黄金分割法-进退法-原理及流程图

黄金分割法-进退法-原理及流程图

1黄金分割法的优化问题

（1）黄金分割法基本思路：

黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

（2）黄金分割法的基本原理

一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令

a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)

a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图１所示，

（3）程序流程如下：

4 实验所编程序框图

否

开始

给定a=-3,b=5,收敛精度ε=0.001

r=0.618

a1=b-r*(b-a) y1=f(a1) a2=a+r*(b-a) y2=f(a2)

y1>=

a=a1 b=a2

a2=a+r*a1=b-r*

｜a*=(a+

结

是

否

是

#include 《math.h》

#include 《stdio.h》

#define f(x) x*x+2*x

double calc(double *a,double *b,double e,int *n) { double x1,x2,s;

if(fabs(*b-*a)<=e)

s=f((*b+*a)/2);

else

{ x1=*b-0.618*(*b-*a);

x2=*a+0.618*(*b-*a);

if(f(x1)>f(x2))

*a=x1;

else

*b=x2;

*n=*n+1;

s=calc(a,b,e,n);

}

return s;

}

main()

{ double s,a,b,e;

int n=0;

scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e);

s=calc(&a,&b,e,&n);

printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n",a,b,s,n);

}

5 程序运行结果如下图：

2进退法

（1）算法原理

进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()

f x为单谷函

数（只有一个极值点），且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间，对于任意1

2

,[,]x x a b ∈，如果()()12

f x f x <，

则2

[,]a x 为极小值的搜索区间，如果()()12

f x f x >，则

1[,]

x b 为极小值的搜索区间。

因此，在给定初始点0

x ，及初始搜索步长h 的

情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算

()

0f x h +。

（1） 如果()()

f x f x

h <+

则可知搜索区间为0

[,]

x

x h +%，其中x %待求，为确

定x %，后退一步计算0

()

f x h λ-，λ为缩小系数，且

01

λ<<，直接找到合适的*

λ，使得()

*0

0()f x

h f x λ->，从

而确定搜索区间*0

0[,]

x

h x h λ-+。

（2） 如果()()

f x f x

h >+

则可知搜索区间为0

[,]x x %，其中x %待求，为确定

x

%，前进一步计算0

()

f x

h λ+，λ为放大系数，且1λ>，

知道找到合适的*

λ，使得()*

00

()f x h f x h λ+<+，从而确

定搜索区间*0

[,]

x x

h λ+。

进退法求极值

基本思想：

对f (x )任选一个初始点x 1及初始步长h 0， 通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为 “高—低—高” 形态。 算法原理

1.试探搜索：