黄金分割法、二次插值法C语言编程
二次样条插值及其C语言的实现
for(i=1;i<11;i++)
{
u[i]=(x[i]-x[i-1])/(x[i+1]-x[i-1]); //μ1~μ10的求解公式
v[i]=1-u[i]; //λ1~λ10的求解公式
g[i]=(6/(x[i+1]-x[i-1]))*((y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i])-(y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-1])); //g1~g10的求解公式
}
for(i=0;i<11;i++)
{
printf("[ %.2f, %.2f ] :\n",x[i],x[i+1]);
printf("S= %fx^3+%fx^2+%fx+%f\n",X3[i+1],X2[i+1],X1[i+1],X0[i+1]);
printf("\n");
}
}
、最小二乘拟合函数：
int i,j=0;
int AllD=1; //三角对阵的行列式
double Mv=1,Mu=1; //Mv表示λ1*λ2*…*λ10，Mu表示μ1*μ2*…*μ10
double M[12],X3[11],X2[11],X1[11],X0[11]; //M[12]用于存放M0~M11，X3[11]用于存放x^3的系数，X2[11]用于存放x^2的系数,
}
g[0]=(6/(x[1]-x[0]))*((y[1]-y[0])/(x[1]-x[0])-0.75); //g0的求解公式
优化设计-黄金分割法+插值法
抛物线插值法
1.8.4.2 抛物线插值法迭代步骤
• 下面具体介绍缩短区间,构成新三点的方法． 由式（4.10）得到的点 t ,在区间[t1 , t 2 ] 内既可能在 点t 0的左侧(即t t 0 ),又可能在t 0 的右侧(即 t t 0 ). • 分别对应这两种情形比较 (t )和 (t 0 ) 的大小，又 有 ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ) 等三种情形，故共 有如下六种情况（如图所示）：
t1 t t 2
min (t )
抛物线插值法
通过目标函数曲线上的三个点 (t1 , (t1 )), (t 0 , (t 0 )), (t 2 , (t 2 ))
作它的二次拟合曲线（如图所示） P(t ) a0 a1t a2 t 2 ．
图4.14
抛物线插值法
由于上述三个点既是目标函数曲线 (t )上的点，又是 二次拟合曲线 P(t ) 上的点，故有方程组
将方程组（4.5）中的 a 0消去，得
2 2 a ( t t ) a ( t t 1 1 0 2 1 0 ) (t1 ) (t0 )， 2 2 a ( t t ) a ( t t 2 0 2 ) (t0 ) (t2 )． 1 0 2
抛物线插值法
将式（4.7）与式（4.8）代入式（4.9）得
2 2 2 2 t2 t12 ) (t0 ) (t12 t0 ) (t1 ) (t2 ) (t2 ) a1 1 (t0 ． t 2a2 2 (t0 t2 ) (t1 ) (t2 t1 ) (t0 ) (t1 t0 ) (t2 )
即要求
黄金分割法及其代码
黄⾦分割法及其代码线性搜索之黄⾦分割法及其应⽤摘要最优化理论和⽅法⽇益受到重视，已经渗透到⽣产、管理、商业、军事、决策等各个领域，⽽最优化模型与⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通讯和政府机关等领域。
伴随着计算机技术的⾼速发展，最优化理论与⽅法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB 软件已经成为最优化领域应⽤最⼴的软件之⼀。
有了MATLAB这个强⼤的计算平台，既可以利⽤MATLAB优化⼯具箱（OptimizationToolbox）中的函数，⼜可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
在最优化计算中⼀维最优化⽅法是优化设计中最简单、最基本的⽅法。
⼀维搜索，⼜称为线性搜索，⼀维问题是多维问题的基础，在数值⽅法迭代计算过程中，都要进⾏⼀维搜索，也可以把多维问题化为⼀些⼀维问题来处理。
⼀维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。
⽽黄⾦分割法是⼀维搜索⽅法中重要的⽅法之⼀，它适⽤于任何单峰函数求最⼩值的问题，甚⾄于对函数可以不要求连续，是⼀种基于区间收缩的极⼩点搜索算法。
关键词：最优化、黄⾦分割法、MATLAB软件、⼀维搜索引⾔数学科学不仅是⾃然科学的基础，也是⼀切重要技术发展的基础。
最优化⽅法更是数学科学⾥⾯的⼀个巨⼤的篇幅，在这个信息化的时代，最优化⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各领域；它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。
⽽最优解问题是这些所有问题的中⼼，是最优化⽅法的重中之重，在求最优解问题中，有多种⽅法解决，我们在这⾥着重讨论⽆约束⼀维极值问题，即⾮线性规划的⼀维搜索⽅法之黄⾦分割法。
黄⾦分割法也叫0.618法，属于区间收缩法，⾸先找出包含极⼩点的初始搜索区间，然后按黄⾦分割点通过对函数值的⽐较不断缩⼩搜索区间。
