2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

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2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)

2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)

2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.若集合P={x|x≥1},Q={x|y=ln(4−x2)},则P∩Q=()A. [1,2)B. (1,2]C. (1,2)D. (2,1)2.已知i是虚数单位,若z(1−i)=i−2,则|z|=()A. √52B. √10 C. √102D. √53.命题“∃x0∈R,2x0+lnx0≤0”的否定是()A. ∀x∈R,2x +lnx>0 B. ∀x∈R,2x+lnx≥0C. ∃x0∈R,2x0+lnx0<0 D. ∃x0∈R,2x0+lnx0>04.在等比数列{a n}中,已知a1a3a11=8,那么a2a8等于()A. 4B. 6C. 12D. 165.下列在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=−sinxB. y=x2−2x+3C. y=ln(x+1)D. y=2020−x26.设m,n,l表示不同直线,α,β,γ表示三个不同平面,则下列命题正确是()A. 若m⊥l,n⊥l,则m//nB. 若m⊥β,m//α,则α⊥βC. 若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD. 若α∩γ=m,β∩γ=n,m//n,则α//β7.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b是方程x2−3x+2=0的两个实数根,且△ABC的面积为√22,则角C的大小是()A. 45°B. 60°C. 60°或120°D. 45°或135°8.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103,则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±2x9.已知向量a⃗=(3,100),若λa⃗=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则λμ=()A. 50B. 3C. 150D. 1310.若执行如图所示的程序框图,且输入x的值为0,则输出x的值为()A. 9B. 8C. 7D. 611.若实数x,y满足不等式组{x−y+2≥0x+y−4≤0x−3y+3≤0,则4x+8y的最大值为()A. 28B. 23C. 4D. 112.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,率为−2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=52,则该抛物线的方程是()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=6x二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知f(x)的定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1+a x(a>0且a≠1),若f(−1)=−32,则a=.14.函数y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为______ .15.半径为R的球放在房屋的墙角处,球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切,若球心到墙角的距离是√3,则球的表面积是______ .16.已知点A(−2,0),B(2,0),若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P,使得∠APB=90°,则实数a的取值范围是______ .三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n,数列{b n}的前n项和.18.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛,将他们的成绩(单位:分)分成范围为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]共6组,得到频率分布直方图如图所示.(1)求实数m的值;(2)若从成绩在范围[60,80)的学生中随机抽取2人,求抽到的学生成绩全部在范围[70,80)的概率.19.已知在四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB//DC,DC=2AB,Q为PC的中点.(1)求证:BQ//平面PAD;(2)若PD=3,BC=√2,BC⊥BD,试在线段PC上确定一点S,使得三.棱锥S−BCD的体积为2320. 已知以椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为顶点的四边形面积是4√3,且其离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线l 经过椭圆C 的右焦点F ,且交椭圆C 于A ,B 两点,证明:3|AB|=4|AF|×|BF|.21. 已知函数f(x)=2x −2lnx +a ,g(x)=−ax −2,a ∈R .(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立,求实数a 的取值范围.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是{x =−ty =t +4(t 是参数),以原点O 为原点,以x 轴的非负半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos(θ−π6). (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设M(x,y)为曲线C 上任意一点,求x +y 的取值范围.23.已知函数f(x)=|2x+1|−|2x−2|.(1)求不等式f(x)<0的解集;(2)若f(x)≤a−2对任意的x∈R成立,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵P={x|x≥1},Q={x|4−x2>0}={x|−2<x<2},∴P∩Q=[1,2).故选:A.可求出集合Q,然后进行交集的运算即可.本题考查了集合的描述法和区间的定义,一元二次不等式的解法,对数函数的定义域,交集及其运算,考查了计算能力,属于基础题.2.【答案】C【解析】解:∵z(1−i)=i−2,∴z=i−21−i =(i−2)(1+i)(1−i)(1+i)=−32−12i,∴|z|=√94+14=√102,故选:C.先利用复数的运算法则求出z,再利用复数的求模公式即可求出|z|.本题考查了复数的四则运算及模的求法,是基础题.3.【答案】A【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,“∃x0∈R,2x0+lnx0≤0”的否定是∀x∈R,2x+lnx>0,故选:A直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.4.【答案】A【解析】解:a1⋅a3⋅a11=a13⋅q12=(a1q4)3=a53=8,则a 2⋅a 8=a 52=4.故选:A根据等比数列的通项公式化简a 1a 3a 11=8后,得到关于第5项的方程,求出方程的解即可得到第5项的值,然后根据等比数列的性质得到a 2a 8等于第5项的平方,把第5项的值代入即可求出所求式子的值. 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质,是一道综合题.5.【答案】D【解析】解:根据题意,依次分析选项:对于A ,y =−sinx ,在区间(0,+∞)上不具有单调性,不符合题意,对于B ,y =x 2−2x +3=(x −1)2+2,在区间(1,+∞)上为增函数,不符合题意, 对于C ,y =ln(x +1),在区间(0,+∞)上为增函数,不符合题意, 对于D ,y =2020−x2=(√2020)x ,是指数函数,在区间(0,+∞)上为减函数,符合题意,故选:D .根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合可得答案. 本题考查函数单调性的判断,涉及常见函数的单调性,属于基础题.6.【答案】B【解析】解:∵m ,n ,l 表示不同直线,α,β,γ表示三个不同平面, ∴若m ⊥l ,n ⊥l ,则m 与n 平行,相交或异面,故A 错误; 若m ⊥β,m//α,则α⊥β,故B 正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故C 不正确;若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m//n ,则α与β相交或平行,故D 不正确. 故选:B .由m ,n ,l 表示不同直线,α,β,γ表示三个不同平面,知:若m ⊥l ,n ⊥l ,则m 与n 平行,相交或异面;若m ⊥β,m//α,则α⊥β;若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行;若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m//n ,则α与β相交或平行.本题考查平面的基本性质和推论,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.7.【答案】D【解析】解:若a,b是方程x2−3x+2=0的两个实数根,则ab=2,△ABC的面积为12absinC=sinC=√22,可得内角C=45°或135°.故选:D.由二次方程的韦达定理和三角形的面积公式,即可得到所求值.本题考查三角形的面积公式和二次方程的根的韦达定理,考查方程思想和运算能力,属于基础题.8.【答案】C【解析】解:双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103,可得a2+b2a2=109,可得ba=13,所以双曲线的渐近线方程为:y=±13x.故选:C.利用双曲线的离心率推出a,b的关系,即可得到双曲线的渐近线方程.本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率以及渐近线方程的求法,是基础题.9.【答案】C【解析】解:因为λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以100λ=2μ,即λμ=150.故选:C.由λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),得解.本题考查平面向量共线的条件,平面向量的坐标运算,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.10.【答案】B【解析】解:模拟程序的运行,可得:不满足条件x >7,执行循环体,x =4,x =1 不满足条件x >7,执行循环体,x =6,x =2 不满足条件x >7,执行循环体,x =8,x =3 不满足条件x >7,执行循环体,x =10,x =4 不满足条件x >7,执行循环体,x =12,x =5 不满足条件x >7,执行循环体,x =14,x =6 不满足条件x >7,执行循环体,x =16,x =7 不满足条件x >7,执行循环体,x =18,x =8 此时,满足条件x >7,退出循环,输出x 的值为8. 故选:B .根据已知中的程序框图,模拟程序的运行过程,并逐句分析各变量值的变化情况,可得答案.本题考查的知识点是程序框图的应用,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用列举法对数据进行管理.11.【答案】A【解析】解:由约束条件作出可行域如图,联立{x +y −4=0x −y +2=0,解得A(1,3),由z =4x +8y ,得y =−x2+z8,由图可知,当直线y =−x2+z8过A 时, 直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为28. 故选:A .由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,是中档题.12.【答案】B【解析】解:抛物线的焦点为F( p2,0)准线方程为x=−p2,设直线MN方程为y=−2x+p,联立抛物线方程可得y2+px−p2=0,故x M+x N=y M2+y N22p =(y M+y N)2−2y M y N2p=3p2,由抛物线的定义可得|MN|=x M+x N+p=32p+p=52,解得p=1;则该抛物线的方程是y2=2x,故选:B.求得抛物线的焦点和准线方程,设出直线MN的方程,联立抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,解得p即可;本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查直线方程和抛物线的方程联立,运用韦达定理考查化简运算能力,属于中档题.13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了函数奇偶性的性质,以及求函数值,同时考查了计算能力,属于基础题.根据条件,得到f(−1)=−f(1)=−1−a=−32,即可求出a的值.【解答】解:由题意,当x>0时,f(x)=1+a x(a>0且a≠1),f(−1)=−32,∴f(−1)=−f(1)=−1−a=−32,∴a=12.114.【答案】3e2x−y−2e2=0【解析】解:∵y=xe2x,∴y′=(2x+1)e2x,∴y′|x=1=3e2,又当x=1时,y=e2,∴y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为y−e2=3e2(x−1),即3e2x−y−2e2=0.故答案为:3e2x−y−2e2=0.求出原函数的导函数,得到函数在x=1处的导数,再求出f(1),利用直线方程的点斜式得答案.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,熟记导数的运算法则是关键,是基础题.15.【答案】4π【解析】解:根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线即√3R即√3R=√3解得:R=1故球的表面积是S=4π⋅12=4π,故答案为:4π.设球的半径为R,当球放在墙角时,同时与两墙面和地面相切可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体,则正方体对角线即为球心到墙角顶点的距离,由此求出球的半径,可得球的表面积.本题主要考查了空间两点的距离,以及利用构造正方体进行解题,属于基础题.16.【答案】[−√7,√7]【解析】解:如图:由题可知,A(−2,0)和B(2,0)都在圆x 2+y 2=4上,∵P 在圆(x −a)2+(y −3)2=4,∠APB =90°,∴圆x 2+y 2=4与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点,所以0≤√a 2+32≤4,解得−√7≤a ≤√7,故答案为:[−√7,√7].根据直径所对的圆周角恒为90°,可将题设转化为求以AB 为直径的圆与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点问题来解决.本题考查了圆与圆的位置关系,属于基础题.17.【答案】解:(I)当n =1时,a 1=S 1=12−1=0;当n ≥2时,S n−1=(n −1)2−(n −1)=n 2−3n +2, 所以a n =S n −S n−1=2n −2(n ≥2),经验证,当n =1时,也成立;综上,a n =2n −2;(II)由条件有2n −2+log 3n =log 3b n ,解得b n =n ×9n−1,设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =1×90+2×91+3×92+⋯+n ×9n−1,9T n =1×91+2×92+3×93+⋯+n ×92, 相减得−8T n =90+91+92+⋯+9n−1−n ×9n =1×(1−9n )1−9−n ×9n , 整理得T n =1+(8n−1)×9n 64.【解析】(1)利用和项关系a n ={S 1, ;n =1S n −S n−1,n ≥2求解;(2)求出数列{b n }的通项公式b n =n ×9n−1,为差比型数列,利用错位相减法求和.本题考查点为利用数列的前n 项求数列的通项公式及利用错位相加法求差比型数列的前n 项和,属于中档题.18.【答案】解:(1)由题意,(0.010+m+m+0.030+0.025+0.005)×10=1,解得m=0.015;(2)成绩在范围[60,80)的学生人数为n=20×(0.015×10)+20×(0.030×10)=9人,成绩在范围[70,80)的学生人数q=20×(0.030×10)=6人,从9个学生中随机抽取2人的种数为C92=36种,从6个学生中随机抽取2人的种数为C62=15种,故所求概率P=1536=512.【解析】(1)利用频率之和为1,列式求解即可;(2)先求出成绩在范围[60,80)和[70,80)的学生人数,然后由古典概型的概率公式求解即可.本题考查了频率分布直方图的应用,古典概型概率公式,解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法,掌握频率、频数、样本容量之间的关系,考查了逻辑推理能力,属于基础题.19.【答案】解:(1)证明:取PD的中点G,连结AG,QG,又因为Q为PC的中点,所以GQ//DC且GQ=12DC,又因为AB//DC,DC=2AB,所以GQ//AB,GQ=AB,故四边形ABQG是平行四边形,所以BQ//AG,又BQ⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,所以BQ//平面PAD;(2)因为在四边形ABCD中,AB//DC,AD⊥DC,DC=2AB,所以点B在线段CD的垂直平分线上,又因为BC=√2,BC⊥BD,所以BD=BC=√2,故△BCD的面积S=12×√2×√2=1,设点S到平面ABCD的距离为h,因为三棱锥S−BCD的体积为23,所以13×1×ℎ=23,解得ℎ=2,又PD ⊥平面ABCD ,所以点S 在线段PC 上靠近点P 的三等分点处.【解析】(1)取PD 的中点G ,连结AG ,QG ,证明四边形ABQG 是平行四边形,可得BQ//AG ,由线面平行的判定定理证明即可;(2)确定点B 在线段CD 的垂直平分线上,求解△BCD 的面积,设点S 到平面ABCD 的距离为h ,根据锥体的体积求出h ,然后由PD ⊥平面ABCD ,即可得到点S 的位置.本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间几何体体积的计算等知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,属于中档题.20.【答案】解:(1)∵以椭圆C 的顶点为顶点的四边形面积是4√3,∴4×12ab =4√3, ∴ab =2√3,又∵椭圆的离心率为12,∴a 2−b 2a 2=(12)2, ∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明:设l 为x =my +1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立直线l 与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1,可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0, ∴由韦达定理可得,y 1+y 2=−6m 3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4,∴3|AB|=3√m 2+1|y 1−y 2|=3√m 2+1 √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36(m 2+1)3m 2+4,∵A(x 1,y 1),F(1,0),∴|AF|=√(x 1−1)2+(y 1−0)2=√my 12+y 12=√m 2+1|y 1|,同理可得|BF|=√m 2+1|y 2 |,∴4|AF|×|BF|=4(m 2+1)|y 1y 2|=4(m 2+1)⋅93m 2+4=36(m 2+1)3m 2+4,∴3|AB|=4|AF|×|BF|,即得证.【解析】(1)根据已知条件,结合椭圆的离心率公式,即可求解.(2)设l 为x =my +1,将直线l 与椭圆联立方程可得,(3m 2+4)y 2+6my −9=0,再结合韦达定理,以及两点之间的距离公式,即可证明.本题考查了直线与椭圆的综合知识,需要学生能够熟练掌握公式,且本题计算量大,属于难题.21.【答案】解:(1)因为f(x)=2x −2lnx +a ,定义域为(0,+∞),所以f′(x)=2−2x =2x−2x ,当0<x <1时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,当x >1时,f′(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),f(x)的单调递增区间为(1,+∞);(2)由题意可得,f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立,即a >2+2lnx 1−x对任意的x ∈(0,12)成立, 令ℎ(x)=2+2lnx 1−x ,则ℎ′(x)=2x −2+2lnx (1−x)2, 令m(x)=2x −2+2lnx ,则m′(x)=−2+2x x 2, 当x ∈(0,12)时,m′(x)<0,则m(x)在(0,12)上单调递减,又当x =12时,m(x)>0,所以当x ∈(0,12)时,m(x)>0,即当x ∈(0,12)时,ℎ′(x)>0,所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增,故ℎ(x)<ℎ(12)=2−4ln2,所以a ≥2−4ln2,故实数a 的取值范围为[2−4ln2,+∞).【解析】(1)求出f′(x),利用导数的正负确定函数f(x)的单调性即可;(2)利用参变量分离将问题转化为a >2+2lnx 1−x 对任意的x ∈(0,12)成立,构造ℎ(x)=2+2lnx 1−x ,利用导数求解ℎ(x)的性质以及取值范围,即可得到a 的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题的求解,利用导数研究不等式恒成立问题的策略为:通常构造新函数或参变量分离,利用导数研究函数的单调性,求出最值从而求得参数的取值范围,属于中档题.22.【答案】解:(1)由{x =−t y =t +4(t 是参数),消去参数t ,可得直线的普通方程为x +y −4=0, 由ρ=6cos(θ−π6),得ρ2=6ρ(√32cosθ+12sinθ),即ρ2=3√3ρcosθ+3ρsinθ, ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−3√3x −3y =0;(2)由(1)得,曲线C 的方程为(x −3√32)2+(y −32)2=9, 令x −3√32=3sinθ,y −32=3cosθ,则x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32=3√2sin(θ+π4)+3√3+32. ∴x +y 的取值范围是[3√3−6√2+32,3√3+6√2+32].【解析】(1)直接把直线参数方程中的参数消去,可得直线的普通方程,展开两角差的余弦,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程;(2)设曲线C 的参数方程形式,可得x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32,再由辅助角公式化积,利用三角函数求最值,即可求得x +y 的取值范围.本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查运算求解能力,是中档题.23.【答案】解:(1)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|,所以不等式f(x)<0为|2x +1|−|2x −2|<0,即(2x +1)2<(2x −2)2,化简得12x <3,解得x <14,所以不等式f(x)<0的解集为(−∞,14);(2)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|≤|(2x +1)−(2x −2)|=3,所以f(x)max ≤3;又因为f(x)≤a −2对任意的x ∈R 成立,所以3≤a −2,解得a ≥5,所以实数a的取值范围是[5,+∞).【解析】(1)不等式f(x)<0化为|2x+1|<|2x−2|,两边平方后求出不等式的解集;(2)求出函数f(x)的最大值,不等式化为f(x)max≤a−2,由此实数a的取值范围.