求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1a a -=，且a 是锐角，求22tan cot 2a a +-的值。
（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-。
分析分析 （1）由已知可以求出tan a 的值，化简22tan cot 2a a +-可用1tan cot a a =×；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1a a +=化简。
化简。
解 （1）由tan 2cot 1a a -=得2tan 2tan a a -=，解关于tan a 的方程得tan 2a =或tan 1a =-。
又a 是锐角，∴tan 2a =。
∴22tan cot 2a a +-＝22tan 2tan cot cot a a a a -×+＝2(tan cot )a a -＝tan cot a a -。
由tan 2a =，得1cot 2a =，∴22tan cot 2a a +-＝tan cot a a -＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b a a a a +××+＋2222cos 2cos sin sin a ab b a a a a -××+＝()()222222sin cos sin cos a b a a a a +++＝22a b +。
说明说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1a a +=，tan cot 1a a ×=等。
等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B æö-+-=ç÷ç÷èø(),A B ÐÐ均为锐角，求C Ð的度数。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附带部分答案、练习(精选)
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。
a 2 b 2c 22、以以下列图，在Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定 义 表达式取值范围关系正A 的对边 a 0 sin A 1sin A 斜边sin A(∠A 为锐角 )sin A cosB 弦ccos Asin B余A 的邻边 b 0 cos A 1sin 2 A cos 2 A 1cos A 斜边cos A(∠A 为锐角 )弦c正A 的对边atan A 0tan Atan A(∠A 为锐角 )切A 的邻边b3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
由 A B 90 B得 B90A斜边c对a 边sin A cosBsin Acos(90A)bcos A sin Bcos A sin(90A)AC邻边4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 )三角函数0° 30°45°60°90°sin0 1 2 3 1 222cos13 2 1 02 22tan0 3 13-35 、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随的增大而减小。
6 、正切的增减性：当 0° < <90°时， tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，此中必有一边）→全部未知的边和角。
依照：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
( 注意：尽量防范使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视野在水平线上方的角；俯角：视野在水平线下方的角。
初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题20202011
初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=(222sin 1cos ,cos ααα=-()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
对边邻边3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
专题01 求直角三角形锐角三角函数的方法(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题01 求直角三角形锐角三角函数的方法题型一 直接运用定义求锐角三角函数值【典例1】（2019•金堂校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝1，BC ＝2，则sin ∠A ＝2√55．【点拨】根据勾股定理先得出AB ，再根据正弦的定义得出答案即可．【解析】解：∵∠C ＝90°， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AC ＝1，BC ＝2， ∴AB =√5；∴sin ∠A =BC AB =5=2√55， 故答案为2√55． 【典例2】（2019•镇海区一模）如图，直线y =34x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．54【点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标，得到OA 、OB 的长，根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义解答即可． 【解析】解：当x ＝0时，y ＝3， 当y ＝0时，x ＝﹣4，∴直线y =34x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标（﹣4，0）、B （0，3）， ∴OA ＝4，OB ＝3， 由勾股定理得，AB ＝5，则cos ∠BAO =OAAB =45， 故选：A ．【典例3】（2019•咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60x图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为512．【点拨】利用锐角三角函数的定义求解，tan ∠POH 为∠POH 的对边比邻边，求出即可．【解析】解：∵P （12，a ）在反比例函数y =60x 图象上， ∴a =6012=5， ∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH=5 12，故答案为：512．【典例4】（2019•成都月考）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．