2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 Word版含答案
2018年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考答案
二、填空题 1．已知实数 a, b, c, d 满足 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5，则(abcd)2018=______． 答：1． 解：化 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5 为对数，有 ln 4 ln 3 ln 2 ln 5 ， a log5 4 , b , c , d ln 5 ln 4 ln 3 ln 2 所以
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 2页 共6页
6 ． 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 存 在 两 不 等 实 数 x1, x2 R ， 使 得 x +x f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称函数 f (x)具有性质 P．那么以下函数： f( 1 2) 2 2
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 4页 共6页
6. 在 3×3 的“九宫格”中填数， 使每行、 每列及两条对角线上 的三数之和都相等，有 3 个方格已经填的数分别为 4, 7, 2018，如右 图，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和为______． 答：−11042.5． 解： 将其余 6 个格子标上字母， 如右下图， 由 a+2018+b=4+7+b
1 ( x 0) ① f ( x) x ； 0 ( x 0)
② f ( x) x 2 ；
③ f ( x) x 2 1 ；
④ f ( x) x3
中，不具有性质 P 的函数为 （A）①． 答：B． 解：具有性质 P 的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中 一个是另外两个交点的中点. 画图可知①、③、④都是具有性质 P 的函数，②不具备有 三个交点，②是不具有性质 P 的函数 （B）②． （C）③． （D）④．
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
北京市高一数学竞赛(解析版)
北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。
北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。
祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。
以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________ 校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚ 1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于 ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2.0000cos31,tan 46,sin81,sin113的大小关系是﹙A ﹚0000cos31tan 46sin81sin113<<<.﹙B ﹚000sin81cos31sin113tan 46<<<.﹙C ﹚0cos31sin113sin81tan 46<<<.﹙D ﹚0000tan 46sin81cos31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a a θ+=成立，则6cos πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值是﹙A 32 ﹙B ﹚12. ﹙C ﹚32 ﹙D ﹚12-.