最优化理论与方法习题
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
最优化方法练习题(答案)
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
最优化方法之 对偶理论讲解
问题： 0成立的条件.
LP 对偶问题的表达
（1）对称LP问题的定义
(P)
min s.t.
cT x Ax b x0
（2）对称LP问题的对偶问题
max
(D)
bT w AT w c w0
s.t.
例：写出下列LP问题的对偶问题
min 8 x1 16 x2 12 x3 2 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x3 3 x1 , x2 , x3 0
线性规划的对偶问题为：
max wT b1 vT b2 s.t. wT A1 vT A2 c w0
求下列非线性规划问题的对偶问题:
2 min x12 x2 s.t. x1 x2 4 0 x1 , x2 0
解：把变量的非负限制作为集约束，即 x1 x D x1 0, x2 0 , x2
( w, v) inf f ( x) wT g ( x) vT h( x) | x D f ( x) wT g ( x) vT h( x) f ( x).
推论1: 对于原问题和对偶问题 ，必有 inf f ( x) | g ( x) 0, h( x) 0, x D sup (w, v) | w 0. 1,, m h j ( x) 0, j 1,, l xD
集约束
(1)
定义(1)的对偶问题:
max ( w, v) s.t. w 0
(2)
max ( w, v) s.t. w 0
m l 其中 ( w, v) inf f ( x) wi gi ( x) v j h j ( x) x D i 1 j 1
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
现代教育技术习题及答案
《现代教育技术》课程习题一、判断题1.1 现代教育技术是应用现代教育理论和现代信息技术，通过对教与学过程和教与学资源的设计、开发、利用、评价和管理，以实现教学优化的理论和实践。
（）1.2 运用现代媒体来上课就是现代教育技术。
( )1.3 现代教育媒体具有形声性、再现性、高效性和先进性等特点。
（）1.4 现代教育技术设备将日益自动化、微观化、多样化、数字化。
( )1.5 教育最优化的标准主要有两个：一是最大效果，二是最少时间。
( )1.6 现代教育理论是现代教育技术的理论基础，主要包括学习理论、视听教育理论、传播理论和系统方法论。
（）1.7 教育技术的发展历史中，对其影响最大的、并称为“主线”的三种教育实践分别是视听教育、程序教学和在教育中引入系统方法。
（）1.8 调节幻灯机、投影器焦距的作用是调节幻灯片/投影片投影在银幕上影像的清晰度。
( )1.9 改变光学投影器反光镜的仰角主要作用是用以调整投影影像的大小。
( )1.10 投影片放置在投影机置物台面时时应上下左右倒置。
（）1.11 视频展示台是将电信号转换为光信号的设备。
（）1.12 视频展示台是一种可将文字、图片、透明胶片等光学图像转换为视频信号输出的设备。
（）1.13 视频展示台是一种可直接将文字、图片、透明胶片等光学图像放大投影至银幕的光学放大设备。
（）1.14 调节视频展示台的光圈大小的主要作用是调整投影至银幕上的影像大小。
( )1.15 视频展示台的聚焦按钮的主要作用是调整投影至银幕上的影像大小。
( )1.16 视频展示台的终端设备可以是投影机或电视机。
（）1.17 为了增强扩声效果，通常应将话筒正对扬声器放置。
( )1.18 数字录音笔是用闪存作为存储媒介。
（）1.19 M D机和MP3机所采用的压缩方法是一样的。
( )1.20 在扩声系统中扩声的大小主要取决于扬声器的功率大小。
( )1.21 电视接收机的输入端的特性阻抗为75Ω，为了减少线路损耗，连接电视接收机的馈线阻抗应小于75Ω。
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x ∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(50250.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
北航最优化理论与算法课程
minimize subject to
消去变量x1 后， 得到目标函数
内容(预习章节) 课程简介、 LP基本概念(§1.1-1.3,§2.1.1-2.1.2) LP 基本定理和既约费用系数(§2.1.3-2.1.4, §2.2.1) 单纯形法(§2.2.2-§2.2.4) 国庆节放假 国庆节放假 单纯形法的启动及效率、 修正单纯形法(§2.2.5-§2.2.6) LP 的对偶(§2.3) 网络流问题及网络单纯形法(§3.1) 网络流问题的应用(§3.2) 线性整数规划(§3.4-§3.4) 数学基础、 最优性条件、 凸函数(§1.4, §4.1-§4.2) 无约束优化算法综述、 线搜索算法(§4.3-§4.4) 无约束优化：最速下降法、 牛顿法(§5.1) 无约束优化：共轭梯度法(§5.2) 无约束优化：拟牛顿法(§5.3) 无约束优化：最小二乘(§5.4) & 信赖域法(§6.1-§6.2) 期中考试2017,11.30(周四上午10:00-12:00) 约束优化：一阶条件(§7.1-§7.2)、 凸规划(§7.5) 约束优化：一阶条件续(§7.3) 约束优化：二阶条件(§7.4) 约束优化：Lagrange对偶(§7.6-§7.7) 约束优化：二次规划(§8.1-§8.3) 约束优化：罚函数法(§9.1-§9.2) 约束优化：罚函数法(§9.3) 约束优化：逐步二次规划法(§9.4) 期末考试(暂定) 2018,1.11(周四上午10:00-12:00)
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系数排列成一个矩阵
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n a2n ann
二次型矩阵
因为aij ajiA是一个对称矩阵.