【点拨】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解析】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC=√(3x)2+(4x)2=5x，EM=√x2+(2x)2=√5x，CM=2+(4x)2=2√5x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM=EMCE=√55．题型二利用等角转换求锐角三角函数值【典例5】（2019•雁塔区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则cos ∠DCB 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【点拨】先利用勾股定理计算出AB ＝5，再利用等角的余角得到∠A ＝∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cos A 即可．【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5， ∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠B ＝90°， 而∠A +∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠DCB ，而cos A =ACAB =45， ∴cos ∠DCB =45．故选：B ．【典例6】（2019•兰州模拟）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC ＝3，BD ＝4，CD ＝11，则tan α的值为（ ）A．311B．711C．113D．117【点拨】根据反射的性质，可得β，根据余角的性质，可得∠1与∠2的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得CE的长，根据正切函数，可得答案．【解析】解：设CE的长为x，如图，，由入射角等于反射角，得∠β＝∠α，由余角的性质，得∠1＝∠2．由AC⊥CD，BD⊥CD，得∠ACE＝∠BDE，△ACE∽△BDE，AC BD =CEDE，即3x=411−x，解得x=33 7由题意，得∠A＝∠α．tanα＝tan∠A=CEAC=3373=117，故选：D．【典例7】（2019•太仓市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，则sin ∠BPC ＝45．【点拨】先过点A 作AE ⊥BC 于点E ，求得∠BAE =12∠BAC ，故∠BPC ＝∠BAE ．再在Rt △BAE 中，利用锐角三角函数的定义，求得sin ∠BPC ＝sin ∠BAE =BE AB ． 【解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ＝5，∴BE =12BC =12×8＝4，∠BAE =12∠BAC ， ∵∠BPC =12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE ． 在Rt △BAE 中，∴sin ∠BPC ＝sin ∠BAE =BEAB =45． 故答案为：45．【典例8】（2019•望江校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB 于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．【点拨】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到ACAB =ANAM=34，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC=√7x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cos B．【解析】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴ACAB =ANAM=34，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√7x，在Rt△ABC中，cos B=BCAB=√7x4x=√74．题型三设参数求锐角三角函数值【典例9】（2019•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cos A=35，BE＝4，则tan ∠DBE的值是（）A ．43B ．34C ．2D ．12【点拨】在直角三角形ADE 中，cos A =35，求得AD ，AE ．再求得DE ，即可得到tan ∠DBE =DEBE ． 【解析】解：设菱形ABCD 边长为x ， ∵BE ＝4， ∴AE ＝x ﹣4，∵cos A =35，∴AE AD=x−4x=35，∴x ＝10， ∴AE ＝10﹣4＝6， ∴DE =√AD 2−AE 2=8， ∴tan ∠DBE =DE BE =84=2． 故选：C ．【典例10】（2019•湘西州）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC =57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．4√3D ．2√6【点拨】设CD ＝5x ，BD ＝7x ，则BC ＝2√6x ，由AC ＝12即可求x ，进而求出BC ；【解析】解：∵∠C ＝90°，cos ∠BDC =57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝2√6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝2√6； 故选：D ．【典例11】（2019•南山区一模）如图，延长Rt △ABC 的斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连接CD ，若tan ∠BCD =13，则tan ∠A 的值是（ ）A ．1B ．23C ．9D ．32【点拨】若想利用tan ∠BCD 的值，应把∠BCD 放在直角三角形中，为此，过B 作BE ∥AC 交CD 于E ，得到△ACD 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解析】解：如图，过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°，∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD=13，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x，∴tan A=BCAC=3x2x=32．故选：D．