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A ﹚21004 ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚22008. ﹙D ﹚2008.6.23456cos0cos cos cos cos cos cos777777ππππππ++++++等于﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二 、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos 2αα+=3tan πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值.3.在右图的圆中，弦,AB CD 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin2sin3sin4sin5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形ABC 斜边AB 29x y 0 ﹙A ﹚ x y 0 ﹙B ﹚ x y 0 ﹙C ﹚ xy0 ﹙D ﹚计算AB AC BC BA CA CB ++⋅⋅⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r .6.已知集合{}{}22,68070x xx x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅I ，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形ABC 的边,,AB BC CA 为直径画圆，如图所示. 已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在 三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三 角形ABC 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500n k =+成立.试确定不小于lg lg k n的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos31sin59︒=︒，sin113sin67︒=︒ sin59sin67sin811tan 46︒<︒<︒<<︒4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅==6.D 【解析】注意到：162534cos cos cos cos cos cos 0777777ππππππ+=+=+=因此有：原式＝11.()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5loglog log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=- 2.sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan 2tan 234343k πππππαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.2tan 3AE ADE DE ∠==，6tan 23BE BDE DE ∠===223tan 8sin 2123ADB ADB +∠==-⇒∠=-⨯28652658sin 465AB R S R ADB ππ===⇒==∠ 4. sin1、sin 2、sin3(0,1)∈， sin 4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB ++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r6.