高中数学中常见的定点问题

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高考数学定点问题专项练习讲解

高考数学定点问题专项练习讲解一、解答题1．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，且离心率等于2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0P 作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）将点⎛ ⎝⎭代入椭圆标准方程，结合222,c e c a b a ==+列方程组，解这个方程组求得224,2a b ==，椭圆方程为22142x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用0PA PB ⋅=，解得22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，此直线过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 试题解析：（1）22142x y +=（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222212122424124240,,1212km m k x kmx m x x x x k k −+++−=+=−=++，，由()()()()1212220x x kx m kx m −−+++=得224830k km m ++=，2m k =−（舍去），22,33m k y k x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆的标准方程，除了222a b c +这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【分析】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=，又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =，又2223b a c =−=，所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x −=−，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨−=−⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++−+−−=，由题意，>0∆，设()()1122,,,A x y B x y ，则()122834−+=−+k t k x x k ，因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234−−=+k t k k ， 340kt += ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k−，直线l 的方程为()11y t x k−=−− ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1) 2214x y +=.(2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=−列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==−，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++−=由题设可知()22=16410k m ∆−+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441m k −+. 而12121211y y k k x x −−+=+ 121211kx m kx m x x +−+−=+ ()()12121221kx x m x x x x +−+=.由题设121k k +=−，故()()()12122110k x x m x x ++−+=.即()()22244821104141m km k m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12m k +=−. 当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−+，即()1122m y x ++=−−，所以l 过定点（2，1−）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.4．已知点P 3(1,)2−是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)−，．证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2−即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =，又312P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b +=，解得b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y −，， 11121332211y y k k x −−−+==+，解得14x =−，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx mx y =+⎧⎨+−=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++−=， 122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，22430k m ∆=−+>．由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫−++−++−= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k −−−=．当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时， 22430k m ∆=−+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)−，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆的左顶点，点B 为上顶点，|AB |且|AF 1|+|AF 2|＝4. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2作直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2＝3，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）310x y +−= 【分析】（1）依题意得到关于a 、b 的方程组，解得即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线l 的方程为1x my =+，联立直线与曲线方程消元，列出韦达定理，由123k k +=，即1212322y yx x +=++，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）依题意可得()()4a c a c ⎧++−=⎪=解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩23143x y +=（2）由（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得231143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++−=，所以122634m y y m −+=+，122934y y m −=+ 因为111x my =+，221x my =+，所以122834x x m +=+，212212434m x x m −+=+ 因为123k k +=，即1212322y y x x +=++，所以()()121212122336120my y y y x x x x ++−−+−=代入得22222961248233612034343434m m m m m m m −−−+⨯+⨯−⨯−⨯−=++++ 解得3m =− 即l ：310x y +−= 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.6．已知⊙M 过点A ，且与⊙N ：22(16x y +=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14−，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点．【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过A ，且与圆N 相切所以||,||4R AM MN R ==−，即4MN MA +=，由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c ==所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=，可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==−+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k−，所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k−=）所以直线l 过定点(0,0) 【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题． 7．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：y ＝kx+b 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）如果k+b ＝﹣14，求动直线l 所过的定点；（2）记椭圆C 的上顶点为D ，如果∠ADB ＝2π，证明动直线l 过定点P （0，﹣13）；（3）如果b ＝﹣12，点B 关于y 轴的对称点为B '，向直线AB '是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【答案】（1）定点（1，﹣14）；（2）见解析；（3）定点（0，﹣2）．【分析】（1）把b ＝﹣k ﹣14代入直线方程可得定点坐标；（2）根据∠ADB ＝2π，可得AD BD ⊥,结合韦达定理可得,k b 关系；（3）结合对称性求出直线AB 的方程，结合韦达定理，从而可得定点坐标. 【详解】（1）∵k+b ＝﹣14，∴b ＝﹣k ﹣14，∴y ＝kx ﹣k ﹣14＝k （x ﹣1）﹣14，所以动直线l 过定点（1，﹣14）．（2）联立2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得（1+2k 2）x 2+4kbx+2b 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣212224kb 2b 2,x x 12k 12k−=++ ， ∵∠ADB ＝2π，又D （0，1）， ∴（x 1，y 1﹣1）•（x 2，y 2﹣1）＝x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）＝x 1x 2+（kx 1+b ﹣1）（kx 2+b ﹣1）＝x 1x 2+k 2x 1x 2+（b ﹣1）2+k （b ﹣1）（x 1+x 2）＝（1+k 2）x 1x 2+k （b ﹣1）（x 1+x 2）+（b ﹣1）2＝（1+k 2）×222212b k−++k （b ﹣1）×2412kb k −++（b ﹣1）2＝23112b k ++（b ﹣1），∴23112b k ++（b ﹣1）＝0，又b≠1（否则直线l 过D ）， ∴b ＝﹣13，所以动直线l 过定点（0，﹣13）.（3）b ＝﹣12，直线l 为：y ＝kx ﹣12，由（2）知x 1+x 2＝1222322,1212k x x k k −=++，经过A （x 1，y 1），B′（﹣x 2，y 2）的直线方程为：112121y-y x x y y x x −=−−− ，∴112121121122y kx x x x x kx kx ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭=−−⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，令x ＝0得y ﹣()112121x 1kx k x x 2x x −⎛⎫−=−⋅ ⎪−−⎝⎭ ， ∴y ＝kx 1﹣()2111221122113122222x x x kx x k x x x x −+⋅=−=−−=−++ ，所以直线AB′是过定点（0，﹣2）．【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，一般是求解直线的方程中,k b 关系式，从而得到定点，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知椭圆C ：22x 143y +=，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】证明见解析；2,07⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元，然后韦达定理可得x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+，然后算出()221223434m k y y k−=+，然后由条件可得0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，代入化简可得k 和m 的关系，然后可得答案. 【详解】由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y 并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴x 1＋x 2＝－2834mkk +，x 1·x 2＝()224334m k−+ ∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝()2223434m k k−+.∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2，0)，即0AD BD ⋅=，即y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以()2223434m k k −+＋()224334m k −+＋21634mkk+＋4＝0，整理得：7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝27k−，且满足3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m ＝27k −时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0) 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.9．已知点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，且直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）不经过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=−，直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．【答案】（1）2215x y +=；（2）()1,1− 【分析】（1）根据题意，可得2c =，再将点(0,1)P 代入椭圆方程可得1b =，结合222a b c =+即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程y kx m =+，将直线与椭圆方程联立，消y 可得()2221510550k xkmx m +++−=，由题意利用韦达定理整理可得10k m ++=，进而可求解.【详解】（1）点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，则211b=，解得1b =，直线220x y +−=过椭圆C 的一个焦点，令0y =，可得2x =，即2c =，所以222145a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为2215x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，设()00,A x y ，()00,B x y −，（0x <且00x ≠），则001200112y y k k x x −−−+=+=−，解得01x =，直线恒过点()1,1−；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，直线与椭圆的交点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2215y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2221510550k x kmx m +++−=，则1221015km x x k −+=+，21225515m x x k−=+，所以()()12211212121211112kx m x kx m x y y k k x x x x +−++−−−+=+==−，整理可得()()()12122210k x x m x x ++−+=，所以()()2221111515km m m k k k −−+⋅=++，即()()110m k m −++=，因为直线l 不过点(0,1)P ，所以1m ≠，所以10k m ++=，即1m k =−−，直线()111y kx m kx k k x =+=−−=−−，当1x =时，则1y =−，所以直线恒过定点()1,1− 【点睛】本题考查了求圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查了分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.10．椭圆C 的焦点为()11,0F −，()21,0F，椭圆上一点2P ⎫⎪⎪⎭.直线l 的斜率存在，且不经过点2F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且22180AF O BF O ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的定义及两点间距离公式可得24a ==,即可求得a ,由焦点可得1c =,进而求解；（2）设直线l 方程为y kx m =+,与椭圆方程联立可得()2223484120kxkmx m +++−=,即可得到122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+,且>0∆,再由22180AF O BF O ∠+∠=︒可得220AF BF k k +=,利用斜率公式可得4m k =−,即可得证. 【详解】（1）解:由题,1c =,122a PF PF =+,24a ==,所以2a =,则2223b a c =−=, 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）证明:设直线l 方程为y kx m =+,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点, 联立2234120y kx m x y =+⎧⎨+−=⎩,可得()2223484120k x kmx m +++−=, ()()()22284344120km k m ∆=−⨯+−>,即22430k m −+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834km x x k −+=+,212241234m x x k−=+, 因为22180AF O BF O ∠+∠=︒,所以220AF BF k k +=,则1212011y y x x +=−−,得()()1221110y x y x −+−=,即()()1212220kx x m k x x m +−+−=, 代入可得4m k =−,把4m k =−代入22430k m −+>,解得1122k −<<，又直线不过点()21,0F ,所以0k ≠, 即1122k −<<且0k ≠, 所以直线():4l y k x =−过定点()4,0 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线恒过定点问题,考查运算能力.11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线BM 与直线BN 的斜率之积为12，证明直线l 过定点并求出该定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）答案见解析，直线过定点()0,3−. 