解答题模块训练26~30答案

A BCDEFG解答题模块训练26答案：1.如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，ACBD G =．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ；（Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积． 解析：（Ⅰ）证明：AD ⊥平面ABE ，//AD BC ．∴BC ⊥平面ABE ， 则AE BC ⊥．又BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥．∴AE ⊥平面BCE ． （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点．BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =．∴F 是AC 中点．在AEC ∆中，//FG AE ，∴//AE 平面BFD ． （Ⅲ）解法一：//AE 平面BFD ，∴//AE FG ，而AE ⊥平面BCE ．∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ．G 是AC 中点，∴F 是CE 中点．∴FG //AE 且112FG AE ==．BF ⊥平面ACE ，∴BF CE ⊥． ∴Rt BCE ∆中， 122BF CF CE ===．∴12212CFB S ∆=⋅⋅=．∴1133C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=．解法二：111111444323C BFG C ABE A BCE V V V BC BE AE ---==⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=． 2．如图，现在要在一块半径为1m ．圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M ,N 在OB 上，设∠BOP ＝θ， 平行四边形MNPQ 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．解：在△OPQ 中， OQ sin θ＝PQ sin(60º－θ)＝OP sin120º＝23，∴ OQ ＝23sin θ，PQ ＝23sin(60º－θ) ∴SMNPQ＝2S △OPQ ＝OQ ·PQ ·sin120º＝23sin θ·sin(60º－θ)＝33cos(2θ－60º)－36∵0＜θ＜60º∴－60º＜2θ－60º＜60º∴12＜cos(2θ－60º)≤1∴0＜S ≤36∴θ＝30º时，S 的最大值为363．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=，（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②，②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．4．某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d （d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a 1, a 2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r （r >0）,那么, 在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a 1（1+r ）n －1，第二年所交纳的储备金就变成 a 2（1+r ）n －2，……. 以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证T n =A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列.解：（I ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n （II ）2,11≥=n a T 对反复使用上述关系式，得=++++=++=---n n n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221;PABOQ,)1()1()1(12211n n n n a r a r a r a +++++++--- ①在①式两端同乘1+r ，得).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n n n ++++++++=+-- ② ②－①，得,)1(]1)1[()]1()1()1[()1(1211n n n nn n n n a r a r r rda r r r d r a rT -++--+=-++++++++=-- ,,,)1(.)1(21212121n n n n n n n n B A T n r d rd r a B r r d r a A r d r a n r dr r d r a T +=-+-=++=+--++=则如果记即 .,||;)0(1,)1(||2121为公差的等差数列首项是以为公比的等比数列以为首项是以其中r dr d r d r a B r r r r dr a A n n --+->+++ 5．设]1,1[-=A ，]22,22[-=B ，函数12)(2-+=mx x x f ， （1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当)(B A C ⊆时，求实数m 取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有)1()1(x f x f -=+成立，试求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）设mx x a x x g ---=2||)( ()a ∈R ，求)()(x g x f +的最小值．解：（1）]1,1[-=B A ，因为B A C ⊆，二次函数12)(2--=mx x x f 图像开口向上，且082>+=∆m 恒成立，故图像始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标]1,1[,21-∈x x ，当且仅当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥≥-1410)1(0)1(m f f ，………4分，解得：11≤≤-m ………5分（2）对任意R x ∈都有)1()1(x f x f -=+，所以)(x f 图像关于直线1=x 对称，所以14=-m，得4=m ．7分所以3)1(2)(2--=x x f 为]22,22[-上减函数． 22)(min -=x f ；22)(max =x f ．故B x ∈时，)(x f 值域为]22,22[-． (9)分（3）令)()()(x g x f x +=ϕ，则1||)(2--+=a x x x ϕ （i ）当a x ≤时，45)21(1)(22-+-=-+-=a x a x x x ϕ，当21≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为1)(2-=a a ϕ．若21>a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a +-=45)21(ϕ，且)()21(a ϕϕ≤．………12分（ii ）当a x ≥时，函数45)21(1)(22--+=--+=a x a x x x ϕ，若21-≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a --=-45)21(ϕ，且)()21(a ϕϕ≤-，若21->a ，则函数)(x ϕ在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x ϕ在),[+∞a 上的最小值为1)(2-=a a ϕ．…………………………15分 综上，当21-≤a 时，函数)(x ϕ的最小值为a --45，当2121≤<-a 时，函数)(x ϕ的最小值为12-a 当21>a 时，函数)(x ϕ的最小值为a +-45． …………………………16分 6．设函数f(x) = x 2+ bln(x+1),（1）若对定义域的任意x ，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b 的值；（2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(n＜k f nk ++++∑=都成立 解：（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4.（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x)≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立。

若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b≥-2x 2-2x = 21)21(22++-x 恒成立,由此得b≥21;若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b≤0,即b≤-(2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立。

综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21。

解答题模块训练27答案:1．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，()BC x y =, , ………2分 因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， …6分 因为AC BD ⊥，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，②………8分 由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …12分 当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形…14分 所以，四边形ABCD 的面积为16．2．解答：（Ⅰ）证：因为PA⊥AD,PA⊥AB,A AD AB =⋂，所以PA ⊥平面ABCD 4分 （Ⅱ）证：因为CD PB BC 2==,A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，又E 为BC 边的中点，所以AE⊥ED。