八年级数学上册《多边形及其内角和》知识点整理人教版
人教版八年级数学上册多边形及其内角和(含知识点)
2020-2021 同步练习（§11.3 多边形及其内角和） 班级 学号 姓名 得分 1.填空：(1)平面内，由____________________________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n 条边，那么这个多边形叫做______．多边形____________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角．连结多边形________________的线段叫做多边形的对角线．(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称作凸多边形．(3)各个角______，各条边______的______叫做正多边形． 2．(1)n 边形的内角和等于____________．这是因为，从n 边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n 边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n 边形的内角和，所以，此n 边形的内角和等于180°×______．(2)请按下面给出的思路，进行推理填空．如图，在n 边形A 1A 2A 3…A n －1A n 内任取一点O ，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n 边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O 为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n 边形的内角和＝180°×______－( )＝( )×180°．3．任何一个凸多边形的外角和等于______．它与该多边形的______无关． 4．正n 边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______． 5．若一个正多边形的内角和2340°，则边数为______．它的外角等于______．(1)如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( ).(A)四边形(B)五边形(C)六边形(D)七边形(2)一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和( )．(A)随着增加(B)随着减少(C)保持不变(D)无法确定(3)若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是( )边形．(A)五(B)六(C)七(D)八(4)如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加( )．(A)0°(B)90°(C)180°(D)360°(5)如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中( )．(A)只有一个直角(B)只有一个锐角(C)有两个直角(D)有两个钝角(6)在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角( )．(A)都是钝角(B)都是锐角(C)一个是锐角，一个是直角(D)互为补角10．已知：如图四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A＝124°，∠D＝100°．求∠BOF的度数．11．(1)已知：如图1，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．图1(2)已知：如图2，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8____________．图212．如图，在图(1)中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．请说明你猜想的理由．图1如果把图1成为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H；图2则2环四边形的内角和为_____________________________________________度；2环五边形的内角和为________________________________________________度；2环n边形的内角和为________________________________________________度．13．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．14．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．15．如果一个凸多边形除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．16．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?若能，当他走回点A时共走了多少米?若不能，写出理由．八年级上册参考答案1．略．2．(1)(n －2)×180°，n －3，n －2，n －2．(2)OA 1，OA 2，OA 3……，OA n －1，OA n ，n ，n ，360°，(n －2)．3．360°，边数． 4．⋅⨯-n n n oo 360,180)2( 5．十五，24°． 6．1260°． 7．12，54． 8．65°或115°．9．(1)C ，(2)C ，(3)B ，(4)C ，(5)A ，(6)D 10．68°11．(1)360°；(2)360°．12．(1)360°；(2)720°；(3)1080°；(4)2(n －2)×180°．13．180°或360°或540°．14．九．提示：设多边形的边数为n ，某一个外角为α．则(n －2)×180＋α ＝1350．从而1809071801350)2(αα-+=-=-n ． 因为边数n 为正整数，所以α ＝90，n ＝9．15．130°．提示：设多边形的边数为n ，没有计算在内的内角为x °．(0＜x ＜180)则(n －2)×180＝2570＋x ．从而⋅++=-18050142x n 因为边数n 为正整数，所以x ＝130．16．可以走回到A 点，共走100米．人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章 三角形 一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）. ⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a =⑶积的乘方：()n n n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.教案⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： ①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法 第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念： 1.分式：形如A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
人教版八年级数学上册知识讲义-11.多边形的内角和
初中数学 多边形的内角和精讲精练【考点精讲】1. 一般地，n 边形的内角和等于)3(180)2(≥⋅-n n 。
探究方法：由于从n 边形的一个顶点可引（n －3）条对角线，这些对角线把n 边形分成（n －2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n 边形的内角和为︒⋅-180)2(n ，而正n 边形的每个内角．．．．为()nn ︒⋅-1802。
2. 任何多边形的外角和都等于360°。