{|24}A x x =<<，记2()7f x x ax =-+，欲使A B φ≠I 需且只需：(2)(4)0f f <或0(2)0(4)0242f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有23274a ≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x ，白色区域面积为y ，三个半圆的面积之和为S ，则：1()232S w y x u w u S y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩ 8. 当n ＝ 1、2、3、4时，k 非正整数，当5n ≥时，有()44252500554n n k -+=⨯+= 此时有4225|5|k k ⇒，令25()k t t N =∈，有424545(2)(2)n n t t t --+=⇔=+⨯-，存在α、N β∈，αβ>，使得5225455t t αβαβ=+>-=⇒=- 若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg 22513225,5lg lg5k t k n n α=⇒=⇒==⇒=注意到lg125lg 225lg 62534lg 5lg 5lg 5=<<=，lg 2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。
2010年北京市中学生数学竞赛初赛(高一)
一 一 — ４ ５
由题意知 曲线过点（ ，）故 ｃ ０ ＝ ． ００ ， ）０
（） ， ｃ ｑ 旦
（ Ｔ Ｐ Ｄ）－ －
，
，＝ ｘ与函数 ，ｋ
ｒ ＋４， ２ ＜ 一３；
３ 已知 Ｐ是 Ａ Ａ Ｃ所在 平 面上 一 点 ， ． Ｂ 满 足 ＋ ＋Ｐ‘ ２Ａ Ｉ ｃ ６， Ｊ 口 Ｃ＝ Ｂ 若 ｓ ． ８ ＝ 则 ｓ
—－ … ——— 呻
（ ） ． （ 旦 ，－ Ａ） Ｊ 巳
图１
点 ， Ｂ ＝１ Ｃ ＝１ ， Ｅ Ａ ４， Ｅ ３ Ｄ １ ， Ｆ上 Ｄ 于 点 Ｆ， ５Ｃ Ｅ 联 结 Ａ Ｂ ． Ａ Ａ Ｆ的 Ｆ、 Ｆ 求 Ｂ
＝
Ａ
Ｅ
Ｂ
（） 旦 Ｂ卫
，
面 积．
图２
ｍ
／ ｔ ＇
４ 在 同一 个 直 角 坐 标 系 中 ， 知 直 线 ． 已
又 Ｃ是锐 角 ， 则
ｓｎ ｃ ＝ ｉ ≤
／Ｎ ＭＣ的度数 ．
酉 ＝．
）
参 考 答 案
— —
、
１ Ｃ． ．
由 意 ，给 数 最 正 为 ， 题 知题 函 的 小 根 詈而
奇 函数 的必 要 条 件是 在 原 点 的 函数 值 为 ０ ，
ｆ２ ２ 一 ） ÷ ＋ Ｊ 一
． ， ，
（ ）一３ ． Ｃ ０５
ｌ了 ＋ Ｔ 了 ５＋ 丁 ＋ 丁 ｏ ２ ， ３＋ ４＋ ｇ ， ， ６ ７ ， ， 了 Ｔ 了 丁 丁
厶承——
的值 ． ３ 如 图 ２， 长 方 形 ． 在 Ａ Ｃ 中， 为边 Ａ ＢＤ １且其 图像 过点 （ ０ ， ， ２，）则
值是 （ ） 。
2015年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答-
槡１３ 槡１５ 槡１７ 槡１９ ４２２０１５年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答一、选择题（满分３６分）１．设集合 Ａ＝ ｛ａ２＋２０１５｜ａ∈Ｎ｝，Ｂ＝ ｛ｂ２＋１５｜ｂ∈ Ｎ｝，则 Ａ∩Ｂ 中的元素个数为（）． （Ａ）６（Ｂ）７（Ｃ）８（Ｄ）９３．如图１，在４×５ 的正方形网格中，点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 都是格点，ＡＢ 与ＣＤ 相交于点Ｐ，则ｃｏｓ∠ＢＰＤ 的值等于（ ）．答：（Ａ）．解 由ａ２＋２０１５＝ｂ２＋１５，得 ｂ２－ａ２＝（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝２０００＝２４×５３． 因为 ２０００＝１×２０００＝２×１０００＝４×５００＝５×４００＝８×２５０＝１０×２００ ＝１６×１２５＝２０×１００＝２５×８０ ＝４０×５０．又ｂ＞ａ 且ｂ＋ａ 与ｂ－ａ 同奇偶，所以只有２×１０００＝４×５００＝８×２５０＝１０×２００＝ （Ａ）（Ｃ）答：（Ｃ）．（Ｂ）（Ｄ）２０×１００＝４０×５０六组有正整数解． ２．若二次函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像经过原点，且对任意的ｘ∈Ｒ 都有ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２ 恒成立，则ｆ（ｘ）的解析式为（）．