最优化理论与方法11
最优化理论与方法
最优化理论与方法综述李超雄最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化理论与方法
最优化理论与方法什么是最优化？最优化是一种以最佳结果为目标的技术。
它的主要任务是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
本文将从定义、方法、应用等几个方面来探讨最优化理论与方法。
一、简介最优化是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学。
它是一种数学理论，用于求解多变量最优化问题的数学模型，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
它的思想是：希望能够将一个复杂的解决问题分解成若干简单的子问题，以便更好地求解。
最优化理论是一种科学，它涉及到多重条件下的变量求值，以实现最大化或最小化某个系统的特定性能或目标。
最优化理论可以应用于各种工程领域，如机械、航空、船舶、结构、动力、电力能源、汽车等。
二、原理最优化方法基于一组影响结果的变量，以及它们的限制条件。
主要的最优化方法可以分为精确法和近似法。
精确法求解非线性规划问题，其最终结果非常精确，但求解它的计算代价更高。
而近似法的最终结果仅大致最优，但求解计算代价较低，广泛用于工程优化设计。
最优化方法解决的问题可以分为有约束和无约束两大类。
有约束优化问题指系统内各变量受到某些限制条件的制约。
而无约束优化问题不需要考虑任何限制条件，只要达到优化目标即可。
三、应用最优化方法在工程和科学领域中有着广泛的应用，并且日益增多。
在机械设计领域，可以采用最优化方法优化设计结构的参数和性能，以更好地满足设计要求；在空间控制领域，可以采用最优化方法优化机械系统的控制参数；在机器人规划领域，可以采用最优化方法解决运动规划问题；在多异构系统优化设计领域，可以采用最优化方法综合优化系统的性能等。
最优化的应用不仅仅限于以上领域，还广泛应用于其他领域，如计算机图形学、信号处理、投资组合管理、生物学、医学、金融、科学计算等。
四、结论最优化理论与方法是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学，它的主要目标是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
最优化理论与方法电子科技大学
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例3 将例1的目标函数改为 f(x)= -3x1 -2x2 ,而约束条件
不变, 即求
f(x)= -3x1 - 2x2
解 可行集如图:
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(2) 转变“≤”约束为等式约束 引入 xn+p ≥0 , 使
称变量 xn+p为松驰变量. (3) 转变“≥”约束为等式约束
引入 xn+q ≥0 , 使
称变量 xn+q为剩余变量.
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(4) 消除自由变量
标准形式要求 xi ≥0, 模型中如果出现 xi 可任取值, 则称 xi 为自由变量, 此时可作如下处理:
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再绘出目标函数的等值线.当目标函数值为z0时, 其等值线为 –x1 - 2x2 = z0
这是一条直线, 当 z0 取不同值时, 可得到其他等值线. 因具有相同的斜率, 所以等值线是彼此平行的直线. 例如, 当z0=0时, 得一通过坐标原点的等值线
–x1 - 2x2 = 0
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二． 最优化问题的数学模型与分类
1. 根据问题不同特点分类
( 1 ) 无约束极小化问题 求 x =(x1，x2，…，xn)T 使函数 f(x) 达到最小, 记为
mxiRnn f (x) 或 min f (x) （2）约束极小化问题
记为
min f (x)
s.t. g i (x) 0, i = 1,2, …, m hj(x) = 0, j = 1, 2, …, n