探究方法：由于n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，n 个外角连同它们各自相邻的内角共有2n 个角，这些角的总和等于︒⋅180n ，所以外角和为()︒=︒⋅--⋅36018021800n n ，即多边形的外角和为360°【典例精析】 例题1 （1）已知多边形的每个内角都是135︒，求这个多边形的边数；（2）每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。
思路导航：（1）题，可将“每个内角都是135︒”转化为“每个外角都是45︒”，从而利用=45︒，得出n 的值为8。
（2）若设边数为n ，则可分别表示出内角与外角的度数，从而利用题中的等量关系列方程求解。
答案：（1）∵ 多边形的每个内角都是135︒，∴ 它的每个外角度数为45︒。
根据多边形外角度数和为360︒可知，n =36045=8 ∴ 这个多边形的边数为8。
（2）设该多边形的边数为n ，依题意得(2)180n n-⋅=9⨯n360，∴ n =20。
点评：每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -⋅，每个外角为360n，利用这两点结合题意就可以列出关于边数n 的方程，从而求解。
例题2 如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了 m 。
人教版上册八年级数学多边形及其内角和
知识点1：三角形内角定理
定义：每两条相交直线所夹的角位 于三角形内部的那一个角就是三角形的 内角
A
B
C
知识பைடு நூலகம்2：三角形的外角
定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角
探究：你发现下面的图形里， 哪些角的和是１８０°？
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
巩固练习
1. m边形的一个顶点有7条对角线，n边 形没有对角线，k边形对角线条数等于边数， 则 m+n+k=________ ． ．
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
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2. 若一个正多边形的一个外角是40°， 则这个正多边形的边数是_______
40°
A
C D
75°
B
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巩固练习： 1.如图4：∠1+∠2+∠3+∠4等于 =_______
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人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
多边形内角的度数与镶嵌的关系 ① 用同一种正多边形镶嵌时，要求这种正多边形
的每个内角都能够整除360°
．
② 拼接在同一个点的各个角的和等于360°
人教版同步教参数学八年级-三角形：多边形及其内角和
三角形第3节 多边形及其内角和【知识梳理】一、多边形的概念（1）在同一平面内，由不在同一直线上的n （n ≥3的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n 边形。
注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。
（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个n 边形有n 个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，一个n 边形有n 个外角，同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。
（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n 边形有(3)2n n 条对角线，从同一个顶点出发的对角线有(n －3)条。
（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形。
（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD 所在直线，整个n 边形不都在这条直线的同一侧。
我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。
二、多边形的内角和n 边形的内角和等于（n －2）·180°。
二、多边形的外角和 多边形的外角和等于360°注意：多边形的外角和与它的边数无关。
A BCDABC D【诊断自测】1、平面内，由________叫做多边形。
组成多边形的线段叫做____。
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做_____。
多边形_____叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的_____组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形_______的线段叫做多边形的对角线。
2、画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在______,那么这个多边形称作凸多边形。
3、各个角______,各条边_____的_____叫做正多边形。
4、n变形的内角和等于____.这是因为，从n变形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将此n边形分为_____个三角形。
多边形及其内角和(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册
专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n 边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n 边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x 的值(1)(2)【答案】(1)80；(2)110【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；（2）根据五边形内角和为()18052︒⨯-列出方程求解即可．（1）解：由题意得，1802509060360x x -+-++=，解得80x =；（2）解：由题意得，()20109018052x x x x +++-++=⨯-，解得110x =．【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A ．增加180︒B ．为360︒C ．不变D ．减少【答案】A【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数）成为解题的关键.根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒（n 为多边形的边数），然后进行判断解答.解：设多边形的边数为n ，则原多边形的内角和为()2180n -⋅︒，边数增加1后的多边形的内角和为()12180n +-⋅︒，∴()()121802180180n n +-⋅︒--⋅︒=︒，∴其内角和的度数增加180︒．故选A ．【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【答案】900【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．解：七边形的内角和()()218072180900n =-⨯︒=-⨯︒=︒，故答案为：900．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M 和N 的对话：求M 和N 的边数．【答案】M 和N 的边数分别是4和6【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的关键．