高考数学讲义导数及其应用.板块四.导数与其它知识综合5-其它.教师版

题型五：导数与其它知识综合【例1】 函数20()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大和最小值情况是（ ）A ．有最大值0，但无最小值B ．有最大值0和最小值323- C ．有最小值323-，但无最大值 D ．既无最大值又无最小值 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 332220()(4)22033xx t x f x t t dt t x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，2()4(4)f x x x x x '=-=-，从而()f x 在[1,0]-上单调递增，在(0,4)上单调递减，在[4,5]上单调递增，故()f x 在0x =时取到极大值0，在4x =时取到极小值323-，又732(1)33f -=-<-，25(5)03f =-<，故()f x 在区间[1,5]-上的最大值为0，最小值为323-．【答案】B【例2】 设函数321()(2)232af x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内，则54b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即2030620b a b a b ->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩，从而有2326b a b a b <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：(4,5)23Oba板块四.导数与其它知识综合54b a --表示的是区域内的点(,)a b 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小值也取不到，但中间的值都能取到，从而54b a --的取值范围为(1,5)．【答案】(1,5)【例3】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．⑴ 证明：21212x x x a=+；⑵ 若对于任意的1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都有916a OM ON ⋅>u u u u r u u u r 成立，求a 的取值范围．【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，西城，二模，题18【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +，由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++．⑵ 由()2111,M x x ax +，211,02x N x a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得3112x OM ON x a ⋅=+u u u u r u u u r ． 所以0a =符合题意，当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．对1()g x 求导数，得()()()211121432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ⎛⎫=-∈-∞- ⎪⎝⎭． 当1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在3,42aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，从而函数1()g x 的最小值为2327432a g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．综上，a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【例4】 设12x x ，是321()32a b f x x x x -=++（0a b a ∈>R ，，的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=， ⑴如果1224x x <<<，求证：(2)3f '->；⑵如果2a ≥，且212x x -=，12()x x x ∈，时，函数2()()2()g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值．⑶如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围．【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()(1)1f x ax b x '=+-+，12x x ，是方程()0f x '=的两个根，由1224x x <<<且0a >得(2)0(4)0f f '<⎧⎨'>⎩421016430a b a b +-<⎧⇒⎨+->⎩①②，(3)⨯-+①②得420a b ->，∴(2)42(1)14233f a b a b '-=--+=-+>．⑵∴()0f x '=的两个根是12x x ，，∴可设12()()()f x a x x x x '=--， ∴122212()()()2()()g x a x x x x x x a x x x x a⎛⎫=--+-=--+ ⎪⎝⎭，∵12()x x x ∈，，∴20x x -<，10x x ->，又2a ≥，∴120x x a-+>． ∴1212()()g x a x x x x a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭212()a x x x x a⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭22122x x a a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤21112a a a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，1()2g x a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≥．当且仅当212x x x x a -=-+，即1211112x x x x a a+=-=+-时取等号． ∴1()2h a a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（2a ≥）．当2a ≥时，21()10h a a ⎛⎫'=--< ⎪⎝⎭． ∴()h a 在[2)+∞，上是减函数．∴max 9()(2)2h a h ==-．⑶由第⑴问知121211b x x ax x a -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由120x x ≠，两式相除得12121211(1)x x b x x x x +--==+，即12111b x x =--+． ①当102x <<时，由1210x x a=>20x ⇒>，∴212x x -=，即212x x =+．∴111112b x x =--++，1(02)x ∈，． 令函数11()1(0)2x x x x ϕ=--+>+，则2211()0(2)x x x ϕ'=+>+． ∴()x ϕ在(0)+∞，上是增函数．∴当1(02)x ∈，时，1111()(2)1244b x ϕϕ=<=--+=，即14b <．②当120x -<<时，20x <，∴122x x -=，即212x x =-． ∴111112b x x =--+-，1(20)x ∈-，， 令函数11()1(0)2x x x x ψ=--+<-，则同理可证()x ψ在(0)-∞，上是增函数． ∴当1(20)x ∈-，时，17()(2)4b x ψψ=>-=．综①②所述，b 的取值范围是1744⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，． 【答案】⑴略；⑵max 9()2h a =-；⑶b 的取值范围是1744⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，．