本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十二)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十二)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十二)文科数学★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤,{|||3}Q x R x =∈<,则P Q ⋃=( ) A. [3,4] B. (3,)-+∞C. (,4]-∞D. (3,4]-【答案】D 【解析】 【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.【详解】由题意得,[0,4]P =,(3,3)Q =-, ∴(3,4]P Q ⋃=-,故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算,属于容易题.2.x ,y 互为共轭复数,且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=( )A. 2B. 1C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求解,设复数i x a b =+,则其共轭复数i y a b =-,然后将x ,y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简,可求出,a b 的值,从而可求出复数x ,y 的模.【详解】设i x a b =+,i y a b =-,代入得()()22223i 46i a a b -+=-,所以()224a =,()2236a b +=,解得1=a ,1=b ,所以22x y +=.故选:C【点睛】此题考查复数和其共轭复数,复数的运算,复数的模,属于基础题.3.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取3 1.732≈),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B 【解析】 分析】设大正方体的边长为x ,从而求得小正方体的边长为3122x x -,设落在小正方形内的米粒数大约为N ,利用概率模拟列方程即可求解.【详解】设大正方体的边长为x 312x x -, 设落在小正方形内的米粒数大约为N ,则22312200x x N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=,解得:27N ≈ 故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用,考查计算能力,属于基础题.4.如图所示,在ABC ∆中,点D 在线段BC 上,且3BD DC =,若AD AB AC λμ=+,则λμ=( )A.12B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】分析:从A 点开始沿着三角形的边转到D ,则把要求的向量表示成两个向量的和,把BD 写成BC 的实数倍,从而得到AD 1344AB AC =+,从而确定出13,44λμ==,最后求得结果. 详解:34AD AB BD AB BC =+=+3()4AB AC AB =+-1344AB AC =+,所以13,44λμ==,从而求得13λμ=,故选B.点睛:该题考查的是有关向量的基本定理,在解题的过程中,需要利用向量直角的关系,结合三角形法则,求得结果.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-(m 为实数)为偶函数,记()0.5log 3a f =,()2log 5b f =,(2)c f m =+则a ,b ,c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )为偶函数便可求出m =0,从而f (x )=2x ﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解:∵f (x )为偶函数;∴f (﹣x )=f (x ); ∴2x m --﹣1=2x m -﹣1; ∴|﹣x ﹣m |=|x ﹣m |; (﹣x ﹣m )2=(x ﹣m )2; ∴mx =0; ∴m =0;∴f (x )=2x ﹣1;∴f (x )在[0,+∞)上单调递增,并且a =f (|0.5log 3|)=f (2log 3), b =f (2log 5),c =f (2); ∵0<2log 3<2<2log 5; ∴a<c<b . 故选B .【点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.6.如图所示是某多面体的三视图,左上为正视图,右上为侧视图,左下为俯视图,且图中小方格单位长度为1,则该多面体的侧面最大面积为( )A. 23B. 226 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -,分别计算4个面的面积,即可得到结果. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -,故1AC =,2PA =,5BC PC ==22AB =23PB =,∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=, 1222222PAB S ∆=⨯⨯=,123262PBC S ∆=⨯=∴该多面体的侧面最大面积为2 故选:B .【点睛】本题考查由三视图还原几何体,考查三角形面积的计算,考查空间想象能力与计算能力,属于中档题.7.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c-,,()20F c ,,点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+,则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A. 1353⎛⎝ B. 5,13)C. 13(5,)⎛+∞ ⎝⎭D. 5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义,212MF MF a =+,转化为124MF MN a b ++>,即()1min24MFMNa b ++>,根据数形结合可知,当点1,,M F N 三点共线时,1MF MN +最小,转化为不等式23242b a b a+>,最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=,若2||4MF MN b +>,即1|||24MF MN a b ++>‖,左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>, 如图所示,当点M 位于H 点时,1||MF MN +最小,故23242b a b a +>,即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,13c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值,转化为,a b 的代数关系,最后求ca的范围. 8.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+ 【答案】B 【解析】分析:根据程序框图可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此累加量为隔项. 详解:由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+,选B.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3cos cos 5a Bb Ac -=,则()tan A B -的最大值为B.34C.32【答案】B 【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理,得35sinAcosB sinBcosA sinC -=, C A B sinC sin A B π=-+⇒=+()(),, ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+(),整理,得4sinAcosB sinBcosA =,同除以cosAcosB , 得4tanA tanB = , 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB(),--===+++A B 、 是三角形内角,且tan A 与tanB 同号,A B ∴、 都是锐角,即00tanA tanB >,>,144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+(),当且仅当14tanB tanB =,即12tanB = 时,tan A B -() 的最大值为34. 故选B .10.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1,则w 的取值范围是( )A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先将()f x 化简为()sin f x x ω=,由()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值,有π0π2ω≤≤,()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,可得2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,从而得出答案. 【详解】2ππ2cos 1cos 1sin 242x x xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()2sin 1sin sin sin f x x x x x ωωωω=+-=.令π2π2x k ω=+可得π2π2k x ωω=+,()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值,π0π2ω∴≤≤解得12ω≥. 令ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+,解得:π2ππ2π22k k x ωωωω-+≤≤+,()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,2ππ325ππ62ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤.综上,1325ω≤≤.故选:B.【点睛】本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围,考查了分析解决问题的能力,属于中档题.11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点,若0OA AB ⋅=,O 为坐标原点,且OAB 内切圆半径为312a -,则该双曲线的离心率为( ) A.233B.3C.433D.31+【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆圆心为M ,则M 在AOB ∠平分线OF 上,过点M 分别作MN OA ⊥于N ,MT AB ⊥于T ,由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形,则tan bAOF a=∠可得离心率. 【详解】因为0a b >>,所以双曲线的渐近线如图所示, 设内切圆圆心为M ,则M 在AOB ∠平分线OF 上,过点M 分别作MN OA ⊥于N ,MT AB ⊥于T ,由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形,由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =,又OF c =,所以OA a =,31NA MN a ==-,所以313322NO OA AN a a a =-=--=-, 所以tan 3MN b AOF a NO =∠==,得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质,属于中档题.12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A. 86πB. 46πC. 26πD.6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ,再求得2PA PB PC ===,从而得P ABC -为正方体一部分,进而知正方体的体对角线即为球直径,从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA 、AB 中点, //EF PB ∴,EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ,PB ⊥平面PAC ,2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===,P ABC ∴-为正方体一部分,22226R =++=,即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ,故选D .解法二:设2PA PB PC x ===,,E F 分别为,PA AB 中点,//EF PB ∴,且12EF PB x ==,ABC ∆为边长为2的等边三角形,3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯,作PD AC ⊥于D ,PA PC =,D 为AC 中点,1cos 2AD EAC PA x ∠==,2243142x x x x+-+∴=, 221221222x x x ∴+=∴==,2PA PB PC ∴===,又===2AB BC AC ,,,PA PB PC ∴两两垂直,22226R ∴=++=,62R ∴=,34466633V R ∴=π=π⨯=π,故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力,补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“()0x 0,∞∃∈+,00lnx x 1=-”的否定是______.【答案】()x 0,∞∀∈+,lnx x 1≠-【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即()x 0,∞∀∈+,lnx x 1≠-;故答案为()x 0,∞∀∈+,lnx x 1≠-;【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.14. 观察分析下表中的数据:多面体面数() 顶点数() 棱数()三棱锥5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中,所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析:①三棱锥:5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=;②五棱锥:6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=;③立方体:6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=;所以归纳猜想一般凸多面体中,所满足的等式是:2F V E +-=,故答案为2F V E +-= 考点:归纳推理.15.设函数()()e 1x f x x =-,函数()g x mx =,若对于任意的[]12,2x ∈-,总存在[]21,2x ∈,使得()()12f x g x >,则实数m 的取值范围是_____.【答案】1(,)2-∞- 【解析】【分析】由题意可知,()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值,分别求出两个函数的最小值,即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知,()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=,当[]2,0x ∈-时,()0f x '≤,此时函数()f x 单调递减;当(]0,2x ∈时,()0f x '>,此时函数()f x 单调递增. ()()00e 011f =-=-,即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线,当0m =时,()0g x =,显然10-<不符合题意;当0m >时,()g x 在[]1,2上单调递增,()g x 的最小值为()1g m =,则1m <-,与0m >矛盾; 当0m <时,()g x 在[]1,2上单调递减,()g x 的最小值为()22g m =,则12m ->,即12m <-,符合题意. 故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题,考查了函数的单调性的应用,考查了函数的最值,属于中档题.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个,生产一个A 型小商品需5分钟,生产一个B 型小商品需7分钟,生产一个C 型小商品需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个A 型小商品可获利润8元,生产一个B 型小商品可获利润9元,生产一个C 型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大日利润是__________元.【答案】850【解析】【分析】由题意将原问题转化为线性规划的问题,然后利用线性规划的方法求解最值即可.【详解】依题意,每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于:100−x −y , 所以每天的利润T =8x +9y +6(100−x −y )=2x +3y +600.约束条件为:()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ⎧++--⎪--⎨⎪∈⎩, 整理得*3200100,x y x y x y N +⎧⎪+⎨⎪∈⎩.目标函数为T =2x +3y +600.如图所示,做出可行域.初始直线l 0:2x +3y =0,平移初始直线经过点A 时,T 有最大值.由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩. 最优解为A (50,50),此时T max =850(元).即最大日利润是850元.【点睛】本题主要考查线性规划的实际应用,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.已知数列{}n a 、{}n b 满足:114a =,1n n ab +=,121n n n b b a +=-. (1)证明:11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,并求数列{}n b 的通项公式; (2)设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+,求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立.【答案】(1)见解析,23n n b n +=+;(2)1a ≤ 【解析】【分析】(1)由已知变形为112n n b b +=-,再构造111111n n b b +-=---,从而证明数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,并求通项公式;(2)由(1)可知113n n a b n =-=+,再写出n S ,利用裂项相消法求和,4n n aS b <恒成立整理为()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立,分1a =,1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.【详解】(1)∵()()()111122n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--, ∴11112n n b b +-=--,∴12111111n n n n b b b b +-==-+---. ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以-4为首项,-1为公差的等差数列. ∴()14131n n n b =---=---,∴12133n n b n n +=-=++. (2)∵113n n a b n =-=+. ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⨯⨯++()114444n n n =-=++, ∴()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++. 由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件,设()()()21328f n a n a n =-+--, 当1a =时,()380f n n =--<恒成立,当1a >时,由二次函数的性质知不可能成立.当1a <时,对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭,()f n 在[)1,+∞为单调递减函数. ()()()113684150f a a a =-+--=-<,∴154a <,∴1a <时4n n aS b <恒成立. 综上知:1a ≤时,4n n aS b <恒成立. 【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式,裂项相消法求和,以及数列和函数结合的综合性问题,意在考查转化与化归,讨论的思想和计算能力,属于中高档习题.18.如图,ABCD 是边长为2的菱形,60DAB ∠=︒,EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,24EB FD ==.(1)求证:EF AC ⊥;(2)求几何体EFABCD 的体积.【答案】(1)详见解析;(2)3【解析】【分析】(1)由FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD 可得//EB FD ,则E ,F ,D ,B 四点共面,先证得AC ⊥平面EFDB ,再证明EF AC ⊥即可;(2)由菱形的性质及60DAB ∠=︒,可求得BD ,AO ,CO ,由(1)可知四边形EFDB 为直角梯形,再利用 C EFDB A EFDB EFABCD V V V --=+几何体求解即可.【详解】(1)证明:如图,连接BD ,交AC 于O ,FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD ,//EB FD ∴,E ∴,F ,D ,B 四点共面,AC ⊂平面ABCD ,AC EB ∴⊥,设DB AC O =,四边形ABCD 为菱形,AC DB ∴⊥,DB EB B ⋂=,AC ∴⊥平面EFDB ,EF ⊂平面EFDB ,AC EF ∴⊥(2)//EB FD ,EB BD ⊥,∴四边形EFDB 为直角梯形,在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,∴2BD =,3AO CO ==,∴梯形EFDB 的面积(24)262S +⨯==, AC ⊥平面EFDB , C EFDB A EFDB EFABCD V V V --∴=+几何体11··4333S AO S CO =+= 【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力. 19.在“挑战不可能”的电视节目上,甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动,规则是由密码专家给出题目,然后由3个人依次出场解密,每人限定时间是1分钟内,否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确,则认为该团队挑战成功,否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况,抽取了甲100次的测试记录,绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47,求a 、b 的值,并求出甲在1分钟内解密成功的频率; (2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力,甲,乙,丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭,其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率,并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替,各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率;②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密,求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.