图１ 图２解 如图２，取格点Ｅ，连接ＥＡ、ＥＢ，则 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＣＤＡ＝４５°， （Ａ） （ｘ）＝ －１ ２＋ １ 所以 ＡＥ∥ＣＤ．ｆ （Ｂ） （ｘ）＝ １ ｘ ｘ４ ２２－ １ 所以 ∠ＢＰＤ＝ ∠ＢＡＥ．ｆｘ ｘ ４ ２ 易见 ∠ＡＥＢ＝９０°，ＡＥ＝槡２，ＡＢ＝ 槡３４． （Ｃ） （ｘ）＝ －１ ２－ １ ＡＥ 槡２ 槡１７ｆｘ ｘ ４ ２ １ ２ １因此 ｃｏｓ∠ＢＰＤ＝ ＡＢ ＝ ＝ 槡３４ １７ ．（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｘ ４ ２ 烄ｘ２－４ｘ＋３，ｘ≤０，４．已知 函数 ｆ（ｘ）＝烅不等式 答：（Ｄ）．烆－ｘ２－２ｘ－１，ｘ＞０， 解 依题意可设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，其中ａ、ｂ 为常数． ｆ（２ｘ＋ａ）＞ｆ（２ａ－ｘ）在［ａ－１，ａ＋１］上恒成立，则实数 因为 ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２，所以 ａ（ｘ＋２）２ ＋ｂ（ｘ＋２）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｘ＋２，化简得 ４ａｘ＋４ａ＋２ｂ＝ｘ＋２．烄４ａ＝１，ａ 的取值范围是（ ）．（Ａ）（－ ∞，－ ３ ） （Ｂ）（－ ３ ，－１ ） ２ ２ ２ （Ｃ）［－１ ，１ ］ （Ｄ）（１ ，＋ ∞） 对比系数可得 烅烆４ａ＋２ｂ＝２ ２ ２ ２答：（Ａ）．于是 ａ＝ １ ，ｂ＝ １．４ ２ 所以 ｆ（ｘ）＝ １ ２＋ １ ．解 由题意可知，函数ｆ（ｘ）在 Ｒ 上单调递减，要想使“不等式ｆ（２ｘ＋ａ）＞ｆ（２ａ－ｘ）在［ａ－１，ａ＋１］上恒成 ｘｘ 立”，只需ｘ∈［ａ－１，ａ＋１］时，２ｘ＋ａ＜２ａ－ｘ 总成立，即 ，１ １ ２ ２０１５ ＝ １ ２ １ ２ ！ ２ １１ ２ ４ １ｘ＜ ａ ，于是，只需ａ＋１＜ ａ ，所以ａ＜ － ３． ．３ ３ ２答：１２．５．二次三项式ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ 具有两个实根ｔ１ ４解 设ＰＭ＝ｘ，ＭＮ＝ｙ，则 ｙ ＝ ， 和ｔ２，甲将ｆ（ｘ）的一次项系数变为ａ＋ｔ１，将常数项变为 ５－ｘ ５－３ｂ－ｔ２，构成二次三项式ｆ１ （ｘ）；乙将 ｆ（ｘ）的一次项系数 即 ｙ＝２（５－ｘ）．变为ａ－ｔ２，将常数项变为２ｂ，构成二次三项式ｆ２（ｘ）．则 （）．（Ａ）ｆ１（ｘ）具有实根，ｆ２（ｘ）没有实根 （Ｂ）ｆ１（ｘ）没有实根，ｆ２（ｘ）具有实根 （Ｃ）ｆ１（ｘ）具有实根，ｆ２（ｘ）具有实根 （Ｄ） （ｘ）没有实根， （ｘ）没有实根 长方形ＰＭＮＤ 的面积Ｓ（ｘ）＝２ｘ（５－ｘ）， 所以 Ｓ（ｘ）＝ －２（ｘ－２．５）２＋１２．５，而ｘ∈［３，５），所 以当 ｘ＝３ 时，Ｓ（ｘ）有 最大值， ｍａｘ｛Ｓ（ｘ）｝＝Ｓ（３）＝１２．２．记２０１５！＝１×２×３× … ×２０１５，求 １ ＋ｆ１ ｆ２答：（Ｃ）． 解 根据韦达定理，由ｔ１、ｔ２是二次三项式ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ａｘ＋ｂ 的两个实根，有 ａ＝ －ｔ１ －ｔ２ ，ｂ＝ｔ１ｔ２ ，则 ｆ１（ｘ）＝ｘ２－ｔ２ｘ＋（ｔ１ｔ２ －ｔ２），方程ｆ１ （ｘ）＝０ 的判别式为Δ＝ｔ２－４ｔ１ｔ２ ＋４ｔ２＝（２ｔ１ －ｔ２）２≥０，这意味ｆ１（ｘ）具有实根．ｌｏｇ２２０１５ １ ＋… ＋ １ 的值 ．ｌｏｇ３２０１５！ ｌｏｇ２０１５２０１５！ 答案：１． 解 １ ＋ １ ＋… ＋ １ ｌｏｇ２２０１５！ ｌｏｇ３２０１５！ ｌｏｇ２０１５２０１５！ ＝ｌｏｇ２０１５！２＋ｌｏｇ２０１５！３＋ … ＋ｌｏｇ２０１５！２０１５ 而ｆ （ｘ）＝ｘ２－ （ｔ ＋２ｔ ）ｘ＋２ｔｔ ，方程 （ｘ）＝０ ＝ｌｏｇ２０１５！２０１５！＝１． 的判别式为Δ＝ｔ２ －４ｔ１ｔ２ ＋４ｔ２ ＝（ｔ１ －２ｔ２ ）２ ≥０，这意味着ｆ２（ｘ）具有实根． ３．如 图 ４，在 △ＡＢＣ 中，ＢＣ＝ ａ，ＡＣ＝ｂ，在∠Ｃ 的平分线ＣＥ 的反 ６．