【分析】（1）首先根据顶点为()0,1B 得到1b =得到2a =，从而得到椭圆C 的方程. （2）设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆联立得到()222148440k xkmx m +++−=，利用直线BM 与直线BN 的斜率之积为12和根系关系得到3m =−，从而得到直线恒过的定点. 【详解】（1）一个顶点为()0,1，故1b =，又2e ==2a =．故椭圆的方程为2214x y +=．（2）若直线l 的斜率不存在，设(,)M m n ，(,)N m n −，此时22221141114BM BNn n n k k m m mm m −−−−⋅=⨯===，与题设矛盾，故直线l 斜率必存在．设:l y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++−=， ∴122814km x x k −+=+，21224414m x x k−=+． ∵()121212*********BM BNy y y y y y k k x x x x −++−−⋅=⋅==，即()()()121212112kx m kx m kx m kx m x x ++−++++=∴()2212121(1)(1)02k x x k m x x m ⎛⎫−+−++−= ⎪⎝⎭，化为2230m m +−=，解得3m =−或1m =（舍去），即直线过定点()0,3−．【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握：（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭.（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310k xktx t +++−=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t 值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得3c e a ==，222a c b −=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++−=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613ktx x k −+=+，()21223113t x x k−=+，()* 由()()222(6)413310kt kt∆=−+⨯−>，得2231k t >−，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=−⋅−()()2212121(1)(1)0k x xk t x x t =++−++−=，将()*代入，得12t =−，所以直线l 过定点10,2⎛⎫−⎪⎝⎭.本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．13．如图，已知椭圆222:1x C y a+=上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，其中1a >.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y +=；（2）102⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）确定圆M 的圆心与半径，利用直线AF 与圆M 相切关系，根据点到直线的距离公式构建方程，求得a ，即可表示方程；（2）设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+，分别于椭圆联立方程求得交点P 、Q 的坐标，即可表示直线l 的方程，得答案. 【详解】（1）由题可知，()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为1xy c+=，即0x cy c +−= 因为直线AF 与圆22:6270M x y x y +−−+=相切，该圆的圆心为()3,1,r =3a a==⇒=故椭圆的标准方程为2213x y +=（2）因为不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ ⊥，即直线AP 与坐标轴不垂直也不平行由()0,1A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，则直线AQ 的方程为11y x k=−+ 联立22131x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得()221360k x kx ++=，解得0x =或2613k k −+，因此点P 的坐标为22266,11313k k k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭，即222613,1313k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭ 将上式中的k 换成1k −，得点Q 22263,33k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭所以直线l 的斜率为22222223131313664313k k k k k k k k k k −−−−++=+++，即直线l 的方程为2222163433k k k y x k k k −−⎛⎫=−+⎪++⎝⎭，化简并整理得21142k y x k −=−，故直线l 恒过定点102⎛⎫− ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查椭圆中的过定点问题，还考查了求椭圆的标准方程，属于较难题.14．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫− ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =.（1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AFk c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭==−，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . 理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =−，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2229154y kx x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22201600(45)0981k k x x +−−=，所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =−+，所以12122416()99(45)y y k x x k +=+−=−+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k −=−++=+，以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y −+++−++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++−=++，解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=−+，所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B −，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. 显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A −，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)【分析】（1）由条件直接算出即可（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=，122834km x x k −+=+，212241234m x x k −=+，由AM AE k k =可得13162y y x =+，同理24262y y x =+，然后由12341111y y y y +=+推出m k =−即可【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =−=. ∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++−=()()22222264434412043k m k m m k ∆=−+−>⇒<+122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+.又AM AE k k= ∴3113110062422y y y y x x −−=⇒=+++，同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+ ∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++ ∴1212(4)()280k m x x kx x m −+−+=∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k−−+−−+=⇒=+++ ∴m k =−，此时满足2243m k <+ ∴(1)y kx m k x =+=− ∴直线MN 恒过定点(1,0) 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点．【答案】（1）2；（2）见解析【分析】（1）设出直线方程为()0y kx t k =+>，联立直线的方程和椭圆的方程，化简为一元二次方程的形式.根据直线和椭圆有两个交点得出判别式大于零，写出韦达定理，根据中点坐标公式求得E 点的坐标，由此求得直线OE 的斜率和方程，根据D 点坐标求得,m k 的关系式，结合基本不等式求得22m k +的最小值.（2）将直线OD 的方程代入椭圆方程，求得G 点坐标，结合,E D 两点坐标以及两点间的距离公式，求得,,OG OD OE ，代入2OG OD OE =⋅列方程，解方程求得,k t 的关系，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=−+，所以1222ty y 3k 1+=+，由于E 为线段AB 的中点，因此E E 223kt tx y 3k 13k 1，=−=++，此时E OE E y 1k x 3k ==−，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=−，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1，所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2．（2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k =−，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎛⎫ ⎝，又1E D 3k ，，⎛⎫⎛⎫− ⎪⎝⎭⎝，由距离公式及t ＞0得222229k 1|OG |(3k 1+=+=+，OD ==，2OE 3k 1==+，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查根于系数关系，考查直线和直线交点坐标、直线和椭圆交点坐标的求法，考查两点间的距离公式，考查直线过定点的问题，综合性较强，属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，且过点．（1）求C 的方程；（2）设点M 为C 上的动点，求12w MF MF =⋅的取值范围；（3）设椭圆C 的左顶点为A ，不过点A 的直线:l y kx m =+（0k ≠，m ∈R ）与C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为E ，若||2||PQ AE =，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）22142x y +=；（2）[0,2]；（3）证明见解析，2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆离心率可得222ab =，再将点代入椭圆方程得22211a b+=，可出a ,b ，从而得到椭圆方程；（2）设M 点的坐标为()00,x y ，利用向量的坐标运算可知21202w MF MF y =⋅=−uuu r uuu u r ，再由椭圆性质可知20[0,2]y ∈，即可求得结果；（3）由||2||PQ AE =，直角三角形斜边中点等于斜边一半，可知0AP AQ ⋅=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=，由韦达定理结合0AP AQ ⋅=即可得到m 与k 的关系，从而得结果. 【详解】（1）离心率222112b e a =−=，222a b ∴=①，将点代入椭圆方程得22211a b+=②，联立①②解得24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=（2）设M 点的坐标为()00,x y ，则2200142x y +=，即22024x y +=由（1）可知1(F ，2F ，())222120000000,,22w MF MF x y x y x y y ∴=⋅=−⋅−=+−=−uuu r uuu u r，又20[0,2]y ∈，12[0,2]w MF MF ∴=⋅∈，（3）||2||PQ AE =，且直角三角形斜边中点等于斜边一半，AP AQ ∴⊥，0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r，设()11,P x y ，()22,Q x y ，又(2,0)A −，由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124240k x kmx m +++−=， ()()()22222(4)41224842km k m k m ∆=−+−=−+， 122412km x x k ∴+=−+，21222412m x x k−=+， ()22222222221212122222444121212k m k k m m k y y k x x km x x m m k k k−−=+++=−+=+++， ()()()11221212122,2,24AP AQ x y x y x x x x y y ∴⋅=+⋅+=++++uu u r uuu r22222222224843484012121212m km m k m k km k k k k−−+−=−++==++++， 223480m k km ∴+−=，即23m k =或2m k = 因为直线l 不过点A ，2m k ∴≠，23m k ∴=且满足0∆>， ∴直线l 的方程为23y kx k =+，即23y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴直线l 过定点2,03⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，求直线过定点，求直线过定点的思路：（1）设直线的点斜式，找到斜率与截距的关系，确定定点；（2）根据题目中的信息求出直线（如两点），确定定点；（3）根据圆锥曲线的性质确定直线定点的性质，然后由性质确定准确的定点.18．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>过()2,0A −、()0,1B 两点.（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点.【答案】（1；（2）证明见解析. 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入椭圆M 的方程，求出a 、b 的值，可得出c 的值，进而可求得椭圆M 的离心率；（2）设直线PC 的方程为()2y k x =−，求出点P 、Q 的坐标，求出直线BP 的方程，求出点S 的坐标，进一步可求得直线SQ 的方程，由此可得出直线SQ 所过定点的坐标. 【详解】（1）将点A 的坐标代入椭圆M 的方程可得241a =，0a >，2a ∴=，同理1b =，c ∴==因此，椭圆M的离心率为c e a ==（2）如下图所示：直线AB 的方程为12x y +=−，即112y x =+，易知直线PC 的斜率存在，设直线PC 的方程为()2y k x =−，联立()22214y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222241161640k x k x k +−+−=，由韦达定理可得22164241P k x k −=+，228241P k x k −∴=+，则()24241P P k y k x k =−=−+，所以，点P 的坐标为222824,4141k k k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，联立()2112y k x y x ⎧=−⎪⎨=+⎪⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，即点424,2121k k Q k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，所以，直线BP 的斜率为222412141824241PB kk k k k k k +++==−−−−+，所以，直线BP 的方程为21142k y x k +=−+−，在直线BP 的方程中，令0y =，可得4221k x k −=+，即点42,021k S k −⎛⎫⎪+⎝⎭，所以，直线SQ 的斜率为42121424242121SQkk k k k k k k +−==+−−−+，所以，直线SQ 的方程为2142421k k y x k +−⎛⎫=− ⎪+⎝⎭，即212142k k y x +−=−，整理可得()22420k x x y −+−+=，由20420x x y −=⎧⎨−+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线SQ 过定点()2,1.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点)M在椭圆上，椭圆E 上存在点N 与左焦点F 关于直线y x =对称（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ､B 为椭圆的左､右顶点，过点(4,)(0)≠T m m 的直线TA ，TB 与椭圆相交于点P ､Q 两点，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定点坐标(1,0). 【分析】（1）先写出N 的坐标，得b c =，再联立方程22222211a b a b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩，解方程即可；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，设 TA 方程和TB 方程分别为(2)6m y x =+、 (2)2my x =−，将它们分别与椭圆方程22142x y +=联立，得到 PQ 方程，进而求出定点.【详解】（1）由题意可得：左焦点(,0)F c −关于直线y x =对称点()0,N c −；22222211a ba b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程：22142x y +=；（2）由题意可知(2,0)A −，(2,0)B 同时直线,TA TB 斜率存在且不为零，:(2)6ATm l y x =+与椭圆22142x y +=交于A ，设11(,)P x y ，可得222222(1)401899m m m x x +++−=212472218m x m −∴−⋅=+， 21122362121818m mx y m m −∴==++，， :(2)2BT m l y x =−与椭圆22142x y +=交于B ，设22(,)Q x y ，可得2222122402m x m x m ⎛⎫+++−= ⎪⎝⎭，2224822m x m −∴⋅=+， 2222224422m mx y m m−−∴==++，，当12x x ≠时，直线122112:()y y PQ y y x x x x −−=−−，22224424()262m m m y x m m m −+=−+−+，令0y =时，1x =，当12x x =时，222236-224182m m m m −=++，26m =，121x x ==， ∴直线PQ 恒过点()1,0.【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

