5.4利用锐角三角函数解决实际问题(2011年)
5.4利用锐角三角函数解决实际问题(2009年)
1. (2009 湖北省十堰市) 如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离（结果精确到0.1米）． （供选用的数据：2≈1.414，3≈1.732）60°45°PACB图答案：解：由题意可知 ∠ACP = ∠BCP = 90°，∠APC =30°，∠BPC =45° 在Rt △BPC 中，∵∠BCP =90°，∠BPC ＝45°， ∴60==PC BC在Rt △ACP 中，∵∠ACP =90°，∠APC ＝30°， ∴320=AC∴32060+=+=BC AC AB≈60+20×1.732 =94.64≈94.6（米） 答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94.6米．20090922170511343260 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 复合题 双基简单应用 2009-09-222. (2009 黑龙江省伊春市) 如图，大楼AB 的高为16米，远处有一塔CD ，小李在楼底A 处测得塔顶D 处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D 处的仰角为45°．其中A C 、两点分别位于B D 、两点正下方，且A C 、两点在同一水平线上，求塔CD 的高度．答案：解：作BE CD ⊥于E ， 可得Rt BED △和矩形ACEB ， 则有16CE AB AC BE ===，，在Rt BED △中，45DBE DE BE AC ∠===°， 在Rt DAC △中，60tan60DAC DC AC ∠==︒=°，，1616DE DC AC +=∴+=，，解得：8AC =，60°45°PACB图所以塔CD的高度为24)米．20090921101642968741 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-213. (2009 辽宁省营口市) 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ） A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°答案：B20090908104041390929 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 选择题 基本技能 2009-09-084. (2009 甘肃省白银九市) 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B．CD答案：C20090907172711984505 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 选择题 双基简单应用 2009-09-075. (2009 辽宁省沈阳市) 如图，为了确保行人通行安全，市政府准备修建一座高AB =6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角为∠ACB ，且sin ∠ACB =53，则坡面AC 的长度为 m ．答案：1020090907150516140911 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 基本技能 2009-09-076. (2009 黑龙江省佳木斯市) 如图，大楼AB 的高为16米，远处有一塔CD ，小李在楼底A 处测得塔顶D 处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D 处的仰角为45°．其中A C 、两点分别位于B D 、两点正下方，且A C 、两点在同一水平线上，求塔CD 的高度．答案：解：作BE CD ⊥于E ， 可得Rt BED △和矩形ACEB ， 则有16CE AB AC BE ===，，在Rt BED △中，45DBE DE BE AC ∠===°，在Rt DAC △中，60tan60DAC DC AC ∠==︒=°，，1616DE DC AC +=∴+=，，解得：8AC =，所以塔CD 的高度为24)米．2009090711400476548 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-077. (2009 辽宁省抚顺市) 将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=°，45606A EDC AB DE ∠=∠===°，°，，则EB = ．E BCDA答案：420090907085053937542 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 基础知识 2009-09-078. (2009 辽宁省丹东市) 法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿同一方向配合搜寻飞机残骸（如图）.在距海面900米的高空A 处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C 处，当侦察机以3150米/分的速度平行海面飞行20分钟到达B 处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D 处，求搜救船搜寻的平均速度.（结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）.答案：过点C 作CG AE ⊥，垂足为G ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为F ，得矩形CDFG ． ∴CD GF =，900CG DF ==（米）在Rt AGC △中，∵30A ∠=°，∴60ACG ∠=°．∴tan60AG CG ==°（米）．同理，在Rt BFD △中，tan30BF DF ==°．∵20AB ==．∴CD GF AB BF AG ==+-=（米）．∴搜寻的平均速度为20208=（米/分）．答：搜救船搜寻的平均速度为208米/分． （其它方法可参照此答案给分）20090906162418421757 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-069. (2009 福建省泉州市) 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于C 处折断倒下树顶落在地面B 处，测得B 处与树的底端A 相距25米，∠ABC =24°． （1）求大树折断倒下部分BC 的长度；（精确到1米）（2）问大树在折断之前高多少米?