最优化理论与方法单纯形法
最优化方法-单纯形法
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
最优化基础理论与方法分析
目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
最优化理论与算法习题答案
最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。
在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。
本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。
其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。
最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。
常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。
3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。
具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。
4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。
线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。
5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。
常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。
6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。
7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。
最优化方法Lecture3_单纯形法1
cB 0 0 4
xB x3 x4 x1 T B1b 7 6 3T , xN x2 x5 T 0
f1 cB B1b 12, w cB B1 0 0 4
z2 c2 wP2 c2 4 z5 c5 wP5 c5 4 最大判别数是z2 c2， x2是进基变量。计算
xk
min
bi yik
|
yik
0
br yrk
0
则得新解 x x1, , xr1, 0, xr1, , xm , 0, , xk , 0, , 0T
且
f x f
x0
zk
ck
br yrk
f
x0
.
旧基为 P1, , Pr , , Pm 新基为 P1, , Pk , , Pm
xr 为离基变量 xk 为进基变量。
2 s.t.
BxB NxN b
xB B1b B1NxN
xB , xN 0
min
3 s.t.
f x cB B1b B1NxN cN xN
xB B1NxN B1b
1 等价于
xB , xN 0
min f x
4
s.t.
0 f x Im xB
B1NxN B1b
f x 0xB cB B1N cN xN cB B1b
y2 B1P2 1 5 1T , 而b B1b 7 6 3T
br yr1
min
b1 y12
,
b2 y22
min
7
1
,
6 5
6 5
b2 y22
x4为离基变量，用P2代替P4得到新基。
1 2 1 0 0
A P1
P2
P3
P4
最优化理论与方法_2_单纯形法
修正单纯形法
在运用单纯形法解决线性规划问题时，如果知道了可行 基的逆，就能利用它和原始数据来计算基变量的取值及 判别数，从而能够确定一个基本可行解，并判断它是否 为最优解。因此，只要保存原始数据和现行基的逆即可。
修正单纯形法的基本思想是：给定初始基本可行解以后， 通过修改旧基的逆来获得新基的逆，进而完成单纯形法 的其它运算。在整个过程中保存现行基的逆。
，
即
min e xa s.t. Ax xa b x 0, xa 0
T
用单纯形法求解原问题。
设得到的最优基本可行解是 ( x T , xaT )T ，此 时必有下列三种情况之一： （1） xa 0 （无可行解） （2） xa 0 且 xa 的分量都是非基变量 （得基本可行解 x x ） （3） xa 0 且 xa 的某些分量是基变量 （用主元消去法）
主元
zk ck max{z j c j }
xk
bi br min | yik 0 yrk yik
显然，在单纯形表中包含了单纯形方法所需的全部数据。
表格形式的单纯形法
解的几种情况在单纯形表上的体现(min型)：
唯一最优解：终表非基变量判别数均小于零； 多重最优解：终表非基变量判别数中有等于零的； 无界解：任意表有正判别数相应的系数列均非正。
min f s.t. xB
min f cx s.t. Ax b x0
B 1 NxN
B 1b
f 0 xB (cB B 1 N cN ) xN cB B 1b xB 0, xN 0
f
xB
xN
右端
xB f
0 1
Im 0
优化设计3 单纯形法
表示Xr点走的太远，应沿着XrXb缩回一些（压缩), 并且得到 的压缩点为
