习题解答(第7章)
第7章气体动理论习题解答
第7章 气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。
2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。
3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。
掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。
4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。
7.2基本概念1 平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。
2 物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。
4 自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。
5 内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2iE RT ν= 6 最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ==≈其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。
7 平均速率各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms υ表示，rms υ==≈ 9 平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:Zυλ==或λ=7.3基本规律1 理想气体的物态方程pV RT ν=或'm pV RT M=pV NkT =或p nkT =2 理想气体的压强公式23k p n ε=3 理想气体的温度公式21322k m kT ευ==4 能量按自由度均分定理在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数()dNf Nd υυ=表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。
第7章习题解答
z 2 = z 1 + 130
2 z z ) 2 + 100 z ( z ) = 0 1 - ( 1 + 130 1 + 82 1 + 130
2 - 260 z z ´ 130 = 0 1 - 130 + 182 1 + 82
78 z ´ 130 - 130 2 = -48 ´ 130 = -6240 1 = 82 z 1 = -80 z 2 = z 1 + 130 = 130 - 80 = 50 f = 40cm
p 3 . 14 - 8 2 l 2 ´ 6328 ´ 10 - 3 ④ q= = = 2 . 315 ´ 10 rad pw0 3 . 14 ´ 0 . 0174
（5）有一个平凹腔，凹面镜曲率半径 R=5m，腔长 L=1m，光波长l=0.5mm，求①两镜 面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解：①
2、双凹腔两反射镜面曲率半径分别为 R1=100cm、R2=82cm,腔长 L=130cm,求等价共焦 腔的焦参数。 解：
z1 +
f 2 = - R 1 z 1
z 1 +
f 2 = -100 z 1
2 2 z 100 z 1 + 1 + f = 0
w 0 =
f l
p
=
0 . 4 R l
p
（2）对称双凹腔长为 L，反射镜曲率半径 R=2.5L，光波长为l，求镜面上的基模光斑半 径。 解：
L L 2 f 2 = ( 2 R - L ) = (2 ´ 2 . 5 L - L ) = L 4 4 f = L
2 z 2
f
2
教材第七章习题解答
第七章化学平衡习题解答1．回答下列问题（1）反应商和标准平衡常数的概念有何区别？ （2）能否用r m G θ∆来判断反应的自发性？为什么？ （3）计算化学反应的K θ有哪些方法？（4）影响平衡移动的因素有哪些？它们是如何影响移动方向的？ （5）比较“温度与平衡常数的关系式”同“温度与反应速率常数的关系式”，有哪些相似之处？有哪些不同之处？举例说明。
（6）酸碱质子理论如何定义酸和碱？有何优越性？什么叫共轭酸碱对？（7）当往缓冲溶液中加入大量的酸和碱，或者用很大量的水稀释时，pH 是否仍保持不变？说明其原因。
（8）对于一个在标准状态下是吸热、熵减的化学反应，当温度升高时，根据勒夏特列原理判断，反应将向吸热的正方向移动；而根据公式∆r G m θ=∆r H m θ-T ∆r S m θ判断，∆r G m θ将变得更正（正值更大），即反应更不利于向正方向进行。
在这两种矛盾的判断中，哪一种是正确的？简要说明原因。
（9）对于制取水煤气的下列平衡系统：22C(s)+H O(g)CO(g)+H (g) ；r m H Θ∆。
问：① 欲使平衡向右移动，可采取哪些措施？② 欲使正反应进行得较快且较完全（平衡向右移动）的适宜条件如何？这些措施对K θ及k(正)、k(逆)的影响各如何？（10）平衡常数改变时，平衡是否必定移动？平衡移动时，平衡常数是否一定改变？【解答】（1）反应商是在一定温度下，任意给定态时，生成物的相对压力（或者相对浓度）以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力（或相对浓度）以化学计量系数为幂的乘积。
在一定温度下，当反应达到平衡时，生成物的相对压力（或者相对浓度）以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力（或相对浓度）以化学计量系数为幂的乘积是一个常数，称为标准平衡常数，是量纲为一的量。
标准平衡常数的数值只是温度的函数。
（2）只能用r m G θ∆判断在标准态下的反应的自发性。
任意给定态时，反应的自发进行的方向只能由r m G ∆来判断。
第7章 信号处理电路 习题解答
7.3简述电荷放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：电荷放大器应用于压电式加速度传感器、压力传感器等的后端放大。
上述两种传感器属于电容性传感器，这类传感器的阻抗非常高，呈容性，输出电压很微弱；他们工作时，将产生正比于被测物理量的电荷量，积分运算电路可以将电荷量转换成电压量，电路如下图所示。
解：1）LBF；2）BPF；3）HPF；4）BEF。
二、判断下列说法是否正确，用 “√”（正）和“ ”（误）填入括号内。
1）高通滤波器的通频带是指电压的放大倍数不变的频率范围。（）
2）低通滤波器的截止频率就是电压放大倍数下降1/2的频率点。（）
3）带通滤波器的频带宽度是指电压放大倍数大于或等于通带内放大倍数0.707的频率范围。（）
其中 ；
该滤波器为二阶低通滤波电路，幅频特性如下图：
7.7试说明图P7－8所示各电路属于哪种类型的滤波电路，是几阶滤波电路。
（1）
（2）
图P7-7
解：
图（1）所示电路二阶带通滤波器或者二阶带阻滤波器。
前一个运放为高通滤波器（截止频率f1），后一个运放为低通滤波器（截止频率f2），如果 ，则f1<f2，该滤波器为二阶带通滤波器；如果 ，则f1>f2，该滤波器为二阶带阻滤波器。