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论是工程学和应用科学领域中最广泛应用的一门学科，它能够帮助人们在节省资源的同时实现最佳效果，因此在经济管理、工业制造、信息网络设计和科学研究等不同领域中都受到重视。
最优化理论的基本思想是，在满足约束条件的情况下，通过寻求最大化或最小化某种目标函数而实现最优解。
它包括两个主要部分：最优化理论和最优化方法。
最优化理论是一门具有概念性的学科，它试图从宏观上优化一个系统，而不是解决具体的数学问题。
它涉及到描述、分析和解决最优化问题的方法，包括一系列与其有关的概念和理论，比如：最优解、最优性条件、约束型最优化、无约束型最优化、可行性等等。
最优化理论的主要目的是通过分析和理解最优化问题，以及它们的解决方案，从而更好地了解和解决实际应用中的问题。
最优化方法则是为解决最优化问题提供解决方案的实用性技术。
它们包括一系列具体的算法和技术，比如数学规划、局部最优化方法、模式识别、迭代搜索、优化建模技术等等。
最优化方法的重点是通过合理的实施和调整，使最优化问题获得较优的解决方案，从而满足实际应用需求。
最优化理论和方法都是复杂的，它们不仅涉及数学理论，还涉及计算机科学、通信技术、管理学、经济学和工程学等多领域的知识。
因此，要想熟练掌握最优化理论和方法，就必须全面系统地学习和练习。
最优化理论和方法在许多可行性研究中被广泛使用，它们可以帮助我们更好地优化我们的资源，并通过有效地运用它们来提高系统的性能。
由于它们的重要作用，最优化理论和方法的研究和应用将继续受到重视和推广。
最后，最重要的是要掌握最优化理论和方法的原理和思想，并在实践中熟练掌握操作技能，从而更好地应用到实际的工程和科学研究上，进一步提高系统的效率和性能。
最优化理论与方法
最优化理论与方法
近代科学技术发展迅猛，人类从不同的领域对事物的探索也日益深入，把握规律的重要性也日益凸显。
最优化理论与方法，就是人类探索规律的一种重要工具，也是科技发展的先锋派之一。
它被广泛应用于解决实际问题，成为众多科技领域的最佳实践方法。
最优化理论与方法，是理解和阐释许多复杂现象的有效方式。
它是一类工具，可以通过对复杂系统建模、设计实验并仿真分析，解决现实世界中的复杂问题。
它具有优势，能够让我们整合系统中的数据，分析出各种潜在的解决方案，以达到全局最优的效果。
最优化理论与方法，主要涉及优化原理、数学建模、数理算法等知识体系。
在建立数学模型时，意在求解满足一系列优化约束条件下，极小或极大化某一函数或变量，以达到系统最优化目标。
它采用各种优化算法，其中包括最小二乘法、牛顿法、拟牛顿法、多层约束算法和动态规划等，不仅可以实现数学模型的构建，而且可以对数学模型进行有效的优化计算。
当前，最优化理论与方法已在工业技术、决策与决策分析、知识工程、经济学等诸多领域中得到广泛应用，从而解决了实际中许多复杂问题。
例如，在决策分析中，它可以改善决策机制，从而使我们能够达到更完美的决策效果；在工程技术中，它可以为解决因参数设置不当而导致的质量问题提供有效方案；在机器学习领域，它可以为神经网络设计提供技术支持。
未来，随着科技的发展高速发展，最优化理论与方法将在解决实
际问题中发挥越来越大的作用，它将会帮助我们更好地理解世界，给我们更便捷地解决实际问题，从而为人类提供更大的实际利益和价值。
综上所述，最优化理论与方法，不仅是实现科学技术进步最有效方法之一，更是解决实际问题的重要工具，它将在解决实际问题中发挥越来越大的作用。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法是数学领域中的一个重要分支，它研究如何找到一个函数的最大值或最小值。
在实际应用中，最优化理论与方法被广泛应用于工程、经济、管理等领域，对于提高效率、降低成本、优化资源分配具有重要意义。
最优化问题的数学模型可以用数学函数来描述，通常包括目标函数和约束条件。
目标函数是需要优化的目标，而约束条件则是限制优化过程的条件。
最优化理论与方法的研究旨在寻找使目标函数取得最优值的变量取值，同时满足约束条件。
最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等不同类型。
线性规划是寻找线性目标函数在线性约束条件下的最优解，而非线性规划则是针对非线性目标函数和约束条件的最优化问题。