当然要保证极⼩点始终在搜索区间内，当区间长度⼩到精度范围之内时，可以粗略地认为区间端点的平均值即为极⼩值的近似值。
黄金分割法C程序源代码
t=(t1+t2)/2; b=t2;
t2=t1; f2=f1; t1=a+b-t2;
f1=f(t1); }
else { a=t1; t1=t2; f1=f2; t2=a+beta*(b-a); f2=f(t2); } } k++;
} t=(t1+t2)/2; printf("\nt=%lf",t); return t; }
*a=t<t1?t:t1; *b=t>t1?t:t1; break; } } t1=t0+h; f1=f(t1); } }
double hjfg() { double beta,t1,t2,t; double f1,f2; double a=0,b=0; double *c,*d; int k=0; c=&a,d=&b; sb(c,d); printf("\n[a,b]=[%lf,%lf]",a,b);
#include<stdio.h> #include<math.h> #define f(t) (8*pow(t,3)-2*pow(t,2)-7*t+3) #define eps pow(10,-6)
void sb(doቤተ መጻሕፍቲ ባይዱble *a,double *b) { double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1; int k=0; printf("请输入初始点 t0="); scanf("%lf",&t0); printf("\n 请输入初始步长 h="); scanf("%lf",&h); printf("\n 请输入加步系数 alpha(需大于 1)="); scanf("%lf",&alpha); f0=f(t0); t1=t0+h; f1=f(t1); while(1) {
黄金分割法编程
• （1）M文件程序：
• function fmin=gold(x1,x2,d) %建立函数文件 • d=0.13/180*pi; %将度转换为弧度 • x1=40/180*pi; • x2=50/180*pi; • x=x1:d:x2; • f=-sin(x).*cos(x); • plot(x,f,'r') %画出函数图形 • title('黄金分割法求函数最小值-1304卢贵兵') • xlabel('x') • ylabel('f') • axis tight
• 本题中需要注意的地方：1.度需要转化为弧度
• （3）讨论
• 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于 另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取 其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此 称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点。 • 黄金比例的求法如下： 设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则a 比b就是黄金数
（2）报告（结果）：
运行程序得： • f1 = • -0.4996 • f2 = • -0.4996 • ans = • 1 • k = • 1 • f1 = • -0.4979 • f2 = • -0.4996 • k = • 2
•
f1 =
•
• • • • • •
-0.4996
f2 = -0.5000 k= 3 …… ……
• 以下是对单谷函数求最小值做简单分析： • 具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。 ① 如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)； ② 如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-0.618*(b-a)； ③如果f(a1)==f(a2)，令a=a1,b=a2, a1=b-0.618*(b-a)； a2=a+0.618*(b-a)； （可分为两种情况，简化程序） 如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。 因为[a,b]为单谷或单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍， 处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间 上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到 满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解 。
机械优化设计外推法,黄金分割法,二次插值法
for(;a1>a3;) {t=a3; a3=a1; a1=t; t=y1; y3=y1;
if(f(x1)>f(x2)) *a=x1; else *b=x2; *n=*n+1; s=hj(a,b,e,n); } return s; } void main() { double s,a,b,e,m; int n=0; printf("输入 a，b 值和精度 e 值\n"); scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=hj(&a,&b,e,&n); m=(a+b)/2; printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,m=%lf,n=%d\n",a,b,s,m,n); }
