解答题模块训练26~30答案

A B

C

D

E

F

G

解答题模块训练26答案：

1.如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，

F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，AC

BD G =．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ；（Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积． 解析：（Ⅰ）证明：AD ⊥平面ABE ，//AD BC ．

∴BC ⊥平面ABE ， 则AE BC ⊥．又

BF ⊥平面ACE ，

则AE BF ⊥．∴AE ⊥平面BCE ． （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点．BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，

而BC BE =．∴F 是AC 中点．在AEC ∆中，//FG AE ，∴//AE 平面BFD ． （Ⅲ）解法一：

//AE 平面BFD ，∴//AE FG ，而AE ⊥平面BCE ．

∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ．G 是AC 中点，∴F 是CE 中点．

∴FG //AE 且1

12

FG AE =

=．BF ⊥平面ACE ，∴BF CE ⊥． ∴Rt BCE ∆中， 1

2

2

BF CF CE ===．

∴

1

2212

CFB S ∆=

⋅⋅=．∴

11

33

C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=．

解法二：111111444323

C BFG C ABE A BCE V V V BC BE AE ---=

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=． 2．如图，现在要在一块半径为1m ．圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M ,N 在OB 上，设∠BOP ＝θ， 平行四边形

MNPQ 的面积为S ．

（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．

解：在△OPQ 中， OQ sin θ＝PQ sin(60º－θ)＝OP sin120º＝23，∴ OQ ＝23sin θ，PQ ＝2

3

sin(60º

－θ) ∴S

MNPQ

＝2S △OPQ ＝OQ ·PQ ·sin120º＝

2

3

sin θ·sin(60º－θ)＝33cos(2θ－60º)－3

6

∵0＜θ＜60º∴－60º＜2θ－60º＜60º∴12＜cos(2θ－60º)≤1∴0＜S ≤3

6

∴θ＝30º时，S 的最大值为36

3．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，

5313a b +=，（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．

解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4

2

12211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，

，

解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，1

12n n n b q --==．

（Ⅱ）

1212n n n a n b --=．122135

2321

122

22

n n n n n S ----=++++

+，① 325

2321

2232

22n n n n n S ----=++++

+，

②

，

②

－

①

得

22

1

22

221

222222

n n n n S ---=++

+++-

， 22111

12122122

22n n n ---⎛⎫=+⨯+++

+- ⎪⎝⎭1111212221212

n n n ---

-=+⨯--123

62n n -+=-．

4．某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d （d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a 1, a 2, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r （r >0）,那么, 在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a 1（1+r ）n －1

，第二年所交纳的储备金就变成 a 2（1+r ）n －2

，……. 以

T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）

求证T n =A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列.

解：（I ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n （II ）2,11≥=n a T 对反复使用上述关系式，得

=++++=++=---n n n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221;

P

A

B

O

Q

,)1()1()1(12211n n n n a r a r a r a +++++++--- ①

在①式两端同乘1+r ，得).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n n n ++++++++=+-- ② ②

－

①

，得

,)1(]1)1[()]1()1()1[()1(1211n n n n

n n n n a r a r r r

d

a r r r d r a rT -++--+=

-++++++++=-- ,,,)1(.)1(2121212

1n n n n n n n n B A T n r d r

d r a B r r d r a A r d r a n r d

r r d r a T +=-+-=++=+--

++=

则如果记即 .

,||;)0(1,)1(||2121为公差的等差数列首项是以为公比的等比数列以为首项是以

其中r d

r d r d r a B r r r r d

r a A n n --+->+++ 5．设]1,1[-=A ，]2

2

,22[-

=B ，函数12)(2-+=mx x x f ， （1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当)(B A C ⊆时，求实数m 取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有)1()1(x f x f -=+成立，试求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）设mx x a x x g ---=2

||)( ()a ∈R ，求)()(x g x f +的最小值．

解：（1）]1,1[-=B A ，因为B A C ⊆，二次函数12)(2

--=mx x x f 图像开口向上，且082>+=∆m 恒成立，故图像始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这两个交

点横坐标]1,1[,21-∈x x ，当且仅当：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<-<-≥≥-1410)1(0

)1(m f f ，………4分，解得：

11≤≤-m ………5分

（2）对任意R x ∈都有)1()1(x f x f -=+，所以)(x f 图像关于直线1=x 对称，所以14

=-m

，得4=m ．7分

所以3)1(2)(2

--=x x f 为]2

2,22[-

上减函数． 22)(min -=x f ；22)(max =x f ．故B x ∈时，)(x f 值域为]22,22[-． (9)

分