2019年徐汇区高三二模数学答案
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案2019上海各区高三二模汇编-函数一、填空题11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。
答案：√x2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-1(4)=_____________。
答案：33.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。
答案：2x-4，x∈R4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。
答案：(-∞,2019)5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。
答案：(4,+∞)6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。
答案：-17.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。
答案：-18.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。
答案：[4,+∞)9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-1(x)=_______。
答案：2^x解析：1.第一题没有明显错误，不需要改写。
2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。
3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。
4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。
”5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019年徐汇区高三二模数学理科共12页word资料
2019学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2019.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数()41xf x =-的反函数1()fx -= 。
2、设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃= 。
3、若事件A 与B 相互独立，且1()()2P A P B ==，则()P A B ⋂= 。
4、系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是 。
5、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =，则角C 的大小为6、已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为 。
7、在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则2lim(1)n n a a a →∞++++= 。
8、一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量ξ表示随机摸得一个球的得分，则随机变量ξ的均值为 。
9、在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．10、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。
11、设a 为非零实数，偶函数2()1()f x x a x m x R =+-+∈在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 。
12、方程0x y +=所表示的曲线与直线y x b =+有交点，则实数b 的取值范围是 。
2019-2020学年上海市徐汇区高三年级二模考试数学试卷
徐汇区高三数学 本卷共4页 第页2019学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2020.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5UA ==,则U C A =_______________．【答案】{}2,4 【解析】{}2,4U C A =2．不等式31≤x的解集是_________. 【答案】()1,0,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】化简分式不等式易得()1,0,3x ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3 ．函数()cos 3xf x π=的最小正周期为_____________．【答案】6 【解析】利用23T ππ=得6T =4．若i +1（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程02=++q px x 的根，则pq =___________．【答案】4-【解析】两根分别为1i +和1i -，所以()()112,112p i i q i i -=++-==+-=，因此2,2,4p q pq =-==-徐汇区高三数学 本卷共4页 第页5．方程1sin 3x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解是__________________． 【答案】1arcsin 3π-【解析】根据三⻆⽅程易得1arcsin 3π-6. 若11()21xf x a=+-是奇函数，则实数a 的值为 ． 【答案】2 【解析】()()1111211,12,120,1,2f f a a a a a a=+-=-+∴+-+=∴==7．二项式25(x +的展开式中的常数项等于____________.（结果用数值表示） 【答案】5【解析】()51021052221555rr r r rrr r r T C xC x C x ----+===，令5100,42r r -==，所以常数项为455C =8．