已知函数 ｆ（ｘ）＝１＋ １ ，又ｆ１ ｘ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ２（ｘ） 向延长线上取点Ｄ ，使得∠ＡＤＢ＝ １ ∠ＡＣＢ，求线段ＣＤ 的长． ＝ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｆ（ｘ））），则ｆ１（２０１５）·ｆ２（２０１５）· ｆ３（２０１５）的整数部分是（ ）． （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５答：（Ｂ）．２解 记 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＢＣＥ ＝∠ＡＤＢ＝θ， 图４ 解 由 （ｘ）＝１＋ １ ，得 （ｘ）＝ （ｘ） ｘ＋１，则 ＣＡＤ ， ｆ ｘ ｆ１ ｆ ＝ ｘ∠ ＋∠ＡＤＣ＝θ＝ ∠ＡＤＣ＋ ∠ＢＤＣ 所以（ ） ２０１６，由此得 ∠ＣＡＤ＝ ∠ＢＤＣ． ｆ１ ２０１５ ＝ ２０１５ ｆ２（２０１５）＝ｆ（ｆ１（２０１５））＝ｆ（２０１６） ４０３１， ２０１６ 考虑到 ∠ＡＣＤ＝１８０°－θ＝ ∠ＢＣＤ， 所以 △ＡＣＤ∽ △ＤＣＢ． 因此 ＡＣ∶ＣＤ＝ＣＤ∶ＢＣ． ｆ３（２０１５）＝ｆ（ｆ２（２０１５））＝ｆ（４０３１） ６０４７２０１６ ＝ ０３ ．所以 ｆ１（２０１５）·ｆ２（２０１５）·ｆ３（２０１５） 所以 ＣＤ＝ 槡ＢＣ·ＡＣ＝ 槡ａｂ． ４．正数ｘ，ｙ，ｚ 满足ｘ２ ＋ｙ２ ＝９，ｙ２ ＋ｚ２ ＝１６，ｙ２ ＝ ２０１６ ４０３１ ６０４７ ６０４７ ２ｘｚ，确定ｘｙ＋ｙｚ 的值． ＝ × × ＝ ＝３ ． ２０１５ ２０１６ ４０３１ ２０１５ ２０１５因此ｆ１（２０１５）·ｆ２ （２０１５）·ｆ３（２０１５）的整数部分是３．二、填空题（满分６４分） １．在 直角梯形 ＡＢＣＤ 中， ∠ＢＡＤ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＢ＝３， ＡＤ＝４，ＤＣ＝５，如图３，求内接 长方 形 ＰＭＮＤ 的最 大 面 积 图３答：１２． 解 由第一个方程可以得出，数ｘ，ｙ，３ 是直角为 Ｄ的直角三角形ＡＢＤ 的直角边和斜边，由第二个方程得出，数ｙ，ｚ 和４是直角为 Ｄ 的直角三角形ＢＣＤ 的直角边和斜边，由第三个方程得出，数ｙ 是数ｘ 和ｚ 的比例中项．根据在直角三角形中比例线段的逆定理，得∠ＡＢＣ答：槡ａｂ． ｆ２ａ ａ ２０１５ １ ，＝ ６ ２ ＝ ３ －是直角．＝ａ２＋２０１４·２＋ １ ＋ １ ＋… ＋ １ ＋１ ， １ 上述关系可以构成图５，则 ２ ２ ２ １ ２ ２０１３ ２ ２０１４ ｘｙ＋ｙｚ＝ （ｘ＋ｚ）ｙ＝２Ｓ△ＡＢＣ 一方面，ａ２＞ａ２＋２×２０１４＝４１２８＞４０９６＝６４２， ＝３×４＝１２．另一方面，ａ２＜ａ２ ２０１４４１２８＋２１＝５．写出数２２０１５的数字和 Ｓ１，图５４１４９＜６４．５２．２０１５ １＋２×２０１４＋ １０２＜ 再写出数Ｓ１ 的数字和Ｓ２，依次这样写下去，直写到Ｓｋ－１ 所以 ６４＜ａ２０１５ ＜６４．５． 的数字和Ｓｋ 是一位数ａ 为止，确定ａ 的值．所以与ａ２０１５ 最接近的整数６４． 答：５．解 注意到对自然数ｎ 和它的数字和Ｓ（ｎ）满足ｎ ≡Ｓ（ｎ）（ｍｏｄ９）． 方法 １ ２２０１５ ＝ （２６ ）３３５· ２５ ≡１· ２５ ≡ ３２ ≡ ５（ｍｏｄ９），所以ａ＝５． 方法２ 由于８≡ －１（ｍｏｄ９）， 因此 ２２０１５＝ ８６７１· ２２≡ （－ １）６７１· ４≡ － ４≡ ５（ｍｏｄ９）， 所以ａ＝５．６．由正五边形 ＡＢＣＤＥ 的对角线相交构成新的正五边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′（如图６）．正五边 形 ＡＢＣＤＥ 的面积为４平方厘 ８．如图７，已知动点Ｐ 在边长为３ 的正方形 ＡＢＣＤ 内部（包括边界），且满足ＰＡ∶ＰＢ＝２∶１．试确定点Ｐ 的轨迹与正方形的边所围成的较小一块图形的面积．２π 槡３ 图７３ － ２．解 若Ｐ 在边ＡＢ 上的Ｅ 点，则 ＡＥ＝２，ＥＢ＝１，由条件，对于△ＡＰＢ，总有ＰＡ ＡＥ ＰＢ ＢＥ即ＰＥ 是∠ＡＰＢ 的平分线．