二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)
数学二次函数的性质
数学二次函数的性质一、引言数学二次函数是数学中一个重要的概念，它是指由二次方程所确定的函数关系。
二次函数具有许多特殊的性质，对于我们理解函数的形态和特征有着重要的作用。
通过深入学习和探究二次函数的性质，我们能够更好地应用它们于实际问题的解决。
二、二次函数的表达式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，系数a决定了函数的开口方向，系数b影响了函数的对称轴，而常数项c则决定了函数的纵轴截距。
三、二次函数的对称性1. 对称轴：二次函数的对称轴是一个与纵轴平行的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求抛物线的对称点得出，它与x 轴的交点就是抛物线的顶点的横坐标。
2. 对称中心：对称轴与抛物线的交点也是抛物线的对称中心，它具有特殊的几何意义，也是抛物线的一个重要特征。
四、二次函数的增减性与极值点1. 增减区间：二次函数的增减性是指函数在定义域内的变化趋势。
通过求导数或观察二次函数的开口方向，我们可以确定函数的增减区间。
2. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像上的最高点或最低点。
由于二次函数的抛物线形态，极值一定存在，并且也可以通过对称轴和顶点来确定。
五、二次函数的零点与根数1. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。
通过求解二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以找到二次函数的零点，进而了解函数的根数。
2. 判别式：判别式是决定二次函数零点个数的一个重要工具，它可以通过计算b² - 4ac来得到。
如果判别式大于0，则函数有两个不同的实数根；如果判别式等于0，则函数有两个相等的实数根；如果判别式小于0，则函数没有实数根。
六、二次函数的图像与应用1. 几何形态：通过改变二次函数的系数，我们可以观察到函数图像的不同变化。
a的正负决定了函数的开口方向，a的绝对值决定了抛物线的瘦胖程度。
2. 实际应用：二次函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
二次函数的对称性
(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。
2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。
4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。
函数的增减性与对称性
函数的增减性与对称性介绍在数学中，函数的增减性和对称性是研究函数特性的重要方面。
本文将简要介绍函数的增减性和对称性的概念以及它们在数学分析中的应用。
函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而呈现出的趋势。
函数可以是增函数、减函数或不变函数。
增函数是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值也随之增大。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为增函数。
是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值也随之增大。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为增函数。
减函数是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值随之减小。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为减函数。
是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值随之减小。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为减函数。
不变函数是指函数在定义域内的取值不随自变量的增大或减小而改变。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) = f(x_2)$，则称函数为不变函数。
是指函数在定义域内的取值不随自变量的增大或减小而改变。
具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) = f(x_2)$，则称函数为不变函数。
函数的增减性可以通过函数的导数来确定。
当导数大于零时，函数为增函数；当导数小于零时，函数为减函数；当导数等于零时，函数为不变函数。
二次函数的对称性
二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标y 相等，那么对称轴122x x x +=其可以变形为：x 1 = x 2 =例、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （3，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-3，3），B （-5，3），C （1，6）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴则二次函数y=ax 2+bx+c 的的对称轴为____________,在x=2时，y=___________．