已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 . 【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±9．从数字 1,2,3,4,5,6，7,8中任取2个数,则这2个数的和为偶数的概率为____________. （结果用数值表示） 【答案】37徐汇区高三数学 本卷共4页 第页【解析】224428123287C C p C +===10．在ABC ∆中，若,2,1,AB AC AB AC AB AC +=-==,E F 为BC 边的三等分点，则AE AF •=_____________．【答案】109【解析】AB AC ABAC AB AC +=-⇒⊥，BC∴=BC 中点G，则122AG BC ==，133EF BC ∴==，221551044369AE AF AG EF •=-=-=11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是 . 【答案】34【解析】从A B →，为使相遇人数最少，要保证此人到一点只能向上或者向右，不能回头，那么我们现在考察在交点处的人数，绿笔表示来⾃左边会遇到⾃数，红笔表示来⾃向下⾃会遇到⾃数，则每⾃节点通往下⾃节点时，要保证⾃⾃数最少的路径，则将相遇⾃数标记如图. 故如图所示，最少相遇⾃数为34。
2019年上海市徐汇区二模答案
、选择题1.在下列各式中，运算结果为 X 2的是( )A. X 4- x 2B. x 4?x 2 C. X 6-X 3 D. (x 1) 2【分析】根据同类项的概念、同底数哥的乘除法法则、哥的乘方法则计算，判断即可. 【解答】解：x 4与x 2不是同类项，不能合并， A 选项错误;x 4?x 2 = x 2, B 选项正确；x 6+x 3= x 3, C 选项错误；(x-1) 2= x 2, D 选项错误；故选：B.【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的增减性进而分析得出答案.【解答】解：A 、y=2x 图象在第一象限满足 y 的值随x 的值增大而增大，故此选项错误；R y=一,图象在第一象限满足 y 的值随x 的值增大而减小，故此选项正确； C y=2x-3图象在第一象限满足 y 的值随x 的值增大而增大，故此选项错误；D y=-x 2,图象在第四象限满足 y 的值随x 的值增大而减小，故此选项错误. 故选：B.3.关于x 的方程x 2- mx- 1 = 0根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【解答】解：△= (- nj) 2—4X1X ( — 1) = m2+4,ni> 0,ni+4>0, IPA> 0,，方程有两个不相等的实数根. 故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 (aw 。
)的根的判别式△= b 2 - 4ac ：当△ >0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当△<0,方程没有实数根.2. 卜列函数中, 图象在第一象限满足 y 的值随x 的值增大而减少的是(A. y=2xB. y=C. y=2x-32D. y= - x植树数（棵）3 5 人数25那么这16名同学植树棵树的众数和中位数分别是（）A. 5 和 6B. 5 和 6.5C. 7 和 6 【解答】解：二•植树数为 3的有1人，植树数一为5的有5人，植树数为6的有1人，植 树数为7的有6人，植树数为8的有2人， ・•・出现次数最多的数据是 7, ，众数为7；••・一共有16名同学，因此其中位数应是第 8和第9名数据的平均数， ，中位数为（6+7） + 2 = 6.5 , 故中位数为：6.5 . 故选：D.5.下列说法，不正确的是（ ）A AB-AC=CBB .如果|丽=|亘| ,那么圜=同 C.：；D.若非零向量（kw0）,则三【解答】解：A 正确.= A S=AC +H ，A £ AC =C E 不符合题意.B 错误.模相等的向量不一定相等，符合题意. G 正确.向量的解法返回加法交换律.不符合题意.口正确.根据平行向量的判定得出结论.不符合题意. 故选：B.【点评】本题考查平面向量的三角形法则，平行向量的判定，向量的加法交换律等知识, 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.4.今年3月12日，学校开展植树活动，植树小组16名同学的树苗种植情况如下表:D. 7 和 6.56.在四边形ABCW, AB// CD AB= AD 添加下列条件不能推得四边形 ABCD ；菱形的是( )【解答】解：A 选项：若AB= CD •- AB// CD••・四边形ABCD1平行四边形，当 AB= AD 可判定四边形"ABCDI 菱形;B 选项：当 AD// BCM,又 AB// CD••・四边形ABCDI 平行四边形， 当AB= AD 可判定四边形ABCD1菱形；C 选项：当 BC= CD 寸，△ AB 坐△ BCD( SSS , . . / A= / C •. AB// CDC+Z ABC= 180 .，/A+/ ABO 180 ...AD// BC又AB// CD ，四边形ABCD1平行四边形， 当AB= AD 可判定四边形ABCD1菱形；D 选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形.故选：D.、填空题(每小题 4分，共48分)【解答】解：1一的倒数是 7=4.2 13【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.0没有倒数.8 . 2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600000米的洲际量子密钥分发，数字7600000用科学记数法表示为7.6 X 106.【解答】解：7600000= 7.6 X 106, 故答案为7.6 X1069 .在实数范围内分解因式 x3-4x 的结果为 x (x+2) (x-2).【解答】解：x 3—4x = x (x 2—4) = x (x+2) (x — 2). 故答案为：x (x+2) (x-2).A AB= CDB. AD/ BCC. BC= CDD. AB= BC10.