等比数列复习教案

等比数列【要点精讲】1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） G 2＝ab ，G ＝±ab ；4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

4．等比数列的判定方法 ①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列；②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 5．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅，也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。

③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列 【典例解析】题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

例2．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n+b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·an －1。

若{a n }是等比数列，则12a a =a ，即b a a a +-)1(=a ，所以只有当b=－1且a ≠0时，此数列才是等比数列。

由命题2得，a 1=a+b+c ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2na+b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1=2a ，即2a －c=2a ，所以只有当c=0时，数列{a n }才是等差数列。

由命题3得，a 1=a －1，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=a －1，显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0；即a ≠1时数列{a n }才又是等比数列。

点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到S n 与a n 的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n n S S a 时当时当21≥=n n ，正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。

上述三个命题都不是真命题，选择A 。

例3.（全国Ⅰ卷文）已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。

解: 设等比数列{a n }的公比为q, 则q ≠0, a 2=a 3q = 2q, a 4=a 3q=2q ，所以 2q + 2q=203 , 解得q 1=13 , q 2= 3,当q=13时, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1 = 2×33－n . 当q=3时, a 1= 29 , 所以a n =29 ×3n －1=2×3n －3.例4（全国Ⅱ文） 设等比数列 {a n }的公比q <1,前n 项和为S n .已知a 3=2,S 4=5S 2,求{a n }的通项公式.．解：由题设知11(1)01n n a q a S q-≠=-，，则2121412(1)5(1)11a q a q a q q q⎧=-⎪=⨯⎨--⎪-⎩，． ②由②得4215(1)q q -=-，22(4)(1)0q q --=，(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=， 因为1q <，解得1q =-或2q =-．当1q =-时，代入①得12a =，通项公式12(1)n n a -=⨯-；当2q =-时，代入①得112a =，通项公式11(2)2n n a -=⨯-．题型2：等比数列的判定例5．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。

例6．（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；（II ）（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例7、(2008陕西文)已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列； （Ⅱ）数列{}n na 的前n 项和n S ．Ⅰ） 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅，∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=，∴数列1{1}na -是以为12首项，12为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+．设23123222n T =+++…2n n+， ①则23112222n T =++ (1122)n n n n+-++，② 由①-②得 2111222n T =++ (11111)(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)2n n n ++=．∴数列{}n na 的前n 项和 n n n n n n n n n S 22242)1(2222+-++=+++-=．题型3：等比数列的通项公式及应用例8．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列解析：设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2；则2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)；解得a=2，q=3或a=92，q=－5； 故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。