线性插值与二次插值公式)
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
几种插值法简介
举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
数值分析常用的插值方法
数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。
此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
第一章 第一节 Lagrange插值公式.
Rn
x
M n+1 n +1
max ! axb
n+1
x
Lagrange余项定理在理论上有重要价值，它刻画了 Lagrange插值的某些基本特征。
n
注1 余项中含有因子n+1 x x xi ，如果插值点x 偏离插 i0
值节点xi 比较远，插值效果可能不理想。如何选择节点xi ，
可以证明，插值问题1.1、1.2 的解是存在且唯一的。为了
得到 Lagrange 公式的一般形式，我们先从最简单的一次插 值入手。
二、线性插值
已知：
x
x0
x1
y
y0
y1
求一个一次多项式P1(x) ，使满足
P1(xi ) yi ,i 0,1.
即求过点 x0, y0 , x1, y1 的一次曲线
使
Rn x
f x Pn x
f n+1
n +
1!
n+1
x
1.9
记 M n+1
max
a xb
f n+1 x ，于是由1.9 式可得
或者
Rn
x
M n+1
n +1!
n+1 x
，
1.10
max axb
简单才行。如果仅仅给出了一系列节点上的函数值
f xi yi ,i 0,1, 2,L , n ，则应采用 Lagrange 插值。
如果只提供了 f x 的一些离散值，并没给出具体的分析式 子， 就无法利用公式1.9 估计误差了。下面介绍另一种误差
关节空间轨迹的插值计算
关节空间轨迹的插值计算关节空间轨迹的插值计算是机器人学中的一个重要问题，它可以用于机器人的路径规划和轨迹生成。
在机器人的运动控制中，关节空间轨迹插值的目的是通过一系列关节坐标点的插值来实现机器人的平滑运动。
插值计算的基本原理是通过已知的关节坐标点来计算中间位置的关节坐标，从而实现整个轨迹的平滑插值。
下面将介绍几种常用的关节空间轨迹插值方法。
1. 线性插值（Linear Interpolation）线性插值是最简单和最直接的插值方法之一。
假设已知起始坐标点q1和结束坐标点q2，线性插值可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)q1 + tq2其中，t为取值范围为[0,1]的系数，表示插值在两个坐标点间的位置。
2. 二次插值（Quadratic Interpolation）二次插值是在线性插值的基础上引入二次多项式的插值方法。
它可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)^2q1 + 2t(1-t)q + t^2q2其中，q为参数，通常取0.5。
3. Bezier曲线插值Bezier曲线是一种常用的平滑曲线插值方法，它可以通过控制点来定义一条曲线。
对于三个控制点q1、q2和q3，Bezier曲线可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)^2q1 + 2(1-t)tq2 + t^2q3其中，t为参数，取值范围为[0,1]。
4. 样条曲线插值样条曲线是一种通过多个控制点相连而成的平滑曲线。
它可以通过公式计算中间位置的关节坐标点，其中每段曲线由四个控制点定义：q(t) = [t^3, t^2, t, 1] * M * Q其中，M为样条曲线的矩阵，Q为控制点矩阵。
除了上述插值方法，还可以使用其他高阶插值方法如样条插值、B样条插值等来实现关节空间轨迹的插值计算。
这些方法可以根据具体的应用场景和要求选择合适的插值方法。
总结起来，关节空间轨迹的插值计算是机器人运动控制中的一个重要问题，通过使用线性插值、二次插值、Bezier曲线插值和样条曲线插值等方法，可以实现机器人的平滑运动和轨迹生成。
数值分析常用的插值方法
数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。
此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
路径点插值方法
路径点插值是计算机图形学、动画制作、机器人运动规划等领域中常用的一种技术，主要用于在两个已知路径点之间生成一系列连续的中间点，使得整个路径平滑且连续。
以下是一些常见的路径点插值方法：1.线性插值（Linear Interpolation, LERP）：线性插值是最简单的插值方式，假设我们有两个路径点P0和P1，t为参数（0<=t<=1），则线性插值公式为：P = (1-t) * P0 + t * P1。
当t=0时，结果为P0；当t=1时，结果为P1。
2.二次贝塞尔曲线插值（Quadratic Bézier Interpolation）：二次贝塞尔曲线需要三个控制点P0、P1和P2，其中P0和P2是端点，P1是控制点。
通过计算贝塞尔曲线公式得到路径上任意点的位置。
3.三次贝塞尔曲线插值（Cubic Bézier Interpolation）：类似于二次贝塞尔曲线，但需要四个控制点，能生成更复杂的曲线形状。
4.样条插值（Spline Interpolation）：包括自然三次样条插值、Catmull-Rom样条插值等，这类插值方法可以生成更为平滑的曲线，尤其适用于路径规划。
例如，在一个由多个路径点定义的曲线上，每个点与其相邻点共同决定该点处曲线的形状。
5.圆弧插值（Circular Arc Interpolation）：在特定情况下，如机器人关节运动规划，可能会使用圆弧插值来模拟关节的旋转运动。
6.赫尔曼-赫茨插值（Hermite Interpolation）：赫尔曼-赫茨插值不仅考虑了路径点的位置，还考虑了它们的速度或方向信息，从而能够生成更符合物理规律或视觉效果的路径。
每种插值方法都有其适用场景和特点，选择哪种方法取决于实际需求，比如路径复杂程度、速度变化要求、平滑度需求等因素。
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即:
li ( x )
(x
j 0 ji
n
(x xj )
i
xj)
Lagrange插值的误差余项 两点线性插值
x x0 x1 x L1 ( x ) y1 y0 x1 x0 x1 x0
定义误差余项: R1(x) = f(x) – L1 (x)
由插值条件,令 R1(x)=C(x) (x – x0)(x – x1) 即 f(x) –L1(x) = C(x) (x – x0)(x – x1)
第四章
数据插值方法
插值计算引例
代数多项式插值问题
线性插值与二次插值公式 Lagrange插值公式
0.6 0.4
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6
0.6 0.8 0.4
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
L2(x) y0
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 称作二次插值基函数
二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
Lagrange插值公式
插值条件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,…,n)
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
近似函数p(x)可以是代数多项式或三角多项式， 也可以是有理分式等等。 p(x)选不同类型的函数， 近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常 取p(x)为代数多项式。 如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，则称 p(x)为f(x)的插值函数。