不等式组x-2>3的解集是5Wx<7【解答】解: 不等式组 解①式得x>5 解②式得XV 7故该不等式的解集为：5<x<7 故答案为：5WXV711 .方程内二元=X 的解是 X=1 .【解答】解：原方程变形为 4 - 3x = x 2, 整理得 x 2+3x-4=0,(x+4) (x-1) =0,x +4= 0 或 x - 1 = 0,.. x 1= 一 4 (舍去),X [= 1 .故答案为x= 1.12 .如图，AB// CD 若/ E= 34° , / D= 20° ,则/ B 的度数为・ ./BCD= Z D +Z E= 20° +34° = 54 •. AB// CD.•・/ B= / BCD= 54 .故答案为：54° .13 .在不透明的盒子中装有 5个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是V .451【解答】解：任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率=5+15 4故答案为主.14 .如果函数y= kx +b 的图象平行于直线 y = 3x-1且在y 轴上的截距为2,那么函数y= kx +b54°【解答】解：如图，.一的解析式是y= 3x+2 .【解答】解：二.函数 y=kx +b 的图象平行于直线 y = 3x- 1且在y 轴上的截距为k= 3, b= 2,，函数y= kx +b 的解析式为y= 3x +2. 故答案为y=3x +2.15 .在 Rt△ ABO43, / ACB= 90° , AD 是 BC 边上的中线，如果 AD= 2BC值是卫里 .4结果统计的频率分布如图所示， 其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.004、0.008、0.034、0.03 ,如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的【解答】解：.••从左至右前四个小长方形的高依次为・•・从左至右前四个小组的频率为： 0.04, 0.08 , 0.34 , 0.3;，跳绳次数不少于 135次的频率为1 - 0.04 - 0.08 - 0.34 - 0.3 =0.24 , ，全年级达到跳绳优秀的人数为 300 X 0.24 =72人,故答案为：72人.17 .如图，把半径为2的。
2019年上海市徐汇区中考二模数学试题及答案(word解析版)
2019年上海市徐汇区中考数学二模试卷一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）B．、与被开方数不同，故不是同类二次根式；与与被开方数相同，故是同类二次根式．23．（4分）（2019•徐汇区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，那么和﹣））[的平均数为=﹣））﹣6．（4分）（2019•徐汇区二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的分析：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD，和⊙B的半径比较，即可得出答案．BD=AB=二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•徐汇区二模）计算：=﹣1．数学试卷解：=8．（4分）（2019•徐汇区二模）计算：2a（3a﹣1）=6a2﹣2a．9．（4分）（2019•徐汇区二模）方程x﹣1=的解是x 1=1或x2=2．，10．（4分）（2019•市中区二模）已知函数f（x）=，那么f（﹣1）=．=．故答案为：．11．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的解析式是．，将即可得到y=，y=12．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，如果=，=，那么向量=．，，利用三角形法则，即可求得的长，又由在，可求得的长，继而求得解：∵=﹣=﹣==（﹣=﹣=+=）+，==（+=数学试卷故答案为：．13．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，如果∠BAC=120°，那么cosB=．BCD=．故答案为：．14．（4分）（2019•徐汇区二模）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．=．故答案为：．=15．（4分）（2019•徐汇区二模）为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除[90，分以上）约为38%（填百分数）．=0.516．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，⊙O半径为5，△ABC的顶点在⊙O上，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，cotB=2，那么AD的长为2．cotB==2数学试卷17．（4分）（2000•安徽）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组（只要填写一个即可）．．18．（4分）（2019•徐汇区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，将△ABC绕点A旋转后，点C落在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于或．，AC==4ABD===2BE=BD=a==2ADB==的值为或故答案为：或三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）（2019•徐汇区二模）计算：（）0﹣cos30°+﹣（）2．+﹣，然后合并即可．﹣+﹣++20．（10分）（2019•徐汇区二模）解不等式组：；并将解集在数轴上表示出来．数学试卷解：21．（10分）（2019•徐汇区二模）销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N（件）与商品单价M（元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB．（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？由题意，得解得22．（10分）（2019•徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD⊥AB，AB=3，BD=4，CD=2．求：（1）tan∠CAB的值；（2）△AOD的面积．CAB=即可得出答案．===，BO=CAB==；﹣，××=．23．（12分）（2019•徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．数学试卷，所以，，，24．（12分）（2019•徐汇区二模）抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．（1）求抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，求点M的坐标．，解得：）的解析式，顶点解得．解得．相切时，25．（14分）（2019•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，联结AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，联结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB 上时，求AP的长．数学试卷；a=，．定义域是：≤，）的解法，可得，，，解得．，；；又∵解得．。
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2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集 U R ，集合 A x x 22x 3 0 ，则 C U A.2．在 x1x6的二项展开式中，常数项是.3．函数 f ( x) lg(3 x 2x ) 的定义域为 _____________．4．已知抛物线 x2ay 的准线方程是 y1，则 a .3245．若一个球的体积为 ，则该球的表面积为 _________．3x ，6．已知实数 x ， y 满足，则目标函数 zx y 的最小值为 ___________．y 0x y ．1sin x cos x 217．函数 f ( x)的最小正周期是 ___________．118．若一圆锥的底面半径为3，体积是 12 ，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是r m ，记第二颗骰子出现的rm 2,2 n r r.点数是 n ，向量 a，向量 b 1,1 ，则向量 ab 的概率 是．．10．已知直线 l 1 : mx y 0,l 2 : x my m2 0 . 当 m 在实数围变化时， l 1 与 l 2 的交点 P恒在一个定圆上，则定圆方程是.11 ． 若 函 数f ( x) 2( x 1)2sin x的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M 、 m ， 则 函 数x 2 1g( x)Mm x sin Mm x 1 图像的一个对称中心是．r rr 8 r 4， 若 对 任 意 的12 ． 已 知 向 量 a, b 满 足 | a |15、| b |15( x, y)r r1,xyr r( x, y) | xa yb | ， 都 有 | x y | 1 成 立 ， 则 a b 的 最 小 值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2019徐汇、松江、金山高三二模数学试卷(理)有答案
一、填空题(本大题满分 56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1•若函数f(x) =a x (a . 0,a =1)的反函数图像过点(2, -1)，则a =.1「2•已知函数f(x)=x 3,x^ 18,64 ]的值域为A ，集合B = *x|二 4 3 •已知 a 乏(一一,0)，且 cosa =—,则 tan 2a = 2 5 4•已知圆锥的母线长为 5，侧面积为15兀，则此圆锥的体积为 ______________ 5 •已知X = -3 _2i (i 为虚数单位)是一元二次方程 x 2 ax 0 (a, b 均为实数)的一个根，则a + b = ____________ . 1 1 1 如图给岀的是计算 1 的值的一个程序框图，3 5 2013 图中空白执行框内应填入 i 二 _______ . 在极坐标系中，过圆J =6cosr 的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程是___________ . x — 2 sin将参数方程 (二为参数，二• R )化为普通方程， i y = 1 2cos 2二 所得方程是'一 __. 3 6在二项式(ax )6(a • R)的展开式中，常数项的值是 -20， x 则 lim( a a 2 a 3 Jli a n ) = n _]: 10. 一质地均匀的正方体三个面标有数字 0 ,另外三个面标有数字 1.将此 正方体连续抛掷两次， 若用随机变量 表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望 E - = __________ . 7. 8. 9. 2 2 r x y 11•已知椭圆1内有两点A 1,3 , B 3,0 , P 为椭圆上一点, 25 16 贝U PA + PB 的最大值为 (结果保留二). 第6题图12. 如图，O 为直线人血13外一点，若 A ),A 1,A 2,A 3,A 4,A5^IH,A 2 4 4 呻呻 uuu uuu uuu uuuuu O设O 代=a,OA 201^b ，用a,b 表示O 代• OA • OA , • L L OA ，013，其结果为 第12题图 13. 设函数f(x)=xx ，将f (x )向左平移a (a 〉0)个单位得到函数 g(x )，将f(x )向上平移a (a = 0) 个单位得到函数 h x ,若g x 的图像恒在h x 的图像的上方，则正数 a 的取值范围为 14. 