二次型矩阵都是对称矩阵
令 x(x1,x2,,xn)T
二次型就可以用矩阵的乘积表示出来
nn
f ( x 1 , x 2 , , x n )
，
g1(
x（1）)＝
1 0
，
g
2
(
x（1）)＝
－1
1
设
－04－w1
10－w2
－1
1
0 0
解此方程组，得w1＝－4，w2＝0。
由于w1 0,故不是KKT点。
再 验 证 x ( 2 ) , 在 这 一 点 ， g 1 ( x ) 0 ， g 2 ( x ) 0 都 是 起 作 用 约 束 目 标 函 数 和 约 束 函 数 的 梯 度 分 别 是 :
,
2
f'(x
(2)）＝02
0 2
2
f'(x
(3)）＝
2 0
0 2
,
2
f'(x
(4)）＝02
0 2
由于2f'(x(1)）, 2f'(x(3)）,2f'(x(4)）不定或负定，仅2f'(x(2) )正定，
故x(2)=
1 2
是局部极小点。
设 f(x ) x 1 2 x 3 2 2 x 3 2 2 x 2x 3 x 2 x 3
二次型 f(x1,x2,,xn)如果对于任意一组不全为零的 实数 c1,c2,,cn都有 f(c1,c2, ,cn)0 就称为正定的.
A是一个实对称矩阵, 如果 实二次型
xT Ax
是正定的, 则A称为正定矩阵.
设f(x1,x2,,xn)是一个实二次型, 如果对于任意一
组不全为零的实数 c1,c2,,cn, 都有 f(c1,c2, ,cn)0
三元二次型
二次型的矩阵表示
令 aij aji(ij)因为 xixj xjxi
二次型可以写成
f (x1, x2, , xn) a11x121 a12x1x2 a1nx1xn
a21x2x1 a22x22 a2nx2xn an1xnx1
an2xnx2 annxn2
nn
aijxi xj
i1 j1
就称 f(x1,x2,,xn)是负定的.
如果对于任意一组实数c1,c2,,cn, 都有
f(c1,c2, ,cn)0, 就称f(x1,x2,,xn)是半正定的.
如果对于任意一组实数 c1,c2,,cn, 都有 f(c1,c2, ,cn)0, 就称 f(x1,x2,,xn)是半负定的.
如果 f(x1,x2,,xn)即不是半正定的, 也不是半负定 的, 就称它是不定的.
a ij x i x j
i1 j1
n
a1jx j
j1
n
x1, x2 ,
,xn
a2jx j
j1
n
a
nj
x
j
j1
a11 a12
x1, x2, , xn aa 2n11
a22 an2
xT Ax
a1n x1 a2n x2 a nnxn
即为 f(x1,x2, ,xn)xTAx
L ( x , w , v ) x 1 w [ 3 ( x 1 3 ) 2 x 2 ] v [ ( x 1 3 ) 2 x 2 2 1 0 ]
Lagrange函数关于x的Hessian矩阵是
2xL6w02v
0 2v
检查x(1) : 是可行点，且两约束都是起作用约束。
f
(
x(1)
)
1 0,g
解： 先求平稳点
f
(x)
44xx21
8 4
0
平稳点为 x*＝[2, 1]T
Hesse矩阵为
2
f
(x*)
4 0
0 4
x*＝[2, 1]T是f(x)的严格极小点，f(x*)=10
例：利用极值条件解下列问题
mf( i x ) n ( x 1 2 1 ) 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1
解：先求驻点， 由于
设A是实对称矩阵, 如果二次型xT Ax 是负定 的, 就称A是负定的；
如果xT Ax是半正定的或半负定的, 就称A是 半正定的或半负定的.