【典例12】（2019•杨浦区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B=3 4（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【点拨】（1）由tan B=ACBC=34设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解析】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B=ACBC=34，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB=√AC2+BC2=10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B=DEBE=34可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a=25（负值舍去），∴DE ＝3a =65，∵AD =√AC 2+DC 2=6√2，∴sin ∠BAD =DE AD =√210． 题型四 构造直角三角形求锐角三角函数值【典例13】（2019•玉环模拟）如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 √55．【点拨】利用图形构造直角三角形，进而利用sin A =BE AB求出即可． 【解析】解：如图所示：延长AC 交网格于点E ，连接BE ，∵AE ＝2√5，BE =√5，AB ＝5，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴△ABE 是直角三角形，∴SinA =BE AB =√55．故答案为：√55．【典例14】（2019•吴江区期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝10，BC＝11，S△ABC＝33，求tan C的值．【点拨】过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD的长，此时再求tan C 的值就不那么难了．【解析】解：过A作AD⊥BC于点D．∵S△ABC=12BC•AD＝33，∴12×11×AD＝33，∴AD＝6．又∵AB＝10，∴BD=√AB2−AD2=√102−62=8．∴CD＝11﹣8＝3．在Rt△ADC中，∴tanC=ADDC=63=2．【典例15】（2019•京山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连CE，求：（1）线段BE的长；（2）线段CE的长．【点拨】（1）证明△ADE是等腰直角三角形，求出AE即可解决问题．（2）作EF⊥AC于F．求出EF，CF即可解决问题．【解析】解：（1）∵CA＝CB＝3，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，AB=√2AC＝3√2，∵DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝3，AD＝2CD，∴AD＝2，CD＝1，∴AE＝DE=√2，∴BE＝AB﹣AE＝2√2．（2）作EF⊥AC于F．∵EF⊥AD，△ADE是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝DF＝1，∴CF＝2，在Rt△EFC中，EC=√EF2+CF2=√12+22=√5．巩固练习1．（2019•雁塔区校级模拟）直线y＝3x与x轴正半轴的夹角的锐角为α，那么下列结论正确的是（）A．tanα＝3B．tanα=13C．sinα＝3D．cosα＝3【点拨】根据题意结合一次函数图象上点的坐标性质得出AB，OB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解析】解：如图所示：AB⊥x轴于点B，∵y＝3x，A点在y＝3x的图象上，∴设BO＝x，则AB＝3x，故tanα=ABOB=3x x=3．故选：A．2．（2019•雁塔区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A=35，BE＝2，则BD的值（）A．2B．√5C．2√5D．5【点拨】直接利用菱形的性质结合锐角三角函数关系得出AD，AE的长，进而利用勾股定理得出BD的长．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE⊥AB，cos A=3 5，∴设AE＝3x，则AD＝5x，故BE＝2x，∵BE＝2，∴x＝1，故AB＝AD＝5，则DE＝4，故BD=√DE2+BE2=2√5．故选：C．3．（2019•儋州期末）已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A ．6mB ．5.6mC ．5.4mD ．4.4m【点拨】先根据相似三角形的判定定理得出Rt △ACE ∽Rt △ABD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD 的长．【解析】解：∵EC ∥AB ，BD ⊥AB ，∴EC ∥BD ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°，在Rt △ACE ∽Rt △ABD 中，∠A ＝∠A ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°，∴Rt △ACE ∽Rt △ABD ，∴EC BD =CA CA+BC ，即1.6BD =0.80.8+2.2，解得BD ＝6m ．故选：A ．4．（2019•富平期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，tan ∠BCD 的值为（ ）A ．34B ．43C ．45D ．54 【点拨】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD ＝∠A ，根据正切的定义计算即可．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠BCD +∠B ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ，∴tan ∠BCD ＝tan ∠A =BC AC =34，故选：A ．5．（2019•宽城区期末）如图，点A 、B 、C 均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos ∠BAC 的值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2【点拨】根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 、BC 、AC 的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC 的形状，从而可以求得cos ∠BAC 的值．【解析】解：连接BC ，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB =√5，BC =√5，AC =√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠BAC =AB AC =√510=√22， 故选：B ．6．（2019•西湖区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD 的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tan A＝y，则x与y之间满足（）A．