在y=-5时，x=____________增减性在对称中的应用已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，练习1、已知点（-2，y1），（-1，y2），（3，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关2、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则巩固作业：则二次函数y=ax2+bx+c的的对称轴为____________,顶点坐标为___________在x= 4时，y=___________．在y= -8时，x=____________2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，-2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________________3、已知点（-2，y1），（-1，y2），（5，y3）都在函数y=(x-1)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________________4、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则(2)二次函数图象的对称变换：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．抛物线y＝－（x+1）2 +2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________练习、抛物线y＝－（x+1）2 -2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝（x-1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－2（x-1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 -2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________1、在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x= - 2的是()A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)22、二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标为_ ( )___________3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x= -1,下列结论:①abc<0;①2a+b=0;①a-b+c>0;①4a-2b+c<0.其中正确的是()A.①①B.只有①C.①①D.①①4、如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x轴相交于点A、其中点A的横坐标为1. 求该二次函数的表达式;5、次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),求其函数关系式，并写出其顶点坐标。
二次函数的对称性与单调性
二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。
一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。
1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。
2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。
3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。
根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。
1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。
二次函数增减性与对称性的应用举例
（ １ ） 当２ 口＋ ｂ＝ ０即 ２ ａ＝一ｂ ≠０时 ， 原 方程 的解 为 ： ４；
（ ＋５ ） （ 一 ３ ） （ ＋１ ） ＝ ０ ，
‘
．
． Ｉ＝ 一５， ２＝ ３， ３ １ ． ４ ＝５ ．
所以原方程的解为 。 ＝ ０， ２ ： ３ ， 屯＝ ５ ．
・ ．
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一 ３ ．
萼ｍ ， Ｂ Ｆ ＝ ３ － ｍ 则 譬 ｍ ＋ ｍ ＋ ｎ ＋ ｎ ＝ ＋ ３ ， １ ￣ Ｉ ｍ ＋ ＝ ３ ．
ｓ 最 大 ＝ ２ （ ３ ／ ３ － － ３ － 寻 ） ＋ 号 ＝ ９ ９ — ５
， ＇
所 以 原 方 程 的 解 为 ＝ 手， ｚ ＝ 一 手
２ ． 解： 原方程 （ 一 ８ ｘ ４ － １ ５ ） ＝ ０ ．
（ 一 ３ ） （ 一 ５ ）＝ ０ ．
’ ．
８ ． 解： 原 方程 （ ２ ＋３ ） （ ３ ｘ＋５） （ ３ ６ ｘ ＋８ ４ ｘ＋５ ７ ）
练习题 答案
方程 一 ＋ｌ ＝ ０没有实数解 ，
，＝ 一２， ：＝ 一
１ ． 解： 原方程 ６ 一１ ｌ ｘ一１ ０： ０ ，
（ ２ ｘ 一５ ） （ ３ ＋ ２ ）＝ ０ ．
５ ‘ ・２ Nhomakorabea・ ｌ ： ＿ ， ２ ： 一 ＿ ，
所 以原方程 的解 为 Ｘ １ ：一 ２ ， ：一
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△Ａ ｃ为正三角形 ． Ａ Ｅ ＝Ｂ Ｆ ＝
二次函数含参问题(可编辑修改word版)
二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。