} } while(sqrt(pow((x[2][1]-x[0][1]),2)+ pow((x[2][2]-x[0][2]),2))>=1e-6); xx[1]=x[2][1]; xx[2]=x[2][2]; fi=fun2(xx[1],xx[2]); printf("the best answer is : \nx1*= %f\nx2*=%f\nf*=%f\n",xx[1],xx[2],fi);
for(i=1;i<=2;i++) { if(i==1) {d[i][1]=1;
C语言求解一元二次方程的解源码(迭代法,二分法,牛顿迭代法)
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define maxint 32767.0#define minint -32768.0#define accuracy 0.0000001//精确度，值越小计算结果越精确float a,b,c;//系数float dt;//b^2-4acfloat x1=0.0,x2=0.0;//方程的解void read();void setDt();int assertX();void binarySolution();void interation();void newtonInteration();double f(double x);double f1(double x);double absolute(double x);void accurate();int main(void){int end=1;while(end!=0)//继续运算{accurate();printf("按任意键继续（输入0退出）：\n");scanf("%d",&end);}}//读取a,b,cvoid read(){printf("请输入方程ax^2+bx+c=0的系数a,b,c：\n");printf("请输入二次项系数a：");while(0==scanf("%f",&a)||a==0){while('\n' != getchar()){}printf("输入无效！请重新输入二次项系数a：");}printf("请输入一次项系数b：");while(0==scanf("%f",&b)){while('\n' != getchar()){}printf("输入无效！请重新输入一次项系数b：");}printf("请输入常数项c：");while(0==scanf("%f",&c)){while('\n' != getchar()){}printf("输入无效！请重新输入常数项c：");}}//计算dtvoid setDt(){dt=b*b-4*a*c;}//判断是否有解int assertX(){if(dt>=0) return 1;return 0;}//循环计算控制void accurate(){read();setDt();int method=0;printf("请选择求解方法：\n\t1.二分法\n\t2.迭代法\n\t3.牛顿迭代法\n请选择：");while((0==scanf("%d",&method))||(method!=1&&method!=2&&method!=3)){while('\n' != getchar()){}printf("输入无效！请重新选择：");}if(!assertX()){printf("该方程无解！\n");}else{switch(method){case 1:binarySolution();break;case 2:interation();break;case 3:newtonInteration();break;}printf("方程%fx^2+%fx+%f=0的解为：x1=%.10f x2=%.10f\n",a,b,c,x1,x2); }}//二分法void binarySolution(){double min=minint,temp=(-1.0*b)/(2*a),max=maxint,middle=0.0;//求解X1while((max-temp)>=accuracy){middle=(max+temp)/2;if(a>0)//开口向上{if(f(middle)>0)max=middle;elsetemp=middle;}else//开口向下{if(f(middle)>0)temp=middle;elsemax=middle;}}x2=temp;//求解X2temp=(-1.0*b)/(2*a);while((temp-min)>=accuracy){middle=(min+temp)/2;if(a>0)//开口向上{if(f(middle)>0)min=middle;elsetemp=middle;}else//开口向下{if(f(middle)>0)temp=middle;elsemin=middle;}}x1=temp;}//迭代法void interation(){//求解X1，在曲线对称轴处选择初始点double index=(-1.0*b)/(2*a),temp;if(b!