根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；解：设M 的边数为2n ，N 的边数为3n ，由题意得：()()18022180321080n n ︒⨯-+︒⨯-=︒解得：2n =，24n ∴=，36n =，∴M 和N 的边数分别是4和6．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A ．六B ．七C ．八D ．九【答案】D【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解：∵正多边形的一个内角是140︒，∴它的外角是：18014040︒-︒=︒，360409︒÷︒=．即这个正多边形是九边形．故选：D ．【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【答案】10【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则(2)1801440n -⋅︒=︒，解得10n =．故答案为：10．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数为12．【分析】设这个多边形的边数为n ，根据题意得出方程()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，求出方程的解即可．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意得：()()2180360102180n -⨯︒-︒=-⨯︒，解得：12n =．答：这个多边形的边数为12．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是360度，一个n 边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3360⨯︒，而n 边形的内角和是()2180n -︒，则可得到方程，解方程即可．解：根据题意列方程，得：()21803360n -︒=⨯︒，解得：8n =，故选：C ．【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【答案】108︒【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为n ，根据题意得出()321803602n -⨯︒=⨯︒，求出n 的值即可．解：∵该正多边形的内角和等于外角和的32倍，∴设此多边形的边数为n ，则有：()321803602n -⨯︒=⨯︒，解得：5n =，∴内角的度数为()521801085-⨯︒=︒．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据AB CD ，得出70ABC ∠=︒，再求出110D ∠=︒，根据四边形的内角和定理解答即可．解：∥ AB CD ，110C ∠=︒，180ABC C ∴∠+∠=︒，70ABC ∴∠=︒，ABE ∠ 是四边形ABCD 的外角，110ABE ∴∠=︒，ABE D ∠=∠ ，110D ∴∠=︒，3603607011011070A ABC C B ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒．故选：C【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【答案】180︒/180度【分析】此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．先根据多边形的内角和定理求出540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，再根据AB ED ∥得180A E ∠+∠=︒，进而得360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，然后根据邻补角的定义的1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，由此可得123∠+∠+∠的度数．解：∵五边形的内角和为：()52180540-⨯︒=︒，∴540A E ABC BCD CDE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵AB ED ∥，∴180A E ∠+∠=︒，∴360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒，∵1180ABC ∠=︒-∠，2180BCD ∠=︒-∠，3180CDE ∠=︒-∠，∴()123540180ABC BCD CDE ∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【答案】(1)14；(2)()32n n -(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；（3）设多边形的边数为n ，则列方程为()21801620n -⨯︒=︒，解得9n =，再根据（2）求出对角线．（1）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，六边形对角线条数可表示为632⨯，七边形对角线条数可表示为74142⨯=，故答案为：14；（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形对角线条数可表示为522⨯，…n 边形的对角线条数可表示为()32n n -，故答案为：()32n n -；（3）设多边形的边数为n ，则()21801620n -⨯︒=︒，解得11n =，对角线为()11113442⨯-=（条），∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【答案】C【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决问题的关键．解：设正多边形边数为n ，由题意得：36n -=，可得9n =，则内角和：()180921260︒⨯-=︒，∴它的一个内角度数为：12609140︒÷=︒，故选：C ．【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【答案】5【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数36072=︒÷︒，进而求得多边形的对角线条数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．解：这个正多边形的边数：360725︒÷︒=，则对角线的条数是：15(53)52⨯⨯-=．故答案为：5．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：如图（1）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是180︒；如图（2）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是360︒．所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540︒或180︒或360︒．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据n 边形内角和公式()2180n -︒得出多边形的内角和，即可解题．解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6，其中四边形内角和为360︒，五边形内角和为()52180540-⨯︒=︒，六边形内角和为()62180720-⨯︒=︒，∴得到的多边形的内角和是360︒或540︒或720︒，故选：D ．【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．