电容性传感器可等效为因存储电荷而产生的电动势Ut与一个输出电容Ct串联，如图中虚线框内所示。根据集成运放的特点，可得到输出电压为： 。
7.4简述隔离放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：隔离放大器通常应用于远距离信号传输。
在远距离信号传输的过程中，常因强干扰的引入使放大电路的输出有很强的干扰背景，甚至将有用信号淹没，造成系统无法正常工作。隔离放大器将电路的输入侧和输出侧在电气上完全隔离，它既可切断输入侧和输出侧电路间的直接联系，避免干扰混入输出信号，又可使有用信号畅通无阻。目前集成隔离放大器有变压器耦合式、光电耦合式和电容耦合式三种。
第七章习题解答
计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。
（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。
杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）。
（3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。
1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。
解：(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。
缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。
重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。
绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度。
解：为一自由度理想约束系统。
取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。
鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理，有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。
第7章习题详细解答
第7章习题解答7—1判断题（对的打√，不对的打×)1。
数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。
（× )2。
边沿触发器和基本RS触发器相比，解决了空翻的问题.（×）3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻，其他时间触发器状态均不变。
（√）4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。
（√)23 的计数器。
（×）5。
3位二进制计数器可以构成模为16。
十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。
（√）7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。
（×）8．当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。
寄存器要存放n位二进制数码时，需要n2个触发器。
(×）10．同步计数器的计数速度比异步计数器快。
（√）11。
在计数器电路中，同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时，同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零，而异步置零不受时钟的控制。
（√）12。
计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。
（√）13。
自启动功能是任何一个时序电路都具有的。
（× )14。
无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时，只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态；只要是同步的，则不需要过渡状态。
（√）15。
用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×）7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示，已知R、S的电压波形，试画出与之对应的Q和Q的波形。
图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示：或非门RS 触发器特性表 题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示，已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。
图7-39 题7-3图解：由与非门组成的基本RS 触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表 题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0，试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。
第7章输入输出习题参考解答
第7章思考题与习题参考答案1．计算机的I/O系统的功能是什么？它由哪几个部分组成？答：计算机的I/O系统，主要用于解决主机与外部设备间的信息通讯，提供信息通路，使外围设备与主机能够协调一致地工作。
计算机的I/O系统由I/O硬件和I/O软件两大部分组成。
其中I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。
I/O软件包括：用户的I/O程序、设备驱动程序、设备控制程序。
2．I/O硬件包括哪几个部分？各部分的作用是什么？答：I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。
系统总线的作用是为CPU、主存、I/O设备（通过I/O接口）各大部件之间的信息传输提供通路。
I/O接口通常是指主机与I/O设备之间设置的一个硬件电路及其相应的控制软件。
它用于在系统总线和外设之间传输信号，并起缓冲作用，以满足接口两边的时序要求。
I/O设备的作用是为主机与外部世界打交道提供一个工具。
设备控制器用来控制I/O设备的具体动作，不同的I/O设备需要完成的控制功能不同。
3．什么是用户I/O程序？什么是设备驱动程序？什么是设备控制程序？答：用户I/O程序是指用户利用操作系统提供的调用界面编写的具体I/O设备的输入输出程序。
例如用户编写的用打印机输出文本的程序。
设备驱动程序是一种可以使计算机和设备通信的特殊程序。
可以说相当于操作系统与硬件的接口，操作系统只有通过这个接口，才能控制硬件设备的工作，假如某设备的驱动程序未能正确安装，便不能正常工作。
设备控制程序就是驱动程序中具体对设备进行控制的程序。
设备控制程序通过接口控制逻辑电路，发出控制命令字。
命令字代码各位表达了要求I/O设备执行操作的控制代码，由硬件逻辑解释执行，发出控制外设的有关控制信号。