（精确到1米）答案：解：如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°．∠ABC =24°．AB =25米（1）∵cos ∠ABC =BCAB∴BC =ABC AB ∠cos =024cos 25≈27（米） 即大树折断倒下部分BC 的长度约为27米． （2）∵tan ∠ABC =ABAC∴AC =AB ·tan ∠ABC =25·tan24°≈11.1（米） ∴BC +AC ≈27+11.1≈38（米） 即大树折断之前高约为38米．20090906154430625537 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-0610. (2009 河南省) 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m 的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m ，矩形面与地面所成的角α为78°．李师傅的身高为1.78m ，当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20m 时，安装起来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin 780.98°≈，cos 780.21°≈，tan 78 4.70°≈．）答案：过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点D 作DF BC ⊥于点F ．∵AB AC =，∴10.52CE BC ==． 在Rt AEC △和Rt DFC △中，∵tan 78AEEC=°，∴tan 780.5 4.70 2.35AE EC =⨯⨯=°≈．又∵sin AE DFAC DC α==， ∴31.0077DC DF AE AE AC ==⨯≈． 李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007 1.782.787+=．头顶与天花板的距离约为2.90 2.7870.11-≈． ∵0.050.110.20<<，∴他安装比较方便．20090906101756187328 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 说理题 解决问题 2009-09-0611. (2009 福建省宁德市) 某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到2.90mADhC图（1）图（2）答案：解法1：连接AC ，BD ∵OA=OB=OC=OB∴四边形ACBD 为矩形 ∵∠DOB=100º， ∴∠ABC=50º 由已知得AC=32在Rt △ABC 中，sin ∠ABC=ABAC ∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8（cm ）tan ∠ABC=BC AC ，∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9 （cm ）∴AD=BC =26.9 （cm ） 答：椅腿AB 的长为41.8cm ，篷布面的宽AD 为26.9cm. 解法2：作OE ⊥AD 于E.∵OA=OB=OC=OD ， ∠AOD=∠BOC∴△AOD ≌△BOC∵∠DOB =100º， ∴∠OAD =50º ∴OE =3221⨯=16在Rt △AOE 中，sin ∠OAE =AO OE∴AO =OAEOE ∠sin = ︒50sin 16≈20.89 ∴AB =2AO ≈41.8（cm ）tan ∠OAE =AEOE ，AE =OAE OE ∠tan =︒50tan 16≈13.43 ∴AD =2 AE ≈26.9（cm ） 答：椅腿AB 的长为41.8cm ，篷布面的宽AD 为26.9cm.2009090609552551540 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-0612. (2009 福建省南平市) 如右图，两建筑物的水平距离BC 是30m ，从A 点测得D 点的俯角α是35°，测得C 点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）图（2）图（2）答案：解：作DE ⊥AB 于点E在Rt △ABC 中，∠ACB =β=43°∵tan ∠ACB =BCAB∴AB =BC ·tan ∠ACB =30·tan43° ≈28在Rt △ADE 中，30==CB DE ，︒==∠35αADE ∵tan ∠ADE =DEAE∴AE ＝DE ·tan ∠ADE＝30·tan35° ≈21∴CD ＝BE =AB -AE =28-21=7答：建筑物AB 的高约是28m ，建筑物CD 的高约是7m ．（本题中使用等号或使用约等号均不扣分）20090905175426515974 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-0513. (2009 福建省福州市) 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）用签字笔画AD ∥BC （D ．为格点．．．），连接CD ； （2）线段CD 的长为 ；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ．（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是答案：（1）如图 （2）5AM D C B Eα β A BE CABEC D（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552) （4）212009090514514935910 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 复合题 数学思考 2009-09-0514. (2009 安徽省芜湖市) 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米，1.4141.7322.236）答案：解：由C 点向AB 作垂线，交AB 的延长线 于E 点，并交海面于F 点．已知4000()3060AB BAC EBC =∠=∠=米，°，°．30BCA EBC BAC ∠=∠-∠=°， BAC BCA ∴∠=∠．4000()BC BA ∴==米． 在Rt BEC △中sin 604000)2EC BC ==⨯=·°米．