对数函数知识点总结
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
对数函数的知识点总结
对数函数的知识点总结# 对数函数的知识点总结对数函数是数学中的一种基本函数，它在科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。
以下是对数函数的核心知识点总结：## 定义对数函数通常表示为 \( \log_b(a) \)，其中 \( a \) 是真数，\( b \) 是底数。
它表示的是底数 \( b \) 需要被乘以自身多少次才能得到 \( a \)。
## 基本性质1. 底数大于0：对数函数的底数 \( b \) 必须大于0且不等于1。
2. 真数大于0：对数函数的真数 \( a \) 必须大于0。
3. \( \log_b(1) = 0 \)：任何底数的1的对数都是0。
4. \( \log_b(b) = 1 \)：任何底数的自身的对数都是1。
5. \( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)：对数的指数法则。
## 特殊对数- 自然对数：底数为 \( e \)（约等于2.71828），表示为 \( \ln(a) \)。
- 常用对数：底数为10，表示为 \( \log(a) \)。
## 运算法则- 乘法法则：\( \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \)- 除法法则：\( \log_b(\frac{a}{c}) = \log_b(a) - \log_b(c) \) - 幂法则：\( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)- 换底公式：\( \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} \)## 图像特征- 对数函数的图像是一条从左下角到右上角无限延伸的曲线。
- 当 \( a > 1 \) 时，对数函数是递增的。
- 当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数是递减的。
- 对数函数的图像永远不会与x轴相交。
## 应用- 解指数方程：通过取对数转换为线性方程。
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数计算知识点归纳总结
对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。
设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。
2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。
例如，在对数表达式log28中，2是底数，8是真数，3是对数。
3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。
在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。
4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。
常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。
二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。
对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。
对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。
3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。
4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。
对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。
三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。
对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。
2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。
对数相关知识点总结
对数相关知识点总结一、对数的概念1. 对数的定义对数是一种数学运算，用来表示一个数在指数运算中的幂。
例如，如果a^x = b，那么x称为以a为底b的对数，记作x= log(a)b。
2. 对数的性质（1） log(a)1 = 0（2） log(a)a = 1（3） log(b)a = 1/log(a)b（4） log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)（5） log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)3. 对数的底常见的对数底有自然对数底e和常用对数底10。
自然对数底e约等于2.71828，常用对数底10。
二、对数的运用1. 对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，尤其在指数函数、微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
2. 对数方程对数方程是指含有对数的方程，例如log(x+2) = 2。
对数方程的解法通常是先化为指数方程，然后解出方程的根。
3. 对数不等式对数不等式是指含有对数的不等式，例如log(x+2) < 2。
对数不等式的解法通常是先将其转化为指数形式，然后求出解。
4. 对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，例如y = log(x)。
对数函数的图像通常为单调增加的曲线，与指数函数互为反函数。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数对数底为10的对数称为常用对数，通常用log表示，例如log(x)。
常用对数在计算中有着广泛的应用。
2. 自然对数对数底为e的对数称为自然对数，通常用ln表示，例如ln(x)。
自然对数在微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
3. 常用对数和自然对数的换底公式常用对数和自然对数的换底公式是log(a)b = ln(b)/ln(a)。
利用换底公式可以方便地转化对数的底。
四、对数的运算1. 对数的加减法对数的加减法规则是log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)、log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)。
对数及其知识点总结
对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。
正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。
换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。
（2）对数函数的值域为实数。
（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。
（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。
当x=a时,y=1。
（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。
二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。
（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。
2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。
换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。
3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。
（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。
4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。
对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。
三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。
在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。
常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。
2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。
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对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2x N N a a x=⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2=N Ma log M a log －N a log ； ○3na M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
解：（1）125xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴115()log (2)f x x -=+(-2)x >；（2） 211-22x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-1()f x =5(2)2x <<．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a .解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7； （3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数，于是log 5.1a <log 5.9a ， 当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，于是log 5.1a >log 5.9a ． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3．解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． (3）∵0.901.11.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=， 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9．（4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例7．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令23t x =-，则03t <≤， ∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2247(2)33t x x x =-+=-+≥， 当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞，当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例8．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()log )f x x -=2log =-2log =-2log ()x f x =-=-，所以，()f x 为奇函数。
例9．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。
解：令223132()24u x x x =-+=--在3[,)2+∞上递增，在3(,]2-∞上递减，又∵2320x x -+>， ∴2x >或1x <，故232u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵132log y u =为减函数，所以，函数2132log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。
例10．若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。