课堂例题：1.若函数f (x) =x 2-ax -a 在区间[0, 2]上的最大值为1，则实数a =；2.若函数f (x) =x 2- 3x ，在[0, m]上的值域为⎡-9 ,0⎤，则m 的取值范围为；⎣⎢ 4 ⎥⎦当堂练习：1.若函数y =ax 2- 2ax(a ≠ 0) 在区间[0,3] 上有最大值3 ，则a 的值是；2.已知函数f (x) =x 2- 2ax +a 2+ 2 (x ∈[-1,3]) 有最大值18，则实数a 的值为；2 在区间课堂例题：1.若函数f(x) = 41x‒2 - a·2x+27 [0,2]上的最大值为 9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数f (x) =-3x 2- 3x + 4b 2+9(b > 0) 在区间[－b, 1－b]上的最大值为 25，求b 的值；42.已知函数f (x) = 4x 2- 4ax +a 2- 2a + 2 在区间[0,2]上有最小值 3，求实数a的值；家庭作业：1.函数y =x 2- 3x - 4 的定义域为[0, m]，值域为⎡-25 ,-4⎤，则实数m 的取值范围是.⎣⎢ 4 ⎥⎦2.若函数f (x) =x 2- 2x +1在区间[a, a + 2]上的最大值为4，则a 的值为；3.已知函数 f (x) =x 2- 2x + 3 在闭区间[0, m]上的最大值为 3，最小值为 2，则m 的取值范围为；4.若函数y =x2- 4ax +a2- 2a + 2 在[0, 2] 的最小值是2，则a 的值为；5.若三条抛物线y =x 2+ 4ax - 4a + 3 ，y =x 2+ (a -1)x +a 2，y =x 2+ 2ax - 2a 中至少有一条与x 轴有交点，则a 的取值范围是；2 课堂例题：1. 不等式(2 ‒ α)x 2 ‒ 2(a ‒ 2)x + 4 > 0对于一切实数 x 都成立，求α的取值范围；2. 若不等式x 2 - 2αx + a 2 - a > 0，当 x ∈[0, 1]时恒成立，求 α 的取值范围；当堂练习：1. 求对于 - 1 ≤ α ≤ 1，不等式 x 2 + (α ‒ 2)x + 1 ‒ a > 0恒成立的 x 的取值范围；2. 若不等式x 2+ αx + 1 ≥ 0对于一切 x ∈(0，1)恒成立，则α的取值范围是多少；3. 不等式αx 2 + 2x + 1 > 0 在 x ∈[ - 2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2- 2x- a+ 1 < 0对于满足|α| ≤ 2的一切值都恒乘以，求 x 的取值范围；家庭作业：1. 函数f(x) = αx2‒ 2x + 2 (a∈ R)，对于满足1 < x < 4 的一切 x 值都有f(x) > 0，求实数α的取值范围；2. 已知f(x)是定义在区间[ - 1,1]上的函数，且f(1) = 1，若 m，n∈[ - 1,1]，m + n ≠ 0时，f(m) + f(n)> 0 对任有m+ n 意x∈[ - 1,1]，f( - x) = - f(x)都成立。
二次函数图表总结
【最新】二次函数图表总结二次函数图表总结y＝a_图象2a>0ay＝a_+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(_-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(_-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=a_2+k上下平移y=a(_h)2+k上下平移y=a(_h)2左右平移y=a_2一般地,抛物线y=a(_-h)+k与y=a_2的形状相同,位置不同.2y=a_2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读:二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一.知识网络二次函数的定义ya_2b_c(a0)ya_2(a0)二次函数的图像ya(_m)2k(a0)ya_2b_c(a0)二次函数二次函数的性质开口方向.对称轴.顶点坐标.增减性,二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积.利润等二.知识要点分布1.二次函数的定义:形如ya_2b_c(a.b.c为常数,a0〕的函数叫二次函数.任何一个二次函数的表达式都可以化为ya_2b_c的形式,这就是二次函数的一般形式.2.二次函数表达式的几种形式:〔1〕y=a_2;〔2〕y=a_2+k;〔3〕y=a(_+h)2;〔4〕〔5〕y=a_2+b_+c(a0).y=a(_+h)2+k;3.二次函数表达式的形式及对称轴.顶点坐标.〔1〕一般式:ya_b_c(a.b.c为常数,a0〕,其对称轴为直线_=-2b,顶点2ab4ac-b2坐标为-,.2a4a〔2〕顶点式:y=a(_+h)+k(a.h.k为常数,a0〕,其对称轴为直线_=-h,顶点坐标为-h,k.〔3〕交点式:y=a_-_1_-_2,其中a0,_1._2是抛物线与_轴两个交点的横坐标,即一元二次方程a_-_1_-_2=0的两个根.4.二次函数图像之间的平移关系1向上〔k>0〕或向下〔k0〕或向下〔k0〕或向下〔k0a对称轴顶点坐标直线_=-b2a 直线_=-b2ab4ac-b2-,2a4a当_-小;当_-大;b4ac-b2-,2a4a当_-大;性质增减性b 时,y随_的增大而减2ab时,y随_的增大而增2ab时,y随_的增大而增2ab时,y 随_的增大而减2a当_-小;最值当_=-b时,y有最小值,2a当_=-b时,y有最大值,2a4ac-b2y最小值=4a〞,〞p〞:{“h〞:19.298,〞w〞:9.111,〞_〞:407.786,〞y〞:455.644,〞z〞:象而具体了.7.抛物线的平移与解析式的变化.抛物线上最重要的点是它的顶点,最重要的线是它的对称轴,抛物线的平移首先表现为对称轴和顶点的平移.在抛物线y=a_-h+k中,令_-h=0易得对称轴为直线_=h,抛物线向右〔左〕平移那么对称轴也向右〔左〕平移,h的值将随之增大〔减小〕,反之也成立;抛物线上〔下〕平移,对称轴不会改变,即顶点的横坐标h的值不变,但顶点的纵坐标k的值将随之增大〔减小〕,反之也成立.