5003964()CF CE EF ∴=+=≈米． 答：海底黑匣子C 点处距离海面的深度约为3964米．30°60°B AD C海面30° 60°B A D C海面 FE20090902162515500622 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-09-0215. (2009 山东省威海市) 如图，一巡逻艇航行至海面B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故障．已知港口A 处在B 处的北偏西37方向上，距B 处20海里；C 处在A 处的北偏东65方向上．求,B C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈，，，sin 650.91cos650.42tan 65 2.14.≈≈≈，，答案：解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ． 在Rt ABD △中，20AB =，37B ∠=°， ∴sin 3720sin 3712AD AB==·°°≈． cos3720cos3716BD AB ==·°°≈． 在Rt ADC △中，65ACD ∠=°，∴125.61tan 65 2.14AD CD =≈≈° 5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈答：B C ，之间的距离约为21.6海里．20090623153221015668 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-2316. (2009 山东省青岛市) 在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）答案：解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥， ∴90CEF ∠=°，设CE x =， 在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°； ∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）．答：古塔的高度约是39米．20090621164139640157 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-2117. (2009 山东省临沂市) 如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC =1km ，B 村到公路l 的距离BD =2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．CGEDBAFCGEDB AF 第19题图东答案：解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=BO =∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB =km ）∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．20090621152033421884 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 开放题 数学思考 2009-06-2118. (2009 山东省滨州市) 某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．答案：(2米（或5.464米）BA CDlN MOPB C A30°20090621090228796427 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 基本技能 2009-06-2119. (2009 辽宁省朝阳市) 一艘小船从码头A 出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离1.4 1.7，结果保留整数）．答案：解：由题意知：532330BAC ∠=-︒=︒° 232245C ∠=+︒=︒°过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则CD BD = 10BC =cos 45107.0CD BC ∴=︒==·5 1.4 1.711.9tan30BC AD ====⨯⨯≈°11.97.018.919AC AD CD ∴=+=+=≈答：小船到码头的距离约为19海里20090620174506609673 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-2020. (2009 四川省绵阳市) 小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A ，使A 与树顶E 、楼房顶点D 也恰好在一条直线上．小明测得A 处的仰角为∠A = 30︒．已知楼房CD 高21米，且与树BE 之间的距离BC= 30米，则此树的高度约为 米．（结果保留两个有效数字，3≈1.732）答案：3.72009062015403509331 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 解决问题 2009-06-2021. (2009 四川省眉山市) 海船以5海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处看灯塔B 在海船的北偏东60°的方向，2小时后船行到C 处，发现此时灯塔B 在北偏西45°的方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．答案：解：如图，过B 点作BD AC ⊥于D ．∴906030DAB ∠=-=°°°904545DCB ∠=-=°°°．设BD x =，在Rt ABD △中，tan 30xAD ==°．在Rt BDC △中，BD DC x ==，BC =．又5210AD =⨯=，10x +=．得1)x =．∴1)BC ==（海里）．BA C60° 45° 北 北 B AC60° 45°北 北D答：灯塔B 距C处海里．20090620150147812795 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 双基简单应用 2009-06-2022. (2009 四川省凉山州) 如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上． （1）MN1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？