最优化理论与方法 试题2006

2006级硕士生《最优化理论与方法》试题 姓名：学号：成绩：

注意：请将答案全部写在答题纸上。

1、填空题（5分）

（1）最优化设计问题的三要素是、和。

（2）函数值的最大下降率的方向是函数在该点的方向。（3）线性规划问题是指的最优化问题。

2、判断题（5分）

（1）黄金分割法（0.618法）的区间缩短率随问题性质的不同而改变。（2）虽然利用拉格朗日乘子法可以将约束最优化问题变成无约束最优化问题进行求解，但是要付出增加变量维数的代价。

（3）在求解约束优化设计问题时，可以将约束函数通过一定方式变为目标函数的一部分，从而将问题化为无约束问题进行求解。

（4）性态约束是在优化设计中由结构的某种性能和设计要求推导出来的一种约束条件，因此它通常为显约束。

（5）从消元法的观点看，等式约束的实质是使原最优化问题的的实际维数降低。

3、简答题（10分）

（1）写出4种求解一维优化问题的主要方法。

（2）写出4种求解无约束多维最优化问题的主要方法。

（3）写出4种求解约束多维最优化问题的主要方法。

（4）写出2种用到目标函数的导数（梯度）的优化方法。

（5）写出1种用到目标函数的二次导数（Hessian 矩阵）的优化方法。 4、用单纯形法求解以下线性规划问题。（10分）

()2134x x f −−=X min

s.t. 50321=++x x x

802421=++x x x

14023521=++x x x

0≥j x

j = 1, 2, 3, 4 ,5

5、利用Kuhn-Tucker 条件，判断点[2,0]T 是否为下面约束问题的极值点。（10分）

()9612

221+−+=x x x F X min

s.t. ()()()022 2111≤+−+=x x x g X

()012≤−=x g X

()023≤−=x g X

6、用黄金分割法求解目标函数()2

1

2−−=x x f X 的极小值，用表格形式列出前四步计算过程，计算区间为[ 0, 1.2 ]。（10分）

7、简要说明A *算法。图1中起始节点S 和终止节点E 所给出的8数码问题，以离家将牌数Misplaced(n )为启发函数，用A *算法构造搜索图。（7分）

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=56748321 45761382E S

图1 已知8数码问题的起始布局和目标布局

8、用二进制编码的遗传算法解决如下数值优化问题。求下面优化问题的最优解：

min f (x )＝x 1＋x 2＋x 3

s.t. 8≤x 1≤15

3≤x 2≤7 5≤x 3≤11

已知三个初始个体（x 1, x 2, x 3）为（8, 6, 7）

、（11, 4, 10）与（10, 5, 9）， 并给出三个初始个体按二进制编码分别为（1 0 0 0，0 1 1 0，0 1 1 1）， （1 0 1 1，0 1 0 0，1 0 1 0），（1 0 1 0 ，0 1 0 1，1 0 0 1），请通过进行交叉，变异，选择遗传操作来求解上述的优化问题，要进行两轮进化操作即可。（10分）

9、给定双积分系统的状态方程如下：

u x x

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100010

设初始条件和边界条件为：x 1(0)＝1，x 2(0)＝1；终端约束条件：x 1(1)＝0；x 2(1)＝0

求使性能泛函：()∫=1

02

dt t u J 为极小值时的最优控制u *(t )及最有轨线

x *(t )。 （10分）

10、设有5个城市1, 2, 3, 4, 5相互的距离如下图2所示，试用函数空间迭代法，求各城市到城市5的最短路线和最短路程。（7分）

图 2 城市路线图

11、简述模拟退火算能够全局优化爬出极小值的原理。（5分） 12、试叙述霍氏网神经元满足李亚普诺夫函数(Lyapunov function)的条件。（6分）

13、已知霍普费尔德网络的基本结构如图3所示。（5分）

图3 霍氏网的基本结构

设双极硬限器为：

(1)

这里取T i ＝0。

在同步进行时，网络中所有神经元的更新同时进行，也就是

(2)

其中初始值⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2.07.00I ；⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+−=110S

；权系数为：⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−=01

11

W 。

试用霍氏神经网进行更新迭代过程计算，要求迭代2步以上。