=0)//b不等于0时进行迭代{temp=index;index=-1.0*(a*temp*temp+c)/b;while((absolute(index-temp))>accuracy) {temp=index;index=-1.0*(a*temp*temp+c)/b;}x1=index;x2=(-1.0*b)/a-x1;}else//b=0时ax^2+c=0直接求解{x1=sqrt(-1.0*c/a);x2=-x1;}}//牛顿迭代法void newtonInteration(){//求解X1，在曲线对称轴右侧选取初始点double index=(-1.0*b)/(2*a)+10,temp; temp=index;index=temp-f(temp)/f1(temp);while((absolute(index-temp))>accuracy) {temp=index;index=temp-f(temp)/f1(temp);}x1=index;//求解X2，在曲线对称轴左侧选取初始点index=(-1.0*b)/(2*a)-10,temp;temp=index;index=temp-f(temp)/f1(temp);;while((absolute(index-temp))>accuracy) {temp=index;index=temp-f(temp)/f1(temp);}x2=index;}//函数f(x)double f(double x){return a*x*x+b*x+c;}//函数f(x)的一次导函数double f1(double x){return 2.0*a*x+b;}//求解绝对值double absolute(double x) {if(x<=0) return (-1.0*x); return x*1.0;}。
二次插值方法
二次插值方法二次插值方法是一种常用的数值计算方法，用于在给定一组离散数据点的情况下，通过插值来估计在其他位置的函数值。
该方法的基本思想是通过构建一个二次多项式，通过已知数据点的特性来逼近未知位置的函数值。
本文将介绍二次插值方法的原理、步骤和应用。
一、原理二次插值方法基于拉格朗日插值公式，其基本假设是函数在已知点附近是近似二次形式的。
二次插值多项式的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待求系数。
通过已知数据点的特性，可以构建一个二次多项式，然后用该多项式来近似未知位置的函数值。
二、步骤进行二次插值的步骤如下：1. 获取已知数据点：首先需要获取一组已知的数据点，这些数据点可以是实验测量得到的，也可以是理论计算得到的。
2. 构建二次多项式：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式构建一个二次多项式。
通过将已知数据点带入多项式中，可以得到方程组，从而求解系数a、b、c。
3. 插值计算：得到二次多项式后，就可以利用这个多项式来估计其他位置的函数值。
将待求位置的自变量带入多项式中，即可得到相应的函数值。
三、应用二次插值方法在实际应用中具有广泛的用途，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 数据处理：在数据处理领域，二次插值可以用于填充缺失值、平滑曲线、去除噪声等。
通过利用已知数据点的特性，可以对缺失的数据进行估计，从而得到完整的数据集。
2. 图像处理：在图像处理中，二次插值可以用于图像的放大和缩小。
通过在已知像素点之间插入新的像素点，可以实现图像的放大；反之，通过对已知像素点进行插值，可以实现图像的缩小。
3. 数值分析：在数值分析中，二次插值方法可以用于数值积分和数值微分。
通过构建二次多项式，可以对函数进行逼近，从而得到函数的积分值或导数值。
四、总结二次插值方法是一种常用的数值计算方法，通过构建二次多项式来估计未知位置的函数值。
它在数据处理、图像处理和数值分析等领域都有广泛的应用。
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已知：F(x)=x4-4x3-6x2-16x+4,求极小值，极小值点，区间，迭代次数？用进退法确定区间，用黄金分割法求极值。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define e 0.001
#define tt 0.01
float f(double x)
{
float y=pow(x,4)-4*pow(x,3)-6*pow(x,2)-16*x+4;
return(y);
}
finding(float *p1,float*p2)
{
float x1=0,x2,x3,t,f1,f2,f3,h=tt;
int n=0;
x2=x1+h;f1=f(x1);f2=f(x2);
if(f2>f1) {h=-h;t=x2;x2=x1;x1=t;}
do
{ x3=x2+h;h=2*h;f3=f(x3);n=n+1;}
while(f3<f2);
if(x1>x3) {t=x1;x1=x3;x3=t;}
*p1=x1;*p2=x3;
return(n);
}
gold(float *p)
{
float a,b,x1,x2,f1,f2; int n=0;
finding(&a,&b);
do
{x1=a+0.382*(b-a);
x2=a+0.618*(b-a);f1=f(x1);f2=f(x2);n=n+1;
if(f1>f2) a=x1;
else b=x2;}
while((b-a)>e);
*p=(x1+x2)/2;return(n);
}
main()