抛物线的平移不会改变抛物线的形状,即a不变.在抛物线y=a_2+b_+c中研究平移是很不方便的,要先将y=a_2+b_+c的形式转化成2y=a(_-h)2+k再研究.抛物线平移的题型一般有以下几种:〔1〕抛物线的解析式,求平移后抛物线的解析式.例1将抛物线y=-3(_-1)2-3先向左平移2个单位,再向上平移5个单位,所得抛物线的解析式为.〔2〕平移后抛物线是解析式,求原抛物线的解析式.例2将抛物线y=a(_-h)2+k先向左平移5个单位,再向下平移4个单位后所得抛物线为y=-12_+2-3,那么原抛物线的解析式为.222〔3〕平移前后抛物线的解析式,求平移的方式.例3将抛物线y=-2_-2-5经过怎样的平移,可得抛物线y=-2_+4+3?8.图像共存问题的解法解决此类问题的关键是分析两函数的解析式有什么共同的特点,从这些特点入手,在利用抛物线的顶点位置和开口方向.双曲线所在象限.直线所在象限加以判断,决定取舍.例函数y=a_与函数y=a_+a在同一直角坐标系中的图像大致为〔〕A.B.C.D.29.抛物线的对称性的妙用.二次函数的图像是一条抛物线,其具有轴对称性.假设设抛物线上两个对称点的坐_+_标为_1,y1._2,y2,那么一定有y1=y2,且该抛物线的对称轴为直线_=12,利用它2可以简便.快捷地解决相关问题.例:二次函数y=a_2+b_+c的局部对应值如下表:_y……-37-200-81-93-557……二次函数y=a_2+b_+c的图形的对称轴为直线_=;_=2对应的函数值y=.【典型例题分析】题型一利用图像求二次函数y=a_2+b_+c的增减性例1二次函数y=-12_+_+4.2〔1〕试确定抛物线的开口方向.顶点坐标和对称轴;〔2〕_为何值时,y有最大〔小〕值?〔3〕求出抛物线与两坐标轴的交点;1〔4〕画出函数图形的草图,并说明该图像是y=-_2经过怎样的平移得到的; 2〔5〕根据图像答复,当_取何值时,y>0?y=0?y题型三二次函数与几何知识的综合应用例3如下图,某场地为一直角三角形,∠C=90°,AC=6m,BC=12m,现在要对四边形ABPQ进行装修,装修费为50元/m,且四边形ABPQ的边AQ为PC的一半,问怎样设计四边形ABPQ才能使装修费最少?2B例4如下图,二次函数y=-_2+a_+b的图形与_轴交于PCQA1A-,0.B2,0两点,且与y轴交于点C,求该抛物线的解析2式,并判断△ABC 的形状.题型四二次函数与其他函数的综合应用例5二次函数y=a_+b_+c的图像如下图,反比例函数y=在同一坐标系中的大致图像可能是〔〕2a与正比例函数y=b+c__A.B.C.D.题型五二次函数在生活.生产中的应用例6王亮同学善于改良学习方法,他发现对解题过程进行回忆反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间_〔单位:分钟〕与学习收益量y的关系如图甲所示,用于回忆反思的时间_〔单位:分钟〕与学习收益量y的关系如图乙所示〔其中OA是抛物线的一局部,A为抛物线的顶点〕,且用于回忆反思的时间不超过用于解题的时间.〔1〕求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间_的函数解析式,并写出自变量_的取值范围;〔2〕求王亮回忆反思的学习收益量y与用于回忆反思的时间_之间的函数解析式;〔3〕王亮如何分配解题和回忆反思的时间,才能使这30分钟的学习收益总量最大?〔学习收益总量=解题的学习收益量+回忆反思的学习收益量〕y4O2_甲例7甲车在弯路做刹车试验,收集到的数据如下表所示:速度_/〔kmh〕10510152025…刹车距离y/m034215416354…〔1〕请用上表中的各对数据〔_,y〕作为点的坐标,在如图所示的坐标系中画出刹车距离y〔m〕与速度_〔kmh〕的函数图像,并求函数的解析式;〔2〕在一个限速为40kmh的弯路上,甲.乙两车相向而行,同时刹车,但还是相撞了,事后测得甲.乙两车刹车距离分别为12m和10.5m,又知乙车刹车距离y〔m〕与速度_〔km/h〕满足函数y析相撞原因.11_,请你就两车速度方面分4题型六二次函数与图形变换相结合例8如下图,在矩形ABCD中,BC=acm,AB=bcm,ab,且a.b是方程8-4_2_+3+=1的两个根.P是BC上一动点,动点Q在PC或_(_+5)_+5其延长线上,BP=PQ,以PQ为一边的正方形为PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动.设BP=_cm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠局部的面积为ycm. 〔1〕求a.b的值;〔2〕分别求出0_2和2_4时,y与_之间的函数关系式.2SADRBPCQ。
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1
建桥初四 9 月 11 日数学《二次函数对称性增减性练习》课堂学案
【典例】抛物线 y = ax 2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应如下，从表可知：
x … -2 -1
0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
下列说法: ①抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ②函数的最大值为 6 ③抛物线
1
的对称轴是直线 x= ，④在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，正确的有
2
【跟踪训练】、1、已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x
… - 1
0 1 3 … y
…
-3
1
3
1
…
则下列判断:①抛物线开口向上， ②抛物线与 y 轴交于负半轴，
③当 x ＝4 时， y ＞
0 ，
④方程 ax 2 + bx + c = 0 的正根在 3 与 4 之间.