如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以 D 为顶点，任意向上翻折，折痕与 BC 交于点E 1，然后复原，记• CDE^ 1 ；第二步，将纸片以 D 为顶点向下翻折，使 AD 与ED重合，得到折痕 E 2D ,然后复原，记• ADE^ 2;第三步，将纸片以 D 为顶点向上翻折，使 CD 与E 2D 重合，得到折痕 E 3D ，然后复原，记• CDE^ 3 ;按此折法从第二步起重复以上步骤……， 得到1,： 2,川，n ,川，则lim -BnA o02:::0 ，则 A 「| B = J 4x — 3•选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号 上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分. 2 1 1 15•已知a,b 为实数，命题甲： ab . b 2，命题乙： 0,则甲是乙的（ b a 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 B.C.充要条件D. 1,x 0 I 16 •已知函数 f x i ；=：20,X =0 -1,x ::: 0 A.奇函数，在（-：：,•：：）上单调递减 B.奇函数，在（一匚：，匸：）上单调递增 C. 偶函数，在［一匚片0上递减，在 D. 偶函数，在：；：-",0上递增，在17 •气象意义上从春季进入夏季的标志为： ，设 F(x) = x 2 f (x)，则 F (x)是0, •::上递增 0,上递减 “连续5天的日平均温度均不低于 22 （ 0C ）” .现有甲、乙、丙 三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数） ： ①甲地：5个数据的中位数为 24，众数为22 ； ② 乙地：5个数据的中位数为 27，总体均值为24 ； ③ 丙地：5个数据中有一个数据是 32，总体均值为26，总体方差为10.8 ； 则肯定进入夏季的地区有 （） A. 0 个 B. 1 个 | 如图所示，向量 BC 是向量AB 的t 倍，AB 与BC 的夹角为71,那么我们称向量 —I T 一次t,r 变换得到向量 BC .在直角坐标平面内，设起始向量1 2, 变换得到的向量为人」人n ・N*, n ・1，其中2 3记A 坐标为9门$ X i w N * ）,则下列命题中不正确.的是（ 18. C. 2 个 D. 3 扇 -0A =（4,0 ），向量OA 经过n —1次A,A 比，A 七（i ^ N ）为逆时针排列,B. C. A . b 2 = \ 3 b 3k 1 -b 3k =0 k N* a 3k 1 _a 3k* =0 k N * D . 8 比 4 一 a k 3 a k 1 一比 1=0 k N* 三•解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号 要的步骤. 19 •（本题满分12分）BA 规定区域内写出必第18题图在ABC 中，a, b, c 分别是角代B, C 的对边，且sinAcosC^cosAsin C 3 ,若b 「7,2占ABC 的面积S 心BC =3 J 3，求a +c 的值.420.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为 k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时 96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时 150元.假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行. （1 ）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用 W （燃料费+航行运作费用）的最小值 .21 .（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知 ABC-AB1G 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是 （1） 求异面直线 AD 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （2）求直线 A,B 1到平面DAB 的距离.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.f 、 * 『S ' 1已知数列ia n n • N ）的前n 项和为S ,数列 -是首项为0 ,公差为一的等差数列.I n J2（1）求数列的通项公式；a*（2）设b n2 n （N ），对任意的正整数 k ,将集合:b 2k d , b 2k , b 2k J 1中的三个元素排成15一个递增的等差数列，其公差为d k ，求证：数列「d k ?为等比数列；（3）对（2）题中的d k ，求集合｛x d k ex "叶公E Z ｝的元素个数.2，D 为侧棱CC 1的中点.A 1第21题图A23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分. 尸已知双曲线C的中心在原点，D 1,0是它的一个顶点，d=（1八2）是它的一条渐近线的一个方向向量（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（-3,0 ）任意作一条直线与双曲线C交于A, B两点（A, B 都不同于点D ），求证：DA DB为定值；X 2 y 2⑶ 对于双曲线::2 - 2 =1(a 0,b .0,a=b), E 为它的右顶点， M,N 为双曲线〕上的两点a b(都不同于点E )，且EM _ EN ，那么直线 MN 是否过定点？若是，请求岀此定点的坐标； 若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写岀类似结论(不要求书写求解或证明过程) 2 y 2 =1(a 0,b .0,a=b)及它的左顶点； b y 2 = 2 px( p ■ 0)及它的顶点；2 2^2 = 1(a b 0)及它的顶点.a b x2 形一：双曲线 2 a 情形二：抛物线、情形三: 椭圆 .情参考答案 •填空题 1 2. 8. 13. ：( 本题共有 23 3. 14题，每小题4分) 24 4. 12 二5. 