{
float a,b,x,min;int n1,n2;
n1=finding(&a,&b);
n2=gold(&x);
min=f(x);
printf("\n The area is %f to %f.",a,b); printf("\n The nunmber 1 is %d.",n1);
printf("\n The min is %f and the result is %f.",x,min);
printf("\n The nunmber 2 is %d.",n2)
二插法
已知：F(x1,x2)=4*x1-x2的平方-12；求极小值，极小值点，迭代次数？
用复合形法求极值。
约束条件：x2>=0; x1>=0; 25-x1的平方-x2的平方>=0; #include <stdio.h>
#include <math.h>
#define EP 0.0001
#define E 0.01
#define fori for(i=0;i<=1;i++)
int i;
float f(float *p)
{
float y;
y=4*p[0]-pow(p[1],2)-12;
return(y);
}
int cons(float *q)
{
int n;
if((pow(q[0],2)+pow(q[1],2)-25<=0)&&(q[0]>=0)&&(q[1]>=0))
n=1;
else
n=0;
return(n);
}
void paixu(float *p1,float *p2,float *p3)
{
float f1,f2,f3;
float L[2],M[2],H[2];
f1=f(p1);
f2=f(p2);
f3=f(p3);
fori { H[i]=p1[i];M[i]=p2[i];L[i]=p3[i];}
if(f1>f2)
{
if(f2<f3) if(f1>f3)
fori { M[i]=p3[i];L[i]=p2[i];}
else
fori { H[i]=p3[i];M[i]=p1[i];L[i]=p2[i];}
} else
if(f2<f3)
fori { H[i]=p3[i];L[i]=p1[i];}
else
if(f1>f3)
fori { H[i]=p2[i];M[i]=p1[i];L[i]=p3[i];}
else
fori { H[i]=p2[i];M[i]=p3[i];L[i]=p1[i];}
fori { p1[i]=H[i];p2[i]=M[i];p3[i]=L[i];}
}
float r()
{
float rr;
do
rr=rand();
while(rr<=0);
rr=rr/32767;
return(rr);
}
main()
{
float x1[2]={2,1},x2[2]={4,1},x3[2]={3,3};
float XC[2],XR[2],A[2],B[2];
float H=1.3,FH,FR,FC,FL,cha,min,S;
int tf,tf1,tf2;
do
{
do
{
paixu(x1,x2,x3);
/*
fori printf("\n X1%d is %f,X2%d is %f,X3%d is %f.",i,x1[i],i,x2[i],i,x3[i]); */
fori XC[i]=(x2[i]+x3[i])/2;
/*
fori printf("\n XC%d is %f.",i,XC[i]);
*/
tf1=cons(XC);
if(tf1==0)
{
FC=f(XC);
FL=f(x3);
if(FL<FC)
fori { A[i]=x3[i];B[i]=XC[i];}
else
fori { A[i]=XC[i];B[i]=x3[i];}
do
{ S=r();x1[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x1);}
while(tf2==0);
do
{ S=r();x2[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x2);}
while(tf2==0);
do
{ S=r();x3[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x3);}
while(tf2==0);
}
}
while(tf1==0);
fori XR[i]=XC[i]+H*(XC[i]-x1[i]);
/*
fori printf("\n XR%d is %f.",i,XR[i]);
*/
FH=f(x1);
FR=f(XR);
tf=cons(XR);
if(tf&&(FR<FH))
{
fori x1[i]=XR[i];
/*
printf("\n 1");
*/
}
else
H=H/2;
/*
printf("\n H is %f.",H);
*/
if(H<EP)
fori { x1[i]=x2[i];H=1.3;}
cha=(pow((f(x1)-f(x3)),2)+pow((f(x2)-f(x3)),2))/2; /*
printf("/n Cha is %f.",cha);
*/
}
while(cha>E);
min=f(x3);
printf("\n The Min is %f.",min);
fori printf("\n The X%d is %f.",i,x3[i]);
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