【高中数学】解析几何定点问题通关50题(含答案)

由．
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24. 椭圆知吐 t h h 果果的左右焦点分别为 h，，为椭圆短轴上的一个顶点， h 的
延长线与椭圆相交于．（1）求椭圆的方程；
的周长为， h h
h．
（2）过椭圆的左顶点作椭圆的两条互相垂直的弦，，试问直线是否恒过定点?
若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
h
h
表示；③不经过原点的直线都可以用方程吐 t h h 表示；④经过定点的直线都可以用方
程 h 吐 t 表示．其中真命题的个数是
A.
B. h
C.
D.
6. 已知圆知吐 t h h，点为直线吐，，为切点，则直线经过定点
A.
B.
h 上一动点，过点向圆引两条切线，
C. h h
（1）求椭圆的方程；（2）为直线吐 h 上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直
线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
20. 已知椭圆：吐 t h h 果果经过点 h ，且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，交椭圆于，两点，且满足
23. 在平面直角坐标系吐中，已知椭圆：吐 t h h 果果的离心率为．且过点
h．（1）求椭圆的方徎；
（2）动点在直线：吐 h
上，过作直线交椭圆于，两点，使得 h ，再
过作直线
，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理
28. 已知圆知吐 h t
h ，直线知 t h 吐 t t h

高二数学上册常考题(人教A版2019选修一)专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆(解析版)