又因为∠ＡＰＢ 的内、外角平分线的夹角为９０°，画出∠ＡＰＢ 的外角平分线交直线ＡＢ 于点Ｆ，则∠ＥＰＦ＝ 米，试确定正五边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ ９０°，且有ＰＡ ＰＢ ＡＦ，得ＢＦＡＦ＝２ＢＦ，即Ｆ 是定点． Ｅ′的面积是多少平方厘米．答：１４－６槡５． 于是点Ｐ 在以ＥＦ 为直 图６径的圆上，所 以，点 Ｐ 的轨 解 设五边形 ＡＢＣＤＥ 的边长为ａ，五边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′ Ｄ′Ｅ′的 边 长 为 ｘ，易 得 Ａ′Ｂ ＝ａ－ｘ，且 △ＢＢ′Ａ′ ∽△ＢＣＡ′，得 （ａ－ｘ）２＝ａｘ， 即 （ｘ ）２ －３· ｘ ＋１＝０（ｘ ＜１），迹为ＥＦ 的中点Ｏ 的圆心、 半径为２的圆在正方形内的弧段，与正方形围成的较小 一块图形的面积就是图８中ａ 解得 ｘａ ａ３－槡５， 图８阴影部分的面积．ａ ＝ ２综上，ＡＥ＝２，ＥＢ＝１，ＡＦ＝６，ＢＦ＝３，ＥＦ＝４，ＥＯ＝ ＳＡ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′ ＝（ｘ ）２ ＝（３－槡５）２７－３槡５， ＯＦ＝２，∠ＥＰＦ＝９０°．ＳＡＢＣＤＥ ａ２ ＝ ２当点Ｐ 运动到Ｇ 时，由于ＧＡ＝２ＧＢ，所以∠ＧＡＢ＝ 因为 ＳＡＢＣＤＥ ＝４， 所以 ＳＡ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′ ＝１４－６槡５． ７．一串数ａ ，ａ ，… ，ａ ，… 满足：ａ ＝１０，ａ＝ａ ＋３０°，因此，∠ＧＯＥ＝６０°． 扇形ＯＥＧ 的面积是半径ＯＥ＝２的圆面积的 １ ．１ ２ｎ１ｎ＋１ｎ６ １ ，ｎ∈Ｎ，试确定与ａ２０１５最接近的整数． ａｎ因此所求图形面积＝扇形ＯＥＧ 的面积－ △ＯＢＧ 的 答：６４． 解 ａ２ ＝（ａ＋ １ ）２ ＝ａ２ ＋２＋ １面积＝ １ ·π·２２ － １ ·１·槡３ ２π 槡３． ２０１５２０１４ａ２０１４２０１４２ ２０１４＝ａ２＋２·２＋１ ＋ １（ ２０１３ａ ａ＝ ａ ａ ａ答：２２０１３２２０１４。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年第10届全国中学数理化竞赛高一数学试题答案(初赛)
二、填空题(每题 8 分，共 48 分) 9 9.－2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为 a<0， 1＋2＝－b， {x|1≤x≤2}，所以 b 1×2＝a， 3 a＝－2， 3 9 所以a＋b＝－2－3＝－2. 解得 b＝－3，
y f 0 x 2 的图像，作该图像在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图 3，其中 x 轴
上方的部分即是 f 2 x f1 x 2 的图像．易得所求面积为 7．
y
y
y (1,2) 1
(-1,2)
1
o
x
-1
o
1
x
-3
o
-1
3
x
图1
图2
图3
三、解答题（共 70 分） 13.（23 分）
特级教师 王新敞
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1 1 1 1 对于①，f(x)＝x－x ， f ( ) ＝x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②， f ( ) ＝ x x
1 1 1 x ,0 x 1, x , x 1, 1 1 1 1 不满足 “倒负” 变换； 对于③， f ( ) ＝ 0, 1, 即 f ( ) ＝ 0, x 1, x ＋x＝f(x)， x x x x,0 x 1 1 x , x 1 1 故 f ( ) ＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. x
2019年北京市高一数学竞赛(初赛)试题(pdf版,含答案)
C
F
二、填空题
1．计算
7142853 7142853
2857143 4285713
=________．
答： 7 ． 8
解
1：原式
(714285 285714)(7142852 (714285 428571)(7142852
714285 285714 714285 428571
则满足条件的子集 A 的个数是
（A）8.
（B）7.
（C）6.
（D）5.
答：B.