答案：（1）理由如下：如图，过C 作CH AB ⊥于H ，设CH x =， 由已知有4560EAC FBC ∠=∠=°，° 则4530CAH CBA ∠=∠=°，°， 在Rt ACH △中，AH CH x ==， 在Rt HBC △中，tan CHHBC HB∠=tan 30CH HB ∴===°，AH HB AB +=600x ∴+=解得220x =（米）>200（米）．MN ∴不会穿过森林保护区．（2）解：设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要(5)y -天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯- C B N M A CHF B NM A E 60° 45°解得：25y =经检验知：25y =是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．20090619151328796521 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-1923. (2009 四川省乐山市) 如图，某学习小组为了测量河对岸塔AB 的高度，在塔底部点B 的正对岸点C 处，测得塔顶点A 的仰角为60ACB ∠=°．（1）若河宽BC 是36米，求塔AB 的高度；（结果精确到0.1米） （2）若河宽BC 的长度不易测量，如何测量塔AB 的高度呢？小强思考了一种方法：从点C 出发，沿河岸前行a 米至点D 处，若在点D 处测出BDC ∠的度数θ，这样就可以求出塔AB 的高度了．小强的方法可行吗？若行，请用a 和θ表示塔AB 的高度，若不能，请说明理由．答案：解：（1）在ACB △中，6036AB BC ACB BC ⊥∠==，°，米，tan60AB BC ∴==·°1.732，A BC aD θ友情提示： （1）河的两岸互相平行； （2）这是一个立体图形； （3）B 、C 、D 在同一平面内，A 、B 、C 也在同一平面内； （4）AB ⊥BC ，BC ⊥CD .36 1.73262.35262.4AB ∴⨯≈≈≈（米） 答：塔AB 的高度约为62.4米．（2）在BCD △中，tan BC CD BDC CD a BC a θθ⊥∠==∴=，，，．在Rt ABC △中，tan60tan AB BC θ=·°（米）． 答：塔ABtan θ米．20090619142041203221 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-1924. (2009 四川省广安市) 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的测量方案及数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为30°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 间的距离为4米．请你根据以上数据求出大树CD 的高度．（精确到0.1，参考数据：2≈1.41 3≈1.73）答案：解：设CD =x 米在Rt △CBD 中，tan45°=BDCD∴BD CD x ==米 ······························· 3分 ∴AD AB BD =+=（4+x ）米 ··········· 4分 在Rt △ADC 中 ∵tan ∠A =ADCDCDBA∴tan30°=x x xx x x 33344334=+⇒+=⇒+ ∴x ≈5.4∴CD 的高度即树高约5.4米.20090619094212656481 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 双基简单应用 2009-06-1925. (2009 四川省成都市) 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动．他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（计算过程和结果均不取近似值）答案：解：如图，由已知，可得3045A C B A D B ∠=∠=°，° ∴在Rt ABD △中，BD AB =． 又在Rt ABC △中，∵tan30°＝ABBC∴3AB BC =，即BC = ∵BC CD BD =+CD AB =+即1)60AB =．∴301AB =）（米） 答：（或∴）教学楼的高度为301）米．l 分20090617171903812878 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2009-06-17A DBC ADBC。
《锐角三角函数》教学设计与反思(童官丰数学)
《锐角三角函数》教学设计与反思新浦初级中学 童官丰苏霍姆林斯基指出：教学目标是课堂教学的灵魂和方向，课的一切方面、组成部分和阶段都必须服从它。
学生是学习的主体，再精彩的教学设计都需要通过学生这一主体来落实。
如何把二者进行有机的融合是值得探讨的问题。
本文以浙教版九年级下册《锐角三角函数》一节课为例谈笔者的一些认识。
1 教学内容解析从《数学课程标准》看，本节是“图形与几何”领域的重要内容.掌握锐角三角函数的概念是解直角三角形及其相关实际问题的重要基础.同时，锐角三角函数建立了锐角与比值之间的一一对应关系，通过学习可以使学生对函数的基本概念有更深刻的了解。
2 教学目标知识技能：认识锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的定义，并会结合图形求某一锐角的三角函数值，进一步提高运算能力和识图能力。
数学思考：经历锐角三角函数定义的探求过程，会求某一锐角的三角函数值。
问题解决：学会运用数形结合的思想方法来分析和解决问题，领会由特殊到一般的探索方法，体验角度与比值一一对应的函数思想，培养数学的符号感。
情感态度：进一步体验数学与生活的密切联系，养成独立思考，善于交流的学习习惯，体验成功，树立学习自信心。
3 教学重难点重点：探索和认识锐角三角函数。
难点：锐角三角函数的概念反映了角度与比值之间对应的函数关系，这种角与比值之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sin A 、cos A 、tan A 等表示函数，学生过去没有接触过，所以对学生来讲有一定难度。
（解决策略：结合图形，运用几何画板引导学生正确认识锐角三角函数的定义。
）4 学情分析①学生的知识基础：已经较好的掌握了含特殊角的直角三角形、相似三角形的知识，这为本节课的学习打下了基础，但函数概念及其符号化，本身比较抽象，且初二学函数概念时要求又比较低，所以需要进行复习。