Xc Xb c(X r Xb ) c为压缩系数，取值c＝0.25~0.75, c取0.5叫正压缩；
压 缩 机 研 究 所 CRI
X b
2 n
n i0
(X
(i)
Xh)
Xh
n i0
X
(i)
2 X h
0 0
2 0
0 2
0 2 0
2 2
X r Xb ( Xb X h ) (1 ) Xb X h
2 0 4 2 2 0 4
映射系数取1
Fr F ( X (r) ) 20 Fl
压 缩 机 研 究 所 CRI
不规则单纯形的计算步骤：
设目标函数f(X)为n维函数，即X为n维向量，因此单纯形应有
n十1个顶点x1,x2,….xn+1。构造初始单纯形时，先在n维空间
中选取初始点
X
0 1
(尽量靠近最优点)，从
X
0 1
出发沿各坐标轴方
向ei以步长h找到其余n个顶点
X
0 j
(j=2,3,…..n+1)
2）膨胀 如果求得的映射点后，Xr比Xl点还好，即 f (X r ) f (Xl ) 则表明所取的探索方向正确，可进一步扩大效果，继续沿 XhXr向前进行扩张，在更远处取一点Xe，并使
X e X b e( X b X h )
压 缩 机 研 究 所 CRI e为扩张系数， e＝1.2~2,一般取2(正膨胀） 所得到的相应单纯形XeXlXg为新的单纯形。 如果 f(xe) > f(Xr) ，说明向前膨胀不利，仍取映射单纯形{Xr， Xl, Xg}. 构成新的单纯形并由新的单纯形继续搜索。
单纯形法文档
单纯形法1. 什么是单纯形法单纯形法（Simplex Method）是一种数学优化方法，用于在线性规划问题中寻找最优解。
其基本思想是通过不断地在可行解空间中移动，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法是由美国数学家乔治·达内策在20世纪40年代开发的，成为线性规划问题求解的一种经典方法。
2. 单纯形法的基本原理单纯形法的基本原理是通过构造一系列的顶点组合，这些顶点组合构成了可行解空间的一个多面体，称为单纯形。
每次移动都是在单纯形的边界上进行，直到找到最优解。
2.1 线性规划问题的标准形式在使用单纯形法求解线性规划问题之前，首先需要将问题转化为标准形式。
线性规划问题的标准形式包括以下特征：•最大化目标函数或最小化目标函数•约束条件为等式或不等式•决策变量为非负数2.2 单纯形法的步骤单纯形法的求解步骤如下：1.初始化：将线性规划问题转化为标准形式，并找到初始可行解。
2.检验最优性：计算当前基可行解对应的目标函数值，判断是否达到最优解。
3.寻找进入变量：通过计算目标函数的系数与约束条件中的系数之比，找到使目标函数值最大（或最小）增长的变量。
4.寻找离开变量：从进入变量所属列中选择合适的变量离开基，使得新的基可行解依然满足约束条件。
5.更新基：将进入变量换入基，将离开变量换出基，得到新的基可行解。
6.重复步骤 2-5，直到找到最优解或判断无界。
2.3 单纯形表在单纯形法的求解过程中，通过使用单纯形表（Simplex Table）来记录每一步的计算结果和变量的取值。
单纯形表是一个矩阵，包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件左边的系数等信息，方便进行计算和调整。
3. 单纯形法的优缺点3.1 优点•单纯形法是一种简单直观的求解线性规划问题的方法，容易理解和实现。
•单纯形法对于规模较小的问题，可以得到精确的最优解。
•单纯形法可以处理带有不等式约束的问题，适用范围广。
3.2 缺点•单纯形法在解决大规模问题时，计算复杂度较高，效率较低。
最优化理论与方法
课程报告题目最优化理论与方法学生姓名学号院系专业二Ｏ一二年十一月十日最优化理论与方法综述最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
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变为非基变量，求出原问题的一个基本可行解；
首先引入人工变量。令 Ax xa b ， x 0 , xa 0
即
x
(
A,
I
m
)
xa
b
x0 , 消去人工变量的一种方法是解如下第一阶段问题：
xa 0
min eT xa
设得到的最优基本可行解是 (xT , 时必有下列三种情况之一：
xaT )T ，此
修正单纯形法的基本思想是：给定初始基本可行解以后， 通过修改旧基的逆来获得新基的逆，进而完成单纯形法 的其它运算。在整个过程中保存现行基的逆。
1. 给定初始可行基的逆 B1 ，计算单纯形乘子w 和右端向量 b 。构成下表：
单纯形乘子
w (=cB B1)
cBb
目标函数值
xB
B 1
可行基的逆 b (=B1b)
min f
s.t.
xB
B1NxN B1b
f 0 xB (cB B1N cN )xN cB B1b
xB 0, xN 0
f
xB
0
f
1
xB
xN
右端
Im
B-1N
B-1b
0
cBB-1N-cN
cBB-1b
显然，在单纯形表中包含了单纯形方法所需的全部数据。
离基
xB1
xBr
xBm
变量
xB1 1
若B1b 0且至少有一个分量是零，则称
此时的基本可行解是退化的基本可行解； 同时，此基本可行解对应的基被称为退化 的可行基。
若A是mXn矩阵， A的秩为m时， 基本可行解的个数不会超过：
nmBiblioteka n! m!(n m)!