整数规划则是在变量取值受整数限制的条件下进行优化。
在最优化理论与方法中，常用的解法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、单纯形法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的最优化问题。
梯度下降法是一种迭代算法，通过沿着目标函数梯度的反方向逐步更新变量的取值，以达到最优解。
牛顿法则利用目标函数的二阶导数信息进行迭代，收敛速度较快，但计算代价较高。
拟牛顿法是一种近似牛顿法，通过估计目标函数的Hessian矩阵来进行迭代。
单纯形法则是用于线性规划问题的一种解法，通过不断调整顶点的位置来逼近最优解。
除了上述经典的最优化方法外，近年来，元启发式算法如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等也得到了广泛应用。
这些算法通过模拟自然界的进化、群体行为等机制来寻找最优解，适用于复杂的非线性、非凸优化问题。
最优化理论与方法的研究不仅在理论上有重要意义，也在实际应用中发挥着重要作用。
在工程领域，最优化方法被应用于设计优化、控制优化、资源分配等问题的求解。
在经济学中，最优化方法被用来优化生产计划、投资组合、市场营销策略等方面。
在管理学中，最优化方法被应用于生产调度、供应链优化、运输路径规划等方面。
总之，最优化理论与方法是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的学科领域。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是一门跨学科的数学领域，它有助于解决许多与决策有关的问题，它有着广泛的应用，主要用于满足个人和组织的目标。
最优化理论包括最优化模型，最优算法和最优化方法。
最优化模型是一种数学模型，它可以表示一种决策问题。
这些模型通常包含相关变量、目标函数、约束条件和其他等价约束条件。
最优化模型有助于求解某些有效决策，可以用来实现各种目标，例如最小化成本、最大化收益、最小化时间等。
最优化算法是一种算法，可以用来解决最优化问题。
常见的最优化算法包括梯度下降法、迭代尺度法、贪心法、遗传算法和模拟退火算法等。
这些算法通常被用于寻找最佳解决方案，并可以用来优化模型的性能。
最优化方法是最优化中的一种综合应用技术，它主要包括数值法、不确定规划、多目标规划和程序优化等。
该方法旨在优化系统性能，实现最优化目标，并解决复杂的决策问题。
数值法是一种常见的最优化方法，它通过试验得出最优值，以满足目标函数和约束条件。
不确定规划是通过探索不确定性情况下的最优决策，以实现最优目标。
多目标规划通过同时考虑多个优化目标的权衡，实现最优化。
程序优化是根据某种程序的特点，通过改进程序结构和增加有效的计算，实现系统性能的提高。
最优化理论与方法也有助于解决其他复杂的数学问题，例如多元函数求根、函数近似、非线性规划等。
这些理论和方法可以用于确定近似最优解，求解非线性方程组，求解最优化问题和实现系统性能优化等。
总之，最优化理论与方法是一门重要的跨学科学科，对解决决策问题、复杂的数学问题和实现系统优化都有重要的作用。
通过最优化理论与方法，可以优化决策过程，满足个人和组织的目标，从而提高绩效和效率。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化（Optimization）是经济学、工程学和数学的重要研究课题，也是一门系统性研究和分析决策问题的学科。
它将现实世界中的一般问题转化为一个函数最大化或最小化的数学模型，然后寻找解决问题的最优解。
最优化理论是最优化领域的主要理论基础，它是研究最优的解的学习、分析和解决方案的基础。
最优化理论的主要内容包括最优化模型、解的性质、计算方法等。
最优化理论可以用来分析和解决线性规划、非线性规划等广泛的最优化问题。
最优化方法是将一般最优化问题转换为数学形式，并对其进行求解的方法。
基于给定的最优化模型，最优化方法可以求得最优解，解决决策问题，或者有效地构建更多的结论。
最优化方法的主要内容包括简单随机搜索、梯度方法、随机模拟退火法、免疫优化算法、遗传算法等。
在实际的应用中，最优化理论和方法有着重要的实际意义。