②初三学生已经有了一定的数学活动经验，让学生带着问题探索和思考，真正经历知识的形成与发展过程，是完全可以做得到的。
用锐角三角函数解决实际问题
第3课时 用锐角三角函数解决实际问题 姓名____________【学习目标】1、 在实际问题中抽离出直角三角形，再解直角三角形；2、 在实际问题中抽离出三角形，再解三角形；【知识概述1】1、生活实际问题中的角有仰角和俯角．如图，从下往上看，视线与_______的夹角叫仰角，从上往下看，视线与_______的夹角叫做俯角．2、方位角：练习：1.升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m 处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为40°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为多少m?（sin40°=0.64, tan40°=0.84）2.如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东60°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。
北【知识概述2】如图是一张水库拦水坝的横断面的设计图，（1）我们把坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i ，即i ＝BCAC ，坡度通常用1：m 的形式． （2）坡面与水平面的夹角叫做坡角（也称倾斜角）．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
练习：1.如图，一个小球由地面沿着坡度1:2i =的坡面向上前进。
若小球升高了10m ，此时小球沿坡面向上前进 米；若小球沿坡面向上前进10m ，此时小球升高 米。
2.如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是 .【知识巩固】1、（09兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为 （ ）A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m 2、王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，又知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树高CD 为 ( )A ．(24－B．24⎛ ⎝⎭ m C ．(24－D ．9m3、如图，某地地震后，抢险队派一架直升机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30°，B 村的俯角为60°，则A 、B 两个村庄间的距离是( )A ．B ．900米C ．D ．300米4、海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C 处的距离．5、如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得D点的仰角α为60°从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB＝36米．（1）求乙建筑物的高DC；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC（结果保留根号）．6、（09常德）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为 1.73，结果保留整数）．7、如图，海上有一灯塔P，在它周围的3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，航行到A处测得P在它的北偏东60︒方向，继续航行20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45︒方向，问客轮不改变方向，继续前行有无触礁的危险？8、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽为5m,坝高DE为20m,斜坡AD的坡度为1︰3，斜坡CB的坡度为5︰6.建造这样的大坝1000m需要多少立方米的土？（结果保留根号）。
锐角三角函数应用题解题思路
锐角三角函数应用题解题思路的实际应用情况1. 应用背景锐角三角函数是三角学的重要分支，它研究的是以锐角为基础的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数可以用来描述直角三角形和一般三角形中的角度关系。
在实际应用中，锐角三角函数可以被广泛地应用于物理、工程、地理、天文、航空等领域。
2. 应用过程考虑到篇幅限制，接下来我们将选取几个典型的应用案例，来具体阐述锐角三角函数的应用过程，并给出详细解题思路。
2.1 三角测量三角测量是指利用三角形的边长和角度信息来测量其他距离或高度的方法。
在实际测量中，我们常常需要利用已知边长和角度来求解未知边长和角度。
这时，可以利用正弦、余弦和正切等锐角三角函数来解决问题。
以求解未知边长为例，假设我们需要测量一个高耸的塔楼的高度。
首先，我们可以通过一定的测量手段获得塔顶处与地面的夹角α。
然后，我们可以选择一个合适的位置，在该位置与塔顶连线处测量出与地面的夹角β。
此时，我们可以利用正切函数来计算塔楼的高度h。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：选择合适的测量位置，测量得到β的数值。
步骤3：利用正切函数的定义，根据α和β的数值求解出α和β的弧度值。
步骤4：根据正切函数的性质，可以得到塔楼的高度h与β的正切值tan(β)的关系，即h = d * tan(β)，其中d为已知的水平距离。
通过上述步骤，我们可以得到塔楼的高度h的数值。
2.2 航空导航在航空领域，飞行器的导航是一项重要的任务。
为了准确地确定飞行器的位置和方向，我们需要利用锐角三角函数来计算飞机的航向角、仰角等信息。
以计算航向角为例，假设我们需要确定某个飞机相对于正北方向的航向角。
首先，我们需要测量飞机相对于正东方向的角度α。
然后，利用余弦函数可以计算出航向角θ。
具体的解题思路如下所示：步骤1：根据测量手段，得到α的数值。
步骤2：利用余弦函数的定义，根据α的数值求解出α的弧度值。
步骤3：根据余弦函数的性质，可以得到航向角θ与α的余弦值cos(α)的关系，即cos(θ) = cos(α)。
锐角三角函数及应用经典例题
