离散数学作业(1)

***********2020 春课件作业***********

第一部分集合论

第一章集合的基本概念和运算

1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题） [A] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。

1-2 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）

（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，［错］

（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。［错］

第二章二元关系

2-1 设 A = {1，2，3}，A 上的关系 R = {〈3，2〉，〈2，3〉}∪IA，

试求：（综合题）

(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。

（4）商集 A/R =？（5）A 的划分∏=？（6）合成运算（R 。R）=？

答：R = {<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}；

(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};

(2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}；

(3)R 的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R 不是等价关系。

（4）商集A/R = {{1，2，3}，{2，3}，{3}}。由于R 不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。这是不允许的。请看下面的划分问题。

（5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢所以，关系 R 必须是等价关系。至于作业中，此两题应说：因为R 不是等价关系，此题无解2-2设S ={1，2，3}，S上的关系R 如下：R = {〈x，y〉︱x < y }，

试完成下列要求:

1、给出R 的所有元素。R={〈1,1>,<2,2>,<3,3>}

2、给出domR 的表达式。domR ={1，2，3}

3、给出ranR 的表达式。ranR ={1,2,3}

4、指出R 的性质。性质为:自反,对称,传递

2-3 设S ={3，1，2}，S上的关系R 如下：R = {〈x，y〉︱x > y }，

试完成下列要求:

1、给出R 的所有元素。R= {（3,3）,（1,1）,（2,2） }

2、给出domR 的表达式。domR = {3,1,2}//前域

3、给出ranR 的表达式。ranR = {3,1,2}

4、指出R 的性质。

答：自反性,传递性,对称性,反对称性

第三章结构代数(群论初步)

3-1 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算“。”，对于所有 x，y ∈Z 都有 x 。y = x + y

试问？在 Z 上二元运算。〈Z ，。〉能否构成代数系统，

何种代数系统？为什麽？（综合题）答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为 0，所以为幺半群。(经解联立方程组).

4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = – x *(解联立方程组得到)

5、结论：构成群。

3-2 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算“。”，对于所有 x，y ∈Z 都有 x 。y = x - y

试问？在 Z 上二元运算。〈Z ，。〉能否构成代数系统，

何种代数系统？为什麽？（综合题）

答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为0，所以为幺半群。(经解联立方程组).

4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = – x *(解联立方程组得到)

5、结论：构成群。

3-3 设 N 为自然数集合，在 N 上定义二元运算“。”，对于所有 x，y ∈ N 都有

x 。y = x + y

试问〈N ，。〉能否构成何种代数系统，为什麽？（综合题）

3-4 设 N 为自然数集合，在 N 上定义二元运算“。”，对于所有 x，y ∈ N 都有

x 。y = x - y

试问? 能否构成何种代数系统，为什麽？（综合题）

第二部分图论方法

第四章图 (是非题)

4-1 无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点。 [非]

第五章树

5-1 给出传输 GOODBYE 的最佳前缀码

每个字母出现频率分为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；

(也可不归一化,以字符出现的次数为频率).

1、最优二元树 T；

2、每个字母的码字；

3、二进制码多少个； 4.等长码共多少位?

编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。

G,D,B,E 分别用3位二进制码，共12 位。加上 Y =用2位。再加上两个O的4位。总共18位。用树的权W(T)= 累加 wixhi( 即每片树叶的权x树叶的高度，加在一起) =

1x3+1x3+1x3+1x3+1x2+2x2 = 18

把每个符号所用码字数，加起来，共 18 位。但是，若用树的权 W(T)= 4 个 14x3 加起来，再加上 1 个 14x2，再加上28x2 ,等于 252。

5-2 树叶权为2，3，4，5，6 的二元树T 的最小权及T 产生的前缀码。

权 W（T）= （2 + 3 + 4 + 4）* 4 + （5+6）*3 = 83

5-3 在网络上给外国友人发邮件时,”Hello”最少用二进制前缀码多少个?

1、最优二元树 T；

2、每个字母的码字；

3、二进制码多少个； 4.等长码共多少位?

hello =二进制码：['1101000', '1100101', '1101100', '1101100', '1101111']

5-4 通信中 a，b，c，d，e 出现的频率均为 20%; 试完成下列要求。（综合题） 1、最优二元树 T；

2、二元树的权 W（T）=;