19 14. 二•选择题： 15. B 16. B三•解答题 19.(本题12分) 9. 10..i 2 7. 「cos ： - 311.15 12.1007（a b ）6 (本题共有4小题，每小题 17. C 18.D5 分） 解：由条件可得sin(A C^ —， 2 即 sin B 3，21 3S ABC acsin B 3. ■, ac = 3 ................ .......................... 毋 2 42 2 2由余弦定理 b =a c _2accosB ,得 b 2 = (a c)2 _2ac_2accosB, 2 1 于是，7 = (a c) -2 3(1 ).. a c = 4. ................................ 20.(本题14分)本题共有2小题，第(1)小题6分，第(2)小题8分. 10分 12分解：(1 )由题意得燃料费 W 1 =kv 2， ........................... 把 v =10, W =96代入得 k =0.96. ....................... 2 100 100 150 (2) W =0.96v 2 ， ......... V V15000 f ---------------- = 96V 2 一1440000 二 2400， V 11分 其中等号当且仅当96V =1500°时成立，解得v= J 15000 = 12 5V V 96所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400 （元）. :::15 ,13分14分21.（本题14分）本题共有2题，第⑴小题6分,第⑵ 小题8分. 解：（1 ）方法一: 以AE 中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 由题意得 A 1 1,0,0 ,D 0,1，壬B -1,2,0 ,C 0,2, ,3 3)，BC=(1,O,73) ................ 3 则 AD = -1,1广 3 ,设二为向量AD 与BC 的夹角，则 -1 3cos 二■ (-1)2 -1^ .3 2 C3 2 =_5 ，.....5 5 异面直线A 1D 与BC 所成角的大小为arccos 方法二：取BB 中点E ，连结AE, DE . V DE // CB ...................................... -^A|DE （或其补角）为异面直线 AD 与BC 所成的角. 由题意得：在RVA BE 中， z.2 AE =、5;在 Rt ACQ 中, ..... 3分 AD = $5 ; 在等腰三角形 DEcos^AQE2a/ccosg5A 1DE 中,z所以异面直线 A 1D 与BC 小为 ....6 （2 ）方法一:所成角的大由2b2k 4 =b2k b2k 1 及b?k ：:: b?k 4 ：:： b2k 1 得Pk , Pk V, Pk 1 依次成递增的等差数列..8分由题意可得A1B1 //平面ABD,所以，AB1到平面DAB的距离即为A到平面DAB的距离，设为h.r设平面ABD的法向量为n , n二x, y,1 ,由_A,(1,0,0), A 匕0 ,D 0,1小3 昌-1,2,0 得AB =(—2,0,0》AD =(—1,—1,，3 ,2=(—1,1历), .................•T *AB n =0I 4 = )AD n =0 \ -2x =0 \x = 0-x -y73 =0 i y - 311分.8分即n = 0, J3,1 .所以h =12分故直线AB,到平面DAB的距离为J3. .................................................... 14分方法二：由题意可得A1B1 //平面ABD ,所以，AB,到平面DAB的距离即为A到平面DAB的距离，设为h. (8)由题意得AQ = AD = BD = 5, AB =2，等腰. ADB底边AB上的高为,百二2，则S「AAB二2，S ABD =丄2 2=2, _且D至U平面2ABBA的距离为73，...........................................由％-ABD ~ V D 亠AB 得.................................................... 13分12分所以，直线AB到平面DAB的距离为,3. ............................ 14分22 .（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1 ）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（6分.3）小题满分S 1 n解：⑴由条件得 ~= 0 • (n _ 1)_，即S n(n _1), ............................................................ ..2 分n 2 2所以，a n = n -1(n，N ). ..................................................................... ..4 分4 n d *(2)由(1)可知b n( —2) (n • N )154 2k -2 4 2k , 4 22 4 22所以，b2k4 (一2) 2 ，b2k (-2) 2 ,15 15 15 15. 4 2k 4 _2k 八b( 2) 2， ............................... (7)由 2b 2k 4 =b 2kb2k 1 及 b?k ：:: b?k 4：:：b2k 1 得 Pk , Pk V, Pk 1 依次成递增的等差数列 ..8分(2 _k 2)x 2 _6k 2x_9k 2 _2=0. 6k 2 设A (冷 yJ,B(X 2,y 2)，则 x , x ?2—kr9故 DA DB =(x- 1)(x 2 -1) y 1y 2 =(x 1 -1)(x 2 -1) k 2(x 1 3)(x 2 3)二(k 21)x 1x 2 (3k 2 -1)(x x 2)9k 2 1 (9)分2-9k 2 -2 2 6k 2 2=(k 1) 2 + (3k -1) 2 + 9k - 1=0.