12 2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案
2016年各省高中数学联赛预选赛试题及详解答案(最值部分)
2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）1、 为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >y x xy 21y x yx a y x a y x 22++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥2、 设1x 0<<，b a ，大于零的常数，x1b x a 22-+则的最小值为（()2b a +） 解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数由柯西不等式可知：()()2222b a x1x b a x 1b x a +=-++≥-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。
3、 已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则b1a 1+最小值时，=ab （27） 解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()943616b a 913b 1a 99b 1a 12==++≥+=+，即当且仅当b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。
∴2793ab =⨯=4、 若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）解：∵0y x >, ∴xy 为正数∴5x39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x3y 432x 39y 4452≥+⇔++≥+=当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩⎪⎨⎧==21y 1x 时，等号成立。
5、 z y x ，，为正数时，222z y x yz xz 4+++的最大值为（217）。
解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒数。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x -D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是 14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值 三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案一、选择题（每小题6分，共48分）1.已知集合{}1,2,3,10M = ，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 答案：C ．解：元素和为8的子集A 有：{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,2,5,1,3,4，共6个．2.在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A．2BC ．2 D．答案：B ．解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别是()()(2,0,0,0,.A O B -易知，△AOB的面积122S =⨯= 3.设,,a b c是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥ ，则()()c a c b -⋅- 的最大值是（ ）A．1 B．1 CD ．1 答案：A ．解：方法1：因为,1a b a b c ⊥===，所有0,a b a b ⋅=+=设向量c 与a b +的夹角为θ，则()()()22cos 11c a c b c c a b a bc c a b θθ-⋅-=-⋅++⋅=-⋅+=≤当且仅当cos 1θ=-，即θπ=时，等号成立．故()()c a c b -⋅-的最大值为1+方法2：依题意，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin a b c θθ===，则()()()()()22cos 1cos sin sin 1cos sin cos sin 1.4c a c b θθθθπθθθθθ-⋅-=-+-⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭故当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()()c a c b -⋅-取得最大值，最大值为1+4.从1,2,,20 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A ．15 B ．110 C ．319 D ．338答案：D ．解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有3201140C =种．若取出的3 个数,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，所以a 、c 同为奇数，或同为偶数，且a 、c 确定后，b 随之而定．故所求的概率为2210103203.38C C p C +== 5.,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则AB 等于（ ） A ．3 B ．4 C． D．答案：C ．解：方法1：因为点A 、B 关于直线0x y +=对称，所以 1.AB k =设直线AB 的方程为y x b =+，代入23y x =-，得230.x x b ++-=……①由()1430b ∆=-->，得13.4b <设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，则1201.22x x x +==-从而，001.2y x b b =+=-又点11,22M b ⎛⎫--⎪⎝⎭在直线0x y +=上，所以110,22b -+-=即 1.b = 将1b =代入①，得220x x +-=．解得122, 1.x x =-= 所以()()2,1,1,2.A B --故AB =6.如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 是线段AG 的中点，则四棱锥M -BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．π B ．32π CD解：如图，连结BG ．因为G 为正△BCD 的重心，所以AG ⊥平面BCD ，从而而.AG BG ⊥在Rt △AGB中，21,3AB BG ===AG ==于是，12MG AG ==在Rt △MGB 中，2MB =从而2MC MB ==所以22221.MB MC BC +==所以 .MB MC ⊥同理,.MC MD MD MB ⊥⊥所以三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以DAMDGBMB、MC、BD为棱的正方体的对角线的长．设三棱锥M-BCD的外接球半径为R，则2R B==故外接球的表面积234.2S Rππ==7.设函数()32f x x ax bx c=+++（,,a b c均为非零整数）．若()()33,f a a f b b==，则c的值是（）A．16-B．4-C．16答案：D．解：设()()32g x f x x ax bx c=-=++，则由()()33,f a a f b b==，得()()0.g a g b==所以a、b为方程()0g x=的两个根，则,.b ca b aba a+=-=消去b，得()()42111.11ac a aa a=-=-+--++因为c为整数，所以11a+=±，即0a=（舍去）或2a=-．