专题08与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一与圆有关的定点问题1．已知直角坐标系xOy 中，圆22:16O x y +=．①过点(4,2)P 作圆O 的切线m ，求m 的方程；②直线:l y kx b =+与圆O 交于点M ，N 两点，已知(8,0)T ，若x 轴平分MTN ∠，证明：不论k 取何值，直线l 与x 轴的交点为定点，并求出此定点坐标．【解答】解：①当切线的斜率不存在时，则切线方程为4x =，显然与圆O 相切，当切线的斜率存在时，设方程为：(4)2y k x =-+，即420kx y k --+=，4=，解得34k =-，所以可得这时切线的方程为：34200x y ++=，所以切线m 的方程为：4x =或34200x y ++=；②设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立2216y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222(1)2160k x kbx b +++-=，则△222244(1)(16)0k b k b =-+->，可得221616b k <+，且12221kb x x k -+=+，2122161b x x k -=+，因为x 轴平分MTN ∠，所以可得0MT NT k k +=，即1212088y y x x +=--，即1221()(8)()(8)0kx b x kx b x +-++-=，所以12122(8)()160kx x b k x x b +-+-=，222(16)(8)(2)16(1)0k b b k kb b k -+---+=，解得2b k =-，所以直线的方程为：(2)y k x =-，所以直线恒过(2,0)【点睛】本题考查直线与圆相切的性质及角平分线的性质，属于中档题．2．已知圆22:120C x y Dx Ey +++-=过点(P -，圆心C 在直线:220l x y --=上．（1）求圆C 的一般方程．（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=- ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2(2022D E --⨯--=，①因为圆C 经过点(P -，所以17120D +-+-=，②，联立①②，解得4D =-，0E =．故圆C 的一般方程是224120x y x +--=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立224120x y x y kx m⎧+--=⎨=+⎩，整理得222(1)2(2)120k x km x m ++-+-=，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+．因为12OA OB ⋅=- ，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得(2)0m m k +=．因为0m ≠，所以2m k =-，所以直线l 的方程为2(2)y kx k k x =-=-．故直线l 过定点(2,0)．当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =，则(,)A m y ，(,)B m y -，从而2241212OA OB m m ⋅=--=- ，解得2m =，0m =（舍去）．故直线l 过点(2,0)．综上，直线l 过定点(2,0)．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．3．已知直线60l x y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,0)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,0)a ，直线60l y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方所以3d ==，解得0a =，或3a =-（舍)，圆的方程为229x y +=；（2）当直线AB ⊥轴时，x 轴平分NAB ∠，此时N 为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，(0)k ≠，(,0)N t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立229(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(1)4490k x k x k +-+-=，则212241k x x k +=+，2122491k x x k-=+，由题意得，0AN BN k k +=，即1212(2)(2)0k x k x x t x t--+=--，整理得12122(2)()40x x t x x t -+++=，即22222(49)4(2)4011k k t t k k -+-+=++，解得92t =，即9(,0)2N ．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，点到直线的距离公式，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算能力，属于中档题．4．已知P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆22:(1)5C x y ++=作两切线，切点分别为A 、B ．（1）求四边形ACBP 面积的最小值及此时点P 的坐标；（2）直线AB 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）CA PA ⊥ ，PAC PBC ∆≅∆，2ACPB ACP S S AC AP ∆∴==⋅，∴AC r ==∴ACPB S AP ==，要使四边形ACBP 面积最小，则PC 最小，当PC l ⊥时，PC 的长最小，过点(1,0)C -且与l 垂直的直线为01y x -=+，即1y x =+，将其与4y x =-联立，解得此时点P 的坐标为35(,22，∴||2min PC =+，∴()ACBP min S ==（2）设0(P x ，04)x -，则以PC 为直径的圆为00(1)()(4)0x x x y y x +-+⋅-+=，化简可得22000(1)(4)0x y x x x y x ++++--=， 2PAC PAB π∠=∠=，∴这个圆也是四边形ACBP 的外接圆，它与圆C 方程相减，得公共弦AB 方程为0000(1)(4)40(1)440x x x y x x x y x y ++-+-=⇒-+++-=，令1004401x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，AB ∴恒过定点(0,1)．【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了圆的切线方程的应用以及两圆公共弦方程的求解，直线恒过定点问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．5．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈．（1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：（1）圆221:4C x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径为12，直线:1l y kx =-与圆C 相交，∴12<，解得k <k >即k 的取值范围是(-∞，-⋃，)+∞；证明：（2）当1k =时，直线l 为1y x =-，设0(P x ，0)y ，则以PC 为直径的圆的方程为222200001((()224x y x y x y -+-=+，即22000x y x x y y +--=，与2214x y +=联立，消去二次项，可得MN 所在直线方程为：00104x x y y +-=，又001y x =-，∴001(1)04x x x y +--=，即01()04x x y y +--=，可得直线过定点11(,)44-．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了过圆的两个切点的直线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．6．已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以||2MP =，解得0b =或45b =，所以点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P -．（2）设(2,)P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=，即22(22)(2)0x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,2)，42(,)55-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7．已知圆M经过两点A ，(2,2)B 且圆心M 在直线2y x =-上．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设E ，F 是圆M 上异于原点O 的两点，直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k ⋅=，求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意得，222222(3))(2)(2)2a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=-⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴圆M 的方程：22(2)4x y -+=；证明：（Ⅱ）由题意，EF 所在直线的斜率存在，设直线:EF y kx b =+，由22(2)4x y y kx b⎧-+=⎨=+⎩，得222(1)(24)0k x kb x b ++-+=．△22222(24)4(1)4(44)044kb k b kb b kb b =--+=-->⇒+<，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则122(24)1kb x x k --+=+，21221b x x k =+，∴221212121212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b k k x x x x x x +++++=⋅==22222222222242(24)(1)41121b kb k kb b k b kb kb b k k b k k b b bk -⋅+⋅+-⋅-+⋅++++====+，4k b ∴=，代入y kx b =+得(4)y k x =+，∴直线EF 必过定点(4,0)-．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线:74l y x =+上，(7,3)B ，以线段AB 为直径的圆(C C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，圆C 与x 轴的正半轴的交点为P ，过点P 作两条直线分别交圆于M ，N 两点，且两直线的斜率之积为5-，试判断直线MN 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）BD AD ⊥ ，∴17BD k =-，设(,74)D a a +，得743177a a +-=--，得0a =．(0,4)D ∴，在ABD ∆中，AB CD ⊥，C 为AB 的中点，||||AD BD ∴=，设(,74)A b b +，则-，解得1b =或1b =-．①当1b =时，(1,11)A，2||10R AD ==，圆心为(4,7)，此时圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=；②当1b =时，(1,3)A --，2|10R AD =，圆心为(3,0)，此时圆的标准方程为22(3)25x y -+=．∴圆的标准方程为22(4)(7)25x y -+-=或22(3)25x y -+=；（2）由题意知，圆的标准方程为22(3)25x y -+=．设直线MP 的方程为(8)y k x =-，联立22(8)(3)25y k x x y =-⎧⎨-+=⎩，得2222(1)(116)64160k x k x k +-++-=．∴2264161M P k x x k -=+ ，得22821M k x k -=+，则2282(1k M k -+，210)1k k -+，两直线的斜率之积为5-，∴用5k -代替k ，可得222002(25k N k -+，25025k k +．当直线MN 的斜率存在，即25k ≠时，3222242225010603006251200282102505251MN k k k k k k k k k k k k k k ++++===---+-+-++．∴直线MN 的方程为222210682(151k k k y x k k k ---=-+-+，整理得：2619()53k y x k =--，可得直线MN 过定点19(,0)3；当直线MN 的斜率不存在时，即25k =时，直线MN 的方程为193x =，过定点19(,0)3．综上可得，直线MN 恒过定点19(,0)3．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．9．已知三点(2,0)A -、(2,0)B、C 在圆M 上．P 为直线6x =上的动点，PA 与圆M 的另一个交点为E ，PB 与圆M 的另一个交点为F ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线PC 与圆M相交所得弦长为，求点P 的坐标；（3）证明：直线EF 过定点．【解答】解：（1）由于(3,(AC BC ==- ，得330AC BC =-+= ，∴点C 在以线段AB 为直径的圆上，即圆M 的标准方程为224x y +=；（2）圆M 的半径为2，直线PC 截圆M所得弦长为，则圆心(0,0)到直线PC 的距离为1．设直线PC的方程为(1)y k x =-0kx y k -=．∴1=，解得k =，则直线PC的方程为(1)3y x =-+当6x =时，得点P 的坐标为83(6,3；（3）①当直线EF 斜率不存在时，设其方程为x m =．取((,E m F m ，由直线AE 与BF 交点的横坐标为6，可得23m =，即此时直线EF 的方程为23x =；②当直线EF 斜率存在时，设EF 的方程为y kx m =+．由224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(1)240k x kmx m +++-=．由△222244(1)(4)0k m k m =-+->，得2244k m >-．设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则212122224,11km m x x x x k k -+=-=++．且222212121224()1m k y y k x x km x x m k -=+++=+．直线AE 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--，代入点P 的横坐标6x =，得1212222y y x x =+-．由于22224x y +=，故222222yx x y +=--．从而1212222y x x y +=-+，即1212122()240x x x x y y ++++=．即222222444240111m km m k k k k ---++=+++ ，整理得224430k km m +-=，解得223km korm ==-．当2m k =时，直线EF 为(2)y k x =+，过点(2,0)A -，不符合题意；当23k m =-时，直线EF 为2()3y k x =-，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．另解：设(6,)P m ，,84AE BF m m k k ==，由224(2)8x y m y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，得222128232(,)6464m m E m m -++，由224(2)4x y m y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得22223216(,)1616m m F m m --++，∴222222223216126416(32)1282232326416EF m m m m m k m m m m m m +++==≠----++，故直线EF 的方程为222232121282()643264m m m y x m m m --=-+-+，整理得24(32)32m y x m =--，过定点2(,0)3．当232m =时，代入点E 、F 的横坐标，得23E F x x ==，直线EF 的方程为23x =，过定点2(,0)3．综上，直线EF 过定点2(,0)3．【点睛】本题考查圆的方程和性质，主要考查圆的方程和直线方程的运用，直线恒过定点的求法，属于中档题．10．已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上．（1）求C 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B ．①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点．【解答】解：（1）由题意已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上，所以有圆心(2D C -，)2E -在直线240x y +-=上，即：402D E ---=，又因为圆心C 在y 轴上，所以：02D-=，由以上两式得：0D =，4E =-，所以：224120x y y +--=．故C 的标准方程为：22(2)16x y +-=．（2）①如图，C 的圆心为(0,2)，半径4r =，因为MA 、MB 是C 的两条切线，所以CA MA ⊥，CB MB ⊥，故||||MA MB ===；又因为：24||ACM S S MA ∆===；根据平面几何知识，要使S 最小，只要||MC 最小即可．易知，当点M 坐标为(0,10)时，||8min MC =，此时64min S ==②设点M 的坐标为(,10)a ，因为90MAC MBC ∠=∠=︒，所以M 、A 、C 、B 四点共圆．