【答案】(1)0.024a =,0.026b =,0.9;(2)①0.999361;②1,2,3;0.009.【解析】【分析】(1)根据中位数为47,则在频率分布直方图中时间位于47左边的小长方形的面积之和为0.5,可求出a 的值, 时间位于47右边的小长方形的面积之和为0.5,可求出b 的值.(2) ①先分别求出三人解密成功的概率,然后先求出三人都没有解密成功的概率,再求出团队解密成功的概率.②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别10.9p =,20.91p =,30.929p =,X 的取值为1,2,3,在计算概率.【详解】(1)甲解密成功所需时间的中位数为47,()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得0.026b =;0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=,解得0.024a =;∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=(2)①由题意及(1)可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =; 第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=, 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭, 令“该团队挑战成功”的事件为A ,“挑战不成功”的事件为A ,()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A =---=⨯⨯=,∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=(或该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=)②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ,2p ,3p ,根据题意知X 的取值为1,2,3;则()10.9P X ==,()()210.90.910.091P X ==-⨯=,()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.【点睛】本题考查根据评论分布直方图以及中位数计算参数的值,和计算概率,属于中档题.20.如图,设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2:22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 2,F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =,抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ,连接PF 1并延长其交C 1于点Q ,M 为C 1上一动点,且在P ,Q 之间移动.(1)当32a +取最小值时,求C 1和C 2的方程; (2)若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数,当△MPQ 面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线MP 的方程.【答案】(1)24y x =-,22143x y +=; (21256,此时42:6633MP y x =+【解析】【分析】 (1)由题意,c m =和12c e a ==,得到2a m =,3b m =,根据32a +取最小值时1m =,即可求得抛物线和椭圆的方程; (2)用m 表示出椭圆的方程,联立方程组得出P 点的坐标,计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子,从而确定实数m 的值,求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离,利用二次函数的性质,求得MPQ ∆面积取最大值,即可求解.【详解】(1)由题意,抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =, 椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(,0)F c ,所以c m =, 又由12c e a ==,则2a m =,b =,所以2a b +取最小值时1m =, 所以抛物线C 1:24y x =-,又由2a =,23b =,所以椭圆C 2的方程为22143x y +=.(2)因为c m =,12c e a ==,则2a m =,b=, 设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=,0011(,),(,)P x y Q x y ,联立方程组222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得22316120x mx m --=,所以023x m =-或06x m =(舍去),代入抛物线方程得0y =,即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,于是153mPF =,21723m PF a PF =-=,12623m F F m ==, 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数,所以3m =, 此时抛物线方程为212y x =-,1(3,0)F -,(2,P -, 则直线PQ 的方很为3)y x =+,联立23)12y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,得192x =-或12x =-(舍去),于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以25||2PQ ==, 设2,((12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ,则2753022d t ⎛=+- ⎝⎭, 当2t =-时,max 753024d ==,所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=, 此时MP:y =+. 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与圆锥曲线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数()ln xf x a x e=+,其中a 为常数. (1)若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线,求实数a 的值; (2)当1a =-时,若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞,上有两个零点.求实数b 的取值范围. 【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)设切点()00,x y , 由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解方程组即可得结果;(2)函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞,上有两个零点等价于,函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点,设ln ()ln (0)x x h x x x x e =+->,利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =,结合1(1)h e=-,()323313h e e e e =+-<-,从而可得结果.【详解】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,1()a x aef x e x ex +'=+=,曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e 2=.由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =,0x e =.所以a 的值为1.(2)当1a =-时,()ln x f x x e =-,则11()x e f x e x ex-'=-=, 由()0f x '>,得x e >,由()0f x '<,得0x e <<,则()f x 有最小值为()0f e =,即()0f x ,所以ln ()ln x xg x x b e x=--+,(0)x >, 由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点, 设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->, 则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex+--=, 令2()ln x ex e e x x ϕ=+--,22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=,由220ex e x --<,可知()0x ϕ'<,所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数,由()0e ϕ=,得0x e <<时,()0x ϕ>,当x e >时,()0x ϕ<, 即当0x e <<时,()0h x '>,当x e >时,()0h x '<, 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数,在(,)e +∞上为减函数, 所以,函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=, 又1(1)h e =-,()322331341h eee e e=+-<-<-<-,所以,当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时,b 的取值范围是11b e e-<, 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=;(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=;(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4—4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为2,1x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线1:C y =以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. (Ⅰ)若直线l 与x ,y 轴的交点分别为A ,B ,点P 在1C 上,求BA BP ⋅的取值范围; (Ⅱ)若直线l 与2C 交于M ,N 两点,点Q 的直角坐标为()2,1-,求QM QN -的值. 【答案】(Ⅰ)1];. 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅,结合三角函数知识求解; (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入曲线2C ,结合参数的几何意义可求. 【详解】(Ⅰ)由题意可知:直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥,设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤,cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为:22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为212x y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(m 为参数),代入2C得:270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间转化及参数方程的应用,利用参数的几何意义能简化计算过程,达到事半功倍的效果.选修4–5:不等式选讲23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈. (1)当2m =-时,求不等式()3f x ≤的解集; (2)若(),0x ∀∈-∞,都有()2f x x x≥+恒成立,求m 的取值范围. 【答案】(1) 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)322m ≥--【解析】 【分析】(1)当2m =- 时,f (x )=|2x|+|2x+3|-2=41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩,分段解不等式即可. (2)f (x )=|2x|+|2x+3|+m =33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩.当302x -<<时,得23m x x +≥+ ,当32x ≤-时,得253m x x≥++,利用恒成立求最值,可得m 的取值范围. 【详解】(1)当m =﹣2时,f (x )=|2x|+|2x+3|-2=41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当,解得; 当恒成立当解得﹣2,此不等式的解集为(2)当x ∈(﹣∞,0)时f (x )=|2x|+|2x+3|+m =33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩.当302x -<<时,得23m x x+≥+恒成立,由当且仅当即时等号成立.∴,∴当32x ≤-时,得243x m x x --+≥+.∴253m x x ≥++恒成立,令253y x x=++,,∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ,∴在上是增函数.∴当时,取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<-- 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法,考查利用恒成立求参数的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(六)文科数学

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2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(六)文科数学★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题(每小题5分,共60分)1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥,集合{}01B x x =<<,则( ) A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错;{}R 01B x x x =≤≥或 故B 正确; ()(]R 0,1A B ⋂≠ ;R A B ⋃≠;故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=(i 是虚数单位),则z 的虚部为( )A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题:“00x ∃>,使()0021x x a ->”,这个命题的否定是()A. 0x ∀>,使()21xx a -> B. 0x ∀>,使()21xx a -≤ C. 0x ∀≤,使()21xx a -≤D. 0x ∀≤,使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析:由已知,命题的否定为0x ∀>,2(1xx a ⋅-≤使),故选B. 考点:逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每个元素x ,证明p (x )成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M 中的一个特殊值x 0,使p (x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =,()0,1b =-,(),3c k =.若()()2//a b b c -+,则k 的值为( ) A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标,根据平行向量的坐标关系,即可求解 【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-,()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算,熟记公式是解题的关键,属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性,且5a 是4a 和33a 的等差中项,则数列{}n a 的公比q =( ) A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义,建立关于q 的方程,即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性,1q =或0q <,5a 是4a 和33a 的等差中项,所以54323a a a =+, 2230,1q q q --=∴=-或32q =(舍去).故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算,属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧面积为( )A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知,该几何体表示底面为边长为2的等边三角形,侧棱长为4的正三棱柱,利用侧面积公式,即可求解.【详解】由题意,根据几何体的三视图可知,该几何体表示底面为边长为2的等边三角形,侧棱长为4的正三棱柱,所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=,故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的,则获奖的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖,并根据题意只有一句是对的,可判断谁获奖,即可得出结论.【详解】若甲获奖,则这四个说的四句话都是错的,不合题意; 若乙获奖,则甲、乙、丁三人说的话是对的,不合题意;若丙获奖,则甲、丙两人说的话是对的,不合题意; 若丁获奖,则只有乙说的是对的,符合题意, 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查逻辑推理能力,属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性,利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论. 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数,图象关于y 轴对称,当0x >时,4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--, 显然当(]0,x π∈时,0y '<,当(,)x π∈+∞时,34x e e e π>>>,而4sin 4x ≥-, 所以(4sin )0xy x e -+'<=,∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立, ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减. 故选D .【点睛】本题考查了函数图象的识别,一般从奇偶性,单调性,特殊值等方面判断,属于基础题.9.在直三棱柱111ABC A B C -中,己知AB BC ⊥,2AB BC ==,122CC =,则异面直线1AC 与11A B 所成的角为( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ,则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角,可证得三角形1BAC 中,1AB BC ⊥,解得1tan BAC ∠,从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角. 【详解】连接1AC ,1BC ,如图:又11AB A B ,则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥,且三棱柱为直三棱柱,∴1AB CC ⊥,∴AB ⊥面11BCC B , ∴1AB BC ⊥,又2AB BC ==,122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减,则a 的取值范围是 ()A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立,结合二次函数的性质即可求解.【详解】解:()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减,2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立,即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立,()2327,12x -∈--,27a ∴≤-.故选:D .【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性,是基础题. 11.已知0,0a b >>,若不等式313n a b a b+≥+恒成立,则n 的最大值为( ) A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +,再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>,()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭,()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当1a b ==时,等号成立,故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值,属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x ',满足()()f x f x '<,且()02f =,则不等式()2xf x e >的解集为( )A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=,利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数,并将所求不等式化为()()0g x g >,利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =,()()()0x f x f x g x e '-'∴=>,所以,函数()y g x =为R 上的增函数,由()02f =,则()()0002f g e ==,()2xf x e >,可得()2xf x e>,即()()0g x g >, 0x ∴>,因此,不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选:C.【点睛】本题考查函数不等式的求解,通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.二.填空题(每小题5分,共20分)13.已知数列{n a }为等差数列,其前n 项和为n S ,7825a a -=,则11S =_________. 【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==,1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+,则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________. 