米/年。
这个数据用 科学记数法表示为（保留两个有效数字）（ ）A 、58×103B 、5.8×104C 、5.9×104D 、6.0×104 6、（03年）实数695600保留2位有效数字的近似数是（ ）A 、690000B 、700000C 、6.9×105D 、7.0×1057、（05年）长城总长约为6700010米，用科学记数法表示是（保留两个有效数字）（ ） A 、6.7×105米 B 、6.7×106米 C 、6.7×107米 D 、6.7×108米8、（08年）2008年北京奥运会全球共选拔21880名火炬手，创历史记录、将这个数据精确到千位， 用科学记数法表示为（ ）A 、31022⨯ B 、5102.2⨯ C 、4102.2⨯ D 、51022.0⨯核心考点六：代数式及其书写要求请你解答下列问题：1、按上面要求， 将下列各代数式改写成正确的书写格式：（1）()2b ⨯-应写成 ； （2）212b a ⨯⨯应写成 或 ；（3）()()25m n a +⨯⨯-应写成 ；（4）123ab ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭应写成 或 ；（5）()()2132a b c ⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭应写成 或 。
（6）2b ÷应写成 ； （7）()()3a b -÷-应写成 ； （8）()22m n a +÷应写成 ； （9）()()213x a b -÷-应写成 ； （10）()()221b n ⨯-÷+应写成 。
2、下列各式中，符号符合代数式书写格式的是（ ）A 、22x y ⨯B 、2m n C 、2113xy D 、ab c ÷ 3、下列各代数式书写格式正确的是 （把正确的序号填在横线上 ①132x ； ②()4x y +÷； ③()5m -克； ④3b ； ⑤12s s t t -米/秒。
核心考点七：公式的探求与应用1、（05年）已知：212212+=⨯，323323+=⨯，434434+=⨯，……，若1010+=⨯b a b a （a 、b 都是正整数），则b a +的最小值是 。
2、（06年）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分 别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、 5、8、13、21……这就是著名的斐波那契数列、那么小聪上这9级台阶共有_____________种不同方法、3、（08年）观察表一，寻找规律、表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a +b 的值为4、（09年）下面是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2009个图案与第1~4个图案中相同的是 （只填数字）5、（10年）观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是： 。
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256。
6、（11年）如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n 个图形的周长是＝_________。
（1） （2） （3） （4） …… 7、（07年）邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：第1个第2个第3个第4个第5个第6个………表一表二表三那么，当输入数据是7时，输出的数据是 。
核心考点八：整式的概念请你解答下列问题：1、下列说法中，正确的是（ ）A 、x 的系数是0B 、x 的次数是0C 、3x 的系数是1 D 、3x的次数是 2、多项式522+ab 的次数和项数分别为（ ）A 、次数为3，项数为2B 、次数为5，项数为2C 、次数为3，项数为3D 、次数为5，项数为1 3、若122--n ymx 是关于x 、y 的5次单项式，且系数为3-，则m = ，n = 。
4、已知关于x 的多项式()232+++mx x m 的一次项系数为5-，则这个多项式为 。
5、要使多项式()23523222-+--+y z yz b y a 中不含yz 项，则=b 。
6、已知243x 与nx 25是同类项，则n = 。
7、若43y x a与bxy2-是同类项，则a = ，b = 。
8、（07年）若单项式22mx y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 。
9、若113a b a x y +--与23x y 是同类项，则a b -= 。
核心考点九：因式分解的概念请你解答下列问题：1、下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(2)(2)4a a a +-=- B ．()()2277a b a b a b -+=+-+C ．2243(2)1x x x ++=+-D ．241(21)(21)a a a -=+- 2、下列各题从左到右的变形是分解因式的是( )A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．222)(2y x xy y x -=-+C ．1)2(122+-=+-x x x x D ．)()(y x n y x m ny nx my mx +++=+++ 3、若6)3)(2(2-+=-+mx x x x ，则m 的值为 。
4、()()22x y x y --+是下列哪个多项式的分解结果( )A ．224x y - B ．224x y + C ．224x y -- D ．224x y -+ 5、（1）()()()26 24x x x x -+=--； （2）()()()22045x x x +-=-+6、如果二次三项式26x ax +-可分解为()()23x x +-，则a 的值为 。