如果没有最优化理论和方法，就不可能在现实世界中做出合理的、有效的决策。
最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，在现代社会中已经成为一门独立的学科，广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资领域中，为各类技术问题的求解提供了重要的支持和帮助。
一般来说，最优化理论和方法的基本步骤包括：（1）定义最优化问题的目标函数；（2）给出相应的约束条件；（3）构建最优化模型；（4）使用最优化方法求解模型，获得最优解；（5）评估最优解；（6）根据评估结果检验解的可靠性；（7）根据最优解给出解决方案，满足实际需求。
当前，最优化理论的研究水平越来越高，并且广泛应用于工业制造、决策管理、金融投资等领域，为各类技术问题的求解和解决提供了重要的支持和帮助。
其中，组合优化、离散优化、决策树、支持向量机等新兴技术在最优化理论和方法中发挥着重要作用。
随着计算机技术的发展，算法求解和模型优化技术也有了新的进展，为最优化理论和方法的发展提供了更多的可能性。
总之，最优化理论和方法是现代信息技术应用的基础，是实现最优决策的基石，也是现代社会中重要的、有效的解决问题的方法和工具。
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d
1
1 0
,
d2
0 1
初始步长1。 2。 1， 3， 0.5
探测：第一轮（ij沿方向d i进行第j次探测所用步长）
y1
x1
0 0
,
f
(
y1 )
17
沿d 1探测：y1
11d 1
0 0
1
1 0
1 0
f ( y1 11d1) 12 f ( y1) 成功
f ( y2)
故，令y3
y2
e2
3/2 1/ 2
第1轮探测完成，由于f ( y3 ) f ( x1)，
故得第2个基点
x2
y3
3/2 1/ 2
再沿x2 x1进行模式移动，
y1
x2
(x2
x1)
1 1
模式移动后，立即从得到的点y1出发，
进行第2轮探测移动，探测情况如下.
第二轮：
初始数据为
y1
1 0
.
f ( y1) 12, 12 3, 22 0.5
先从 y1出发，沿d1探测：
y1
12 d 1
1 0
3
1 0
4 0
f ( y1 12d1) 9 f ( y1) 令:13 12 9
y j1 y j jd j j : j
若f ( y j jd j ) f ( y j ),则令
y j1 y j
j : j
3.若j n,则置j : j 1,转步骤2,否则,转4.
4.若f ( yn1) f ( y1),则令y1 yn1,置j 1, 转2,如果 f ( yn1) f ( y1), 转5 5.若f ( yn1) f ( xk ).转6;否则,如果对每个j,成立
无约束最优化的直接方法
2010-4-26
直接方法与使用导数的方法 相比，一般来说，收敛比较慢， 但是，它对目标函数不要求导数 存在，迭代比较简单，编制程序 一般也比较简单，根据数字计算 的经验，对于变量不多的问题， 能够收到较好的效果。
主要内容：
模式搜索法 Rosenborck方法（转轴法） Powell方法
步长，加速固子 1，缩减率 （0，1），允许 误差 0, 置y1 x1, k 1, j 1. 2.如果f ( y j e j ) f ( y j ),则令
y j1 y j e j
转4；否则转3，
3.若f ( y j e j ) f ( y j ),则令 y j1 y j e j
e1 (1, 0)T , e2 (0,1)T
1 , 1, 1
2
2.
先在x1周围进行探测移动，令y1 (2, 0)T，探测
情况如下：f ( y1) 81,
y1
e1
2 0
1 2
1 0
5/2 0
,
f
(
y1
e1 )
197
9 16
令12 11 3
y2
y1 11d1
1 0
再从y2出发，沿d 2探测：
y2
21
d2
1 0
1
0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1
f ( y2 21 d 2 ) 22 f ( y2 ) 失败
令：22 21 0.5
y3
y2
1 0
_j
单位化:d
qj
P qj P
j
pj
j 1
q p
j
j1 i1
(qi (qi
)T )T
qj qi
qi
j2
_1 _ 2
_n
新方向为d , d ,L d .