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ,再由导数的几何意义,求()'17f =,则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7,再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解:因为()3ln 2f x x x x =+,所以()'2ln 16fx x x =++,则()'21ln11617f =++⨯=,即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-,即750x y --=, 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程,重点考查了导数的应用及运算能力,属基础题.15.设变量x ,y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域,根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示,当z 2x y =-过点A 时,取得最小值,联立2360y x y =⎧⎨+-=⎩,解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即4(,2)3A ,所以z 2x y =-的最小值为83-. 故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域,数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.16.四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上,底面ABCD 是矩形,其中AB=3,BC=4,又PA ⊥平面ABCD ,PA=5,则该球的表面积为 . 【答案】50π 【解析】解:把四棱锥补成长方体,则四棱锥的外接球是长方体的外接球, ∵长方体的对角线长等于球的直径, ∴2R==5,∴R=,外接球的表面积S=4πR 2=50π. 故答案为50π.【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法,利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键.三.解答题17.已知数列{}n a 中,12n n a a +-=且1239a a a ++=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求{}2nn a +的前n 项和nS.【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】(1)由题设基本信息结合通项公式即可求解;(2)()2212nnn a n +=-+,分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解:(1)12n n a a +-=,∴等差数列{}n a 的公差为2,()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=,解得11a =,因此,()12121n a n n =+-=-; (2)()2212nnn a n ∴+=-+,()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++,()21212(121)22212nn n n n+-+-=+=+--,因此,2122n n S n +=+-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解,数列分项求和,属于基础题 18.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.(1)求角C 的值;(2)若4a =,c =ABC ∆的面积. 【答案】(1)23C π=;(2)【解析】 【分析】(1)用正弦定理边化角,利用两角差正弦,求出C 角的三角函数值,结合C 的范围,即可求解;(2)利用余弦定理,建立b 的方程,再由面积公式,即可求解. 【详解】(1)1sin()sin 0,sin (sin )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=,10,sin 0,sin ,tan 2B B C C C π<<∴≠==,20,3C C ππ<<∴=; (2)由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++,24120b b +-=解得2b =或6b =-(舍去), 113sin 4223222S ab C ==⨯⨯⨯=, ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于基础题.19.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,S 是11B D 的中点,E ,F ,G 分别是BC ,DC ,SC 的中点.求证:(1)直线//EG 平面11BDD B ; (2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)结合几何体,因为,E G 分别是,BC SC 的中点,所以//EG SB .,再利用线面平行的判定定理证明.(2)由,F G 分别是,DC SC 的中点,得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .,再由(1)知,再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明:(1)如图,连接SB,,E G分别是,BC SC的中点,//EG SB∴.又SB⊂平面11,BDD B EG⊄平面11BDD B,所以直线//EG平面11BDD B.(2)连接,,SD F G分别是,DC SC的中点,//FG SD∴.又∵SD⊂平面11,BDD B FG⊄平面11,BDD B//FG∴平面11BDD B.又EG⊂平面,EFG FG⊂平面,EFG EG FG G⋂=,∴平面//EFG平面11BDD B.【点睛】本题主要考查了线面平行,面面平行的判断定定理,还考查了转化化归的能力,属于中档题.20.如图,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为菱形,60DAB∠=,PD⊥平面ABCD,2PD AD==,点E、F分别为AB和PD的中点.(1)求证:直线//AF 平面PEC ; (2)求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】(1)见解析;(2)30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ,连结EQ 、FQ ,通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】(1)取PC 的中点Q ,连结EQ 、FQ , 由题意,//FQ DC 且12FQ CD =,//AE CD 且12AE CD =, 故//AE FQ 且AE FQ =,所以,四边形AEQF 为平行四边形, 所以,//AF EQ ,又EQ ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC , 所以,//AF 平面PEC .(2)设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中,222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥,5EQ AF ==,1225102PEC S ∆=⨯⨯=,131322AEC S ∆=⨯⨯=, 所以由A PEC P AEC V V --=得:113102332d ⋅=⋅⋅, 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-(e 为自然对数的底数).(1)当2a =时,求函数()f x 的单调区间;(2)已知函数()f x 在0x =处取得极小值,()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,求实数m 的取值范围.【答案】(1)()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞,单调递减区间是(,ln 2)-∞;(2)1m e >-. 【解析】 【分析】(1)求出()f x ',解不等式()0,()0f x f x ''><,即可求出结论;(2)由已知求出a ,通过函数有解,分离参数,构造函数,利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】(1)(),()xxf x e ax f x e a '=-=-,当0a >时,()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<,()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞,单调递减区间是(,ln )a -∞,当2a =时,()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞,递减区间是(,ln 2)-∞; (2)当0a ≤时,()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增, 无极值不合题意,当0a >时,由(1)可得ln x a =取得极小值, 函数()f x 在0x =处取得极小值,1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解,1x e m x ∴>-,设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,min ()m g x ∴>,22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==, 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<, ()g x ∴在1(,1)2单调递减,在(1,2)单调递增,1,()x g x =取得极小值,也是最小值为(1)1g e =-,1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题,应用导数求函数的单调性、极值最值,属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极,z 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点()0M ,1.若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求MA MB ⋅的值.【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=,直线l 的直角坐标方程10x y +-=;(Ⅱ)1【解析】【分析】(I )利用22sin cos 1αα+=消去参数α,求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==,求得直线l 的直角坐标方程.(II )写出直线l的参数方程,根据参数的几何意义,求得MA MB ⋅.【详解】(I )曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=, 直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=,即sin cos 10ρθρθ+-=,所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.(II )直线l 过点()0,1M ,倾斜角为3π4,所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入()2224x y -+=,化简得210t ++=,则12t t +=-121t t =, 设1||MA t =,2||MB t =,所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查直线参数方程的运用,属于中档题.。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)文科数学★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.设集合{}|12A x x =<<, {}|B x x a =<,若A B A =,则a 的取值范围是( )A. {}|2a a ≤B. {}|1a a ≤C. {}|1a a ≥D. {}|2a a ≥【答案】D 【解析】因为A B A ⋂=,所以A B ⊆,因为集合{}|12A x x =<<, {}|B x x a =<, 所以2a ≥.故选D.2.已知复数z 满足z i=2+i ,i 是虚数单位,则|z |=( )C. 2【答案】D【解析】 由题意得2i12i iz +==-,所以|z |5=.选D . 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6:S 3=1:2,则S 9:S 3=( ) A. 1:2 B. 2:3C. 3:4D. 1:3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是性质,即若{a n }等比数列,则S m ,S 2m-m ,S 3m-2m ,…也成等比数列,则由S 6:S 3=1:2,则S 6-S 3:S 3=-1:2,则S 9-S 6:S 6-S 3=-1:2,由此不难求出S 9:S 3的值. 【详解】解:∵{a n }为等比数列 则S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列 由S 6:S 3=1:2 令S 3=x ,则S 6=12x, 6312S S x -=-, 则S 3:S 6-S 3=S 6-S 3:S 9-S 6=-1:2 则S 9-S 6=14x 则S 9=34x 则S 9:S 3=34x :x=3:4 故选C .【点睛】本题主要考察等差数列与等比数列的重要性质, 若{a n }等差数列,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也成等差数列;若{a n }等比数列,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也成等比数列(其中S m 不为零);4.已知m ∈R ,“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析:由题意得,由函数有零点可得,,而由函数在上为减函数可得,因此是必要不充分条件,故选B .考点:1.指数函数的单调性;2.对数函数的单调性;3.充分必要条件.5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423; ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648; ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493; ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A. ①② B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】试题分析:由题意得,当回归系数ˆ0b>时,y 与x 正相关;当回归系数ˆ0b <时,y 与x 负相关,所以只有①④是不正确的,故选D. 考点:回归系数的意义.6.已知l ,m ,n 为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβC. 若m α⊥,m n ⊥,则//n αD. 若//m n ,n α⊥,则m α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A 是否正确;根据三点是否在平面的同侧来判断选项B 是否正确;根据直线与平面位置关系,来判断C 是否正确;根据平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直这个平面,来判断D 是否正确.【详解】对于选项A ,若//m n 时,l 与α不一定垂直,所以A 错误;对于选项B ,若三点不在平面的同侧,则α与β相交, 所以B 错误;对于选项C ,,m m n α⊥⊥,有可能n ⊂α, 所以C 错误;对于选项D ,根据平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条也垂直于这个平面,所以D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断,考查线面平行垂直、面面平行的判定,属于基础题.7.在区间[1,1]-上随机取一个数k ,则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为( ) A.29B.C.13D.3【答案】D 【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0,圆心到直线()2y k x =-的距离为,要使直线()2y k x =-与圆221x y +=相交,则1<,解得k <<∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ,使直线()2y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为()11P ⎛- ⎝⎭==--故选D. 8.已知()f x a b =⋅其中()2cos ,2a x x =,()cos ,1b x =,x ∈R .则()f x 的单调递减区间是( ) A. (),123k k Z k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B. (),123k k Z k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. (),63k Z k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换,得到()f x 的解析式,再利用余弦函数的性质求解. 【详解】因为()2cos ,3sin 2a x x =-,()cos ,1b x =,x ∈R ,所以()22cos 3sin 2cos 23sin 212cos 213πf x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=++ ⎪⎝⎭, 令2223k x k ππππ≤+≤+, 解得63k xk ππππ,所以()f x 的单调递减区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.9.函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】分x >0与x <0两种情况将函数解析式化简,利用指数函数图象即可确定出大致形状. 【详解】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>,根据指数函数的图象和性质,()0,x ∈+∞时,函数为减函数,(),0x ∈-∞时,函数为增函数,故选D .【点睛】此题考查了函数的图象,熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键.10.抛物线24y x =的焦点到双曲线2221y x b -=的一条渐近线的距离是32,则双曲线的虚轴长是( )A. 3B. 23C. 3D. 6【答案】B 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0),双曲线的渐近线为y bx =,因此231b =+,3b =,虚轴为223b =,故选B .11.三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,AC BC ⊥,1AC BC ==,3PA =,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析:分析可知球心在PB 的中点.因为AC BC ⊥,1AC BC ==,所以2AB =.所以225PB PA AB =+=5R =245S R ππ==.故A 正确. 考点:三棱锥的外接球.12.已知函数log ,0()2,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩(0a >且1a ≠),若函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称,则a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,3)C. (0,1)(3,)+∞ D. (0,1)(1,3)⋃【答案】D 【解析】log a y x =关于y 轴对称函数为()log a y x =-,01a <<时,()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点,函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称,01a <<符合题意,当1a >时,要使()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点,则log 31,13a a >∴<<,综上所述,a 的取值范围是,()()0,11,3,故选D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中,将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图所示,在梯形ABCD 中,2A π∠=,2AB =,2BC =,32AD =,点E 为AB 的中点,则CE BD ⋅=___________.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,建立平面直角坐标系,求得,CE BD 的坐标,然后利用数量积定义求解.【详解】以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,建立如图所示平面直角坐标系:则()()32,0,0,,0,0,22C E B D ⎛⎛ ⎝⎝⎭,232,,,22CE BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭, 312CE BD ⋅=-+=-.故答案为:2-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 14.曲线()()31f x x x x=->上一动点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为________. 【答案】【解析】 【分析】根据曲线()()310f x x x x=->,求导得到()2213f x x x +'=,再利用基本不等式求得导数的最小值,即得到曲线斜率的最小值. 【详解】因为曲线()()310f x x x x=-> 所以()2213f x x x+'= ()2002013k f x xx +'==≥=202013x x =,即20x =.所以在点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为故答案为:【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 15.已知两圆2210x y +=和()()22120x y a -+-=相交于A ,B 两个不同的点,且直线AB 与直线310x y -+=垂直,则实数a =__________.【答案】3 【解析】由题意直线AB 与连心线平行,即310a -=-,3a =. 16.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.【答案】4 【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1=,设操作n 次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n ·, ∴a n =a 1q n-1=()n ,∴()n <,得n≥4. 【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.在ABC 中,5,3,sin 2sin BC AC C A ===. (Ⅰ)求AB 的值; (Ⅱ)求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】(Ⅰ)25;(Ⅱ)210. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接利用正弦定理可求AB 的值;(Ⅱ)由余弦定理求得cos A ,再利用同角三角函数的关系求出sin A ,由二倍角公式求出sin 2A ,cos2A ,根据两角差的正弦公式可求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】(Ⅰ)在中,根据正弦定理,sin sin AB BCC A=, 于是sin 225sin BCAB CBC A=== (Ⅱ)在ABC ∆中,根据余弦定理,得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅于是25sin 1cos A A =-=从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-=2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.18.