故16.c=8.设非负实数,,a b c满足0ab bc ca a b c++=++>，则的最小值为（）A．2B．3CD．答案：A．解：不妨设a b c≥≥，由均值不等式，得()(((((((()2a b ca b b c c aa b b c c aab bc ca++=+++≥+++≥++当且仅当0c=且a b=时，等号成立．又0ab bc ca a b c++=++>2.≥由0,,c a b ab bc ca a b c==++=++，得2,0.a b c===故当a、b、c中有两个为2，一个为02.二、填空题（每小题8分，共32分）9.设数列{}n a中，4111,9a a==，且任意连续三项的和都是15，则2016a=．答案：5．解：依题意，对任意n N+∈，1212315.n n n n n na a a a a a+++++++=++=所以，3.n n a a +=从而，142113121,9,15 5.a a a a a a a =====--= 故201636723 5.a a a ⨯===10.设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是 ． 答案：54.解：由432423n m m ==⨯⨯，得m 的最小值为32354.⨯=11.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[]1,2x ∈，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：17,.6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解：因为()()2.xf xg x += ①所以()()2,xf xg x --+-=即()()2.xf xg x --+= ②由①、②得()()2222,.22x x x xg x h x ---+== 由()()20af x g x +≥，得()2222220.x xx x a ---++≥ ③ 令22x xt -=-，则由[]1,2x ∈，得315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且22222 2.x x t -+=+ 所以由③得2a t t -≤+对315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 因为函数2t t +在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当32t =时，min 217.6t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以176a -≤，即17.6a ≥- 12.设x R ∈，则函数()21324354f x x x x x =-+-+-+-的最小值为 ． 答案：1．解：()12342345234514243234253541424232535414223 1.5253f x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-=当且仅当142430,0,025354x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤--≤-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即34x =时，等号成立． 故()min 3 1.4f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan .20cos sin 55x y x y πππππ+=-（1）求y x的值；（2）在△ABC 中，若tan yC x =，求sin 22cos A B +的最大值．解：（1）由已知得tan 95tan .201tan 5y x y x πππ+=- 令tan yxθ=，则tantan 95tan201tan tan5πθππθ+=-，即9tan tan .520ππθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以9520k ππθπ+=+，即().4k k Z πθπ=+∈ 故tan tan tan 1.44y k x ππθπ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （2）由（1）得tan 1.C = 因为0C π<<，所以4C π=．从而，4A B π3+=，则322.2A B π=-所以223sin 22cos sin 22cos 2cos 22cos 2cos 2cos 1132cos .22A B B BB B B B B π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=-+=-++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值3.2二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆()222:12O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60 ，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 面积S 的取值范围．解：因为菱形ABCD 有一个角为60，所以 △ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设△ACD 为等边三角形，如图所示．因为圆心O 到直线l 的距离为2r >，所以直线l 与圆相离． 设直线CD的方程为y b +，则直线l 与CD 的距离为4.2d d -=又圆心O 到直线CD 的距离为2b，所以CD =由d =，得42b -=化简得22243.b b r -+=因为12r <<，所以232412.b b <-+<解得21b -<<，或1 4.r <<又)22222224.46ACDS S d b ∆===⨯=-因为函数)246S b =-在()2,1-和()1,4上分别单调递减，所以菱形ABCD 的面积S 的取值范围为.⎛ ⎝三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与△PAB 的外接圆O 交于另一点R ．求证：.PQ QR =证法1：如图，连结12O O ，分别交PQ 、PO 于点M 、N ，则12OO PQ ⊥，且M 为PQ 的中点．连结1PO 、2PO 、1OO 、2OO 、OQ 、OR ．因为PA 与圆2O 相切，所以2.PA PO ⊥ 又PA 为圆1O 与圆O 的公切线，所以1.PA O O ⊥ 所以21//.PO OO 同理，12//.PO O O所以四边形12PO OO 为平行四边形．从而，N 为PO 的中点． 又M 为PQ 的中点，所以//MN OQ ，即12//.OO OQ 因为12OO PQ ⊥，所以OQ PQ ⊥，即.OQ PR ⊥ 又OP OR =，故Q 为PR 的中点，即.PQ QR =证法2：如图，连结AQ 、BQ 、AR 、BR ．因为PA 与圆2O 相切，PB 与圆1O 相切，所以,.APQ PBQ PAQ BPQ ∠=∠∠=∠ 所以△PAQ ∽△BPQ ，所以,PQ AQBQ PQ=即2.PQ AQ BQ =⋅ 又,AQR APQ PAQ APQ BPQ APB ∠=∠+∠=∠+∠=∠,QRA PRA PBA ∠=∠=∠所以△QAR ∽△.PAB同理，△QRB ∽△.PAB 所以△QQR ∽△.QRB所以QR QAQB QR=，即2.QR QA QB =⋅ 故22PQ QR =，即.PQ QR =四、（本题满分30分）设函数()1ln 1,f x x a a R x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭，且()f x 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足()()111,2n n a a f a n N ++==+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++ ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求.n S解：（1）()221,0.a x af x x x x x-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，不合题意．