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。
如何利用锐角三角函数解决交通规划问题
如何利用锐角三角函数解决交通规划问题在我们的日常生活中，交通规划可是个超级重要的事儿。
想象一下，每天上学上班的路上，要是道路规划不合理，那得多闹心啊！而锐角三角函数在解决交通规划问题中，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开高效、便捷的交通大门。
先来说说啥是锐角三角函数。
简单来说，就是在一个直角三角形里，角的正弦、余弦、正切这些东西。
别一听数学名词就头疼，其实没那么可怕！比如说，咱们城市要新建一条公路，得考虑弯道的设计。
假设在一个弯道处，我们知道了弯道的角度和弯道的长度，这时候锐角三角函数就派上用场啦！通过正切函数，就能算出弯道的斜率，从而确定车辆在这个弯道行驶时的安全速度。
我记得有一次，我去一个小镇旅行。
那个小镇正在规划改造一条老街，要把它变成能通车的道路。
工程师们在现场拿着图纸和测量工具忙得不可开交。
我好奇地凑过去看，听到他们在讨论怎么根据街道的拐角角度来确定路灯的安装位置，才能让灯光最好地照亮道路。
其中一个工程师就提到了要用锐角三角函数来计算，这样可以保证路灯既不会照得太近造成浪费，也不会照得太远有黑暗的角落。
当时我就想，哇，原来数学知识在生活中这么有用！再比如，在设计地下停车场的出入口斜坡时，也得用到锐角三角函数。
要根据斜坡的角度和车辆的爬坡能力，来确定斜坡的长度和坡度。
如果角度太大，车子爬起来费劲，还不安全；角度太小，又会占用太多空间。
这时候，通过三角函数的计算，就能找到一个最合适的角度和长度，让车辆进出停车场既方便又快捷。
还有哦，在规划十字路口的交通信号灯时间时，锐角三角函数也能帮忙。
通过计算车辆通过路口的速度和距离，再结合道路的宽度，就能确定每个方向信号灯的合理时长，最大程度地减少交通拥堵。
总之，锐角三角函数在交通规划中无处不在。
它就像是一个默默无闻的幕后英雄，虽然我们平时可能不太注意到它，但它却实实在在地为我们的出行安全和便利默默贡献着力量。
所以啊，同学们，别觉得数学知识枯燥没用，说不定哪天你就能用它来改善我们的生活环境呢！好好学习锐角三角函数，说不定未来你就是那个设计出超级便捷交通网络的大功臣！。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
4.作业完成后，请学生认真检查，确保答案的正确性。
4.利用信息技术手段，如动态课件、网络资源等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和积极性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自主学习能力。
2.通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，提高学生的自信心和自尊心。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生掌握锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的概念，并能够运用这些概念进行简单的计算。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量物体的高度、计算角度等。
3.使学生掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用到实际问题中。
（2）运用三角函数解决实际问题，尤其是将实际问题抽象为数学模型，并运用三角函数进行求解；
（3）掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用到实际问题中。
（二）教学设想
1.教学策略：
（1）采用情境教学法，创设实际问题情境，引导学生主动探究锐角三角函数的定义和性质；
（2）运用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，让学生在实践中掌握三角函数的计算方法和应用；
（3）了解三角函数在其他学科领域的应用，如物理、工程等。
4.小组合作题：
（1）分组讨论：如何利用三角函数解决实际问题？举例说明；
（2）小组合作完成一份关于锐角三角函数在实际问题中应用的报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础题，提高题和拓展题可根据个人能力选择完成；
2.作业过程中，要求学生注重解题思路和方法的总结，养成良好的学习习惯；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. (2011 吉林省长春市) 放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A 为54°，斜边AB 的长为
2.1m ，BC 边上露出部分BD 长为 0.9m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．（结果精确到 0.1m ）
参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38
答案：解：在△ABC 中，∠C =90，sin BC
A AB
=
，
∵∠A =54，AB =2.1， ∴sin 2.1sin54
BC AB A ==⨯
2.10.81 1.701.=⨯= ∵BD =0.9，
∴CD= BC －BD =1.701－0.9=0.801≈0.8．
答：铁板BC 边被掩埋部分CD 的长约为0.8m ．
20110826100913171449 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 应用题 解决问题 2011-08-26
2. (2011 湖南省岳阳市) 如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB AC =，若过点C 作
CD AB ⊥于点D ，则15BCD ∠=°．根据图形计算tan15=°____________．
答案：23-
20110826090029546709 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 双基简单应用 2011-08-26
3. (2011 浙江省台州市) 丁丁要制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2
阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮丁丁计算出BE ，CD 的长度（精确到个位，
317≈．）．
答案：解：由120ABC ∠=°可得60EBC ∠=°．