4y2+4=x2B．4y2−4=x2C．8y2−8=x2D．8y2+8=x2【点拨】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD=GECE=tan A＝y，证明△CEG∽△FEC，得出GECE=CEFE，得出y=2FE，求出y2=4FE2，得出4y2=FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．【解析】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，∴CD=12AB＝AD＝4，∴∠A＝∠ACD，∵EF垂直平分CD，∴CE=12CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，∴tan∠ACD=GECE=tan A＝y，∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，∴∠ACD＝∠FCE，∴△CEG∽△FEC，∴GE CE =CE FE ，∴y =2FE， ∴y 2=4FE 2， ∴4y =FE 2，∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，∴4y 2=x 2﹣4， ∴4y +4＝x 2，故选：A ．7．（2020•闵行区一模）在△ABC 中，若∠C ＝90°，AB ＝10，sin A =25，则BC ＝ 4【点拨】根据锐角三角函数的定义得出sin A =25=BC AB ，代入求出即可．【解析】解：∵sin A =25=BC AB ，SB ＝10，∴BC ＝4，故答案为：4．8．（2019•黄浦区一模）在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，如果cos C =14，那么tan A ＝√157． 【点拨】过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由于cos C =14，所以CD BC=14，CE AC=14，设CD ＝x ，BC ＝4x ，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出BD 与AD 的长度． 【解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵cos C =14， ∴CD BC=14，CEAC=14，设CD ＝x ，BC ＝4x ， 由于AB ＝AC ， ∴CE ＝2x ， ∴AC ＝8x ，∴AD ＝AC ﹣CD ＝7x ，∴由勾股定理可知：BD =√15x ， ∴AB ＝AC ＝8x ，∴tan ∠BAC =BDAD =√157， 故答案为：√157．9．（2019•百色期末）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，则cos A ＝35．【点拨】根据勾股定理求出AC ，根据锐角三角函数定义求出即可．【解析】解：由勾股定理得：AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6，cos A =ACAB =610=35， 故答案为：35．10．（2019•宽城区校级月考）如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点处，则tan B 的值为 1 ．【点拨】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案．【解析】解：如图：，由正切函数的定义，得tan B =AD BD =33=1． 故答案为：1．11．（2019•相山区四模）如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB ＝3√2，AC ＝5，sin C =35，求BC 的长．【点拨】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、CD=√AC2−AD2=4，再在△ABD中根据AB＝3√2、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解析】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，sinC=3 5，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=4．∵AB=3√2，∴在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=3．∴BC＝BD+CD＝7．12．（2019•奉化市模拟）2019年3月29日，宁波市第十二届山地户外运动挑战赛在奉化市大堰镇举行，比赛全程42公里，共有20支队伍参加，其中三支外国队．划皮艇横渡柏坑水库是其中一个项目，横渡直线距离900米．在实际比赛中，甲队皮艇的划行路线偏离了最短路线约5°，但甲队还是以15分钟12秒的成绩摘得冠军．问：（1）在这次比赛中，甲队皮艇的平均速度为多少？（精确到0.01米/秒）（2）若甲队划皮艇的平均速度不变且在比赛中沿最短路线划行，则可比实际比赛提前几秒到达终点？（精确到0.1秒）（参考数据：sin5°＝0.0872；cos5°＝0.9962；tan5°＝0.0875）【点拨】（1）先根据锐角三角函数的定义求出AC的长度，由速度=路程时间即可得出甲队划皮艇的平均速度；（2）由甲队划皮艇的时间减去沿最短路线划行的时间即可．【解析】解：（1）由图可知，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝5°，AB＝900，∴AC=ABcos∠BAC=9000.9962，∵15分钟12秒＝912秒，9000.9962÷912≈0.99（米/秒）．答：甲队划皮艇平均速度为0.99米/秒；（2）912﹣900÷（9000.9962÷912）≈3.5（秒）．答：甲队可比实际比赛提前3.5秒到达终点．13．（2019•芙蓉区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3√2，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E．求：线段BE的长．【点拨】证明△ADE是等腰直角三角形，求出AB，AE即可解决问题．【解析】解：∵AC＝BC＝3√2，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，AB=√2AC＝6，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∵AD＝2CD，∴AD＝2√2，∵AE＝DE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．14．（2019•宁夏）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．