解：经枚举，各元素之和为 3 的倍数的子集有｛0｝，｛9｝，｛2, 1｝，｛0, 9｝，｛2, 0, 1｝，
｛2, 1, 9｝，｛2, 0, 1, 9｝共 7 个．
2．如图，∠BAF =∠FEB =∠EBC =∠ECD = 90°， ∠ABF = 30°， ∠BFE = 45°，
4．在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110°, sin110°)，B(cos50°, sin50°)，则由
坐标原点 O 到 AB 中点 M 的距离是
y
（A） 1 ． 2
答：选 C．
（B） 2 ． 2
（C） 3 ． 2
（D）1．
A MB
1
1
解：画草图，易知 50 60 .
（A）｛3, 4, 6, 9｝． （B）｛2, 0, 1, 9｝． （C）｛0, 3, 5, 9｝． （D）｛1, 2, 7, 8｝．
2019 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 共 5 页 第 1页
答：D． 解：易知 f (n)的值域为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}， f (f (n))的值域为{1, 2, 7, 8}， f (f (f (n)))的值域是｛1, 2, 7, 8｝．
第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
边顶点到底边的垂直距离为等，在此基础上拼接
厶
以用频数近似概率． 解答模拟一周内是否出现“连续３天下雨” 事件的程序框图和计算机程序是：
出的空心正方形的面积大于以詈为宽、以竺警口
厶 峰
．Ｉ蔚
为长的矩形面积的２倍，即大于半ｎ２，而这已
』ｊ．厅
哇
经大于七巧板整体的面积ｎ２了．这是不能实 现的． 对于图６（１），再考虑正方形４，只能放在一个 角上，如图６（２），这样，空心正方形的面积至少是
图ｌ
图２
圈３
每块板标上数，如图５，其中两个大等腰直角三角
解答 （１）拼接图３的方法见图４．
形１和２，直角边长为譬ｎ，斜边长为口．等腰直角 三角形７的直角边长为号，斜边长为譬口，两个小
等腰直角三角形３和５，直角边长为譬口，斜边长 为号，平行四边形６的短边长为譬ｎ，长边长为
号，四个内角两个为４５。和两个为１３５。．正方形４
２０１４年
第５３卷
第２期
数学通报
４５
第十七届北京高中数学知识 应用竞赛初赛试题及参考解答
一、（满分２０分）在商店，经常见到一些商品 的包装不合适，从商品本身的保质来讲不需要如 此的包装，它既造成浪费，又使消费者增加了支 出，属于过度包装． （１）请给“过度包装”建立一个便于消费者观 察的度量指标； （２）请列举一个具体实例，通过计算，说明你 建立的度量指标能够比较好地刻画“过度包装”的 程度． 解答要点（１）可以显示“过度包装”的指标 很多，如：
图４（１）
图４（２）
的边长为譬口．
如果想拼接出空心正方形，两个大直角三角 形只有一种方法放入空心正方形中，如图６（１）
所呆
数学解释：设日本七巧板拼成的正方形边长 为ｎ，为每块板标上数，如图４（１），其中两个大等
MJT-北京市中学生数学竞赛(高一
北京市中学生数学竞赛（高一）一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果},4,3,1{},5,4,3,2,1{==M S }5,4,2{=N ，那么，I)()(N C M C s s 等于（ ）。
∅)(A }3,1){(B }4){(C }5,2){(D2．已知a 、b 都是整数．命题甲：a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数；命题乙：a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．则( )．(A)甲真，乙假 (B)甲假，乙真 (C)甲真，乙真 (D)甲假，乙假 3．若c 、d 是不共线的两个非零平面向量，则下面给出的四组a 、b 中，不共线的一组是( )．)(2),(2)(d c b d c a A +=+-= d c b d c a B 22,)(+-=-=d c b d c a C 101,524)(-=-= d c b d c a D 22,)(-=+=4．对定义在区间[a ，b]上的函数)(x f ，若存在常数c ，对于任意的],[1b a x ∈有唯一的],[2b a x ∈，使得c x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在[a ，b]上的“均值”为C ．那么，函数x x f lg )(=在[10，100]上的均值为（ ）。
10)(A 101)(B 23)(C 43)(D5．在三角形中，三条边长成等差数列是三边的比为3：4：5的( )。
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(c)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件二、填空题(每小题7分，共35分)1．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如(－1，7)就是一个整点．若直线l 过点)31,21(A 和)51,41(B ，则在l 上与点A 距离最近的整点是______。
2．在△ABC 中，,26+=AB ∠ACB=30°则AC+BC 的最大值是______。
3．2005个实数200521,,x x x Λ满足++-+-Λ||||3221x x x x 1||||1200520052004=-+-x x x x 则||||||200521x x x +++Λ的最小值等于______。
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2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x 2−2∈A, x −2∉A}，则集合B 的所有元素之积为 （A）36．（B ）54． （C ）72．（D ）108． 答：A ．解：由x 2−2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x=±2，，，±3． 又因为x−2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x= −2，，−3． 因此，集合B={−2, ,，−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)()()(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A （B ）2． （C ）1． （D 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ． 因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC=AH=AO=12BK ． 在直角△KCB 中，由KC=12BK ，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan(2BAC∠)= tan30°=3．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x-O-y 中，A, B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C）2． （D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB ，∠AOB=∠ABO=45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ． 