上述问题称作代数多项式插值问题
拉格朗日插值
拉格朗日插值及其存在唯一性 设 f(x)∈C [a , b], 取点 a ≤x0＜x1＜· · · ＜ x n≤b · · ,n)， 已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,· 求一个次数不超过n的插值多项式。
Ln(x)=a0 + a1x +· · · + anxn
n a0 a1 x0 a n x0 y0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 a a x a x n y 1 n n n n 0
方程组系数矩阵取行列式
1 Vn ( x0 , x1 , , xn ) 1 1 x0 x1 xn
多项式插值问题的一般提法
设 f(x)∈C [a , b], 已经点xi ∈[a , b]上的函数值 f(xi), (i=p0, p1,· · · , pn)和点xj上的导数值 f(kj)(xj), (j=q0, q1,· · · , qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任 意正整数。 要求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x)
Ln ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 ln ( x ) yn
其中,第i (i=0,1,…，n)个插值基函数
( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li ( x ) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
得
求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538 所以, L3(x)=1.293 x –0.5099 x2 + 0.0538 x3
MATLAB计算程序 x=0:.6:1.8; y=erf(x); x=x';y=y'; A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; p=A\y; a0=p(1);a1=p(2); a2=p(3);a3=p(4); t=0:.2:2; u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3; plot(x,y,'o',t,u)
求二次插值(抛物插值)多项式 L2(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
[y0 y1 y2] = [1 0 0]y0 + [0 1 0]y1+ [0 0 1]y2
仿照线性插值的基函数构造法，可令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
当x0≤ x ≤x1时，0≤l0(x)≤1, 0≤l1(x)≤1
x l0(x) l1(x) x0 1 0 x1 0 1
[y0 y1] = [1 0]y0 + [0 1]y1
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
n=2 二次插值问题 已知函数表
x f(x ) x0 y0 x1 y1 x2 y2
( n 1)
其中, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
n (a, b) 且与x有关
证 记 n+1(x) =(x – x0)(x – x1)· · · · · · ( x – x n) 由插值条件 Ln(xi) = f(xi) (k = 0,1,…,n)
1.5000 0.9661
当 x∈(0.5, 1)时
1 Erf ( x ) [( x 0.5) 0.8427 (1 x ) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
1 Erf ( x ) [( x 1) 0.9661 (1.5 x ) 0.8427] 1.5 1
化为等价形式
x x0 x1 x L1 ( x ) y0 y1 x1 x0 x1 x0
记
x x0 x x1 l0 ( x ) , l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
把l0(x)、 l1(x)称作线性插值基函数
构造3次多项式L3(x) 逼近 Erf(x) 设 L3(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3,
令 L3(xi)=Erf(xi)
a0 0 2 3 a 0 . 6 a ( 0 . 6 ) a ( 0 . 6 ) a 3 0.6039 0 1 2 2 3 a 1 . 2 a ( 1 . 2 ) a ( 1 . 2 ) a 3 0.9103 1 2 0 a 1.8a (1.8) 2 a (1.8) 3 a 0.9891 1 2 3 0
存在C(x)，令 Rn(x) ＝f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x)
取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数
F (t ) f (t ) Ln (t ) C n1 (t )
显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,· · · ,n )
x l0(x) x l0(x) l1(x) l2(x)
x0 1 x0 1 0 0
x1 0 x1 0 1 0 y1
x2 0 x2 0 0 1 y2
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
(t ) L
( n1) n
(t ) C
( n1) n1
(t )
f ( n1) ( ) C (n 1)! 0
f ( ) C ( n 1)!
( n 1)
f ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
0.6 0.4
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
误差函数
x y 0 0
Erf ( x )
1.0000 0.8427
2
x
0
e dt
2.0000 0.9953 2.5000 0.9996 3.0000 1.0000
t 2
0.5000 0.5205
P(x)=a0 + a1x +· · · + an+m+1xn+m+1 使 P(xi)= f(xi), (i=p0, p1,· · · , pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1,· · · , qn) 成立 则称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点
[a , b]为插值区间。
( n 1)
如果
M max f ( n1) ( x )
a xb
存在，则 M | Rn ( x ) | n1 ( x ) ( n 1)!
C(x) = ???
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点 a≤x0＜x1＜· · · · · · ＜xn≤b
则对任何x∈[a , b], 满足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插 值多项式Ln(x) 的误差
f ( n ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
满足: Ln(xi)= yi