其圆心为线段MC 的中点(2aC '，6)，||MC =设MACB 所在的圆为C ' ，所以C ' 的方程为：222()(6)1624aa x y -+-=+，化简得：2212200x y ax y +--+=，因为AB 是C 和C ' 的公共弦，所以：2222412012200x y y x y ax y ⎧+--=⎨+--+=⎩ ，两式相减得8320ax y +-=，故AB 方程为：8320ax y +-=，当0x =时，4y =，所以直线AB 恒过定点(0,4)．【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．11．已知圆22:()4(0)M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意一点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B ．（1）若||AB =，求||MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2-时，证明：直线AB 过定点．【解答】（1）解：连接MQ 交AB 于点P ，则MQ AB ⊥，所以点P 为AB 的中点，又||3AB =，则||AP =，又||2MA =，所以||1PM ==，因为QA 相切圆M 于点A ，故QA AM ⊥，所以2||||||AM PM MQ =⋅，即41||MQ =⋅，所以||4MQ =．（2）证明：当点Q 到圆M 的距离最小值为2-时，圆心(0,)M a 到直线40x y ++=的距离为由点到直线的距离公式可得=解得0a =或8a =-，由于0a <，故8a =-，由于MA AQ ⊥，MB BQ ⊥，故A ，B 在以MQ 为直径的圆上，又(0,8)M -，设(,4)Q m m --，则以MQ 为直径的圆的圆心为(2m ，12)2m +-，故圆的方程为222212(4)(()224m m m m x y ++--++=，即22(12)3280x y mx m y m +-++++=，因为A ，B 在以MQ 为直径的圆上，故AB 是圆M 与圆22(12)3280x y mx m y m +-++++=的公共弦，两式相减可得AB 的方程为(4)(288)0mx m y m +-+-=，即(7)(8)0y m x y +--=，由7080y x y +=⎧⎨--=⎩，可得17x y =⎧⎨=-⎩，所以直线AB 恒过定点(1,7)-．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，两圆公共弦的求法，考查运算求解能力，属于中档题．12．已知圆221:16C x y +=，圆222:12320C x y x +-+=．（1）求过点(4,4)M 且与圆2C 相切的直线的方程；（2）若与x 轴不垂直的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于R ，S 两点，且||2||PQ RS =，求证：直线l 过定点．【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线方程为4x =，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为4(4)y k x -=-，即(44)0kx y k -+-=，直线与圆2C 相切，∴2=，解得34k =-，切线方程为374y x =-+．故所求切线方程为4x =或374y x =-+；证明：（2）设直线l 的方程为y kx m =+，则圆心1C ，2C 到直线l的距离分别为1h =2h =，由垂径定理可得||PQ =，||RS =，由||2||PQ RS =，得22222216||14(6)||41m PQ k k m RS k -+==+-+，整理得224(6)m k m =+，故2(6)m k m =±+，即120k m +=或40k m +=，∴直线l 的方程为12y kx k =-或4y kx k =-．则直线l 过定点(12,0)或(4,0)．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查直线系方程的应用，是中档题．13．已知圆C 经过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得0AN BN K K +=恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线AB 的斜率为1-，AB ∴的垂直平分线m 的斜率为1，AB 的中点坐标为75(,)22，因此直线m 的方程为10x y --=，又圆心在直线l 上，∴圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程租278010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得圆心坐标为(3,2)C ，又半径r =，∴圆的方程为22(3)(2)13x y -+-=；（2）假设存在点(,2)N t 符合题意，设交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为2(1)y k x -=-，联立方程组22(1)2(3)(2)13y k x x y =-+⎧⎨-+-=⎩，消去y ，得到方程2222(1)(26)40k x k x k +-++-=．则由根与系数的关系得2122261k x x k ++=+，212241k x x k -=+．0AN BN K K += ，∴1212220y y x t x t --+=--，即1212(1)(1)0k x k x x t x t--+=--．12122(1)()20x x t x x t ∴-+++=，∴22222826(1)2011k k t t k k -+-++=++．解得72t =-，即N 点坐标为7(2-，2)；②当直线AB 斜率不存在时，点N 显然满足题意．综上，在直线2y =上存在定点7(2N -，2)，使得0AN BN K K +=恒成立．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．14．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设点3(1,)2M -，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（3）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】（1）解：设圆心(,0)C a ，(0)a >，则由直线和圆相切的条件：d r =，5=，解得2a =（负值舍去），即有圆C 的方程为22(2)25x y -+=；（2）解：若直线l 的斜率不存在，即:1l x =-，代入圆的方程可得，4y =±，即有||8AB =，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线3:(1)2l y k x -=+，即为22320kx y k -++=，圆C 到直线l 的距离为|d ==，由8AB =，即有8=，即有3d =，即3=，解得34k =，则直线l 的方程为3490x y -+=；（3）证明：由于P 是直线60x y ++=上的点，设(,6)P m m --，由切线的性质可得AC PA ⊥，经过A ，P ，C ，的三点的圆，即为以PC 为直径的圆，则方程为(2)()(6)0x x m y y m --+++=，整理可得22(26)(2)0x y x y m y x +-++-+=，可令22260x y x y +-+=，且20y x -+=，解得2x =，0y =，或2x =-，4y =-．则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为(2,0)，(2,4)--．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题．题型二阿波罗尼斯圆15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则22||||2PA PB +的最大值为()A ．3+B ．7+C ．8+D ．16+【解答】解：以经过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)P x y =，化简得，22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴点P 在以(2,0)为半径的圆上，则有2222||||2()2PA PB x y +=++，而22x y +表示圆上的点与原点距离的平方，易知227x y ++，故222()216x y +++，故22||||82PA PB ++．故选：C ．【点睛】本题考查圆轨迹方程的求法，考查两点间的距离，考查逻辑推理能力，属于中档题．16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P 与两定点M ，N 的距离之比为(0,1)x λλ>≠，则点P 的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点(2,0)M ，点P 为圆22:16O x y +=上的点，若存在x 轴上的定点(N t ，0)(4)t >和常数λ，对满足已知条件的点P 均有||||PM PN λ=，则(λ=)A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：根据题意，如图，A 、B 两点为圆与x 轴的两个交点，圆2216x y +=上任意一点P 都满足||||PM PN λ=，则A 、B 两点也满足该关系式，又由(4,0)A -，(4,0)B ，(2,0)M ，(,0)N t ，则有||||62||||44AM BM AN BN t t λ====+-，解可得8t =，12λ=；故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题．17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，b =．【解答】解：设(,)M x y ，则||||MB MA λ= ，2222221()()2x b y x y λλ∴-+=++，由题意，取(1,0)、(1,0)-分别代入可得2221(1)(1)2b λ-=+，2221(1)(1)2b λ--=-+，由0λ>即12b ≠-，解得2b =-，2λ=．故答案为2，2-．【点睛】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2，MAB ∆面积的最大值为．【解答】解：设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[(]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--，所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得2λ=，2b =-如右图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，3()4MAB max S ∆=．故答案为：2；34．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线:0l x y -=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点(7,6)B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ．①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T （异于原点)O ，使得对于Γ上任意一点P ，都有||||PO PT 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设圆心(,3)t t ，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径3||r t =．圆心到直线的距离d ==，由2272t r +=，解得1t =±．故圆心为(1,3)或(1,3)--，半径等于3．圆与x 轴正半轴相切∴圆心只能为(1,3)故圆C 的方程为22(1)(3)9x y -+-=．（2）①设(,)M x y ，则：(A AM x x =- ，)A y y -，(7,6)MB x y =--，∴142122A Ax x xy y y -=-⎧⎨-=-⎩，∴143123AAx xy y =-+⎧⎨=-+⎩，点A 在圆C 上运动，22(3141)(3123)9x y ∴--+--=，即：22(315)(315)9x y ∴-+-=，22(5)(5)1x y ∴-+-=，所以点M 的轨迹方程为22(5)(5)1x y -+-=，它是一个以(5,5)为圆心，以1为半径的圆．②假设存在一点(,)D t t 满足条件，设(,)P x yλ=，整理化简得：2222222(22)x y x tx t y ty t λ+=-++-+，P 在轨迹Γ上，22(5)(5)1x y ∴-+-=，化简得：22101049x y x y +=+-，2222222(10102)(10102)494920x t y t t λλλλλλ∴-++-+-+-=，∴2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，解得：4910t =，∴存在49(10D ，49)10满足题目条件．【点睛】本题考查圆的方程，轨迹方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y +=和点1(,0)2A -，点(1,1)B ，M 为圆O上动点，则2||||MA MB +【解答】解：如图，取点(2,0)K -，连接OM 、MK ．1OM = ，12OA =，2OK =，∴2OM OKOA OM==，MOK AOM ∠=∠ ，MOK AOM ∴∆∆∽，∴2MK OMMA OA==，2MK MA ∴=，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+，在MBK ∆中，||||||MB MK BK +，||2||||||MB MA MB MK ∴+=+的最小值为||BK 的长，(1,1)B ，(2,0)K -，||BK ∴=．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中档题．21．已知圆22:1C x y +=，直线:(1)(1)10()l m x m y m R ++--=∈．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆C 所截得的弦长为m 的值；（3）若点B 的坐标为(2,0)-，在x 轴上存在点D （不同于点)B 满足，对于圆C 上任意一点P ，都有PBPD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标．【解答】解：（1）由直线:(1)(1)10l m x m y ++--=，得()(1)0m x y x y -++-=，联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==，∴直线l 所过定点A 的坐标为11(,22；（2）直线l 被圆C ∴圆心到直线l 的距离12d ==．12=，解得1m=±；（3）假设存在(D a，0)(2)a≠-满足题意，当取(1,0)P-时，||1|||1|PBPD a=+；当取(1,0)P时，||3|||1|PBPD a=-．∴13|1||1|a a=+-，解得1(2)2a a=-≠-．可得||2||PBPD=，1(2D-，0)．设(,)P x y，则||PB=，||PD=，由||2||PBPD=，得2=，化为221x y+=．因此点P在圆C上，满足题意．因此在x轴上存在点1(2D-，0)，使得对圆C上的任意一点P，||||PBPD为同一常数．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了取特殊点探究一般性规律的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．22．已知圆22:80C x x y++=，直线:20l mx y m++=．（Ⅰ）当直线l与圆C相交于A，B两点，且||AB=，求直线l的方程．（Ⅱ）已知点P是圆C上任意一点，在x轴上是否存在两个定点M，N，使得||1||2PMPN=？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得圆心(4,0)C-，4r=，圆心C到直线l的距离2md=，因此224||21mABm====+，解得1m=±，直线l的方程为2y x=+或2y x=--，（Ⅱ）设(,)P x y，1(M x，0)，2(N x，0)，由已知可得228x y x+=-12=，化简得211222821824x x x xx x x x-+-=-+-．21/21即2212212(412)(4)0x x x x x -++-=恒成立，所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩，所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为(6,0)M -，(12,0)N -或(2,0)M -，(4,0)N ．（此处只写出一组解扣2分）如从阿氏圆的结论出发，可做为本题的另一种解法，按步骤酌情给分．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23．已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比||||PA PM 为定值，并求1||||2PB PA +的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设圆C 的圆心为(,)C a b ，由题意可得，2111212245022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯-⨯-=⎪⎩，解得0a b ==．∴圆C 的方程为224x y +=；（Ⅱ）设点(M m ，0)(4)m ≠，0(P x ，0)y ，则22004x y +=．∴||||PA PM ==，||||PA PM 为定值，0820x ∴-+是2024mx m -++的倍数关系，且对任意的0[2x ∈-，2]成立，∴282024m m -=-+，解得1m =或4m =（舍去），(1,0)M ∴，此时||2||PA PM =为定值，1||||||||||2PB PA PB PM MB +=+，当且仅当B 、M 、P 三点共线时，1||||2PB PA +的最小值为||5MB =．【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题．。