去年年底,某商业集团公司根据相关评分细则,对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组,其频率分布直方图如下图所示,集团公司依据评估得分,将这些连锁店划分为A ,B,C ,D 四个等级,等级评定标准如下表所示. 评估得分 [60,70)[70,80)[80,90)[90,100)评定等级 D C B A(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数;(2)从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验,求至少选一家A 等级的概率. 【答案】(1)众数是75,平均数是75.4;(2)35. 【解析】 【分析】(1)由最高小矩形的底边中点估计众数,利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可; (2)列出所有可能的事件,然后找到满足题意的事件的个数,最后利用古典概型计算公式求解概率值即可. 【详解】(1)最高小矩形的底边中点为75,估计得分的众数为75分.直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08,则第二个小矩形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48.所以650.28750.48+850.16950.0875.4x =⨯+⨯⨯+⨯=, 故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.(2)A 等级的频数为250.082⨯=,记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=,记这四家分别为,,,c d e f ,从这6家连锁店中任选2家,共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ,共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种,则93155P ==, 故至少选一家A 等级的概率为35. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,古典概型计算公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图,ABC ∆为边长为2的正三角形,//AE CD ,且AE ⊥平面,2 2.ABC AE CD ==,(1)求证:平面BDE ⊥平面BCD ;(2)求三棱锥D BCE -的高.【答案】(1)见解析;(2) 3h =【解析】试题分析:(1)取BD 边的中点F ,BC 的中点为G ,四边形AEFG 为平行四边形,由AG ⊥平面BCD 可知,EF ⊥平面BCD ,可证.(2)由D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V -三棱锥和等体积法可求角. 试题解析:(1)如下图所示:取BD 边的中点F ,BC 的中点为G ,连接AG ,FG ,EF ,由题意可知,FG 是ΔBCD 的中位线所以FG AE 且FG AE =,即四边形AEFG 为平行四边形,所以AG EF由AG ⊥平面BCD 可知,EF ⊥平面BCD ,又EF ⊂面BDE ,故平面BDE ⊥平面BCD(2)过B 做BK AC ⊥,垂足为K ,因为AE ⊥平面ABC ,所以BK ⊥平面ACDE,且BK 22=⨯=所以B ACDE V -=四棱锥 111232⨯+()2⨯=E ABC V 三棱锥-= 11232⨯⨯⨯13= 所以D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V 三棱锥-=33= 因为AB AC 2==,AE 1=,所以BE CE ==BC 2= 所以ECB 1S 22=⨯⨯2= 设所求的高为h ,则由等体积法得12h 3⨯⨯3=所以h =【点睛】 面面垂直普通一般通过证明线面垂直来证明,求点到面的距离,常用的方法有①等面积、等体积法②距离转化,常用平行转化和相似转化.本题是利用了等体积法求点到面的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1M 在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 平行于OM ,且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点.若AOB ∠为钝角,求直线l 在y 轴上的截距m 的取位范围.【答案】(1)22182x y +=;(2)()(⋃. 【解析】试题分析:(1)根据题意得22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解方程即可得椭圆方程; (2)由直线l 平行于OM ,得直线l 的斜率12OM k k ==,AOB ∠为钝角等价于12120OA OB x x y y ⋅=+<,直线l 与椭圆C 联立,利用韦达定理即可求范围.试题解析:(1)依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=. (2)由直线l 平行于OM ,得直线l 的斜率12OM k k ==, 又l 在y 轴上的截距为m ,所以l 的方程为12y x m =+. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点,所以()()2224240m m ∆=-->, 解得22m -<<.设()()1122,,,A x y B x y ,又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<且0m ≠, 则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212125042m x x x x m =+++<, 将212122,24x x m x x m +=-=-代入上式,化简整理得22m <,即m <<故m的取值范围是()(⋃.。

2021年新高考数学衡水金卷模拟六(含参考答案详解)

2021年新高考数学衡水金卷模拟六(含参考答案详解)

2021年新⾼考数学衡⽔⾦卷模拟六(含参考答案详解)2021年新⾼考数学衡⽔⾦卷模拟(六)(本卷满分:150分考试时间:120分钟)⼀、单项选择题:本题共8⼩题,每⼩题5分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求.1.设集合{}|2A x R x =∈≤,{}|10B x Z x =∈-≥,则A B =()A .{}|12x x <≤B .{}2|1x x -≤≤C .{}2,1,1,2--D .{}1,22.在复平⾯内,复数1zi+所对应的点为()2,1-,i 是虚数单位,则z =() A .3i -- B .3i -+C .3i -D .3i +3.“1ab >”是“10b a>>”() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4.已知13513,,,sin ,cos()2παβπααβ??∈=+=,则β=() A .23π B .56π C .34π D .1112π5.已知数列{n a }的前n 项和n S 满⾜:n m n m S S S ++=,且1a =1,那么10a =( ) A .1B .9C .10D .556.某教师⼀天上3个班级的课,每班上1节,如果⼀天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师⼀天的课表的所有不同排法有() A .474种B .77种C .462种D .79种7.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点,若3AF BF =,O 为坐标原点,则AFOF=() A .43B .34C .4D .548.已知函数()xf x xe =,⽅程()()2+1=0f x tf x +()t R ∈有四个实数根,则t 的取值范围为()A .21,e e ??++∞B .21,e e ??+-∞-C .21,2e e ??+-- D .212,e e ??+ ??⼆、多项选择题:本题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.在每⼩题给出的选项中,有多项符合题⽬要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下列判断正确的是() A .若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,()40.79P ξ≤=,则()20.21P ξ≤-=;B .已知直线l ⊥平⾯α,直线//m 平⾯β,则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件;C .若随机变量ξ服从⼆项分布:414,B ξ??~ ??,则()1E ξ=; D .22am bm >是a b >的充分不必要条件.10.已知a b c d ,,,均为实数,则下列命题正确的是() A .若,a b c d >>,则ac bd > B .若0,0ab bc ad >->,则0c da b-> C .若,,a b c d >>则a d b c ->- D .若,0,a b c d >>>则a b d c> 11.已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数,且()(4)f x f x =-,则函数()f x 的零点是() A .0B .4±C .8D .-812.如图,正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A .直线BC 与平⾯11ABC D 所成的⾓等于4πB .点C 到⾯11ABC D的距离为2C .两条异⾯直线1D C 和1BC 所成的⾓为4π D .三棱柱1111AA D BB C -三、填空题:本题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.13.已知在平⾯直⾓坐标系中,()2,0A -,()1,3B ,O 为原点,且OM OA OB αβ=+,(其中1αβ+=,α,β均为实数),若()1,0N ,则MN 的最⼩值是_____.14.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,则()P A 等于______. 15.设函数()y f x =的定义域为D ,若对于任意1x ,2x D ∈,当122x x a +=时,恒有12()()2f x f x b +=,则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中⼼.研究函数()23cos()32f x x x π=+-的某⼀个对称中⼼,并利⽤对称中⼼的上述定义,可得到1240344035()()()()2018201820182018f f f f ++++的值为_______________.16.给出下列五个命题:①已知直线a 、b 和平⾯α,若//a b ,//b α,则//a α;②平⾯上到⼀个定点和⼀条定直线的距离相等的点的轨迹是⼀条抛物线;③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有⼀个公共点;④若两个平⾯垂直,那么⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直;⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 中点为P ,设直线l 斜率为1k ()0k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 等于12-. 其中,正确命题的序号为_______.四、解答题:本⼩题共6⼩题,共70分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷六(附带答案及详细解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷六(附带答案及详细解析)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(模拟卷六)本试卷共5页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡.上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后,请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题=()1.5−i1+iA. 2−3iB. 3−3iC. 2−2iD. 3+2i2.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会,若抽取的n人中教练员只有1人,则n=()A. 5B. 6C. 7D. 83.已知集合A={x|−1<x<2},B={x|x2+2x≤0},则A∩B=()A. {x|0<x<2}B. {x|0≤x<2}C. {x|−1<x<0}D. {x|−1<x≤0}4.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若其中一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的四分之一,样本容量为160,则该小长方形这一组的频数为()A. 32B. 0.2C. 40D. 0.25 5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为( )A. 4B. 6+4√2C. 4+4√2D. 2 6.图中的网格纸是边长为1的小正方形,在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为( )A. 4B. 8C. 16D. 20 7.已知椭圆的中点在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12 ,离心率为 13 ,则椭圆的方程为( ).A. x 236+y 224=1B. x 236+y 220=1C. x 232+y 236=1D. x 236+y 232=1 8.如图,某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为( )A. 23B. 163 C. 6 D. 与点O 的位置有关9.执行如图所示的程序框图,若输入的n的值是100,则输出的变量S和T的值依次是()A. 2 500,2 500B. 2 550,2 550C. 2 500,2 550D. 2 550,2 50010.方程log5x+x−2=0的根所在的区间是()A. (2,3)B. (1,2)C. (3,4)D. (0,1)11.若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A. 1ab >12B. 1a+1b≤1 C. √ab≥2 D. a2+b2≥812.等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1,其前n项和为S n,则数列{s nn}前10项的和为()A. 120B. 70C. 75D. 100二、填空题13.已知向量a→=(√3,1),b→=(0,﹣1),c→=(k,√3).若a→-2b→与c→共线,则k=________14.某校机器人兴趣小组有男生3名,女生2名,现从中随机选出3名参加一个机器人大赛,则选出的人员中恰好有一名女生的概率为________.15.双曲线x2m −y26=1的一条渐近线方程为y=3x,则实数m的值为________.16.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________ 写出所有正确条件的编号)①a=﹣3,b=﹣3.②a=﹣3,b=2.③a=﹣3,b>2.④a=0,b=2.⑤a=1,b=2.三、解答题17.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知√3bcosC+csinB=√3a. (1)求角B的大小;(2)若b=√3,求ΔABC的周长的取值范围.18.如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= √2.(Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD;(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦;(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.19.已知函数f(x)=(kx−1)e x−k(x−1).(1)若f(x)在x=x0处的切线斜率与k无关,求x0;(2)若∃x∈R,使得f(x)<0成立,求整数k的最大值.20.“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿.在华为的影响下,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌,某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用,需了解年研发费用x(单位:千万元)对年销售量y(单位:千万件)( i=1,2,3,⋯,10)的数据,得的影响,统计了近10年投入的年研发费用x,与年销售量yi到如图所示的散点图.参考数据和公式: ln2≈0.69 , ln7≈1.95 .对于一组数据 (u 1,v 1) , (u 2,v 2) ,…,(u n ,v n ) ,其回归直线 v ̂=α̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: β̂=∑u i v i −nu ̅v ̅n i=1∑u i 2−nu ̅2n i=1=∑(u i −u ̅)(v i −v ̅)n i=1∑(u i −u ̅)2n i=1 , α̂=v̅−β̂u ̅ .(1)利用散点图判断, y =a +bx 和 y =c +dlnx (其中a ,b ,c ,d 为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型;(只要给出判断即可,不必说明理由)(2)对数据作出如下处理:得到相关统计量的值如表:其中令 w 1=ln x i , w ̅=110∑w i10i =1 . 根据(1)的判断结果及表中数据,求y 关于x 的回归方程,并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量;(3)从这10年的数据中随机抽取3个,记年销售量超过30(千万件)的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.21.已知抛物线C:y2=2px(0<p<8)的焦点为F点Q是抛物线C上的一点,且点Q的纵坐标为4,点Q到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l不经过Q点且与抛物线交于A,B两点,QA,QB的斜率分别为K1,K2,若K1K2=﹣2,求证:直线AB过定点,并求出此定点.22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为{x=1+cosφy=1+sinφ( φ为参数),过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A、B两点.(1)求l和M的极坐标方程;(2)当α∈(0,π4]时,求|OA|+|OB|的取值范围.23.已知函数f(x)=|x|+|2x﹣3|,g(x)=3x2﹣2(m+1)x+ 15;4(1)求不等式f(x)≤6的解集;(2)若对任意的x∈[﹣1,1],g(x)≥f(x),求m的取值范围.答案解析部分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)文科数学★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的答案涂到答题卡上)1.设i(1i)z =-,则z =( ) A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算,求得z ,再求其共轭复数即可. 【详解】因为i(1i)z =-1i =+, 故可得z =1i -. 故选:A.【点睛】本题考查集合的乘法运算,以及共轭复数的求解,属基础题. 2.已知集合{}2|230A x x x =--≤,{|24}B x x =≥,则A B =( )A. [1,3]-B. [2,)+∞C. [2,3]D. [1,2]-【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式求出集合A 、B ,然后再根据集合的交运算即可求解. 【详解】由{}{}[]2|230131,3A x x x x x =--≤=-≤≤=-,{}[){|24}22,B x x x x =≥=≥=+∞,所以A B =[2,3].故选:C【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法,属于基础题. 3.已知向量(1,2)a b +=,(3,0)a b -=-,则a b ⋅=( ) A. 1 B. 1-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减的坐标运算求出()1,1a =-,()2,1b =,再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,2)a b +=,(3,0)a b -=-, 两式联立,可得()1,1a =-,()2,1b =, 所以1211a b ⋅=-⨯+=-. 故选:B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算,考查了学生的基本运算能力,属于基础题. 4.已知命题p :任意4x ≥,都有2log 2x ≥;命题q :a b >,则有22a b >.则下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∨【分析】先分别判断命题,p q 真假,再由复合命题的真假性,即可得出结论. 【详解】p 为真命题;命题q 是假命题,比如当0a b >>, 或=12a b =-,时,则22a b > 不成立. 则p q ∧,()()p q ⌝∧⌝,()p q ⌝∨均为假. 故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性,判断简单命题的真假是解题的关键,属于基础题.5.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. 278-B. 18-C.18D.278【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数是以2为周期的函数,从而可得5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将12x =代入表达式即可求解.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=, 所以函数的周期2T =,又因为函数()f x 为奇函数,且当01x ≤≤时,3()f x x =,所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值,属于基础题. 6.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点,05||4AF x =,则0x =( ) A. 4B. 2C. 1D. 8点A 到抛物线的准线:14x =-的距离为:014d x =+,利用抛物线的定义可得:001544x x +=, 求解关于实数0x 的方程可得:01x =. 本题选择C 选项.7.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α( )A.15B.C.3D.【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解.【详解】解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos 5α∴=±0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos 5α∴=故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.8.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 10B. 5C. 20D. 30【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图画出几何体的直观图:三棱柱截去一个三棱锥,利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图: 三棱柱111ACD AC D -截去一个三棱锥1D ACD -,如图:该几何体的体积:111111143543520232ACD A C D D ACD V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.9.