当0a >时，若0x a <<，则()0f x '<；若x a >，则()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．所以()()min ln 1.f x f a a a ==-+设()()ln 10g a a a a =-+>，则()111.a g a a a-'=-= 若01a <<，则()0g a '>；若1a >，则()0g a '<．所以函数()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()()10g a g ≤=，当且仅当1a =时，等号成立．图当1a =时，()f x 取得最小值0.（2）由（1）知，()1ln 1f x x x =+-，所以()112ln 1.n n n na f a a a +=+=++由11a =得，2 2.a =从而，33ln 2.2a =+因为1ln 212<<，所以32 3.a << 下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，2 3.n a <<（Ⅰ）当3n =时，结论已成立．（Ⅱ）假设当()3n k k =≥时，23k a <<．那么，当1n k =+时，有11ln 1k k ka a a +=++ 由（1）知，()()12ln 1h x f x x x=+=++在()2,3上单调递增． 所以()()()23k h h a h <<，即()31ln 2ln 3 1.23k h a +<<++ 因为15ln 2,ln 323><，所以()23k h a <<，即12 3.k a +<< 即当1n k =+时，结论也成立． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，对一切整数3n ≥，都有2 3.n a <<所以[][]()11,22.n a a n ==≥故[][][][]()1231212 1.n n S a a a a n n =++++=+-=-五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：++≥证法1：不妨设a b c≤≤，则≤≤由切比雪夫不等式，得1.3a b c++=≤又由幂平均不等式，得≤=所以.a b c++≤所以.a b c++≤≥=由已知及均值不等式，得 3.a b c++≥=≥证法2：令A a b c=++，则0,,1a b cAA A<<，由幂级数展开式，得2121,a aA Aαα⎡⎤⎛⎫===+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中，1111121,1,2,.!kkn n n nkkα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==2121,b bA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121.c cA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅+⋅+⎥⎪⎝⎭⎥⎦所以()()212223122122333311133a b c a b ca b cA Aa b c a b ca b cA Aαααααα⎤++++=+++⋅+⋅+⎥⎦⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥≥+++⋅+⋅+⎥⎥⎣⎦⎫=+⋅+⋅+⎪⎭==≥=注1：切比雪夫不等式设1212,,,,,,,n nx x x y y y为任意两组实数，若12nx x x≤≤≤且12ny y y≤≤≤或12nx x x≥≥≥且12ny y y≥≥≥，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（*）若12nx x x≤≤≤且12ny y y≥≥≥或12nx x x≥≥≥且12ny y y≤≤≤，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（**）当且仅当12nx x x===或12ny y y===时，（*）和（**）中的等号成立．注2：幂平均不等式若αβ>，且0,0αβ≠≠，0,1,2,,ix i n>= ，则11.n ni ii ix xn nαβαβ11==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑。
(2021年整理)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案
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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。
2016年全国高中数学联赛陕西预赛试题
2021年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题〔4月24日上午 8:30—11:00〕第一试一、选择题〔每题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，那么满足条件的子集A 共有〔 〕A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是〔 〕A. 2B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，那么()()c a c b -⋅-的最大值是〔 〕A. 1+B. 1C.1 D. 1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，那么这3个数构成等差数列的概率为〔 〕 A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，那么||AB 等于〔 〕A. 3B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，那么三棱锥M BCD -的外接球的外表积为〔 〕A. πB.32π C. D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++〔,,a b c 均为非零整数〕. 假设3()f a a =，3()f b b =，那么c 的值是〔 〕 A. 16- B. 4- C. 4 D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，〔 〕A. 2B. 3C.D.二、填空题〔每题8分，共32分〕9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，那么A C D B GM2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，那么m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，假设对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，那么实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，那么函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、〔此题总分值20分〕设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-． 〔1〕求y x的值；〔2〕在ABC ∆中，假设，求sin 22cos A B +的最大值．二、〔此题总分值20分〕直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、〔此题总分值20分〕如图，圆1O 及圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 及圆2O 相切，圆2O 的弦PB 及圆1O 相切，直线PQ 及PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、〔此题总分值30分〕设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0， 〔1〕求a 的值； 〔2〕数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、〔此题总分值30分〕设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥．。