线性规划的可行域是凸集。
设线性规划 (2.1.2)的可行域非空，则有下列结论：
2. 对于每个非基变量，计算判别数，令 zk ck max{z j c j} 。
B称为基矩阵，简称基；
xB的各分量称为基变量；
基变量的全体 xB1 , xB2 ,..., xBm 称为一组基；
xN的各分量称为非基变量；
Ax b, x 0 的基本可行解， 称B为可行基矩阵， xB1 , xB2 ,..., xBm为一组可行基；
若B1b 0，则称基本可行解是非退化的 基本可行解；
若线性规划(2.1.2)存在有限最优解，则目标函数的最优值可在某 个极点上达到。（最优极点）
极点是个几何概念，直观性强，但不便于演算， 因此需要研究极点的代数含义。
x
xB xN
B1b 0
称为方程组的一个基本解；
又若 B1b 0，则称
x
xB xN
B1b 0
为约束条件
唯一最优解：终表非基变量判别数均小于零； 多重最优解：终表非基变量判别数中有等于零的； 无界解：任意表有正判别数相应的系数列均非正。
max型单纯形表与min型的区别仅在于： 判别数反号，即，
令负判别数中最小的对应的变量进基； 当判别数均大于等于零时为最优。
用单纯形法消去人工变量（如果可能），即把人工变量
工变量离基。
min f =cx s.t. Ax b
x0
min f =cx+MeT xa s.t. Ax xa b
x 0, xa 0
在运用单纯形法解决线性规划问题时，如果知道了可行 基的逆，就能利用它和原始数据来计算基变量的取值及 判别数，从而能够确定一个基本可行解，并判断它是否 为最优解。因此，只要保存原始数据和现行基的逆即可。
0
0
xj
xk
y1 j
y1k
进基 变量
b1
xBr 0
1
0
yrj
yrk
br
xBm 0
0
1
ymj
ymk
bm
f0
0
0
zj cj
zk ck
cBb
主元
zk ck max{z j c j}
xk
br yrk
min
bi yik
|
yik
0
显然，在单纯形表中包含了单纯形方法所需的全部数据。
解的几种情况在单纯形表上的体现(min型)：
j 1
j 1
k
j 1,
j 1
j 0, j 1,..., k,
j 0, j 1,...,l.
线性规划的可行域是凸集。 设线性规划 (2.1.2)的可行域非空，则有下列结论：
线性规划(2.1.2)存在有限最优解的充要条件是所有cd ( j)为非负数， 其中 d ( j)是可行域的极方向。
是目标函数的最优解。（最优基本可行解）
就是，从一个基本可行解出发，求一个使目 标函数值有所改变的基本可行解；通过不断 改进基本可行解，力图达到最优基本可行解。
怎样实现基本可行解的转换？
min f cx s.t. Ax b
x0
min f s.t. f cB xB cN xN 0
BxB NxN b xB 0, xN 0
s.t. Ax xa b x 0, xa 0
（1） xa 0 （无可行解） （2） xa 0 且 xa 的分量都是非基变量
（得基本可行解 x x ）
用单纯形法求解原问题。 （3） xa 0 且 xa 的某些分量是基变量
（用主元消去法）
其基本思想是：在约束中增加人工变量 xa，同时修改目 标函数，增加惩罚值MeTxa ，M是很大的正数，这样， 在极小化目标函数的过程中，由于M的存在，将迫使人
设S {x | Ax b, x 0} 为非空多面集，则有：
极点集非空，且存在有限个极点 x(1),..., x(k) .
极方向集为空集的充要条件是S有界。若S无界，则存在有限
个极方向 d (1) ,..., d (l) .
x∈S的充要条件是：
k
l
x j x( j) jd ( j)
线性规划(2.1.2)存在有限最优解的充要条件是所有cd ( j)为非负数， 其中 d ( j)是可行域的极方向。
若线性规划(2.1.2)存在有限最优解，则目标函数的最优值可在某 个极点上达到。（最优极点）
线性规划的可行域的极点集与基本可行解集等价；
当线性规划(2.1.2)有可行解，则一定存在基本可行解。 当线性规划(2.1.2)存在最优解时，则一定存在一个基本可行解
最优化理论与方法单纯形法
一般线性规划问题总可以写成下列标准形式：
n
min c j x j
j 1
n
s.t. aij x j bi
(2.1.1)
i 1,..., m
j 1
xj 0
j 1,..., n
用矩阵表示： min cx
s.t. Ax b
(2.1.2)
x0
其中，A是mXn矩阵，c是n维行向量，b是m维列向量。 为了计算方便，一般假设b 0，即b的每个分量都是非负数。