在Rt BCE △中，51CE =，60EBC ∠=°，
因此tan 60CE
BE °=
， 51
30tan 60tan 60CE BE ==≈°°
．
在矩形AECF 中，由45BAD ∠=°，得45ADF DAF ∠=∠=°．
因此51DF
AF ==．
343064FC AE ∴==+=．
645113CD FC FD ∴=-=-=．
因此BE 的长度约为30cm ，CD 的长度约为13cm ．
20110825103452859933 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 复合题 解决问题 2011-08-25
4. (2011 山东省淄博市) 如图，正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，
1
2
CM DM =
，2HN NE =，HC 与NM 的延长线交于点P ，则tan NPH ∠的值为_____________．
答案：
1
3
；
20110820103230140802 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 解决问题 2011-08-20
5. (2011 山东省潍坊市) 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的
线长、线与地面的
夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
答案：D
20110819160524531784 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 填空题 基础知识 2011-08-19
6. (2011 宁夏回族自治区) 在Rt ABC △中，9030 2.C A BC ∠=∠==°，°，若将此直角三
角形的一条直角边BC 或AC 与x 轴重合，使点
A 或点
B 刚好在反比例函数()6
0y x x
=
>的图象上时，设ABC △在第一象限部分的面积分别记做12S S 、（如图1、图2所示），D 是斜边与
y 轴的交点，通过计算比较12S S 、的大小．
答案：解：在Rt ABC △中，
90302C A BC ∠=∠==，°，
tan 30BC
AC ∴=
=°
在图1中，
点A 在反比例函数
6
(0)y x x
=>的图象上
A ∴点的横坐标
x =
=．
2OC BO ∴==．
在Rt BOD △中，60DBO ∠=°，tan 603DO BO =⨯=°．
111()3)22
S OD AC OC ⎡∴=+⨯=+⎣
=6
在图2中，
点B 在反比例函数
6
(0)y x x
=>的图象上，
B ∴点的横坐标6
32
x =
=．
33OC AO ∴==，．
在Rt AOD △中，30DAO ∠=°
tan 303)23
DO AO =⨯=⨯
=°．
211()(223622S DO BC OC ⎡⎤∴=+⨯=+⨯=⎣⎦ 12S S ∴=．
20110818094328765111 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 复合题 基础知识 2011-08-18
7. (2011 江西省) 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O 到
BC ()DE 或的距离大于或等于O ⊙的半径时（O ⊙是桶口所在圆，半径为OA ）
，提手才能从
图甲的位置转到图乙的位置．这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A B C D E F C D ------，是CD ，其余是线段）
，O 是AF 的中点，桶口直径34cm 5cm 149AF AB FE ABC FED ===∠=∠=︒，，．请通过计算判断这个水桶提手是否合格．
（参考数据：17.72tan 73.6 3.40sin 75.40.97≈︒︒≈，≈，．）
答案：解法一
连接OB ，过点O 作OG
BC ⊥于点G .
在Rt ABO △中，AB =5，AO =17，
17
tan 3.473.65
AO ABO ABO AB ∴=
==∴=︒∠，∠，
14973.675.4.GBO ABC ABO ∴=-=︒-︒=︒∠∠∠
又
22517.72.OB ==
∴在Rt OBG △中，
sin 0.9717.1917.OG OB GBO =⨯⨯>∠=17.72≈ ∴水桶提手合格.
图甲
图乙
图丙
解法二：连接OB ，过点O 作OG
BC ⊥于点G .
在Rt ABO △中，AB AO =5，=17，
17
tan 3.45AO ABO AB ∴==∠=，
73.6ABO ∴=︒∠，
要使OG OA ≥，
只需.OBC ABO ∠≥∠ 14973.675.473.6OBC ABC ABO -=︒-︒=︒>︒∠=∠∠，
∴水桶提手合格
20110816155553156497 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 基础知识 2011-08-16
8. (2011 福建省福州市) 如图，在ABC △中，90A ∠=°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心
的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，连接OD ．已知23BD AD ==，． 求：（1）tan C ；
（2）图中两部分阴影面积的和．
答案：
解：（1）连接OE
AB AC 、分别切O ⊙于D E 、两点 90ADO AEO ∴∠=∠=° 又90A ∠=°
∴四边形ADOE 是矩形 OD OE =
∴四边形ADOE 是正方形 3OD AC OD AD ∴==∥， BOD C ∴=∠∠．
∴在Rt BOD △中，2
tan 3
BD BOD OD ∠==
C
2tan 3
C ∴=
（2）如图，设O ⊙与BC 交于M N 、两点，由（1）得，四边形ADOE 是正方形
90DOE ∴∠=°
90COE BOD ∴∠+∠=°
在Rt EOC △中，2
tan 3
C =，3OE =
9
2
EC ∴=
2119
π3π444
O DOM EON DOE S S S S ∴+===⨯=⊙扇形扇形扇形
399
π44
BOD COE DOM EON S S S S S ∴=+-+=-△△阴影扇形扇形()
∴图中两部分阴影面积的和为399
π44
-
20110810101120484995 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 复合题 基础知识 2011-08-10
C
M。