4．说明设计I/O系统的三个要素的具体内容。
答：设计I/O系统应该考虑如下三个要素：①数据定位： I/O系统必须能够根据主机提出的要求进行设备的选择，并按照数据在设备中的地址找到相应的数据。
第7章习题解答
第七章习题解答一、填空1．一个操作系统的可扩展性，是指该系统能够跟上先进计算技术发展的能力。
2．在引入线程的操作系统中，线程是进程的一个实体，是进程中实施调度和处理机分派的基本单位。
3．一个线程除了有所属进程的基本优先级外，还有运行时的当前优先级。
4．在Windows 2000中，具有1~15优先级的线程称为可变型线程。
它的优先级随着时间配额的用完，会被强制降低。
5．Windows 2000在创建一个进程时，在内存里分配给它一定数量的页帧，用于存放运行时所需要的页面。
这些页面被称为是该进程的“工作集”。
6．Windows 2000采用的是请求调页法和集群法相结合的取页策略，把页面装入到内存的页帧里的。
7．分区是磁盘的基本组成部分，是一个能够被格式化和单独使用的逻辑单元。
8．MFT是一个数组，是一个以数组元素为记录构成的文件。
9．只要是存于NTFS卷上的文件，在MFT里都会有一个元素与之对应。
10．在Windows 2000的设备管理中，整个I/O处理过程都是通过I/O请求包（IRP）来驱动的。
二、选择1．在引入线程概念之后，一个进程至少要拥有D 个线程。
A． 4 B．3 C．2 D．12．在Windows 2000中，只有A 状态的线程才能成为被切换成运行状态，占用处理器执行。
A．备用B．就绪C．等待D．转换3．Windows 2000是采用C 来实现对线程的调度管理的。
A．线程调度器就绪队列表B．线程调度器就绪队列表、就绪位图C．线程调度器就绪队列表、就绪位图、空闲位图D．线程调度器就绪队列表、空闲位图4．在Windows 2000里，一个线程的优先级，会在A 时被系统降低。
A．时间配额用完B．请求I/O C．等待消息D．线程切换5．在单处理机系统，当要在进程工作集里替换一页时，Windows2000实施的是B 页面淘汰策略。
A． FIFO（先进先出）B．LRU（最近最久未用）C．LFU（最近最少用）D．OPT（最优）6．在页帧数据库里，处于下面所列A 状态下的页帧才可以变为有效状态。
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7（A ）三、解答题1. 设总体X 服从几何分布，分布律为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ，(10<<p )求p 的矩估计量． 解：因为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X Pk ，所以X 的一阶矩.1)1(1)1(11))1(()1(}{)(2//'1111p p p p p p p p p p p p p k k X kP X E nk k nk k nk =--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--=-===∑∑∑==-=用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到,1pX=所以p 的矩估计量为.1ˆXp= 2. 求均匀分布),(~b a U X 中参数b a ,的矩估计量．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，总体X 的一阶、二阶矩分别为2)(1ba X E +==μ μ2 = E (X 2) = D (X ) + [E (X )] 2= 3)2(12)(2222b ab a b a a b ++=++-用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到⎪⎩⎪⎨⎧++=+=322221b ab a A b a A 解得b a ,的矩估计量为∑∑==--=--=--=n i i n i i X X n X X X n A A A A a 12212212121)(33333ˆ ∑∑==-+=-+=-+=n i i n i i X X n X X X n A A A A b 12212212121)(33333ˆ 3. 设总体X 的概率密度为||21);(θθ--=x e x f ，∞<<∞-x 1,,n X X 是来自X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量．解：总体X 的一阶为θθθμθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-+-=+--=-=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+--∞--∞-∞+--∞+---∞--∞+--∞--+∞--∞--+∞∞---)()()()()()()()()()(||12121212121|2121|212121212121)(x x x x x x x x x x x de de dx e xe dx e xe xde xde dx e xdx e x dx e x X E用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到.ˆX =θ4. 设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=--其它,0,1);(/)(μθθμx e x f θx ，其中μθθ),0(>是未知参数，1,,n X X 是来自X的简单随机样本，求θ和μ的矩估计量．解：总体X 的一阶为.|1)(/)(/)(/)(/)(/)(1μθθμθμμμμμμμθμμμμ+=-=+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+--∞+--∞+----+∞--θx θx θx θx θx d e d xe xexd e d xe xX E总体X 的二阶为22222/)(/)(2/)(2/)(222)(22)(22|1)(θθμθθμμμθθμθμμμμμθμμμμ++=++=++=+-=-===⎰⎰⎰∞+--∞+----+∞--d xxe e x d e x d xe x XE θx θx θx θx用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到⎩⎨⎧++=+=2221)(θμθμθA A解得θ和μ的矩估计量为∑=-=-=n i i X X n A A 12212)(1ˆθ，∑=--=--=ni i X X n X AA A 122121)(1ˆμ.5. 设),(~p m B X，m已知，10<<p 未知，1,,n X X 是来自X的简单随机样本，求p 的最大似然估计量．