抛物线的几何性质2
抛物线的简单几何性质(2)
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
抛物线的简单几何性质(2)
抛物线的简单几何性质（2）
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
2．抛物线的标准方程：
二、讲解新课：
2、通径：
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，灯口直径197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm ，由抛物线的性质可知，当灯泡按装载抛物线的焦点处，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1 mm ）
例3 过抛物线px y 22
=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．
四、课堂练习：课本47页 练习 1，2，3
五、小结 ：抛物线、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等。
高二数学抛物线的几何性质2
只 有 一 个 交 点 不 一 定 就 相 切
结论
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(1)x1x2=p2/4;
(2)y1y2=-p2;
(3)|AB|=x1+x2+p
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
小结
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p/2 (4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ (5)以AB为直径的圆与准线相切. 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),
1.点在抛物线外 2.点在抛物线上 3.点在抛物线内
y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0
直线与抛物线
1.直线与抛物线相离
y
0
2.直线与抛物线相切
O x
0
3.直线与抛物线相交
0
(有两个不同的交点相交)
证明或二次项系数为 :与抛物线y2=2px(p>0) 0,方程( 的对称轴 组 )只 平行的直线和抛物线只有一个交点 有一解,只有一个交点相交 .
1 1 2 点弦,求证: | FA | | FB | p
4. AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A、B在准线 上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆与 AB相切于焦点F.
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高二数学抛物线的几何性质2
o
N C
AD BC 2(
1 y) 4
p 1 y y, 2 4
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
1.过抛物线 y ax ( a 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
2 y 例2、已知过抛物线 2 px( p 0) 的焦点F的 ) 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 两点。
（1）x1 x2 是否为定值？y1 y2 呢？ 1 1 （ 2） 是否为定值？ | FA | | FB |
y
A ( x1 , y1 )
F
这一结论非常奇妙,
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
2.4.2抛物线的简单几 何性质(2)
复习：
图 形
y
l
O F
1、抛物线的几何性质
方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
2020高中数学 14 抛物线的几何性质(二)(含解析)
课时分层作业（十四) 抛物线的几何性质（二）(建议用时：60分钟）[基础达标练］1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则｜AF ｜·|BF |的最小值是( )A ．2B ． 2C ．4D ．2错误!C ［设直线AB 的倾斜角为θ，可得｜AF ｜＝错误!，｜BF |＝错误!，则｜AF |·|BF |＝错误!×错误!＝错误!≥4。
]2．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( ）A ．x 2＝错误!yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3yD ［设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由错误!消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝错误!＝3，即a ＝3,因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]3．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为错误!，则｜AB ｜的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D[设A(x1,y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，｜AF|＋|BF｜＝x1＋x2＋1＝4，由图可知｜AF|＋｜BF|≥｜AB｜⇒｜AB｜≤4,当且仅当直线AB过焦点F时，｜AB｜取得最大值4。
]4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A,B两点，若|AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋错误!＝0的距离等于( ) A．错误!B．2 C．错误!D．4C［易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点错误!，∴|AB｜为焦点弦．设A（x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N错误!，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4。
∴错误!＝错误!.∴AB中点到直线x＋错误!＝0的距离为错误!＋错误!＝错误!。
]5．已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2错误!,则抛物线的方程为（）A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3xC．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6xA［设所求抛物线的方程为y2＝2mx（m≠0)，设交点A（x1,y1），B（x2，y2)(y1〉0,y2〈0)，则|y1｜＋|y2｜＝2错误!，即y1－y2＝2错误!，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝错误!。
《2.3.2抛物线的几何性质》2精品PPT课件
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
先定型，再定量
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y
x
1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
§2.4.2抛物线的几何性质(2)
【练习3】过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）求 中点的轨迹方程;（2）证明: 与 轴的交点为定点.
【练习4】求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
【练习5】经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点,求 的值.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
一.滚动复习
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在三棱柱 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 是侧面 的中心,则 与平面 所成角的大小是.
2.若正四棱柱 的底面边长为 , 与底面 成 角,则 到底面 的距离为.
二.今日作业
3.设斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ,且和 轴交于点 ,若 为坐标原点)的面积为 ,求抛物线方程.
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
学习
目标
(1)掌握抛物线的简单几何性质,
(2)能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
二次总结栏
一.课前复习
1.提问:回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的几何性质?
2.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标.
二.知识点总结
7.已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
8.设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线相交于 两点,与抛物线的准线相交于 ,求 与 的面积之比.
纠错、总结栏
直线与抛物线的位置关系
三.典型例题
【例1】斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点,且与抛物线相交于 两点,求 的长.
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
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小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
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作业
P64 A组T4,5 Ｂ组Ｔ２
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l
y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
F
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2 x2
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l
x∈R
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
通径长为2p
y
P
O
F
x
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图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0）
P越大,开口越开阔
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例题
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, 2 2)的抛物线有几条,求它的标准方程, 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
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练习:1.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为450
的直线,则被抛物线截得的弦长为
2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线,设L 交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
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例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
抛物线的几何性质
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类比探索
结合抛物线Leabharlann 2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.
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(4)离心率
(5)焦半径 (6)通径
始终为常数1 |PF|=x0+p/2
y
A
F
O D B
x
练习:P68 T3
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例4.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个 点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边 长.
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2