【点拨】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBN ＝90°，∠1+∠2＝90° ∵CM ⊥BE ， ∴∠2+∠3＝90° ∴∠1＝∠3在△ABE 和△BCN 中{∠A =∠CBN AB =BC ∠1=∠3∴△ABE ≌△BCN （ASA ）； （2）∵N 为AB 中点，∴BN =12AB又∵△ABE ≌△BCN ，∴AE ＝BN =12AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═AEAB=AE2AE=12．15．（2019•崇明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC=35，求：sin B的值．【点拨】先由AD＝BC＝5，cos∠ADC=35及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义即可求解．【解析】解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC=35，∴CD＝3，在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC=√AD2−CD2=√52−32=4，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB=√AC2+BC2=√42+52=√41，∴sin B=ACAB=41=4√4141．。
初三锐角三角函数题型及解题方法
初三锐角三角函数题型及解题方法初三数学中，锐角三角函数是一个非常重要的内容。
学习锐角三角函数，不仅需要掌握其概念和公式，还需要掌握一些常见的题型及解题方法。
本文将介绍一些常见的锐角三角函数题型及解题方法，帮助初三学生更好地掌握这一内容。
一、求三角函数值求三角函数值是锐角三角函数中最基本的题型。
一般来说，题目都会给出三角函数的角度，要求求出其对应的正弦、余弦、正切等函数值。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数的定义和公式。
例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角角度A，其对边长度与斜边长度的比值称为正弦值sinA。
因此，我们只需要根据这个定义和公式进行计算即可。
举个例子，题目给出角度A=30度，要求求出其正弦值sinA。
根据正弦函数的定义和公式，我们得到：sinA=对边长度/斜边长度=sqrt(3)/2因此，sinA=√3/2。
二、三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式指的是三角函数之间的基本等式。
例如，正切函数的基本关系式是tanA=sinA/cosA。
这类题目一般要求将一个三角函数用另外一个三角函数表示出来，或者将两个三角函数相互表示。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数之间的基本关系式。
例如，正切函数的基本关系式是：tanA=sinA/cosA因此，如果题目给出sinA的值，要求求出tanA的值，我们只需要将sinA/cosA代入上式，即可得到：tanA=sinA/cosA=√3/3三、三角函数值的范围三角函数值的范围是指，每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
解题方法：对于这类题目，我们需要掌握每个三角函数的取值范围。
例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，因此，如果题目给出sinA=-0.5，我们就可以知道sinA的值在[-1,1]范围之内。
四、三角函数的性质三角函数的性质指的是，它们在不同象限中的正负性和大小关系。
求锐角三角函数的四种方法.docx
求锐角三角函数的四种方法＞方法一运用定义求锐角三角函数值1 •如图 6-ZT-1，在 Rt/XABC 中，ZC = 90° ，BC=3，AC=4，那么 sinA 的值等于图 6-ZT-12 •如图6-ZT-2，在心ZXABC 中，CD 是斜边AB 上的中线.若CD = 5，AC=6，则 tanB 的值是（）A 5 C 4 33 • a ，b ，c 是AABC 中ZA ，ZB ，ZC 的对边，且 a ： b ： c=l ：迈：萌，则 cosB 的 值为（）A •普B.普C.芈D 逹4 •如图6-ZT-3，AABC 的顶点都在小正方形组成的网格的格点上，则cosC 的值为 （） 厂湖 ::a~~\图 6-ZT-3D •呼5 ・如图 6-ZT-4，在厶 ABC 中，ZC = 90° ，BC = 3，AB=5，求 sinA > cos A ，tanA 的值.6 •如图6-ZT-5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE=3AE ，试求sinZECM 的值.4-5 D 3-5 c4-3 B. 3-4 A＞方法二利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值7•在AABC 中，cosA=^j，则血(90° -ZA)的值为( )512 8 小5A l3 C l3 D l28• [2017-福建]小明在某次作业屮得到如下结果: sin2!0 +朋83。
^0.122+0.992=0.9945，sin 22° +朋68。
^0.372+ 0.932= 1.0018，朋29。
+ 朋61。
^0.482+ 0.872= 0.9873，s卅3丁+sin5r ^0.602+0.802= 1.0000 »sitT45 ° +C45° =（¥）? +（¥）2据此，小明猜想：对于任意锐角a，均有曲2 a +加2(90°— a )=1.⑴当a=30°时，说明sin a +5m2(90°—a)=l是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.A 方法三利用等角求锐角三角函数值9 •如图6-ZT-6，己知h 〃b 〃13，相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角三角 形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin a 的值是（）10 •如图 6-ZT-7，在 AABC 屮，AB=AC=5，8。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。
5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。
tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。
小专题(八) 求锐角的三角函数值的常用方法
方法 4 构造直角三角形
若要求的三角函数值的角不在直角三角形中，则需要根据 已知条件构造直角三角形来解决．
9．如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于点 E，D 为 AB 边上一点．如
果 BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝35，那么 AE 的长为
(D)
A．3
B．6
C．7.2
D．9
10．(合肥市庐阳区期末)如图，网格中的每一个正方形的边长
∴BC＝ AB2－AC2＝ 9m2－4m2＝ 5m.