设点A(a,1a )，则点B(a +1a , 1a− a)． 因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a − a)=1，即21a−a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，则f (10)−f (−5)= （A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515． 答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)−2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x)−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p)即 f (x) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p)+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p)+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p)−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x)=m 有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >． 答：D ．解：要使方程f (x)=m 有四个不同的实根，必须使得y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m 与函数y=|x|, x ≤a 的图像和y=x 2−4ax+2a, x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y=m 与y=|x|, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y=x 2−4ax+2a, x ＞a顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y=m 与y=x 2−4ax+2a, x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x]表示不超过x的最大整数，设S =++++L，求的值． 答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,, 2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S = (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米． 解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）． 4. 设函数222(1)ln(1)()1x x x f x x ++++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值． 答：2．解：由已知得22ln(1)()1x x x f x +++=+因为2222ln(1)ln(()1())ln[(()1())(()1())]x x x x x x x x +++-++-=-+---++-=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以22ln(()1())ln(1)x x x x -++-=-++， 因此，2ln(1)x x ++是奇函数．进而可判定，函数222ln(1)()1x x x g x x +++=+为奇函数．则g(x)的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘ADNAMBP米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F. 再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C，交射线BE于点D. 再以E为圆心DE为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O, 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，，ED=EC=4−．又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°，因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=18π×42=2π，△AEB的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−)2= 6π−π，卵形¼AFBCDA的面积= 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积−△AEB的面积+直角扇形¼EDC的面积= 2π+2×2π−4+6π−π= (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000xf xx x=-+，求f(1)+f (2)+…+f(100)的值．答：101．解：设g(x) = x2−100x+5000，则g(100−x) = (100−x)2−100(100−x)+5000=1002−200x+x2−1002+100x+5000= x2−100x+5000= g(x)，即g(k) = g(100−k)．所以f(k) + f(100−k) =22(100)()(100)k kg k g k-+-=22(100)()k kg k+-=2，又f(50) =2250=150100505000-⨯+，f(100)22100==2.1001001005000-⨯+所以，f(1)+ f(2)+…+ f(100)= (f(1)+ f(99))+ (f(2)+ f(98))+…+ (f(49)+ f(51))+ f(50)+ f(100)= 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC中，AC = BC = 10，D是边AB上一点，△ACD的内切圆和△BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB的长．答：解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c，由于圆O2的切线长CE = CG，所以BC+a =CD+b = (AC−c+b)+b，而AC = BC，所以a+c = 2b．DACB由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BE AF O E =，即22ac =，由此推出ac = 4．分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=②由①、②两式可得4b =将a+c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即，（负根舍）． 于是，若，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求． 所以AB 的长为．D ACB E G FO 1 O 2· a b b c·。