【答案】138︒/138度【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），根据多边形内角和定理列出不等式()21802022n -⋅︒≥︒，进而求出14n =，再计算出该多边形内角和即可得到答案．解：设多边形的边数是n （3n ≥，且n 为整数），依题意得()21802022n -⋅︒≥︒，解得71330n ≥．∵少算一个内角，且该内角小于180︒，∴14n =．∴多边形的内角和是()1421802160-⨯︒=︒，∴少算的这个内角的度数为21602022138︒-︒=︒，故答案为：138︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE 的内角和为540°．【分析】如下图，连接AD ，AC ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．解：连接AD ，AC ，∴五边形ABCDE 的内角和等于AED ∆，ADC ∆，ABC ∆的内角和的和，∴五边形ABCDE 的内角和1803540=︒⨯=︒．【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A ．36︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360︒除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．解：设这个正多边形的边数为n ，则()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =，∴这个正多边形的每个外角为360845︒÷=︒，故选：C ．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD 的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P 与A ，B ，C ，D 也构成爱尔特希点集，则APB ∠=．【答案】36︒或72︒【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知,,,A B C D 为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点P 为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．解：依题意，当P 为正五边形的中心点时即满足题意，360725APB ︒∴∠==︒．当P 为正五边形的顶点时即满足题意，∴()1180108362APB ∠=︒-︒=︒故答案为：36︒或72︒．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025【答案】C 【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()44180k -⨯︒．可得不等式()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解不等式即可求得答案．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加360︒．于是，设剪过k 次后，可得()1k +个多边形，这些多边形的内角和为()1360k +⨯︒．因为这()1k +个多边形中有45个48边形，它们的内角和()454821804546180⨯-⨯︒=⨯⨯︒，其余多边形有()14544k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少()44180k -⨯︒．所以()()1360454618044180k k +⨯︒≥⨯⨯︒+-⨯︒，解得：2024k ≥．故至少要剪的刀数是2024刀．故选C ．【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360︒．。
八年级上册数学多边形知识点总结人教版
八年级上册数学多边形知识点总结
一、多边形的定义
1. 多边形是由三条或更多的线段组成的封闭图形。
2. 多边形的边界是线段，顶点是两条线段相交的地方。
3. 多边形的内角和为（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
二、多边形的分类
1. 根据边数的不同，可以分为三角形、四边形、五边形、六边形等。
2. 根据边是否相等，可以分为等边三角形、等腰梯形、正方形等。
3. 根据角的大小，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等。
三、多边形的性质
1. 多边形的内角和等于（n-2）×180°。
2. 多边形的外角和等于360°。
3. 多边形的对角线互相平分。
4. 多边形的任意一条对角线都可以将多边形分为两个三角形。
5. 多边形的任意一条中线都可以将多边形分为两个面积相等的部分。
四、多边形的周长和面积
1. 多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。
2. 多边形的面积是指多边形内部的所有点到其边界的距离之和。
3. 计算多边形的周长和面积时，需要知道多边形的边长和角度。
五、多边形的相似性
1. 如果两个多边形的形状相同，但大小不同，那么这两个多边形就是相似的。
2. 两个相似的多边形，它们的对应边成比例，对应角相等。
3. 两个相似的多边形，它们的周长比等于对应边的比，面积比等于对应边的平方比。
人教版八年级上册 11.3 多边形及其内角和 讲义
第三节多边形及其内角和(1 )三角形没有对角线(2 )正多边形必须满足定义中的两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等 .二者缺一不可 ,如果一个多边形的各个角都相等或每条边都相等 ,那么这个多边形并不一定是正多边形 ,如：菱形和矩形 .2 、多边形的内角和1.多边形的内角和等于 (n -2 )×180° (n≥3 ,且n为整数 ).应用：⑴边数求内角和；⑵内角和求边数；⑶正n边形的每个内角的度数等于()nn︒⨯-18022.多边形的外角和是360°注：多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角 ,所以n边形的内角和为n×180° ,所以外角和等于n×180° - (n -2 )×180° =360°.应用：⑴外角度数求正多边形的边数；⑵正多边形的边数求一个外角的度数 .3 、平面镶嵌 (密铺 )平面图形镶嵌的定义：用形状 ,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 .彼此之间不留空隙 ,不重叠地铺成一片 ,这就是平面图形的镶嵌 .注：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°,假设能构成360° ,那么说明能够进行平面镶嵌 ,反之那么不能 .总结:①单一正多边形的镶嵌：正三角形 ,正四边形 ,正六边形 .②两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、4个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等 .③用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图形 . 例题1 -1.假设一个多边形的内角和小于其外角和 ,那么这个多边形的边数是 ( ) 例题1 -2.一个多边形截去一个角后 ,形成另一个多边形的内角和为2520° ,那么原多边形的边数是 ( )检测1 -1假设一个多边形的内角和与外角和相加是1800° ,那么此多边形是 ( ) 检测1 -2将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形 ,那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( )A.360°B.540°C.720°D.900°检测1 -3如图 ,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的大小为 ( )A.180°B.360°C.540°D.720°第四节 图形的面积高频核心考点 精题精讲精练 方法技巧提炼正方形面积 =边长×边长； 长方形 (矩形 )面积 =长×宽；平行四边形面积 =底×高； 三角形面积 =21×底×高； 梯形面积 =21× (上底 +下底 )×高.