其中正确的是 （只填写序号）
2、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）中，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： 请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、
、
【巩固练习】
1、已知抛物线 y = a (x -1)2 + h (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A (x ，0)，B (3，0) 两点，则线段 AB 的长 度为（ ）
2、抛物线 y = a (x + 1) 2 + 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标
是(
)
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
3、抛物线 y = -x 2 + bx + c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则的取值范围是（ ）
A . - 4 < x < 1
B . - 3 < x < 1
C . x < -4 或 x > 1
D . x < -3 或 x > 1
4、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是
x … 0 1
2
3 2 5 2
… y … 1 7
4
7 4 - 1 4
…
2 y
3
P
– 1 O 1
3 x
( )A ．(0.5，0) B ．(1，0) C ．(2，0) D ．(3，0)
5、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明 说：a=1；小颖说：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2．你认为四人的说法中，正确的有(
)
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
6、如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a > 0) 的对称轴是直线 x = 1，且经过点
P （3，0）则 a - b + c 的值为 ( )
7、已知函数 y = - 1 x 2 - 3x - 5
，设自变量的值分别为x ，x ，x ，且-3< x < x <x ，则对
2 2
应的函数值的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3 A ．y 3>y 2>y 1
B ．y 1>y 3>y 2
C ．y 2<y 3<y 1
D ．y 3<y 2<y 1
8、小明从右边的二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象中，观察得出了下面的五条信息：① a < 0 ，② c = 0 ，③函数的最小值为 -3 ，④当 x < 0 时， y > 0 ， ⑤当0 < x 1 < x 2 < 2 时， y 1 > y 2 ．你认为其中正确的个数为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4
Ｄ．5
9、若 A (-
13
, y ), B (-1, y ), C (5
, y ) 的为二次函数 y = -x 2 - 4x + 5 的图像上的
4 1 2
3 3
三点，则 y 1, y 2, y 3 的大小关系是（ ）
A . y 1<y 2<y 3
B . y 3<y 2<y 1
C . y 3<y 1<y 2
D . y 2<y 1<y 3
1 10、小颖在二次函数 y =2x 2+4x +5 的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(
，y 2)，(－3
2
1 ，y 3)，则你认为 y 1，y 2，y 3 的大小关系应为（
） 2
A . y 1>y 2>y 3
B . y 2>y 3>y 1
C . y 3>y 1>y 2
D . y 3>y 2>y 1
11、已知函数 y =3x 2-6x +k 的图象经过点 A (0.85,y 1)，B (1.1,y 2),
C ( ,y 3),则有(
)
A . y 1<y 2<y 3
B . y 1>y 2>y 3
C . y 3>y 1>y 2
D . y 1>y 3>y 2
1 12、已知二次函数 y = -x
2 + 8x - 6 ,设自变量 x 分别为 x , x , x 3
，且 4 < x 1 < x 2 < x 3 ，
则对应的函数值 y 1 , y 2 , y 3 的大小关系是（
）
A. y 1 < y 2 < y 3
B. y 2 < y 3 < y 1
C. y 3 < y 2 < y 1
D. y 1 < y 3 < y 2
2。