解：令2()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数，∴2()u g x x ax a ==--在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，∴12(10ag ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得22a -≤≤， 所以，a的取值范围为[22]-． 【例1】 (1)y =log (2)y =11log (a 0a 1)(3)f(x)[01]y =f[log (3x)]12a 13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义3221x x x a ---+()解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log ()()1232210322102103221132210121210122312x x x x x x x x x x x x x x x -----⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒121122312231＜≤＜或＞≠＜≤x x x x x ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒ ∴所求定义域为＜≤ {x|23x 1}解 (2)∵1－log a (x ＋a)＞0，∴log a (x ＋a)＜1． 当a ＞1时，0＜x ＋a ＜a ，∴函数的定义域为(－a ，0)． 当0＜a ＜1时，x ＋a ＞a ，∴函数的定义域为(0，＋∞)． 解 (3)f(x)[01]y =f[log (3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log (3x)1log log (3x)log 13133x 12x y =f[log (3x)][2]131313131318383【例2】 y =10x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110+x域和值域．解 y =10y 1y =10(1y)10=y 10=y1y00y 1x xx x 已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R 110110++-⇒x x由得，即反函数．10=y 1y x =lg y 1y f (x)=lg x 1xx 1---- 反函数的定义域为(0，1)，值域为y ∈R ．【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)(2)y=log 2|x ＋1|(3)y =|log (x 1)|(4)y log (1x)122－，＝－．解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx 的图像关于y 轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．解 (2)先作出函数y=log 2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y ＝log 2|x ＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．解 (3)y =log x 1y =log (x 1)1212把的图像向右平移个单位得到－的图像，保留其在x轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－x y =|log (x 1)|28512所示单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解 (4)∵函数y=log 2(－x)的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2(－x)的图像，再把y ＝log 2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log 2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=log a x ②y=log b x ③y=log c x ④y=log d x 的图像，那么a 、b 、c 、d 的大小关系是[ ]A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．b ＞a ＞d ＞cD ．b ＞c ＞a ＞d解 选C ，根据同类函数图像的比较，任取一个x ＞1的值，易得b ＞a ＞1＞d ＞c ． 【例5】 已知log a 3＞log b 3，试确定a 和b 的大小关系．解法一 令y 1=log a x ，y 2=log b x ，∵log a x ＞log b 3，即取x ＝3时，y 1＞y 2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当log a 3＞log b 3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b ＞a ＞1． (2)当0＞log a 3＞log b 3时，由图像2．8－9，得0＜a ＜b ＜1． (3)当log a 3＞0＞log b 3时，由图像2．8－10，得a ＞1＞b ＞0．【例6】 a b a 1log log log a log b 2ab b a 若＞＞＞，则、、、的大小a b ba顺序是：_____．解 a b a 1011log a b 0log ba00log a 1log b 1a b a 1a 1log log a 1log log log a log b 2a b b a 2b b a b b a ∵＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．a b b a b a baa b ba【例8】 f(x)=log (x )(a 0a 1)a 已知函数＋＞，且≠，判断其12 x 奇偶性．解法一 已知函数的定义域为R ，则－x ∈Rf(x)=log (1+x x)=log a 2a－－()()111222+-++++x x x x x x=log =log =log a aa 1111122222+-++++-++=-x x x x x xx x f x ()()∴f(x)是奇函数．解法二 已知函数的定义域为R由＋－＋＋－f(x)f(x)=log (1+x x)log(1+x x)=log 1+x 1+x a 22a 22[()()]+-x x=log a 1=0∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．单元测试一、选择题（每小题5分，共50分）.1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是（ ）A ．)5,(-∞B ．(2,5)C ．),2(+∞D ． )5,3()3,2( 2．如果lgx=lga+3lgb －5lgc ，那么（ ）A ．x=a+3b －cB ．cabx 53=C ．53cab x = D ．x=a+b 3－c 33．设函数y=lg(x 2－5x)的定义域为M ，函数y=lg(x －5)+lgx 的定义域为N ，则（ ）A ．M ∪N=RB ．M=NC ．M ⊇ND ．M ⊆N4．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 21log =ln2，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．log a b ＜a 21logB ．log a b=a 21logC ． log a b ＞a 21logD ．log a b ≤a 21log5．若函数log 2(kx 2+4kx+3)的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,( 6．下列函数图象正确的是（ ）A B C D 7．已知函数)(1)()(x f x f x g -=，其中log 2f(x)=2x ，x ∈R ，则g(x) （ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数9．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．｜a ｜＞1B ．｜a ｜＜2C ．a 2-<D ．21<<a10．下列关系式中，成立的是（ ）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ． 4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>二、填空题：（每小题6分，共24分）. 11．函数)2(log 221x y -=的定义域是，值域是.12．方程log 2(2x +1)log 2(2x+1+2)=2的解为.13．将函数xy 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y=x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为. 14．函数y=)124(log 221-+x x 的单调递增区间是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）已知函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=. (1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16．（12分）设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z . (1)求证：yx z 2111=-; (2)比较3x ，4y ，6z 的大小.17．（12分）设函数)1lg()(2++=x x x f .(1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数； (4)求函数f(x)的反函数.18．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.20．（14分）已求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的单调区间.必修1数学章节测试（7）—第二单元（对数函数）一、DCCAB BDBDA二、11． (][)2,112 --， [)+∞,0； 12．0； 13．1)1(log 2--=x y ； 14． )2,(--∞；三、15． 解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)；当1＜p ≤3时，f (x)的值域为(－∞，1+log2(p+1)).16． 解：(1)设3x =4y =6z =t. ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴t ＞1，lgt ＞0，6lg lg ,4lg lg ,3lg lg log 3t z t y t t x ==== ∴y t t t tx z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-.(2)3x ＜4y ＜6z .17．解： (1)由⎪⎩⎪⎨⎧≥+>++010122x x x 得x ∈R ，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则11lg )()(22221121++++=-x x x x x f x f . 令12++=x x t ，则)1()1(22221121++-++=-x x x x t t . =)11()(222121+-++-x x x x =11))(()(2221212121++++-+-x x x x x x x x =1111)((222121222121++++++++-x x x x x x x x∵x 1－x 2＜0，01121>++x x ，01222>++x x ，0112221>+++x x ，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴1021<<t t ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f(x)在R 上是单调增函数.(4)反函数为xx y 1021102⋅-=(x ∈R). 18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯；2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈ 由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >， ∴8lg 3lg 2x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--，∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.19．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v=t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59; S ⎥⎦⎤ ⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数， 所以复合函数S=f(t) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数 （3）由（2）知t=1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-== 20．解：由2x x ->0得0<x<1，所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是(0,1)因为0<2x x -=4141)21(2≤+--x ， 所以，当0<a<1时, 41log )(log 2a a x x ≥- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ; 当a>1时, 41log )(log 2a a x x ≤- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41log ,a 当0<a<1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是增函数； 当a>1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是减函数.。