解：由于X 的分布律为mk p p C x X P k m kk m ,...,1,0,)1(}{=-==-基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为iix m ni x xmn p p C p x x x L p L -=-==∏)1();,...,,()(121,)1(111∏=-∑-∑===ni x mx nm x i ni ini iCp p,ln )1ln(ln )(ln 111∑===+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni x m ni i n i i ii C p x nm p x p L,01)(ln d d 11=-∑--∑===px nm p x p L p ni in i i 令解得.11mxx nm p n i i =∑==,0)1()(ln d d 212122<-∑--∑-===p x nm p x p L p ni in i i 注意到： p 的最大似然估计值为.1ˆ1mxx n pn i i =∑== p 的最大似然估计量为.ˆmX p= 6. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,);(x x e x f x θθθ，今从X 中抽取10个个体，得数据如下: 1050 1100 1080 1200 1300 12501340106011501150试用最大似然估计法估计θ．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥∑====-=∏其它,00,...,,,);();,...,,()(211211n x n ni i n x x x e x f x x x L L ni iθθθθθ当0,...,,21≥nx x x 时，∑=-=ni ix θn L 1ln )(ln θθ，令0)(ln 1=∑-==ni i x n L d d θθθ， 解得xx nni i11=∑==θ． 考虑到0)(ln 222<-=θθθnL d d 所以，θ的最大似然估计值为x1ˆ=θ 将数据代入计算，θ的最大似然估计量为=θˆ0.0008587. 设某电子元件的使用寿命X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,0,,2);()(2θθθθx x e x f x 0>θ为未知参数，n x x x ,...,,21是X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值．解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧>∑====--=∏其它,0,...,,,2);();,...,,()(21)(21211θθθθθn x n ni i n x x x e x f x x x L L ni i容易看出θ越大L (θ)越大，在约束θ>n x x x ,...,,21下，},...,,min{ˆ21nx x x =θ即为θ最大似然估计值。
8. 设21,X X 是取自总体N (μ，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为μ的无偏估计量，并确定最有效的一个．213132X X +，214341X X +，().2121X X +证明：因为21,X X 独立均服从N (μ，1)，且,3132)(31)(32)3132(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E ,4341)(43)(41)4341(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E . ,)()2121(21μ==+X E X X E 所以213132X X +，214341X X +，().2121X X +均为μ的无偏估计量。
又因为,9109199)(91)(94)3132(2121=+=+=+X D X D X X D ,85169161)(169)(161)4341(2121=+=+=+X E X E X X D ,212)()()2121(21===+X D X D X X D 所以().2121X X +最有效。
9. 设总体X 的数学期望为μ，1,,n X X 是来自X 的简单随机样本．n a a a ,,,21 是任意常数,证明)0(111≠∑∑∑===ni in i in i iiaa X a 是μ 的无偏估计量．证明：因为X i 的数学期望均为μ，所以,)()(111111μμ===∑∑∑∑∑∑======ni in i ini ini i in i ini ii aa aX aE a X a E故)0(111≠∑∑∑===ni in i in i iiaa X a 是μ 的无偏估计量．10. 设总体21~(,),,,n XN X X μσ 是来自X 的一个样本．(1) 试确定常数c ，使∑-=+-1121)(n i i i X Xc为σ 2的无偏估计;(2) 试确定常数c ，使)(22cS X -为μ 2的无偏估计．解：（1）因为2112111122112221111211121111121112111112111211121)1(2)2())(2)(())()()(2)(()()()(2)(()2())((σσμσμμσ-==++-+=+-=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=++-=-=-=++-=-=-=++-=+n c c c XE X E X E X E c XE X E X E X E c XX X X E c X X c E n i n i n i n i n i n i ii n i i i n i n i ii n i i i n i n i ii n i i i n i i i所以当)1(21-=n c 时∑-=+=-11221))((n i i i X X c E σ，∑-=+-1121)(n i i i X X c 为σ 2的无偏估计。
（2）因为22222222)()()()()()(σμσc nX cD X E X D S cE X E cS X E -+=-+=-=-所以当nc1=时222)(μ=-cS X E ，)(22cS X -为σ 2的无偏估计。
11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N (μ ，σ 2)；在下面两种情况下，求μ 的置信水平为0.95的置信区间． (1) 由以往的经验知σ = 0.6 (小时); (2) σ 未知．解：（1）由于σ = 0.6，求μ 的置信区间由公式⎪⎭⎫⎝⎛+-22,αασσz n X z nX计算， 其中n=9，α=0.05，==025.02z z α 1.96，69191==∑=i i x x ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于σ 未知，求μ 的置信区间由公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(22n t n SX n t nS Xαα计算，其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，69191==∑=i i x x ，33.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(2n t n SX n t nS X αα，其中n=9，α=0.01，3554.3)8()8(005.02==t t α，0056.19191==∑=i i x x ， 0006.