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=的左右焦点,若双曲线上存在一点A 使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为( ) A.5B.10 C.15 D.5【答案】B 【解析】因为123AF AF =,根据双曲线的几何定义可得,12222a AF AF AF =-=,所以21,3AF a AF a ==.在12Rt F AF ∆中,因为2112,3,2AF a AF a F F c ===,所以222(3)(2)a a c +=,即2252a c =,所以c a =,则c e a ==,故选B . 10.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径是多少?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是( ) A.320πB.310π C.4π D.25π 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=(a ,b 为直角边,c 为斜边),求出圆的面积,再利用几何概型-面积比即可求解.【详解】由题意两直角边为8,15a b ==,斜边17c ==, 所以内切圆半径81517322a b c r +-+-===, 所以落在其内切圆内的概率:2331208152P ππ⨯==⨯⨯,故选:A【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型,属于基础题.11.函数()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数,且()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称,则ω=( ) A.23或103B.23或2 C.143或2 D.103或143【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调区间,解得ω的取值范围,结合对称中心,即可求得结果. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数,则由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得0,2x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则2πωπ≤,解得(]0,2ω∈.又因为()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称,故可得3cos 04πω=,即3,42k k Z πωππ=+∈, 解得42,33k k Z ω=+∈. 结合ω的取值范围,即可得23ω=或2.故选:B .【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心,求参数范围的问题,属基础题. 12.函数()()23xf x x e =-,关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根,则正数m 的取值范围为( ) A. ()0,2 B. ()2,+∞C. 3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况,转化为讨论210t mt -+=的根的情况,结合根的分布求解. 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-',令()0f x '=,得3x =-或1x =,当3x <-时,()0f x '>,函数()f x 在(),3-∞-上单调递增,且()0f x >; 当31x -<<时,()0f x '<,函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时,()0f x '>,函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=,极小值()12f e =-,作出大致图象:令()f x t =,则方程210t mt -+=有两个不同的实数根, 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内,或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数,所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+,因为()010g =>,所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即6336610m e e -+<,得3366e m e >+,即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选:D【点睛】此题考查复合函数零点问题,根据零点个数求参数范围,关键在于准确讨论函数()()23xf x x e=-图象特征,结合二次方程根的分布知识求解.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,每组命中个数的茎叶图如图所示,则命中率较高的为_______.【答案】甲. 【解析】 【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方,而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方.从数据的分布情况来看,甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方, 而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方. 从数据的分布情况来看,甲运动员的罚球命中率较高. 故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,当数据是两位整数时,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;当数据是由整数部分和小数部分组成,可以把整数部分作为茎,把小数部分作为叶; (2)将茎上的数字按大小次序排成一列.(3)为了方便分析数据,通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧. (4)用茎叶图比较数据时,一般从数据分布的对称性、中位数,稳定性等方面来比较. 14.已知2()2(2)f x x xf '=+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】610x y ++= 【解析】 【分析】求出导函数()22(2)f x x f ''=+,令2x =,求出()2f ',从而求出函数表达式以及导函数表达式,求出()1f 以及()1f ',再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)f x x xf '=+,则()22(2)f x x f ''=+,当2x =时,(2)42(2)f f ''=+,解得()24f '=-,所以2()8f x x x =-,()28f x x '=-,即()17f =-,(1)2186f '=⨯-=-,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为:()761y x +=--, 即为610x y ++=.故答案为:610x y ++=【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则,属于基础题.15.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A ,发现其北偏东45,与观测站A距离B 处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<的C 处,且4cos 5θ=,已知A 、C 两处的距离为10海里,则该货船的船速为海里/小时___________.【答案】85【解析】 由已知,03sin ,45,5BAC θθ=∠=- 所以,0272cos cos(45=cos 210BAC sin θθθ∠=-+=)(), 由余弦定理得,2222cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-)72=800+100-22021034010⨯⨯=,故285BC =, 该货船的船速为485/小时.考点:三角函数同角公式,两角和与差的三角函数,余弦定理的应用.16.已知三棱锥O ABC -中,,,A B C 三点在以O 为球心的球面上,若2AB BC ==,120ABC ︒∠=,且三棱锥O ABC -3O 的表面积为________. 【答案】52π 【解析】 【分析】利用面积公式求出ABC 的面积,再利用余弦定理求出AC 的长度,利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径,根据勾股定理求出球的半径,由球的表面积公式即可求解. 【详解】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h , 则113333O ABC ABCV S h h -===3h =, 在ABC 中,由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=,∴=AC设ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理 则2sin120AC r =,解得2r ,设球的半径为R ,则22213R r h =+=,所以球O 的表面积为2452S R ππ==.故答案为:52π【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形,正弦定理解三角形的外接圆半径,属于中档题.三、解答题:(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3718a a +=,636S =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ;(Ⅱ)设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项的和,求证:1n T <. 【答案】(Ⅰ)21n a n =-,2n S n = (Ⅱ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)根据等差数列公式直接计算得到答案. (Ⅱ)211111n S n n n n n ==-+++,根据裂项求和法计算得到111n T n =-+得到证明. 【详解】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差为d ,由3718a a +=,636S =得59a =,1612a a +=, 即149a d +=,12512a d +=,解得11a =,2d =.∴21n a n =-,2135(21)n S n n =++++-=. (Ⅱ)2n S n =,∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++, ∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++,即1n T <.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人,每人分别对两个教师进行评分,满分均为100分,整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].得到甲教师的频率分布直方图,和乙教师的频数分布表:乙教师分数频数分布表分数区间频数[40,50) 3[50,60) 3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25(1)在抽样的100人中,求对甲教师的评分低于70分的人数;(2)从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人,求2人评分均在[50,60)范围内的概率; (3)如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准,则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师?(精确到0.1)【答案】(1)32人;(2)15;(3)乙可评为年度该校优秀教师 【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出70分以上的频率,总频率之和为1可得70分以下的频率,由频率100⨯即可求解.(2)根据频数分布表[)40,50有3人,[50,60)有3人,分别进行标记,利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数,然后再求出评分均在[50,60)范围内的基本事件个数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.(3)利用平均数=小矩形的面积⨯小矩形底边中点横坐标之和,求出甲的平均分,再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.【详解】(1)由频率分布直方图可知,70分以上的频率为()0.0280.0220.018100.68++⨯=, 70分以下的频率为10.680.32-=,所以对甲教师的评分低于70分的人数:0.3210032⨯=.(2)由频数分布表[)40,50有3人,[50,60)有3人,记[)40,50的3人为A 、B 、C ,[50,60)的3人为1、2、3,随机选出2人:(),A B ,(),A C ,(),1A ,(),2A ,(),3A ,(),B C , (),1B , (),2B ,(),3B ,(),1C , (),2C ,(),3C ,()1,2,()1,3,()2,3,共15种;评分均在[50,60)的抽取方法:()1,2, ()1,3,()2,3,共3种;所以2人评分均在[50,60)范围内的概率31155P ==. (3)由频率分布直方图可得[50,60)的频率为:()10.0040.0220.0280.0220.018100.06-++++⨯=甲教师的平均数为:=0.0445+0.0655+0.2265+0.2875+0.2285+0.1895x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯甲76.2=,乙教师的平均数为:0.03450.03550.15650.19750.35850.259580.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙,由于乙教师的平均数大于80分,故乙可评为年度该校优秀教师.【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式,考查了学生的数据分析处理能力,属于基础题.19.如图1,在Rt ABC ∆中, 90,,C D E ∠=分别为,AC AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点,将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置,使1A F CD ⊥,如图2.(1)求证:1A F BE ⊥;(2)线段1A B 上是否存在点Q ,使1A C ⊥平面DEQ ?说明理由.【答案】(1)见解析(2)线段1A B 上存在点Q ,使1A C ⊥平面DEQ .【解析】【详解】试题分析:(1)由题意可证DE ⊥平面A 1DC ,从而有DE ⊥A 1F ,又A 1F ⊥CD ,可证A 1F ⊥平面BCDE ,问题解决;(2)取A 1C ,A 1B 的中点P ,Q ,则PQ ∥BC ,平面DEQ 即为平面DEP ,由DE ⊥平面1A DC ,P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点,可证A 1C ⊥平面DEP ,从而A 1C ⊥平面DEQ .试题解析:(1)证明:由已知得AC BC ⊥且//,DE BC DE AC ∴⊥,1DE A D ∴⊥,又1,DE CD A D CD D ⊥⋂=,DE ∴⊥平面1A DC ,面1A F ⊂平面1A DC ,1DE A F ∴⊥,又11,A F CD DE CD D A F ⊥⋂=∴⊥平面BCDE ,1A F BE ∴⊥.(2)线段1A B 上存在点Q ,使1A C ⊥平面DEQ .理由如下:如图,分别取11,A C A B 的中点,P Q ,则//PQ BC .//,//.DE BC DE PQ ∴∴平面DEQ 即为平面DEP .由(1)知DE ⊥平面11,A DC DE AC ∴⊥,又P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点1A C DP ∴⊥,1DE DP D AC ⋂=∴⊥平面DEP ,从而1A C ⊥平面DEQ , 故线段1A B 上存在点Q ,使1A C ⊥平面DEQ .点睛:证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论(),a b a b αα⊥⇒⊥;(3)利用面面平行的性质(),a a ααββ⊥⇒⊥;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.如图,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆C 上一点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12,(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点2F 的直线l 交椭圆22221x y a b+=于,A B 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅为定值?证明你的结论.【答案】(1)22143x y +=(2)存在定点11(,0)8P ,使得PA PB ⋅为定值. 【解析】【分析】 (Ⅰ)根据点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12,结合性质222a b c =+ ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b ,即可得结果;(Ⅱ)设出直线方程,直线方程与椭圆方程联立,消去y 可得关于x 的一元二次方程,PA PB ⋅表示为1212x x y y +,利用韦达定理化简可得()222581243n k n k ++++,令581243n +=可得结果. 【详解】(Ⅰ)由题设得,又,解得,∴. 故椭圆的方程为.(Ⅱ),当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,, 当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得, 此时,,,, 综上,在轴上存在定点,使得为定值. 【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.21.已知函数21()2f x lnx ax x =--. (1)若函数()f x 在[1,)+∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴,是否存在整数k ,使不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立?若存在,求出k 的最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)a 14≤-;(2)不存在,理由见解析. 【解析】【分析】(1)对原函数求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出a 的取值范围;(2)问题转化为即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立,令()(1)2g x xlnx k x k =-++,1x >求导后分0k 和0k >求函数的单调区间,进一步求得函数的最值得答案.【详解】解:(1)函数()f x 在[1,)+∞上单调递增, 1()10f x ax x ∴'=-- 在[1,)+∞ 上恒成立, 2211111()24a x x x ∴-=--, ∴当2x =时,()211124x --有最小值14-, 14a ∴-; (2)1()1f x ax x'=--,f ∴'(1)11a a =--=-,函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴,0a ∴=,()f x lnx x ∴=-,不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立,(2)xlnx x k x ∴->-在1x >时恒成立,即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立,令()(1)2g x xlnx k x k =-++,1x >,()g x lnx k ∴'=-,当0k 时,()0g x '>在(1,)+∞上恒成立,即()g x 在(1,)+∞上单调递增,()g x g >(1)10k =->,则1k >,矛盾,当0k >时,令()0g x '=,解得k x e =,令()0g x '>,解得:k x e >,令()0g x '<,解得:1k x e <<,()g x ∴在(1,)k e 单调递减,在(k e ,)+∞单调递增,()()(1)220k k k k min g x g e ke k e k k e ∴==-++=->,令()2k h k k e =-,0k >,()2k h k e ∴'=-,当2k ln <时,()0h k '>,函数()h k 单调递增,当2k ln >时,()0h k '<,函数()h k 单调递减,()(2)2222(21)0max h k h ln ln ln ∴==-=-<,∴不存在整数k 使得20k k e ->恒成立,综上所述不存在满足条件的整数k .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,导数的几何意义,还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题,同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力,属难题.选考题:(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑)22.已知直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),以原点为极点,以x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=(m 为常数,且0m >),直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)若2AB =,求实数m 的值;(2)若点P 的直角坐标为(1,2)-,且4PA PB ⋅>,求实数m 的取值范围.【答案】(1)1m =; (2)9(,)4+∞.【解析】【分析】(1)将直线的参数方程化为为普通方程,曲线C 的极坐标方程化为普通方程,再利用直线与圆的弦长公式求解.(2)直线的参数方程与圆的普通方程联立,根据参数的几何意义,则有12||||||PA PB t t ⋅=求解.【详解】(1)曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=,化为直角坐标系下的普通方程为:222x y my +=,即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为:10x y +-=,而点(0,)m 到直线l的距离为d =所以||2AB =,即2230m m +-=,又因为0m >,所以1m =.(2)显然点P 在直线l上,把1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=,设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>,解得1m <-1m >. 则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>,解得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.【点睛】本题主要考查了参数方程,极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长,参数的几何意义,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.23.已知0,0,0a b c >>>,且2a b c ++=.(1)求2a b c ++的取值范围;(2)求证:14918a b c ++≥. 【答案】(1)7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭;(2)证明见解析【解析】 【分析】(1)由条件等式将b c +用a 表示,再从0,0,0a b c >>>,进一步求出a 的范围,将问题转化为求二次函数的取值范围,二次函数配方,即可求解;(2)根据已知条件转化证明149()36a b c a b c ++++≥,利用基本不等式即可得证. 【详解】(1)依题意,20a b c -=+>,故02a <<. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭, 所以()22722244a b c +++-=≤<,即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (2)因为0,0,0a b c >>>,所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥ 1436+==当且仅当12,,133a b c ===时,等号成立, 又因为2a b c ++=,所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识,解题中注意应用条件等式,属于中档题.。