二次函数
二次函数
q(x) 1 xT Gx bT x c 2
1 2
i,
n
xi
j 1
Gij
x
j
n i1
bi x j
c
其中
G11 G12 G G21 G22
第一章习题课
二次型
n个变量的二次齐次多项式
f(x 1 ,x 2 , ,x n ) a 1x 1 2 2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2x 2 2 2 2 a 2 n x 2 x n a nx n n 2
称为一个n元二次型, 简称二次型
x 1 2 2 x 1 x 2 3 x 1 x 3 x 2 2 5 x 2 x 3 2 x 3 2
(
x(1)
)
－6
1
,
h( x (1)
)
－2 －6
按照KKT条件，设
10－w －16
v
－2 －6
0
w
3 19
.v
1 38
不存在使w 0的解，故它不是KKT点.
检 查 x(2) : 是 可 行 点 ， 且 两 约 束 都 是 起 作 用 约 束 。
f
( x (2) )
1 0
,
g
(
x
(
2
)
Gn1 Gn2
G1n
G2n
Gnn
在代数学中将特殊的二次函数 f (x) 1xTGx称为二次型
2
Hesse矩阵
设f(x1,x2,,xn)所有的二阶导数都存在, 那么f 的 Hesse矩阵即
2 f
x12
2 f
H
(
f
)
x 2 x1
2 f
x
n
x1
2 f
x1x2
2 f
x
2 2
)
6 1
,
h
(
x
(1
)
)
2
－
6
按 照 KKT条 件 ， 设
1 0
－
w
6 1
2
v
－
6
0
w
3 .v 19
1 38
故 它 是 KKT点 ,此 点 Lagrange函 数 的 Hessian矩 阵 为 ：
1
2 x
L
(
x
(
2
)
,
w
,
v
)
0
0
1
19
2f x32
62x1
所以
2f(x)12x122x12x2 2x3
2x1 12x2
4
2x3 4
62x1
即为Hesse矩阵
f (x*) 0 以及 2 f (x*) 是正定(负定)的，
则x*是f(x) 的一个严格的局部最小(大)点。
例 求f(x1,x2)=2x12－8x1+2x22－4x2+20的极值点及极值
f(x （ 2 ） ) ＝ － 2 2 ， g 1 (x （ 2 ） ) ＝ 1 2 ， g 2 (x （ 2 ） ) ＝ － 1 1
设
－22－w1
－12－w2
－1
1
0 0
解此方程组，得w1＝0，w2＝2。
故它是KKT点。
例 考虑下列非线性规划问题 min x1 s.t.3( x1 3)2 x2 0 ( x1 3)2 x22 10 0
目标函数和约束函数的梯度是
f
(
x )＝
2( x1 2 x2
2
)
，
g1
(
x )＝
1 － 2
x2
，
g
2
(
x )＝
－1
1
先 验 证 x (1) .在 这 一 点 ，g1 ( x) 0， g 2 ( x) 0都 是 起 作 用 约 束
目标函数和约束函数的梯度分别是
f
(
x（1）)＝
－ 4
0
f x1
4x13
2x1
2, f x2
2x2
令f'(x)=0,即4x13 2x1 2 0，2x2＝0
解得驻点x*=(1,0)
又Hessian阵2f'(x）＝12x102－2
0 2
2f'(x*）＝100
0 2
正定，故x*=(1,0) 是局部极小点。
利用极值条件解下列问题：
min f(x)1 3x1 31 3x2 3x2 2x1
解：先求驻点， 由于
f x1
x12
1, f x2
x22
2x2
令f'(x)=0,即12 1＝0, x22 2x2 0
解得驻点x(1)=10 , x(2)=12 , x(3)=-01 ,x(4)=-21
又Hessian阵2
f'(x）＝
2x1 0
0 2x2－2
2f'(x(1)）＝02
0 2
检验以下各点是否为局部最优解
x (1 ) 2 3 ,x (2 ) 4 3 ,x (3 ) 3 0 1 0 x (4 ) 3 0 1 0
记目标函数和约束函数分别为f(x),g(x),h(x),他们在 点x处的梯度分别是 f(x ) 1 0 , g (x ) 6 (x 1 1 3 ) , h (x ) 2 (x 2 1 x 2 3 ) Lagrange函数是