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X ~N (μ,σ2),由于σ未知，μ 的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)1(),1(22n t n SX n t n S X αα， 其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，11.11419191==∑=i i x x ， 11.8136)(11212=--=∑=ni i x x n s 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(221222n S n n S n ααχχ 其中n =8，α=0.01，9892.0)7()1(,2777.20)7()1(2995.02212005.022χχχχαα=-==--n n ，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2212222n S n n S n ααχχ 其中n =5，α=0.05，4844.0)4()1(,1433.11)4()1(2975.02212025.022==-==--χχχχααn n ， 35151==∑=i i x x ，815.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得方差的置信水平为95%的置信区间为（0.29，6.73）.16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下: 使用第一种药物 5.1,17,142111===s x n 使用第二种药物8.1,19,162222===s x n假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差21μμ-的置信水平为99%的置信区间．解：设两正态总体分别为X ~N (μ1 , σ12)，Y ~N (μ2 , σ22)，由于σ12= σ22未知，12μμ-的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α，其中5.1,17,142111===s x n 8.1,19,162222===s x n2887.1216148.1155.1142)1()1(21222211=-+⨯+⨯=-+-+-=n n s n s n s w查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.005(28) = 2.1199．故得21μμ-的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2）．17. 测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm ）如下 A 民族：162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 158.4 160.2 162.2 B 民族：175.3 177.8 167.6 180.3 182.9 180.5 178.4 180.4假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差μ1 – μ2的置信水平为90%的置信区间． 解：由于总体方差相等但未知，可采用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α计算μ1 – μ2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得63.29,61.163,8211===s x n41.22,9.177,8222===s y n1.528841.22763.2972)1()1(21222211=-+⨯+⨯=-+-+-=n n s n s n s w查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.05(14) = 1.761．故得μ1 – μ2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．18. 工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)，μ1，μ2，σ12，σ22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm ）如下工人操作： 4.02 3.94 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 机器人操作: 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00 试求2221σ的置信水平为0.90的置信区间．解：由于μ1和μ2未知，可采用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(1,)1,1(12121221212221n n F S S n n F S S αα计算2221/σσ的置信区间．由两样本观测值计算得0189.0,7211==s n ，00017.0,8222==s n ，α = 0.1，查F 分布的分位数表知F 0.05(6,7) = 3.87，F 0.95(6,7) =24.021.41)6,7(105.0==F故得2221/σσ的置信水平为0.95的置信区间为 )39.46,853.2(24.0100017.00189.0,87.3100017.00189.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯．19. 求12题中μ的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的的单侧置信下限可由下面公式计算得到)1(--=n t nSX αμ 其中n=9，α=0.01，8595.1)8()8(05.0==t t α，0056.19191==∑=i i x x ， 0006.0)(11212=--=∑=ni i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为95%的单侧置信下限：8595.130006.00056.1⨯-=μ=0.99 20. 求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限． 解：由于X ～N (μ，σ2)且μ未知，σ 2的单侧置信上限为)1()1(2122--=-n S n αχσ 其中n =8，α=0.01，==--)7()1(299..021χχαn 1.239，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为54.32239.14.2722=⨯=σ.21. 设总体),(~2σμN X ，已知0σσ=，要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于L ，问应抽取多大容量的样本？ 解：由于),(~2σμN X ，已知0σσ=，总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2020,αασσz n X z n X令置信区间为长度L z n≤202ασ，解得22/0)(4Lz n ασ≤.。