高中数学定值定点题型问题

所以 (k 2 1) 4m 2 12 8k 2 m 2 m 2 0 ． 3 4k 2 3 4k 2
整理得 7 m 2 12 (k 2 1) ，满足 0 ．
所以点 O 到直线 A B 的距离
d
|m |
12 2
21 为定值．
k2 1
7
7
（1）题型一：定值定点题型
解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位
置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
一般的解题思路是对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．
x1 2
x1 2
直线 BM 2 y2 ) ．
x2 2
x2 2
uuur uuur
若以线段 P Q 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 , 0) ，则等价于 PN QN 0 恒成立．
uuur
又因为 PN
(x0 ,
2 y1
uuur
设 A( x1 ,
y1 ), B ( x2 , y2 )
，则有 x1
x2
8k 2 1 4k 2
， x1 x2

高中数学课件-第9讲第1课时定点、定直线问题

第9讲　高考中圆锥曲线的综合问题第1课时　定点、定直线问题命题解读　定点问题一般分为直线过定点和曲线过定点，定直线问题一般是证明点在定直线上，这两类问题的解决方法一般有两种：特殊推理法和直接推理法，高考试题难度较大.01突破核心命题考点一定点问题考向 1直线过定点问题则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k＞0，圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.反思感悟2其他曲线过定点问题1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k ＝0或k 不存在.2.以曲线上的点为参数，设点P (x 1，y 1)，利用点在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 1，y 1)＝0消参.反思感悟(1)求C的方程；(2)设Q(1，0)，直线x＝t不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过x轴上的一定点.考点二定直线问题证明：法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4.(4m2－1)y2－32my＋48＝0.因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0.所以A1(－2，0)，A2(2，0).(－2，0)，A2(2，0).法二：由题意得A设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.由x＝my－4，得x－2＝my－6，定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.反思感悟(1)求抛物线C的方程；(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上.02限时规范训练(六十五)(1)求E的方程；(2)设点P(1，0)，直线PM，PN与E分别交于点C，D，直线CD是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.4.(2024·莆田质检)如图，正六边形ABCDEF的边长为2.已知双曲线Γ的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF.(1)建立适当的平面直角坐标系，求Γ的标准方程；解：(1)依题意，以直线AD为x轴，线段AD的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，因为在正六边形ABCDEF中，△EOD为正三角形，所以∠EOD＝60°，|OD|＝|ED|＝2，。

【高中数学课件】圆锥曲线中的定值、定点问题

总结提炼：
• 有关定点问题，多出现在直线过定点问题，一种方法是先求出直线方程，后把参数的同次项合并，令各次项系数为0即可得到定点，另一种方法是利用特殊情况找到定点，后证明曲线过该点即可。
思考：
• 如图,椭圆
的两焦点F1,F2与短轴
两端点B1,B2构成∠B2F (2)若直线l:y=kx+m与椭
成立。 • 例2、已知一动圆M,恒过点F （1,0），且总与直线x=-1 • 相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在
曲线C上,是否存在异于原点的 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 两点, 当 y1 y2 16 , 直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标; 若不存在,说明理由.
圆锥曲线中的定值、定点问题
一、曲线过定点问题：
• 例1、（课本P79页第19题）设直线L与抛物线y2=2px(p＞ 0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，其中y1＞y2。
• （1）若 OA • OB 0，AB • OX 0，求L与x轴的交点坐标。 • （2）是否存在定点M，使得当L经过M点时，总有OA • OB 0
且MA MB ，若M为定点，证明：直线
EF的斜率为定值.
总结提炼：
• 定值问题：
• 解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通
过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．
• 例5、已知抛物线Q:x2=2py(p＞0)上任意一点到焦点F的距离的最小值为1.
• (1)求实数p的值; • (2)设圆M过A(0,2),且圆心M在抛物线Q上,EG是圆