2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)

2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)

2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题(共12小题)・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列{如}中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列{Qn }的前〃项和,则S 15=(在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为(A 1B 丄 A- 3b∙ 2),则CRqrIB=()2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=(D- 2若它们的中位数相同,平均数也相同, 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为()a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点,若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图,输出S 的值是()饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中,正确的有(② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是:“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件;④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示,那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1:MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限),且7B =4AF,直线/与圆M 相切,则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点,则αD. 3,焦点为化圆M :10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中,ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点,则^-AF= __________ .15.若数列{如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列{ττ—}的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为''赵爽弦图”,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为寺,若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列{如}中,a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列{/}的通项公式;TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示,A ( - 1,⑷),B (3,・山)为图象上的两点,HZAOB=Q i其中O为坐标原点,0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率;(2)请根据3月2日至3月4日的数据,求出y关于X的线性回归方程,=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式:回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲,在平面四边形ABCD中,已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起,使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证:DC丄平而ABC;■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点,且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼,且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程;(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C : x 2+y 2=4相交于A, B 两点,沁NAB 的面积最大时,求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程;(Il )当GE (0, 2)时,求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间[0, 3]上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•[选修4«4:坐标系与参数方程]坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以X 轴 正半轴为极轴)中,圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离;(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.[选修4・5:不等式选讲]23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈[1, 2], Λ-k-rtl≤ 1恒成立,求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中,直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数),在极一、选择题1. 解:因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选:B.2. 解:T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选:C.3・解:根据茎叶图知,乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9;故选:A.4. 解:在等差数列{如}中, T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列{伽}的前H 项和,故选:B.5. 解:∙.∙d>0, b>0,两直线人:3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时,等号成立. 故选:C.6. 解:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值,OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选:C.7. 解:根据题意,设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍,即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心,半径为,•的球内,其体积W = 4:T ,故选:C.8.解:对于①:相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强;越趋近于0,相关性越弱,故①错误;对于②:命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是:"对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④:f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时,f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立,此时f (%)没有极值点,故不符合条件;故选:A.x+y-3≤09.解:作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示,k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时,1+片严一-3=1,当1 +/=3 时,l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选:C.10. 解:根据题意,函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数,排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时,/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选:D.He 解:如图,设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3,则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选:B.12. 解:函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根,而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根,lns-2x ,一 .、, / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点,y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知,d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选:A. 二、填空题13. 解:由三视图还原原几何体如图,P:.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心,・:这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解:根据题意,作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得,AF=yAB+yAC , =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为:于.15. 解:数列仙}的前"项和为S“,对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时,自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 (SH-SH .1) + {a n - 6∕π 1) =O tQ 1所以数列{a n ]是以号为首项,才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。

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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N,则集合UA的子集的个数为()A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-,得到集合A,进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素,故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >,则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ,则UA 的子集个数为328=个.故选:D.【点睛】本题考查了补集的运算,集合子集个数的结论,属于基础题. 2.已知i 为虚数单位,若412a ii+-∈R ,则实数a 的值是( ) A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算,求出复数.因为该复数是实数,所以令其虚部为零,求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+,且412a ii+-∈R , 240a ∴+=,即2a =-.故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算,复数的分类知识,属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况,规定1,2,3表示降雨,4,5,6,7,8,9表示不降雨,根据随机生成的10组三位数:654 439 565 918 288 674 374 968 224 337,则预计未来三天仅有一天降雨的概率为( ) A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】 【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数,即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式,即可得出结果.【详解】题中规定:1,2,3表示降雨,4,5,6,7,8,9表示不降雨, 在10组三位随机数:654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中, 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数,即表示未来三天仅有一天降雨,根据古典概型的概率计算公式可知,其概率42105p ==. 故选:D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若342332,32S a S a =-=-,则首项1a =( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将已知两式相减,可得出434a a =,则该等比数列的公比为4q =,再将用1a 和q 来表示2332S a =-,即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-,即434a a =,则该等比数列的公比为4q =,2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-,即1115162a a =-,12a ∴=.故选:B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量,其中两式相减求得公比,是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭,则sin α=( )A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简,结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=,再利用平方关系,即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-,即cos212sin 2αα+=,∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=,(0,)2πα∈,cos 0α∴>,则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=,且sin 0α>5sin α∴=. 故选:C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换,同角三角函数的平方关系,属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到:任画…条线段,然后把它分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤,得到由16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”;…;如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍,则至少需要构造的次数是( )(取lg30.4771≈,lg 20.3010≈)A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题知,每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍,故折线长度构成一个以43为公比的等比数列,写出其通项公式4()3nn a a =⋅,则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍,只需求解不等式4()1003n n a a =>,即可得解. 【详解】设初始长度为a ,各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ,由题知143a a =,143n n a a +=,则{}n a 为等比数列,4()3n n a a ∴=⋅,假设构造n 次后,折线的长度大于初始线段的100倍,即4()1003n n a a => , 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-,lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理,等比数列的实际应用,指数不等式的求解,考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理,构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α,β为两个不同平面,m ,n 为两条不同直线,则下列说法不正确的是( ) A. 若m α⊥,n α⊥,则//m n B. 若m α⊥,m n ⊥,则//n αC. 若m α⊥,m β⊥,则//αβD. 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线线,线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理,对每个选项进行逐一判断,即可得解. 【详解】对于A ,m α⊥,n α⊥,根据线面垂直的性质可知,垂直于 同一平面的两直线平行,选项A 正确;对于B , m α⊥,m n ⊥,根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知n ⊂α或//n α,故选项B 错误;对于C , m α⊥,m β⊥,根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得//αβ,故选项C 正确;对于D ,由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂,又n β⊥,则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知,m n ⊥,故选项D 正确. 故选:B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理,面面平行的性质定理,属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且点(),n n a S 在直线3210x y --=上,则43S S =( ) A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由题得3210n n a S --=,利用1(2)n n n a S S n -=-≥,求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈,11a =,从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式,即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上,3210n n a S ∴--=,当2n ≥时,113210n n a S ----=, 两式相减,得:13(2n n a a n -=≥且)n N *∈,又当1n =时,113210a S --=,则11a =,{}n a ∴是首项为1,公比为3的等比数列,1(13)31132n n n S ⨯--==-, 443331403113S S -∴==-. 故选:B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题,等比数列的判定,等比数列的前n 项和公式,属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=,则a =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论,在两条切线的斜率同时存在时,可在圆上任取一点()00,x y ,并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-,与椭圆方程联立,利用0∆=可得出关于k 的二次方程,利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时,则两切线的交点坐标为(,该点在圆226x y +=上,所以,226a +=,解得2a =;当椭圆两切线的斜率同时存在时,不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k , 设两切线的交点坐标为()00,x y ,并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-,联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩, 消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦,()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦, 化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦,由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-,整理得()220022240a x y a +-+=-=,解得2a =. 综上所述,2a =. 故选:B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数,考查分类讨论思想以及方程思想的应用,属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=,则+a b 的最大值是( ) A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将+a b 当作整体,在原式的两边同时乘以+a b ,使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件,从而得到一个关于+a b 的二次不等式,求解即可.【详解】由1410a b a b +++=, 得14()()10()a b a b a b a b++++=+,24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+,210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=,即2b a =时,等号成立, 2()10()90a b a b ∴+-++≤,则19a b ≤+≤.