指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an na a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ ()10,nn aa n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn aa m n Z =∈（3）()()nnnab a bn Z =⋅∈其中m n m nm n a a a aa --÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a x n=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100 0=；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ．5．例题分析：例1．求下列各式的值： （1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）例2．已知,0<<b a *∈>N n n ,1， 化简：()()n nn nb a b a ++-．（二）分数指数幂1．分数指数幂：()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()nk kn aa =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr r s a a a r sQ =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：2a 3a例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；例3．计算下列各式：（1）（2)20a >．（三）综合应用例1．化简：11555x x x -+++.例2．化简：)()(41412121y x y x -÷-.例3．已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数及这两种情况下的图象和性质：例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）y =（3）3xy -=例2．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。

例3．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

即ba N =， log Nb =说明：1． 在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）2． 对任意 0>a 且 1a ≠, 都有 01a = ∴log 10a =，同样：log 1a a =．3．如果把ba N =中的b 写成log a N ， 则有 log a NaN =（对数恒等式）．3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底 10log N 写成 lg N②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ，log e N 写成 ln e ．例2．（1）计算：9log 27，（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．4．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log aa a MM N N=； （3）log log ()na a M n M n R =∈．例3．计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ；5．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则xa N =，两边取以m 为底的对数得：log log xm m a N =，∴log log m m x a N =，从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===． 例4．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+．例5．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）． ．例6．设1643>===t zyx，求证：yx z 2111=-．四、对数函数1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =（图1）与x y 21log =（图2）为例。

（3）对数函数性质列表：1 12xy = 2log y x = y x = （图1） 111()2x y =12log y x =y x =（图2）（1）2log x y a =；例2．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （3）log 5.1a ，log 5.9a .例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n<，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <，∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<．(1,0)(1,0)1x =1x =log a y x =log a y x =例5．求下列函数的值域：（（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．例6．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

例7．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。

指数函数和对数函数单元测试一 选择题 1. 如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是 【 】A 01a b <<<B 1a b <<C 01b a <<<D 1b a << 2. 已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图象必定不经过 【 】A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 【 】A y =B log a xy a = (0a >，且0)a ≠C 2/y x x =D log xay a =(0a >，且0)a ≠（ ）5.已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是 【 】A (0,2)B (1,2)C (1,2]D [2,)+∞ 6. 已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(,0)-∞，则它的定义域是 【 】A {|2}x x <B {|02}x x <<C {|04}x x <<D {|24}x x << 7.已知函数20.5()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞是减函数，则实数a 的取值范围是 【 】A (,4]-∞B [4,)+∞C (4,4]-D [4,4]-8. 设713=x，则 【 】 A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<19. 函数2()lg(32)f x x x =-+的定义域为E ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为F ，则【 】A E F φ⋂=B E F =C E F ⊆DEF ⊇ 11. 已知c a b 212121log log log <<，则 ( )A ．c a b222>>B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>>12.函数2()lg(31)f x x =+的定义域是 （ ） A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞- 二 填空题13. 计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝ ．14.y =______ 。