⑴和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示 ,通过常规图形面积公式计算 .⑵割补法：有时直接求图形的面积有困难 ,我们可以通过分割或补形 ,把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解 .⑶等积变形法：对某些图形 ,找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形 ,通过代换为易求图形的面积 .⑷等比法：将面积比转化为线段的比 .同 (等 )高时 ,面积之比等于底之比；同 (等 )底时 ,面积之比等于高之比 .三角形一边中线平分三角形的面积 .例题 4 -1.将直角△ABC 绕顶点B 旋转至|如图位置 ,其中∠C =90º ,AB=4 ,BC =2 ,AC =23,︒=∠60ABC ,点C 、B 、A ′在同一直线上 ,那么阴影局部的面积是 ________ .例题4 -2.如下图 ,△ABC 中 ,点 D ,E ,F 分别是 BC ,AD ,CE 边上的中课后作业 出门考 点 ,且ABC S ∆ =4cm ²那么BEF S ∆的值为 ( )A.2cm ² B.1cm ² C.0.5cm ²D.0.25cm ²检测1 -1 .如图,在∆ABC 中,D 是BC 上任意一点,O 是AD 上任意一点,ABO S ∆ =3,A CO BO D S 2S ∆∆= =1,那么COD S ∆ =________ .检测1 -2.如图 ,AD 是△ABC 边BC 的中线 ,E 、F 分别是AD 、BE 的中点 ,假设△BFD 的面积为6 ,那么△ABC 的面积等于 ( )1.以下说法：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；③成中|心对称的两个图形不一定是全等形；④一组对角相等的四边形是平行四边形；⑤用反证法证明 "四边形中至|少有一个角是钝角或直角〞时 ,必先假设 "四边形中至|多有一个角是钝角或直角〞 ,其中正确的选项是 ( )A.①②B.③④C.①②④D.①②⑤2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.轴对称图形3.假设一个多边形的每一个内角都是150° ,那么它是______边形；从它的一个顶点出发画对角线 ,可以把这个多边形分割______个三角形．4.如下图,AD,AE 分别是∆ADC 和∆ABC 的高和中线,AB =9cm,,AC =12cm,∠CAB =90º.试求:(1)AD 的长;(2)求∆ABE 的面积;(3)求∆ACE 和∆ABE 的周长的差.5.如图,在△ABC 中, BE ⊥AC ,BC =5cm, AC =8cm, BE=3cm ,(1 )求△ABC 的面积;(2 )画出△ABC 中的BC 边上的高AD,并求出AD 的值 .日期：_______ 姓名：1.以下说法中 ,你认为正确的选项是 ( )A.四边形具有稳定性B.等边三角形是中|心对称图形C.等腰梯形的对角线一定互相垂直D.任意多边形的外角和是360º2.以下各图中 ,是凸多边形的是 ( )A. B. C. D.3.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后 ,变成一个18边形 ,那么原多边形纸片的边数不可能是 ( )A.16B.17C.18D.194.如果一个多边形的每个内角都是120º ,那么这个多边形的边数是________．5.从一个10边形的一个顶点出发 ,连接其余各顶点 ,可以将这个边形分割成______个三角形．。
人教版八年级数学上册第11章3多边形及其内角和
11.3 多边形及其内角和
1 课时讲解 多边形及其相关概念
多边形的内角和 多边形的外角和
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 多边形及其相关概念
知1－讲
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组 成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n 条线段组 成，那么这个多边形就叫做n 边形.
多边形
定义
内角 内角和
多
边
对角线
形
正多边形
外角 外角和
知2－练
2-1. 如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接 AD．若∠ 1=48°，求∠ 2 的度数．
解：∵六边形 ABCDEF 的各内角相等， 知2－练
∴一个内角的大小为(6－26)×180°＝120°. ∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°. ∵∠FAB＝120°，∠1＝48°， ∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°. ∵四边形 ADEF 的内角和为 360°， ∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝ 360°－72°－120°－120°＝48°.
2. 多边形的相关概念
概念
定义
边 组成多边形的各条线段
顶点 相邻两条边的公共端点
内角 多边形相邻两边组成的角
外角
多边形的边与它的邻边的 延长线组成的角
对角线
连接多边形不相邻的两个 顶点的线段
图形
知1－讲
3. 凸多边形与凹多边形(本节只讨论凸多边形)
知1－讲
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边
知2－练
知2－练
(2) 若n 边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列 方程的方法求出x 的值. 解：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°， 解得x＝2.
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八年级数学上册《多边形及其内角和》知
识点整理人教版
八年级数学上册《多边形及其内角和》知识点整理人教版在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多
边形.
1、多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，
一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫
做多边形的外角。
2、在定义中应注意：
①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);
②首尾顺次相连，二者缺一不可;
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间
3、多边形的分类
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直
线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形。
本章所讲的多边形都是指凸多边形.
小练习
1.一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是( )三角形.
A.锐角
B.钝角
C.直角
D.等腰
2.三角形的三个内角( )
A.至少有两个锐角
B.至少有一个直角
C.至多有两个钝角
D.至少有一个钝角
3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.何类三角形不能确定
4.一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.都有可能
5.一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形。