范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(利润函数)
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样子的？（提示：参见一阶条件）
A competitive profit-maximizing firm has a profit function
1,2 1 1 2 2 .The price of output is normalized to be 1.
（a）What do we know about the first and second derivatives of the functions
f
x1,
x2
xa1 1
xa2 2
，calculate
the
profit-maximizing
demand and supply functions, and the profit function. Assume ai 0 . What restrictions must a1 and a2 satisfy?
及利润函数。为简单起见，假定存在内解。假定 ai 0 。
Given the production function f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ， calculate the
profit-maximizing demand and supply functions ， and the profit function. For
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第 3 章 利润函数
1．一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数 1,2 1 1 2 2 。将产出价格正
规化，令其等于 1。
（a）对函数i i 求一阶导数和二阶导数，可以得到什么结论？ （b）如果 xi 1,2 是对要素 i 的要素需求函数， xi / wj 的符号是什么？ （c）令 f x1，x2 为产生这种形式的利润函数的生产函数。这种生产函数的形式是什么
2．考虑 x 1， y 0 和 x 1 ， y ln x 所描述的技术。计算出这种技术的利润函数。
Consider the technology described by y 0 for x 1 and y ln x for x 1 . Calculate the profit function for this technology.
引理可知
xi
w1
,
w2
wi
，因此 xi wj
2
wi w j
0。
（c）由（b）可知
xi
i wi
，又因为对
xi
wi
1, 2 ，
f x1
w1 恒成立。
从 xi
iwi 中反解出
w1
代入上式中可知
f x1
只和
x1
有关；同理可知
f x2
只和
x2 有关，
从而可知 f x 一定可以写成如下形式： f x1, x2 g1 x1 g2 x2 。
simplicity assume an interior solution. Assume that ai 0 .
解：利润最大化问题：
max
x1 , x2
p
a1
ln
x1
a2
ln
x2
w1 x1
w2
x2
一阶条件为：
a1
p x1
w1
0
a2
p x2
w2
0
得出要素需求方程为： x1 a1 p / w1 ， x2 a2 p / w2 。
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p,
w1 ,
w2
a1
ln
a1 p w1
a2
Hale Waihona Puke Baiduln
a2 p w2
a1
p
a2
p
4．给出生产函数
f
x1, x2
x x a1 a2 12
，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函
数，假定 ai 0 。 a1 和 a2 必须满足什么样的约束？
Given the production function
i i ?
（b）If xi 1,2 is the factor demand function for factor i ， what is the sign of
xi / wj ?
（c）Let f x1，x2 be the production function?（Hint：look at the first-order
解：令 f x p ln x wx ，易知 f x 在区间 , p / w 上单增，在区间 p / w, 上单 减，所以 f x 在 p / w 这一点上达到最大值。下面分情况讨论：
（1）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么 当它的产量为 1 时，可以得到最高利润为 w 。所以，厂商的最优选择就是丌生产。
综上可知，厂商的利润函数为：
p,
w
p
ln
0 p/
w
1
p/we p/we
如图 3-1 所示。
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图 3-1 厂商的利润最大化
3．给出生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，计算出利润最大化的需求和供给函数，以
将要素需求方程代入生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，得到供给函数：
y
a1
ln
a1 p w1
a2
ln
a2 p w2
将要素需求方程代入目标函数 max p a1ln x1 a2ln x2 w1x1 w2x2 就得出利润函数：
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conditions.）
答：（a）由利润函数的凸性得到
2 wi2
0 ，从而可知 ''i wi 0 ；又因为利润函数关于
要素价格是单减的，即 wi
0 ，从而可知 ''i wi 0 。
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（b）根据
Hotelling
（2）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么
当 它 的 产 量 为 ln p / w 时 ， 可 以 得 到 最 高 利 润 ， 为 p ln p / w 1 。 所 以 如 果 p ln p / w 1 0 即 p / w e 时，厂商应当选择生产 ln p / w 数量的产品，相应的利润为 p ln p / w 1 ；如果 p ln p / w 1 0 ，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。
A competitive profit-maximizing firm has a profit function
1,2 1 1 2 2 .The price of output is normalized to be 1.