ห้องสมุดไป่ตู้∴在
Rt△ABC
中，tanB＝ABCC＝
2m ＝ 5m
2 5.
在 Rt△EFB 中，EF＝BF·tanB＝2m5，
∴CE＝EF＝2m5.
2m
∴在
Rt△ACE
中，tan∠CAE＝ACEC＝2m5＝
5 5.
方法 3 等角转换
当一个锐角的某个三角函数不容易求解时，可以借助与其 相等的一个角进行转化，进而求出其三角函数值．
解：(1)在 Rt△ABD 中，∵BD＝DC＝9，AD＝6，
∴AB＝ BD2＋AD2＝ 92＋62＝3 13.
∴sinB＝AADB＝3
6 ＝2 13
1313.
(2)∵EF∥AD，BE＝2AE， ∴AEDF＝BBDF＝BBAE＝23.∴E6F＝B9F＝23. ∴EF＝4，BF＝6.∴DF＝3. 在 Rt△DEF 中，DE＝ EF2＋DF2＝ 42＋32＝5.
在 Rt△ADC 中，tanA＝32， 设 AC＝2a，CD＝3a(a>0)，∴DE＝a. 在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 CE＝ CD2＋DE2＝ （3a）2＋a2＝ 10a. ∴cos∠BCD＝CCDE＝ 31a0a＝130 10.
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求锐角三角函数值的几种常用方法
一、定义法
当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )
(A )
513 (B )1213 (C )512 (D )13
5 对应训练：
1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为( )
A ．
55 B ．255 C ．1
2
D ．2 二、参数（方程思想）法
锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线
段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =
5
12
，那么sin B 的值是 ． 对应训练：
1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=
5
3
，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43
2．已知△ABC 中，
90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ．
3．已知Rt △ABC 中，,12,4
3tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠4
3sin AOC
求：AB 及OC 的长．
D C B A O
y
x
第8题图
A
D E
C
B
F
三、等角代换法
当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．
例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练
1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为
3
2
，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4
3
2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，
AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45
3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若
1tan 5
DBA ∠= ，则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ．1
D ．22
4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧
圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．
12 B ．32 C ．35
D ．45
5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则
sin α= ．
6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5
A =，则这个菱形的面积= cm 2
．
7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线
AD =
3
3
16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
D
A
B
C
C
B
A
四、构造（直接三角形）法
直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形． （1）化斜三角形为直角三角形
例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )
(A )
5714 (B )35 (C )217 (D )21
14
对应训练：
1．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
2．（重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
（2）利用网格构造直角三角形
例5 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）
A ．
12 B ．55 C ．1010
D ．25
5 对应练习：
1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆
时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ）
A.
41 B. 31 C.2
1 D. 1
3．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）
Ａ．
55 Ｂ．255
Ｃ．12 Ｄ．2
4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点在格点上，
请按要求完成下列各题：
（1） 用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为 ； （3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ．（4） 若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .
三角函数与四边形：
1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
tan ∠BDC= 6
3． (1) 求BD 的长；(2) 求AD 的长．
2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ；（2）若AE =4，AF =
245，3
sin 5
BAE ∠=，求CF 的长．
三角函数与圆：
3.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF.
（1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若5
4
C cos =
, DE =9，求BF 的长． A
B
O。