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。

高考数学圆过定点问题专项练习讲解

高考数学圆过定点问题专项练习讲解一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意得1,{32c a a c =−=1,{3c a =⇒=.椭圆的方程为：221.98x y +=（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,,，020,3y k x =−2012209y k k x ∴=−.在椭圆上，所以，2k ⋅，设，则，.，又2k ⋅.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为，12GH y y =−,所以，以GH 为直径的圆的方程为：.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点(17,0),(1,0).【分析】(1)根据题意，列出方程组1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，求解即可得出结果；(2)先记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，()3,0A −，()3,0B ，表示出12k k ，，根据M 在椭圆上，得到2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，进而可得1289k k =−，再设()19G y ，，()29H y ，可得1264y y =−，由GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−，得到以GH 为直径的圆的方程，进而可得出结果. 【详解】（1）由题意得：1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩21,83c b a =⎧⇒⇒=⎨=⎩，椭圆C 的方程为：221.98x y +=（2）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，() 3,0A −，()3,0B ，所以0103y k x =+，020,3y k x =− 2012209y k k x ∴=−. 因为M 在椭圆上，所以2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，1289k k =−，设()19G y ，，()29H y ，，则1112AM y k k ==，626BM y k k ==，所以121272y y k k =，又1289k k =−.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−，所以，以GH 为直径的圆的方程为：()()2221212924y y y y x y −+⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭. 令0y =，得()212964x y y −=−=，所以117x x ==，将两点()()17,0,1,0代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点()()17,0,1,0. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的性质等，即可求解，属于常考题型.2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x＝M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）MN为直径的圆恒过定点和．【分析】（1）根据ABF1求出a ＝2，即得解；（2）设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y．求出112)2y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，联立22142x y +=和PQ的方程为x ty =0PM PN →→⋅=即得解.【详解】解：（1）由题得 ABF的面积(11()122S a c b a =+⋅==，解得a ＝2，即椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）已知点A （－2，0），设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y ．直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线AQ 的方程为22(2)2y y x x =++，将x =AP 、AQ 方程，可得112)2y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭．设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，即212)PM m n n PN →→⎫⋅=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212)m n n =−+⎝⎭22)m n n ⎛⎫=−+()()2121212222)2)222))y y n y ty ty y m n ⎡⎤−+=+()2121212222)2)22))y y n ty y y y m n ⎡⎤−++=+联立椭圆22142x y+=和直线PQ 的方程为x ty =可得22(240ty y +−=，化简得()22220t y ++−=，即1222y y t −+=+，12222y y t −=+．代入上式化简得22)m n =+22)20m n =−++=，由此可知，若上式与t 无关，则0n =，又2)20,m PM P m N →→⋅=−== 因此MN为直径的圆恒过定点和．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++−=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.【答案】(1)22143x y += ;(2) 以MN为直径的圆经过定点(6±【分析】(1) 利用SM SN =,//RQ SN ,可以推出RQ QM =,根据42QS QR SM SR +==>=可知: 动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而可以写出Q 点的轨迹方程.(2)设00(,)P x y ,求出,M N 的坐标后,再求出MN 的中点坐标,然后求出以MN 为直径的圆的方程,令0y =可求得6x =±为定值,所以圆过定点.【详解】 (1)如图:因为SM SN =,//RQ SN , 所以RQ QM =,所以42QS QR QS QM SM SR +=+==>=,根据椭圆的定义知:动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆, 这里224,413a b ==−=,所以Q 点的轨迹方程为:22143x y +=.(2)由题可知(2,0),(2,0)A B −,设00(,)P x y , 所以002AP y k x =+,则直线AM l 的方程为:00(2)2y y x x =++, 令6x =,则0082y y x =+,所以008(6,)2y M x + , 因为002BP y k x =−,则直线BP l 的方程为:00(2)2y y x x =−−, 令6x =,则0042y y x =− ,所以004(6,)2y N x −, 所以MN 的中点坐标为00202(32)(6,)4y x x −−,此时圆的方程为: 222000022002(32)2(6)(6)[][]44y x y x x y x x −−−+−=−−, 令0y =,得2202032(6)4y x x −=−,又2200143x y +=,所以2(6)24x −= , 解得:6x =±故以MN为直径的圆经过定点(6±. 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求标准方程,圆过定点问题,属难题.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ，（l ）若121k k =− ①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1）(1,0)P −，定点为(3±；（2）直线过定点(3,0)．【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于1−，从而得到PQ 为直径，从而确定出点P 的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线PM 的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1）121,k k PM MQ =−∴⊥，又因为P 在圆上，所以PQ 为直径，故(1,0)P −,法一：设1:(1)PM l y k x =+，令3x =得1'(3,4)P k ，2:(1)QM l y k x =−，令3x =得2'(3,2)Q k ，且PM QM l l ⊥，故12k k 1=−，12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k −−+−−=22121269(42)80x x y k k y k k ⇒−++−++=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±．法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1vP u +， :(1)1QMv l y x u =−−，3x =，得2'(3,)1v Q u −，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v v x x y y u u −−+−−=+−222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒−++−++=+−−由221u v +=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±．（2）法一：解：设:(1)QM l y k x =−与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +−+−=，由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k −=+，22222212(,)11k M k k −−++，同理23223312(,)11k P k k −−++，再利用222232222442,(,)44k k k k P k k −−=++． 222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k −+++==−−+−++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k −−∴=−++++222232k x k k −=+，∴直线过定点(3,0)．法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号．不妨设21k =，则:1QM l y x =−，与圆联立得(0,1)M −，32k =，则:2(1)QP l y x =−，与圆联立得34(,)55P −，此时1:13MP l x y =+，同理由圆对称性，当(0,1)M 时，231,2k k =−=−，此时P 点坐标34(,)55，1:13MP l x y −=−，若直线MP 过定点，则联立上述直线MP 的方程，求出交点(3,0)，下面验证(3,0)是否为定点．设过(3,0)且与圆O 有交点的直线斜率为k ，则直线方程为(3)y k x =−，代入圆方程得：2222(1)6910k x k x k +−+−=两交点1122(,),(,)M x y P x y ．由韦达定理：，故2121223121212(3)(3)(1)(1)()1y y k x x k k x x x x x x −−==−−−++212121212[3()9]2()1k x x x x x x x x −++==−++， ∴MP 过定点(3,0)．考点：曲线过定点问题．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l：0x y +=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【分析】（1）根据相切得到b =2a =，得到椭圆方程.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634t y y t +=−+，122934y y t =−+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，得到答案. 【详解】（1）根据题意：b ==2b a ==，所以2a =，所以椭圆T 的方程为22143x y +=.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到()2234690t y ty ++−=，所以122634t y y t +=−+，122934y y t =−+，所以()221212122412134t x x t y y t y y t −=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+，因为直线AB 的斜率112AB y k x =+，所以直线AB 的方程()1122y y x x =++，所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，又因为()()()121212121236363699222436y y y y x x x x x x ⨯==−=−+++++，()()12121212212121212121866666223339ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==−+++++++，所以圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，令0y =，则有()249x −=，所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P −时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）16π；（2）过定点，定点坐标是()032，和()0,32− 【解析】试题分析：由直线AP 方程6y x =+得()0,6M ，由2y x =−−得()0,2N −故所求面积为16π．（2）根据两直线互相垂直设出直线AP ，BP 的方程，写出以MN 为直径的圆的方程222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，令y=0得定点()032，和()0,32−． x试题解析：（1）解析：当()4,2P −时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =−−，所以()0,2N −，因此8MN =．所以以MN 为直径圆的面积是16π．（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+−=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛−k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−k k D 13,02．所以以MN 为直径的圆的方程为： 222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，展开后得()012132222=−−−+y k k y x ，令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−．解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D ．所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+b a b a y x ，展开后得()022=++−+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒−=⇒−=⋅12126ab ba ()01222=−+−+yb a y x ，令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−．考点：直线与圆的综合应用．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）(). 【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得2a =，根据椭圆的离心率求得c ,进而求的b .(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线方程与椭圆方程可得,A B 两点坐标的关系，根据,A B 两点坐标可将直线AM 与直线BM 分别表示出来，进而可求其与y 轴交于点,P Q ，以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立，带点求解即可.【详解】（1）由题意知24a =，则2a =．又2c a =，222a c b −=，可得1b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由()221,{1,4y k x x y =−+=得()2222148440k x k x k +−+−=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k−=+．又点M 是椭圆C 的右顶点，∴点()2,0M ．由题意可知直线AM 的方程为()1122y y x x =−−，故点1120,2y P x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．直线BM 的方程为()2222y y x x =−−，故点2220,2y Q x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，()()22121200121222401222y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅+=−−−−恒成立．又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k−−−=−++=−+=+++， ()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫−⎡⎤=−−=−++=−+=− ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k −+∴+=+=−=−−+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点()．【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为0PN QN ⋅=恒成立问题求解.8．已知椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)，其短轴长是2√3，原点O 到过点A(a,0)和B(0,−b)两点的直线的距离为2√217. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P,Q 是定直线x =4上的两个动点，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，证明：以PQ 为直径的圆过定点，并求定点的坐标. 【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）由题意得，运用点到直线的距离公式，解得a =2，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线和直线的方程，可得设，写出以PQ 为直径的圆的方程，令，即可求解求定点的坐标．试题解析：（1）由，得再由，得a =2，椭圆的方程．（2）由（1）知：设直线斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为：，令得：于是以PQ 为直径的圆的方程为：即：令，得或圆过定点，考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中写出直线和直线的方程，得，写出以PQ 为直径的圆的方程是解答的关键．9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y −+=相外切，又与定直线1: 1l x =−相切. （1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点. 【答案】（1）22:8C y x =（2）证明见解析【分析】（1）易知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线l 方程为：2x my =+，联立方程得到12128,16y y m y y +=⋅=−，EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：根据题意知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等，所以M 的轨迹方程为：22:8C y x =.（2）显然直线l 不与x 轴重合，设直线l 方程为：2x my =+，与2:8C y x =联立消x 得：28160y my −−=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,16y y m y y +=⋅=−，直线OA 方程为：11y y x x =，所以112(2,)y E x ，即116(2,)E y ，同理216(2,)F y ，所以以EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，令0y =得：212256440x x y y −++=，即24120,26x x x x −−==−=或，以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点1(2,0)G −和2(6,0)G .【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，且和直线12x =−相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q −的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点. （1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22y x =（2）见解析【分析】（1）由抛物线定义确定P 的轨迹方程，（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−=设存在定点()00,N x y ，由1NA NB K K ⋅=−，代入韦达定理整理得()2002440y n y −+−=，利用020240,40,y y −=⎧⎨−=⎩即可得002,2y x ==【详解】（1）设动圆圆心P 到直线12x =−的距离为d ，根据题意，d PF =∴动点P 形成的轨迹是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以直线12x =−为准线的抛物线，∴抛物线方程为22y x =.（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−= ()()2241624480,n n n n ∆=++=++>12122,48y y n y y n +==−−若设抛物线上存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ，设()00,N x y ，则2002y x =101022011010222NA y y y y K y y x x y y −−===−+−，同理可得202NBK y y =+ 102022NA NB K K y y y y ⋅=⋅++ ()21212004y y y y y y =+++ 20041482n ny y ==−−−++ ()2002440,y n y ∴−+−= 020240,40,y y −=⎧∴⎨−=⎩解得002,2,y x ==∴在曲线C 上存在定点()2,2N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N .【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题 11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B −．（1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）()()0,9,0,3−. 【分析】（1）根据题目椭圆过短轴端点，以及离心率3，可以求出椭圆方程为2213x y +=.（2）利用直线MA 的斜率以及直线MB 的斜率，3y =的方程，得出点P ,Q 的坐标，那么就可以设出圆的方程()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭，再进行转化变形，就可以求出定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆短轴的两个端点为(0,1),(0,1)A B −，所以b =1，且椭圆的离心率为3，所以3c a =，并且222a b c −=，得出23a =，所以椭圆方程为2213x y +=. （2）设点M 00(,x y ),则001MA y k x −=,所以过原点与MA 平行的直线方程为：001y y x x −=, 令3y =,得0031x x y =−,003P ,31x y ⎛⎫⎪−⎝⎭; 001MB y k x +=, 所以直线MB 方程为：0011y y x x +=−, 令3y =,得0041x x y =+,004Q ,31x y ⎛⎫⎪+⎝⎭; 设过点P ,Q 的圆的方程为()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭展开后得：220000002033446901x y x x y x x x y y y ++−−+−+=− 即：2220000220071269011x y x x x x y y y y −−++−+=−−;22002136270y x y y x x −+−−+= 令0x =,y =9或y =-3，故定点为()()0,9,0,3−.【点睛】（1）求椭圆的方程就是利用题目的信息求解,,a b c ;（2）要注意过两点()()1122P ,,,x y Q x y 的圆的方程可以设为:()()()()12120x x x x y y y y −−+−−=，这样求解比较方便，特别要明确圆过定点就是与点M 的位置无关，00213y x x −中，令x=0，即可得解. 12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程；（2）若12MP MN =，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）20x −=或20x −=；（2）过定点，(2,0) 【分析】（1）设出直线l 的方程2()x my m =+∈R ，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，利用0AP AQ ⋅=得()2220000042420x m y m x y x −−++−=，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩解方程组即可.【详解】（1）由题可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为2()x my m =+∈R ，将2x my =+代入24y x =，消去x 可得2480ymy −−=，显然216320m ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y m +=，128y y =−，所以12||MN y y =−==因为||MN =，所以=m =，所以直线l 的方程为20x−=或20x −=.（2）因为12MP MN =，所以P 是线段MN 的中点，设(),P P P x y ，则由（1）可得()2121242222P m y y x x x m +++===+，1222P y y y m +==，所以()222,2P m m +，又PQ y ⊥轴，垂足为Q ，所以(0,2)Q m ，设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，则()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，所以0AP AQ ⋅=，即()()220002220x m x m y −+−+−=，化简可得()2220000042420x m y m x y x −−++−=①，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩，可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以当02x =，00y =时，对任意的m ∈R ，①式恒成立，所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0). 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F −，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF的周长最大值为4. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点为)和().【分析】（1）NMF 的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；（2）分直线BC 斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率k ，再联立椭圆方程，求出,P Q 坐标，最后求出以PQ 为直径的圆的方程，方程里面含有k ，再令0y =即可.【详解】（1）设右焦点为1F，则1F M FM ===max (||||)44MN NF ∴+=+= 1||2x NF a NF =−11||||||22NF MN NF a MF a MN ∴+=−+<+即N 点为1MF 与椭圆的交点时，周长最大1MF =所以242,1a a c +=⇒==b ∴==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知()2,0A −，设()00,B x y ，则()00,C x y −− 当直线BC 斜率存在时，设其方程为y kx =联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234x k =+00:2)x y AB y x ∴===+令0x =，得y P ⎛⎫ ⎪ =∴⎝同理得Q ⎛⎫⎪⎝||PQ∴==设PQ中点为S，则30,2Sk ⎛⎫−⎪⎝⎭所以以PQ为直径的圆得方程为22232x yk⎛⎫++=⎪⎝⎭⎪⎝⎭即2222699344x y yk k k+++=+即22630x y yk++−=令0y=，得x=所以过点)和()，且为定点.当直线BC斜率不存在时，容易知道(0,B C此时(0,P Q所以以PQ)和()综上，此圆过定点)和()【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.14．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆上一动点，当12MF F∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且||4AB=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过1F的直线与椭圆相交于点C，D（不与顶点重合），过右顶点B分别作直线BC，BD与直线4x=−相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−．【分析】（1）由||4AB =可得a 的值，12MF F 的面积最大时，由椭圆的性质可得当和三角形内切圆的性质可列方程，再结合,,a b c 的关系，从而得出答案.(2)设出直线CD 的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由C 点坐标得出BC 的方程进而得出点N 坐标，同理得出M 坐标，写出以MN 为直径的圆的方程，从而得出圆过定点. 【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，化简得12c a =① 又||24AB a ==，所以2a =，1c =，b ==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F −，(2,0)B ，由题意，直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为1x my =−，代入椭圆E 的方程22143x y +=，整理得22(34)690m y my +−−=．设11(,)C x y ，()22,D x y ，则12y y +=2634m m + ，122934y y m =−+，② 直线11:(2)3y BC y x my =−−．令4x =−，得1164,3y N my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，同理可得2264,3y M my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，所以以MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，即22121212126636816033(3)(3)y y y y x x y y my my my my ⎛⎫++++++=⎪−−−−⎝⎭，③ 由②得：()()()121212121212186663333my y y y y y m my my my my −++==−−−−− ()1212212121236369(3)(3)39y y y y my my m y y m y y ==−−−−++代入③得圆的方程为228760x x y my +++−=．若圆过定点，则2870y x x =⎧⎨++=⎩ 解得10x y =−⎧⎨=⎩或70x y =−⎧⎨=⎩所以以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答本题的关键是先求出点N ，M 坐标，进一步得出MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，再由韦达定理化简方程，得出答案，属于中档题.15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =−，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）ST 为直径的圆过定点(1,0)±．【分析】（1）由条件可得24()()(2)a c a c b +=−又因为12c a =，解方程组即可得椭圆的标准方程；（2）依题意求得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =−=，求得交点,S T ，从而求以ST 为直径的圆方程，进而判断是否过定点．【详解】解：（1）由条件可得()()()242a c a c b +=− 所以2131a c eb ac e++===−−，又12c a =，所以22134a a −=，解得24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，()02x ≠±，所以2200143x y +=，①对椭圆22143x y +=求导得，22043x y y +'=，所以0034x k y =−切，所以切线方程为()000034x y y x x y −=−−，将①代入上式，得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =−=，得000063632,,2,22x x S T y y ⎛⎫⎛⎫+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以以ST 为直径的圆，圆心为030,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径||2ST r =，所以22222000200063639||4(22)1622x x x ST r y y y ⎛⎫−+==++−=+ ⎪⎝⎭，因为2200143x y +=，所以2200413y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以20222003613364164y r y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+=+，所以圆的方程为22200391x y y y ⎛⎫+−=+ ⎪⎝⎭，令21x =，得220039y y y ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，得1x =±时，0y =，所以ST 为直径的圆是过定点(1,0)±．【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫− ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.【分析】（1）利用||OP =，123·4PF PF =列出方程可得1c =，再由离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标. 【详解】(1)2OP =220074x y ∴+=，又123·4PF PF =，00003(,)(,)4c x y c x y ∴−−−⋅−−=，即2220034x c y −+=，则可得1c =，又2e =，1a b ∴==，故所求椭圆方程为2212x y +=；(2)设直线1:3l y kx =−，代入2212x y +=，有22416(21)039k x kx +−−=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k −+==++，若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =−，22(,)MB x y m =−，21212121212·()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+−−=+−++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+−−−−+−+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+−+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k −++−=+，由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立，即22218(1)(9615)0m k m m −++−=对k ∈R 成立.221096150m m m ⎧−=∴⎨+−=⎩，解得1m =， ∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