综上，DA DB =0 为定值. 2 — k 2 — k⑶当M , N 满足EM _ EN 时，取M , N 关于x 轴的对称点M \ N '，由对称性知EM ' _ EN '，此时MN 与M N 所在直线关于 x 轴对称，若直线 MN 过定点，则定点必在 x 轴上.……..11分设直线MN 的方程为： ，得(b 2m 2 -a 2)y 2 2b 2mty b 2(t 2 -a 2) = 0 b2 2 22 2b mtb (t -a )设 M (X 1，yJ,N(X 2，y 2)，则屮 y 严2，y”22 27，4 所以 dk -b2k -b2k ^15 2 2k k4 2 k ^2 4— 2 =15 5 ..9分d L «满足——-=4为常数，所以数列 d k(3)Id"为等比数列..10 分dk①当k 为奇数时，_(5 _1)k5k—C ；5k二 +C ；5k ，III M)k..12 分= 5k」_C ；52-IH c ：J 50M)kJ -15同样，可得d4k1 k^V =(5」)=5k _c k415k 」+c k^52—川 +Ch50(-1)k51 1所以，集合｛x d k c x vd k* x € z ｝的元素个数为(d k *-一)—(d k + —)+15 5 k d d 3 3(4 1) 二 d k 1 -d k5 5..13 分②当k 为偶数时，同理可得集合 d k ex cdk^, z ｝的元素个数为3 (41)5…..16分23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形, 每位考生只能选择一个作答，若多答，7分、8分。
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参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}14，2. 2log (1)x -3. (0,+)∞4. 36π5. 2-6. 67. 1(2,0)0,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦8. []2,4- 9. 3410. 611. [3,3]- 12. 40372π 二、选择题：(共20分，每题5分)13. B 14. A 15. C 16. D 三、解答题17、解：（1）由2cos 2+4cos()30A B C ++=，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，…（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分） 所以，21cos =A ，3π=A ． ………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（8分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ………………（10分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ……………（14分）18、解：(1) 因为1C 是1BC 上的点，且1C 在平面ABCD 上的射影是C ，即BC 是1BC 在平面ABCD 上的射影，于是1C BC ∠是1BC 与底面ABCD 所成的角，而111tan 22CC CC C BC BC ∠===,所以14CC =. ………（2分） 如图，以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DC 为y 直线1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.连结1BD ，因为M 是1DD 的中点，N 是BD 中点， 所以1//MN BD ， ………（4分）于是1//MN BD u u u u r u u u u r ，令1()MN tBD t R =∈u u u u r u u u u r.设1n u r 是平面11ABC D 的法向量，则11n BD ⊥u r u u u u r ，于是11111()0n MN n tBD tn BD ⋅=⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u u r u r u u u u r ，即1n MN ⊥u r u u u u r ，又因为MN 不在平面11ABC D 内，所以MN 与平面11ABC D 平行. ………（6分） (2)由于(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C M ，于是(2,0,0),(0,2,2)CB CM ==-u u u r u u u u r. ………（8分）设平面BCM 的法向量2(,,)n x y z =u u r，因为220,0n CB n CM ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u u r ，于是20220x y z =⎧⎨-+=⎩，取1y =，则平面BCM 的一个法向量为2(0,1,1)n =u u r.因为(01)DN DB λλ=<<u u u r u u u r，于是(2,2,0)(01)N λλλ<<，则(2,2,2)MNλλ=-uu u u r， ………（11分）所以点N 到平面BCM 的距离22,(0,1)||MN n d n λ⋅==∈u u u u r u u r u u r ，………（13分） 从而d 的取值范围是. ………（14分） 19、解：（1）设机器鼠在点(,)P x y 处，则由题意，得0088PA PB v AB v -=⋅=< 所以，P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10 的双曲线右支上的点，……（2分）该双曲线的方程为()2214169x y x -=≥， ………（4分） 又4PO =，解得(4,0)P ，即在时刻0t 时，机器鼠所在位置的坐标为40（，）. ………（6分） （2）与直线l 平行且距离不超过1.5的直线方程为()2y x m m =+≤……（8分） 考虑(y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥是否有交点，2222217321614405764032169x y x mx m m y x m ⎧-=⎪⇒+++=⇒∆=-⎨⎪=+⎩……（10分）因为m ≤，所以0∆< ……（12分）所以，(2y x m m =+≤与()2214169x y x -=≥没有交点， 即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险. ……（14分） 20、解：(1)因为存在等差数列1,3,7,11,15-， ……（2分） 满足113478111315-<<<<<<<<，所以数列{}:1,4,8,13n a 是“等差分割数列”. ……（4分） (2)当5m ≥时，若存在公差为d ，项数为1m +项的等差数列{}n b 满足：1k k k b a b +<<， 其中1,2,,k m =…，则有1234562481632m b b b b b b b <<<<<<<<<<<<…，……（6分） 于是32826d b b =-<-=，所以633681826b b <+⨯<+=，与632b >矛盾， ……（8分） 即5m ≥时，{}n a 不是“等差分割数列”. ……（10分） (3)由题意知,111213141512345b a b d a b d a b d a b d a b d <<+<<+<<+<<+<<+<… 11(1)m b m d a b md <+-<<+，于是一方面11213111114,()4,()4,,()423m d a b d a b d a b d a b m>-=>-=>-=>-=…，所以4d >. ……（11分） 另一方面，2131411111,(),(),,()231m d a b d a b d a b d a b m <-<-<-<--…， ……（13分）由于111114()()12(1)(2)m m a b a b m m m m -----=----，又因为3m ≥，于是11111()()12m m a b a b m m --<---，所以114()11m md a b m m <-=--.……（15分） 综上所述，441md m <<-. ……（16分）21、解：（1）因为()()12111f f ==，当[]0,1x ∈时，()1f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()1212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减.所以 ()111,12x x f x x -≤≤=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩ ……（2分）当01x ≤≤时，()[]0,1f x ∈；当1x >时，()()0,1f x ∈()y f x ∴=值域为[]0,1……（4分）（2）102x <≤时，()()1f x f x =恒成立，等价于()()12,f x f x ≤对102x <≤恒成立，即()1lg 1lg ,p x x -+≤ 11p x x -+≤，11,p x x -≤-1111p x x x-+≤-≤-即1111x p x x x -+≤≤+-对102x <≤恒成立， ……（5分）11x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Q 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增12x ∴=时，max 11+12x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭ ……（7分） 又11x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递减，12x ∴=时，min 1312x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭……（9分）1322p ∴-≤≤……（10分）（3）11()(),f x f x =-Q 22()()f p x f p x +=-∴函数12(),()f x f x 图像分别关于直线0,x x p ==对称.当x R ∈时，若1()()f x f x = 恒成立，等价于12()()f x f x ≤恒成立，即232xx p-≤⋅即23x x p--≤，即2log 3x x p --≤恒成立.当0p >时，设(),(0)2,(0),()p x g x x x p x p x p p x p -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩max ()g x p ∴=，故20log 3p <≤成立.……（12分）当20log 3p <≤时，1()()f x f x =()(][)1,00+f x -∞∞Q 为偶函数，且在上递减、，上递增，方程()f x m =最多有两个解. 如下图.故关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的解，则 2log 3p >……（14分）当0x ≤时，()()()()12122,xp x f x f x f x f x --=<<=从而当x p ≥时，1()222x p x pf x -==⋅>2log 3222()x p f x -⋅=从而2()().f x f x =当0x p <<时，1()2x f x =及2()32p xf x -=⋅由00232,x p x -=⋅得20log 32p x +=显然20log 302p x p +<=<表明0x 在0与p 之间 Q 在(]00,x x ∈时，1()2x f x =递增， 2()32p x f x -=⋅递减；在()0,x x p ∈时，1()2xf x =递增， 2()32p x f x -=⋅递减1020(),(0)()(),()f x x x f x f x x x p <≤⎧∴=⎨<<⎩综上可知，1020(),()()(),()f x x x f x f x x x ≤⎧=⎨>⎩……（16分）()f x 在(][]0,0,,x p -∞上单调减，在[][)00,,,x p +∞上单调增. 如下图故关于x 的方程()f x m =恰有三个不同的解，则3m =或20log 3210()22p x m f x +===01当3m =时，三个解的和为p ……（17分）02当20log 3210()22p x m f x +===时，三个解的和为203log 32.2p p x --=……（18分）。