（a）What do we know about the first and second derivatives of the functions
f
x1,
x2
xa1 1
xa2 2
，calculate
the
profit-maximizing
demand and supply functions, and the profit function. Assume ai 0 . What restrictions must a1 and a2 satisfy?
及利润函数。为简单起见，假定存在内解。假定 ai 0 。
Given the production function f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ， calculate the
profit-maximizing demand and supply functions ， and the profit function. For
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第 3 章 利润函数
1．一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数 1,2 1 1 2 2 。将产出价格正
规化，令其等于 1。
（a）对函数i i 求一阶导数和二阶导数，可以得到什么结论？ （b）如果 xi 1,2 是对要素 i 的要素需求函数， xi / wj 的符号是什么？ （c）令 f x1，x2 为产生这种形式的利润函数的生产函数。这种生产函数的形式是什么
2．考虑 x 1， y 0 和 x 1 ， y ln x 所描述的技术。计算出这种技术的利润函数。
Consider the technology described by y 0 for x 1 and y ln x for x 1 . Calculate the profit function for this technology.
引理可知
xi
w1
,
w2
wi
，因此 xi wj
2
wi w j
0。
（c）由（b）可知
xi
i wi
，又因为对
xi
wi
1, 2 ，
f x1
w1 恒成立。
从 xi
iwi 中反解出
w1
代入上式中可知
f x1
只和
x1
有关；同理可知
f x2
只和
x2 有关，
从而可知 f x 一定可以写成如下形式： f x1, x2 g1 x1 g2 x2 。
simplicity assume an interior solution. Assume that ai 0 .
解：利润最大化问题：
max
x1 , x2
p
a1
ln
x1
a2
ln
x2
w1 x1
w2
x2
一阶条件为：
a1
p x1
w1
0
a2
p x2
w2
0
得出要素需求方程为： x1 a1 p / w1 ， x2 a2 p / w2 。
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p,
w1 ,
w2
a1
ln
a1 p w1
a2
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a2 p w2
a1
p
a2
p
4．给出生产函数
f
x1, x2
x x a1 a2 12
，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函
数，假定 ai 0 。 a1 和 a2 必须满足什么样的约束？
Given the production function
i i ?
（b）If xi 1,2 is the factor demand function for factor i ， what is the sign of
xi / wj ?
（c）Let f x1，x2 be the production function?（Hint：look at the first-order
解：令 f x p ln x wx ，易知 f x 在区间 , p / w 上单增，在区间 p / w, 上单 减，所以 f x 在 p / w 这一点上达到最大值。下面分情况讨论：
（1）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么 当它的产量为 1 时，可以得到最高利润为 w 。所以，厂商的最优选择就是丌生产。
综上可知，厂商的利润函数为：
p,
w
p
ln
0 p/
w
1
p/we p/we
如图 3-1 所示。
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图 3-1 厂商的利润最大化
3．给出生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，计算出利润最大化的需求和供给函数，以
将要素需求方程代入生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，得到供给函数：
y
a1
ln
a1 p w1
a2
ln
a2 p w2
将要素需求方程代入目标函数 max p a1ln x1 a2ln x2 w1x1 w2x2 就得出利润函数：
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答：（a）由利润函数的凸性得到
2 wi2
0 ，从而可知 ''i wi 0 ；又因为利润函数关于
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0 ，从而可知 ''i wi 0 。
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（b）根据
Hotelling
（2）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么
当 它 的 产 量 为 ln p / w 时 ， 可 以 得 到 最 高 利 润 ， 为 p ln p / w 1 。 所 以 如 果 p ln p / w 1 0 即 p / w e 时，厂商应当选择生产 ln p / w 数量的产品，相应的利润为 p ln p / w 1 ；如果 p ln p / w 1 0 ，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。