例：用转轴法解下列问题
min f ( x) (x1 3)2 2(x2 2)2 解：取初始点x1 (0, 0)T , 初始搜索方向
d j d j,
j
0 j
,
j 1, 2,L
n
置y1 xk1, k : k 1, j 1,返回步骤2.
Powell方法
在算法的每一阶段，先依次沿着已知的n个方 向搜索，得一个最好点，然后沿本阶段的初点 与该最好点连线方向进行搜索，求得这一阶段 的最好点，再用最后的搜索方向取代前n个方 向之一，开始下一阶段的迭代。
k k 1, j 1,转2
(转轴法) Rosenborck方法
Rosenbrock方法每次迭代包括探测阶段和构造 搜索方向两部分内容。探测阶段中，从一点出 发，依次沿n个单位正交方向进行探测移动，一 轮探测之后，再从第1个方向开始继续探测。经 若干轮探测移动，完成一个探测阶段。然后，构 一组新的单位正交方向，称为转轴，在下一次迭 带中，将沿这个方向进行探测。
转4；否则，令 y j1 y j
转4. 4.若j n, j j 1, 转2；否则，转5 5.若f ( yn1) f ( xk ), 转6；否则，转7
6. xk1 yn1, y1 xk1 ( xk1 xk )
k k 1, j 1,转2.
7.若 ，停止，得xk，否则， ，y1 xk，xk1 = xk
并从y2出发，沿e2探测。 如果沿 e1也失败，令
y2 y1
再从y2出发，沿e2探测，直至沿n个坐标方向 探测完毕，得到点yn1.
如果f ( yn1) f ( x1),则yn1作为新的基点， 记作x2 yn1. 下一步，沿x2 x1方向作模式搜索，令
y1 x2 ( x2 x1)
f ( y1)
失败
y1
e1
3/ 0
2
f
(
y1
e1
)
25
9 16
f ( y1)
成功
故，
令
y2
=y1
e1
3/ 2 0
从y 2出发，沿e 2 探测：
y2
e2
3/ 0
2
1 2
0 1
3/2 1/ 2
f (y2
e2
)
15
9 16
2d 2
4
1 0
2
0 1
4 2
p2
2d 2
0 2
将p1 p2正交化,得:
q1
4 2
,
单位化得
q2
4
5 8
5
d1
2 5
-
1 5
T
,d
2
1 5
-
2
T
5
算法步骤
1.给定初始点x1 Rn ,单位正交方向
| j | ,则停止计算,xk作为最优解的估值,若不
满足终止准则,则令y1 = yn1,置j 1,转2.
6.令xk1 yn1, 若 P xk1 xk P ,则取xk1作为 极小点的估计,停止计算;否则,计算1, 2,L , n,
构造新的正交方向d1, d 2,L , d n ,并令
4 0.5
f ( y3) f ( y1),故进行下一轮探测
第三轮探测：
y1
4 0.5
f ( y1) 5.5, 13 9, 23 1.5
L
得x 2
4 2
求新的转轴方向
x2
x1
4 2
0 0
4 2
p1
1d 1
算法步骤
1.给定初始点x0, n个线形无关的方向
d (1,1) , d (1,2) ,L , d (1,n) 允许误差 >0,置k =1.
2.置x(k,0) xk1,从x(k,0)出发,依次沿方向 d (k,1) , d (k,2) ,L , d (k,n)进行搜索,得到点
x(k ,1) , x(k ,2) ,L x(k,n) 沿着方向d (k,n1) x(k,n) x(k,0)作一维 搜索,得到点xk .
y3
y2
1 1
比较：f ( y3) f ( x2 )
x3
y3
1 1
从x3出发，作模式移动，
y1
x3
（x3
x2)
1/ 2 3/ 2
从y1作探测移动失败,退回x3, 减小 ,
直到 满足精度.