故选:C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式,将+a b 看成一个整体,是本题的关键,属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ,P 是双曲线上位于第一象限的点,4OP =,直线1PF 交x轴于点Q ,则2PQF 的内切圆半径为( )A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】 【分析】分析出122F PF π∠=,并设1F P m =,可得出2F P m =+PQ t =,利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知,双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -,又124OP OF OF ===,122F PF π∴∠=,设1F P m =,则223F P m =+PQ t =,则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+, 设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q , 由切线长定理得PM PN =,22F N F D =,MQ DQ =,2MPN π∠=,2EN PF ⊥,EM PQ ⊥,且EM EN =,则四边形PMEN 为正方形,所以,(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==,则3PM =, 因此,2PF Q △3故选:A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算,涉及双曲线定义的应用,考查计算能力,属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =,当[1,2)x ∈时,()ln f x x =,则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为( )A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先由求出[2,4)x ∈时,()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题,转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题,利用数形结合思想,即可判断出公共点个数,求出函数()g a ,从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =,设[2,4)x ∈,则[1,2)2x∈, 则()()ln 22x xf x f ==,ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩,令()()0y f x ax a =->=0,即()f x ax =,∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数,即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数,若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切, 设切点为11(,ln )M x x ,则切线斜率1111ln 1x k x x ==, 1[1,2)x e ∴=∉,故不能相切,若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切, 设切点为22(,ln )2x N x ,则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=,22[2,4)x e ∴=∉,故也不能相切,又(2,ln 2)A ,(4,ln 2)B ,则ln 22OA k =,ln 24OB k =, ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩,则()g a 的值域为{0,1,2}.故选:B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式,函数的零点个数,考查了转化思想和数形结合思想,属于较难题.第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答,第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()1,1A ,()2,4B -,(),9C x -,且//AB AC ,则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系,即可求解, 【详解】()1,1A ,()2,4B -,(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--, //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件,属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =,23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈,则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】 【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论,得出数列21{}n a -是常数列,数列2{}n a 是公差为2的等差数列,然后用分组求和法,即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈,∴当n 为奇数时,21210n n a a +--=,则数列21{}n a -是常数列,2112n a a -==;当n 为偶数时,2222n n a a +-=,则数列2{}n a 是以23a =为首项,2的等差数列,129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为:34.【点睛】本题考查了数列递推求通项,等差数列的判定,分组求和法,等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想,属于中档题.15.三棱锥S ABC -中,底面ABC 是边长为2的等边三角形, SA ⊥面ABC , 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球,即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =, 设球的半径为R ,因为SA ⊥面ABC , 2SA =, 所以222284243R r =+=, ∴外接球的表面积为22843R ππ=, 故答案为283π点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题. 要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++(,,a b c 为三棱的长);②若SA ⊥面ABC (SA a =),则22244R r a =+(r 为ABC ∆外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】 【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知,当1a <时,()2f a <,当1a ≥时,()2f a ≥.令()t f a =,对t 进行分类讨论,结合分段函数解析式,求出t 的值,再进一步求出a . 【详解】当1a <时,()312f a a =-<, 当1a ≥时,()2f a ≥ 令()t f a =,若1t <,()31f t t =-,与已知解析式相符,311a ∴-<,即23<a ; 若1t ≥,则()2tf t = 由231t t =-,得1t =或3, 当1t =时,()311t f a a ==-=,23a =; 当3t =时,()23at f a ===,2log 3a =. 故答案为:2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题,考查了分类讨论思想,注意解题过程中分类讨论标准的适当选取,做到不重不漏.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题,考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. (1)求cos A ;(2)若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】(1)13;(2)3【解析】【分析】(1)由正弦定理将已知式化角为边,再由余弦定理求出cos A ; (2)由(1)的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ,利用面积相等,求出AD ,再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解:(1)由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==, 及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-,可得224()3b c a bc -=-,即22223b c a bc +-=,∴由余弦定理得:2221cos 23b c a A bc +-==;(2)由1cos 3A =,得sin A =, cos23A ==, 1sin 23S ABC bc A ==,则4bc =, 由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+, 当且仅当2b c ==时,等号成立, 即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用,二倍角公式,基本不等式的应用,属于中档题.18.如图,正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4,点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.(1)求证://CF 平面B ED ''; (2)求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2)4. 【解析】 【分析】(1)取C D ''的中点M ,连接CM 、FM ,证明出平面//CFM 平面B ED '',利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED '';(2)取A B ''的中点N ,连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N ',证明出F 、N 、A 、C 四点共面,利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离,即为所求. 【详解】(1)取C D ''的中点M ,连接CM 、FM ,在正方体ABCD A B C D ''''-中,//CD C D ''且CD C D ''=,E 、M 分别为CD 、C D ''的中点,//CE D M '∴且CE D M '=,∴四边形CED M '为平行四边形,//CM D E '∴,CM ⊄平面B ED '',D E '⊂平面B ED '',//CM ∴平面B ED '',F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点,//FM B D ''∴,FM ⊄平面B ED '',B D ''⊂平面B ED '',//FM ∴平面B ED '', CMFM M =,∴平面//CFM 平面B ED '',CF ⊂平面CFM ,//CF ∴平面B ED '';(2)取A B ''的中点N ,连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N ',N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点,//FN A C ''∴,在正方体ABCD A B C D ''''-中,//AA CC ''且AA CC ''=,所以,四边形AA C C ''是平行四边形,//A C AC ''∴,//FN AC ∴,F ∴、N 、A 、C 四点共面,FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=, AA '⊥平面A B C D '''',∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中,22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅, 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=, ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=, 设点D 到平面ACF 的距离为h ,由D ANF A D NF V V ''--=, 即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=,解得4h =. 因此,点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行,同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离,考查计算能力与推理能力,属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业,打算举办一次食品交易会,招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋),得到如下统计表:(1)根据所给5组数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+; (2)已知购买原材料的费用C (元)与数量t (袋)的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩,投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有13万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L =销售收入-原材料费用).参考公式:()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑,a y bx =-.参考数据:511343i ii x y==∑,521558i i x ==∑,5213237i i y ==∑.【答案】(1) 2.51y x =-;(2)餐厅应该购买31袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为9920元. 【解析】 【分析】(1)计算出x 、y 的值,利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值,即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+; (2)由(1)中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值,再根据题意计算对应的利润值,比较大小即可. 【详解】(1)由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==,3223182428255y ++++==,515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑,25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-, 因此,y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-;(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当13x =时, 2.513131.5y =⨯-=,即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩,当31t <时,利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时,30030209020L =⨯+=; 当31t =时,70031380319920L =⨯-⨯=; 当32t =时,70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述,餐厅应该购买31袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,也考查了利润计算问题,是中档题.20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,线段AB 的中点E 的横坐标为32,5AB =. (1)求抛物线C 的方程;(2)已知点()1,2D ,过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点,求DM DN ⋅的最大值,并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】(1)24y x =;(2)当直线l 的方程为40x y +-=时,DM DN ⋅取最大值1.【解析】 分析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ,可得出12322x x +=,利用焦点弦长公式可求得p 的值,进而可得出抛物线C 的方程;(2)设点()33,M x y 、()44,N x y ,设直线l 的方程为4x my =+,将直线l 的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数,利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ,由于线段AB 的中点E 的横坐标为32,则12322x x +=, 由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=,解得2p =. 因此,抛物线C 的方程为24y x =;(2)设点()33,M x y 、()44,N x y ,设直线l 的方程为4x my =+,联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩,消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=,3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-,同理可得()443,2DN my y =+-,()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时,DM DN ⋅取最大值1,此时,直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解,考查计算能力,属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .(1)求实数a 的取值范围;(2)若213x x ≥,求实数a 的取值范围.【答案】(1)10,e ⎛⎫⎪⎝⎭;(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】(1)由()0f x =得xx a e =,构造函数()x xg x e=,利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值,作出函数()y g x =的图象,数形结合可得出实数a 的取值范围; (2)由题意推导出1201x x <<<,分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论,结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围,再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】(1)()x f x ae x =-,令()0f x =,可得xxa e =, 构造函数()x xg x e=,则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=,令()0g x '=,得1x =,列表如下: x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以,函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞,单调递减区间为()1,+∞,且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时,()0x x g x e =<;当0x >时,()0x g x x e=>,如下图所示:如上图可知,当10a e<<时,直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点, 因此,实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭; (2)由(1)可知1>0x ,20x >,且()()12g x g x =,2113x x x ≥>,1201x x ∴<<<.①若1103x <≤,则21130x x >≥>,合乎题意; ②若1113x <<,则131x >,2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞, ()()213g x g x ∴≤,即()()113g x g x ≤,即111133x x x x e e ≤,解得1ln 32x ≤,此时11ln 332x <≤. 综上所述,1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭,即306a <≤.因此,实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围,考查数形结合思想的应用,属于难题.(二)选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.【答案】(1)2cos ρθ=;(2)2【解析】【分析】(1)首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=(φ为参数)进行消参数运算,化为普通方程,再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程.(2)设11P ρθ(,),联立直线与圆的极坐标方程,解得11ρθ,;设22Q ρθ(,),联立直线与直线的极坐标方程,解得22ρθ,,可得PQ .【详解】(1)圆C 的普通方程为()2211x y -+=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (2)设()11,ρθP ,则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=,13πθ=,得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭; 设()22Q ,ρθ,则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=,23πθ=,得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭; 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化,考查圆的极坐标方程,考查极坐标方程的求解运算,考查了学生的计算能力以及转化能力,属于基础题.23.如图,AB 是半圆的直径,O 为AB 的中点,⊥DO AB 、C 在AB 上,且AC x =,BC y =.(1)用x 、y 表示线段OD ,CD 的长度:(2)若0a >,0b >,2a b +=,求44a b +的最小值.【答案】(1)2x y OD +=,222x y CD +=(2)2 【解析】【分析】 (1)AB 为直径,AB x y =+,OD 为半径,则2x y OD +=.Rt OCD △中,利用勾股定理,可求出222x y CD +=(2)Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ,即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==,2212a b +≥≥,由此解得442a b +≥. 【详解】解:(1)直径AB x y =+,则半径2x y OD +=, 在Rt OCD △中,CD ===即CD = (2)由(1)知,CD OD ≥,2+x y ,当且仅当x y =时,等号成立, 222()122a b a b ++∴≥=, 令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥(当且仅当1a b ==时,等号成立), 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理,基本不等式的变形应用,考查了转化的思想,属于中档题.。

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