2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)
3
（ B．6860．
3 2
）
C．9260．
2
D．9262．
注意到 (2k 1) (2k 1) 2(12k 1) ，由 2(12k 1) 2016 得 | k | 10 . 取 k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过 2016 的“和谐数” ，它们的和为
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
2．三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么 不同的购书方案共有 （ ） A．9 种． B．10 种． C．11 种． D．12 种． 【答】C. 设购买三种图书的数量分别为 a, b, c ，则 a b c 30 ，10a 15b 20c 500 ，易得 b 20 2a ，
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以
AH AM ，又 CD 1 ，所以 CD CM来自AH AM CM
①
设 AM x ，则 CM 5 x . 在 Rt△ ABM 中，可得 AH
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．
陕西省第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案
故
f
( y)
=
a3b 3
1 (3y2
−
y3 6
)
+
C1 y
+
C2
.
……………… 4 分
五、(本题满分 12 分) 计算 I =
3y
−
x
dx
−
5zdz
，曲线
:
x2
x2
+ +
y2 y2
+ z2 = = 2z
8
，从
z
轴
正向往坐标原点看去取逆时针方向.
【解】
曲线
也可表示为
z x
= 2， 2 + y2
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
I= − 4
+ 0
F ( x) F ( x)dx
=
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】 设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
y2
2
1
+
x y
=
x + yy x2 + y2
，即 (x + y)y =
y−x，
所以 f (1) = 0 ，曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y =1.
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
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2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
（4月24日上午 8:30—11:00）
第一试
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合={1,2,310}M ，，
，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）
A. 8个
B. 7个
C. 6个
D. 5个
2
、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪
+≥⎨⎪≥⎪⎩
表示的平面区域的面积是（ ）
A.
B. C. 2
D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（ ）
A. 1+
B. 1
C. 1-
D. 1
4、从1,2,
,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A.
15 B. 110 C. 3
19 D. 138
5、,A B 是抛物线2
3y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）
A. 3
B.
4
C.
D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，
则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ）
A. π
B. 32
π
C.
D. 7、设函数3
2
()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3
()f a a =，3
()f b b =，则c 的值是（ ）
A. 16-
B.
4- C. 4 D. 16
8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>
的最小值为（ ）
A.
2 B. 3
C.
D.
A D
B
G M
二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.
10、设,m n 均为正整数，且满足4
24m n =，则m 的最小值是_______________. 11、设()()f x g x 、分别是定义在
R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对
[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.
12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.
第二试
一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足
sin
cos
95
5tan 20cos sin 55
x y x y π
π
πππ+=-．
（1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x
=，求sin 22cos A B +的最大值．
二、（本题满分20
分）已知直线:4l y =+，动圆222
:(12)O x y r r +=<<，菱形
ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱
形ABCD 的面积S 的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：
PQ QR =．
A
B
P
O
Q
R
1O 2
O ⋅⋅
⋅
四、（本题满分30分）设函数1
()ln (1),f x x a a R x
=+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设
[][][][]123n n S a a a a =+++
+，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．
五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：
≥．。