第39讲 数学归纳法
数学归纳法课件
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
数学归纳法课件
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-
2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,
答案第39讲 数学归纳法--高考数学习题和答案
f1( 2 )
4 2
,
f2( 2)
2
16 3
,
故
2
f1
( 2
)
2
f2
( 2
)
1.
（Ⅱ）证明：由已知，得 xf0 (x) sin x, 等式两边分别对 x 求导，得 f0 (x) xf0(x) cos x ，
即
f0 (x)
xf1 ( x)
cos
x
sin(x
) 2
，类似可得
2 f1(x) xf2 (x) sin x sin(x ) ，
由 an1
p
p
1
an
c p
an1
p
易知
an
0, n N *
当nk
1时
ak 1 ak
p 1 p
c p
ak p
1
1( c p akp
1)
由 ak
1
cp
0 得 1
1 p
1 p
c ( akp
1)
0
由（Ⅰ）中的结论得 ( ak1 ) p [1 1 ( c 1)]p 1 p 1 ( c 1) c
1
（1）当 n 1 时由 a1 c p 0 ，即 a1p c 可知
a2
p 1 p a1
c p
a11
p
a1[1
1c p ( a1p
1)] a1 ，
1
1
并且 a2 f (a1) c p ，从而 a1 a2 c p
1
故当 n 1 时，不等式 an an1 c p 成立。
1
（2）假设 n k(k 1, k N*) 时，不等式 ak ak1 c p 成立，则
数学归纳法完整PPT课件
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法 课件
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出 “n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子 写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核 心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N*) [证明] (1)当 n＝2 时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＞56.
则当 n＝k＋1 时，k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k1＋1＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
…
＋
1 3k
第39讲 反证法与数学归纳法
反证法与数学归纳法1.反证法步骤：（1）反设：假定所要证的结论不正确，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理/定理/定义/明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。
既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
（结论成立）2.数学归纳法步骤：（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N∗)时命题成立；（2）假设n=k(k≥n0,k∈N∗)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
（只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
）【例1】已知a,b,c是互不相等的非零实数。
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a= 0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根。
证明：假设没有一个方程有两个相异实根，则方程ax2+2bx+c=0的判别式∆1=4b2−4ac≤0，方程bx2+2cx+a=0的判别式∆2=4c2−4ab≤0，方程cx2+2ax+b=0的判别式∆3=4a2−4bc≤0,则有∆1+∆2+∆3=2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc≤0，配方得2∆1+∆2+∆3=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤0.2又因为a,b,c是互不相等的非零实数，所以(a−b)2>0，(b−c)2>0，(c−a)2>0.即∆1+∆2+∆32=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2>0与假设得出的结论∆1+∆2+∆32=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤0相矛盾，故假设不成立。
所以，三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根。
【例2】若x,y,z均为实数，且a=x2−2y+π2，b=y2−2z+π3，c=z2−2x+π6，则a,b,c中是否至少有一个大于零？请说明理由。
数学归纳法ppt课件
题型三
用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然
数，不等式 (1 1)(1 1)(1 1 ) 2n 1 3 5 2n 1 2 均成立.
思维启迪 应注意到题目条件，第一步应验证
1 4 5 证明 （1）当n=2时，左边 1 ; 右边 . 3 3 2 ∵左边>右边，∴不等式成立.
题型四
归纳、猜想、证明
【例4】 （12分）已知等差数列{an}的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前
1 n项和为Tn，且 Tn 1 bn . 2 （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
1 （2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较 与 bn Sn+1的大小，并说明理由.
5分
2 1 n1 2 即bn ( ) n , 3 3 3 2 an 2n 1, bn n . 3
6分
n 1 (2n 1) 1 3 (2) S n n n 2 , S n1 (n 1) 2 , . 2 bn 2
2k 2 3k 1 k 1 k 1 (2k 1)(2k 3) 2k 3 2(k 1) 1
所以当n=k+1时,等式也成立.
由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立.
探究提高 用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边
的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变 化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题 得以证明.
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时关键在于先看项弄清等式两边的构成规律等式的两边各有多少项项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时等式的两边变化的项然后正确写出归纳证明的步骤使问题得以证明
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件ppt
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题十三 推理与证明
第三十九讲 数学归纳法
解答题
1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．
证明：当n ∈*
N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1
122
n n n n x x x x ++-≤
； （Ⅲ）1211
22
n n n x --≤≤．
2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ，e 为自然对数的
底数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n +与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算12
12
n
n
b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1
12()n
n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．
3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0)x f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．
（Ⅰ）求()()
122f f πππ+的值；
（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()
(
)
1n n nf f -πππ+成立．
4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*
N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p
+>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p
c a 11>，p
n n n a p
c a p p a -++-=
111， 证明：p n n c
a a 1
1>>+．
5．（2014
重庆）设1
11,(*)n a a b n N +==+∈
（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1b
=-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明
你的结论．
6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)r f x rx x r =-+-(0)x >，其中r 为有理数，且01r <<.
求()f x 的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，
则12121122b b a a a b a b ≤+；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．
证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.
7．（2011湖南）已知函数3
()f x x =，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{n a }（*
n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数
M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．。