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定点问题
1．利用a 0=1（其中a>0且a ≠1）
例1：（2007山东文）函数y=a 1－x (a>0，a ≠1)的图象恒过点
A ，若点A 在直线mx+ny －1=0(mn>0)上，则n m 11+的最不
值为_______________.
例2：已知函数f(x)=a x －1
+1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点P ，则
P 点的坐标是__________.
2．利用log a =0（其中a>0且a ≠1）
例3：（2007山东理）函数y=log a (x+3)－1(a>0，a ≠1)的图
象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则n m 21+的最小值为______________. 3．利用1a =1(a ∈R)，0a =0(a ∈R +)，（－1）n =－1 (a=2k+1或a=121+k k ∈N)
例4：已知函数f(x)=(2x －2)n －1 (n=2k+1,k ∈N)的图象恒过
定点P ，则点P 的坐标是_______.
4．利用反函数的性质
例5：若存在反函数的函数y=f(x)的图象恒过定点(2,1)，则函数y=f(1－x)的反函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________________.
5．利用函数的奇偶性
例6：已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则函数
y=2+f(x 2
－1) 的图象过的定点坐标为_________.
例7：（2006全国I ）设函数f(x)=cos()0)(3πϕϕ<<+x ，若函
数f(x)+)(x f '是奇函数，则ϕ=____________.
6．利用直线（或曲线）恒过定点解题
例8：若直线l ：(a+1)x+(3a －1)y －(6a+2)=0与椭圆C ：12522=+m
y x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是_____________.。