【例5】 已知函数3211()34f x ax x cx d =-++（a c d ∈R ，，）满足(0)0(1)0f f '==，，且()0f x '≥在R 上恒成立． ⑴求a c d ，，的值；⑵若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x '+<．⑶是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx '=-在区间[2]m m +，上有最小值5-？若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由．【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴21()2f x ax x c '=-+，∵(0)0(1)0f f '==，，∴0102d a c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即012d c a =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 从而211()22f x ax x a '=-+-．∵()0f x '≥在R 上恒成立，∴0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫∆=-- ⎪⎪⎝⎭⎩≤， 即2104a a >⎧⎪⎨⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎩≤，解得11044a c d ===，，． ⑵由⑴知，2111()424f x x x '=-+，∵231()424b h x x bx =-+-，∴不等式()()0f x h x '+<化为22111310424424b x x x bx -++-+-<，即21022bx b x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，∴1()02x x b ⎛⎫--< ⎪⎝⎭（a ）若12b >，则不等式()()0f x h x '+<解集为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭；（b ）若12b =，则不等式()()0f x h x '+<解集为空集；（c ）若12b <，则不等式()()0f x h x '+<解集为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑶2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫'=-=-++ ⎪⎝⎭．该抛物线开口向上，对称轴为12x m =+．①若12m m +≤，即1m -≤时，2111()424g x x m x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[2]m m +，上为增函数．当x m =时，2min 111()424g x m m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．由已知得211115424m m m m -⎧⎪⎨⎛⎫-++=- ⎪⎪⎝⎭⎩≤，解得3m =-． ②若122m m m <+<+，即11m -<<时，当12x m =+时，2min ()g x m m =--． 由已知得2115m m m -<<⎧⎨--=-⎩，无解．③若12m m +≥，即1m -≥时，2111()424g x x m x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[2]m m +，上为减函数．当2x m =+时，2min 111()(2)(2)424g x m m m ⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2331424m m =--+．由已知得213315424m m m -⎧⎪⎨--+=-⎪⎩≥，解得1m =． 综上所述，存在实数3m =-或1m =，使函数()()g x f x mx '=-在区间[2]m m +，上有最小值5-．【答案】⑴11044a c d ===，，．⑵若12b >，则不等式的解集为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭；若12b =，则不等式的解集为空集；若12b <，则不等式的解集为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑶存在，3m =-或1m =．【例6】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】导数与其它知识综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考，题22【解析】 ⑴32()()()(1)(5)1p x f x g x x k x k x =+=+-++-，()232(1)(5)p x x k x k '=+-++．因为()p x 在区间(03)，上不单调，所以()0p x '=在(03)，上有实数解，且无重根． 由()0p x '=，得2(21)(325)k x x x +=--+，即()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦，令21t x =+，有()17t ∈，，记9()h t t t=+，则()h t 在(]13，上单调递减，在[)37，上单调递增．所以，()[)610h t ∈，． 于是()[)92161021x x ++∈+，，得(]52k ∈--，． 而当2k =-时，有()0p x '=在()03，上有两个相等的实根1x =，故舍去． 所以()52k ∈--，； ⑵由题意，得当0x <时，()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时，()()22q x g x k x k ''==+． 因为当0k =时不合题意，所以0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形．记{}()|0A g x x '=>，{}()|0B f x x '=<， 则()A k =+∞，，(5)B =+∞，．（ⅰ）当10x >时，()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x <，且A B ⊆， 因此5k ≥；（ⅱ）当10x <时，()q x '在(0)-∞，上单调递减，所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x >，且B A ⊆，因此5k ≤． 综合（ⅰ）（ⅱ），得5k =． 当5k =时，有A B =． 则10x ∀<，()q x B A '∈=，即20x ∃>，使得21()()q x q x ''=成立． 因为()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以2x 是惟一的．同理．10x ∀>，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得22()()q x q x ''=成立． 所以5k =满足题意．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．【例7】 已知函数()f x 满足()3223f x x f x x C ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭（其中23f ⎛⎫' ⎪⎝⎭为()f x 在点23x =处的导数，C 为常数）．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若方程()0f x =有且只有两个不等的实数根，求常数C ；⑶在⑵的条件下，若103f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，求函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴ 由()3223f x x f x x C ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭，得()223213f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭．取23x =，得222223213333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之，得213f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，∴()32f x x x x C =--+．从而()()21321313f x x x x x ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝⎭，列表如下：∴()f x 的单调递增区间是,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞；()f x 的单调递减区间是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵ 由⑴知，()32max11115333327f x f C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-----+=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()()32min 11111f x f C C ==--+=-+⎡⎤⎣⎦．∴方程()0f x =有且只有两个不等的实数根，等价于()max 0f x =⎡⎤⎣⎦或()min 0f x =⎡⎤⎣⎦． ∴常数527C =-或1C =． ⑶ 由⑵知，()32527f x x x x =---或()321f x x x x =--+． 而103f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()321f x x x x =--+．令()3210f x x x x =--+=，得()()2110x x -+=，11x =-，21x =．∴所求封闭图形的面积()113243211111414323x x x dx x x x x --⎛⎫=--+=--+= ⎪⎝⎭⎰．【答案】⑴()f x 的单调递增区间是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞；单调递减区间是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．⑵527C =-或1C =．⑶43．【例8】 ⑴已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C ．①求函数()f x 的单调区间；②证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点()()111P x f x ，处的切线交于另一点()()222P x f x ，，曲线C 与其在点2P 处的切线交于另一点()()333P x f x ，，线段12P P ，23P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S 则12S S 为定值； ⑵对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++()0a ≠，请给出类似于⑴②的正确命题，并予以证明．【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，福建，高考20【解析】 解法一：⑴①由()3f x x x =-得()2313f x x x x ⎛'=-=+ ⎝⎭⎝⎭．当x ⎛∈-∞-⎝⎭，和⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<． 因此，()f x的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭，和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭②曲线C 在点1P 处的切线方程为()()23111131y x x x x x =--+-即()2311312y x x x =--由()23113312y x x x y x x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩得()32311312x x x x x -=--即()()21120x x x x -+=解得1x x =或12x x =- 故212x x =- 进而有()112132342234111111121327322424x x x S x x x x dx x x x x x x x--⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭⎰ 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322x x =-和422274S x = 又2120x x =-≠，所以421271604S x ⨯=≠，因此有12116S S =．⑵记函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线C '，类似于⑴②的正确命题为：若对于任意不等于3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点()()222P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心33b b g aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 平移至坐标原点，因而不妨设()3g x ax hx =+，且10x ≠ 类似⑴ 的计算可得411274S ax =，421271604S ax ⨯=≠ 故12116S S = 解法二： ⑴ 同解法一⑵ 记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线'C ，类似于⑴ （ⅱ）的正确命题为：若对于任意不等于3ba-的实数1x ，曲线'C 与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点()()222P x g x ，，曲线'C 与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲线'C 所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则12S S 为定值． 证明如下：由32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠得()232g x ax bx c '=++，所以曲线'C 在点()11()x g x ，处的切线方程为2321111(32)2y ax bx c x ax bx d =++--+由322321111(32)2y ax bx cx d y ax bx c x ax bx d⎧=+++⎪⎨=++--+⎪⎩得()()21120x x a x x b -++=⎡⎤⎣⎦ ∴1x x =或12b x x a =--即212bx x a=--，故()()411322321111132332212x ax b S ax bx ax bx x ax bx dx x a +⎡⎤=--+++=⎣⎦⎰ 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322bx x a=--和()4223312ax b S a += 又212b x x a =--，且13bx a≠-所以()()()44421123333621630121212ax b ax b ax b S a a a +--+===≠，故12116S S =．【答案】⑴①()f x 的单调递增区间为3⎛-∞-⎝⎭，和3⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为33⎛ ⎝⎭， ⑵记函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的图像为曲线C '，类似于⑴ 的正确命题为：若对于任意不等于3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点()()111P x g x ，处的切线交于另一点()()222P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交与另一点()()333P x g x ，，线段12P P ，23P P 与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为1S ，2S ，则12S S 为定值．。