黄金分割法及其实例

ax1 x2b
f1
f2
f1
f2
a
x1
x2
x2
b
b a
x1
a
x2
x1
b
新区间 [a, b]1
新区间 [a, b]1
1、在初始区间
[a, b] 内，对称的取两个内分点 ：
x1、x2
ax1 x2b
2、计算并比较它们的函数值
f1 f ( x1 ) f 2 f ( x2 )
① f1 f 2 : 消去[ x2 , b], 新区间： [a，x2 ] （b x2）
② f1 f 2 :
消去[a，x1 ], 新区间： x1，b] （a x1） [
3、如上两步使区间缩短一次，并在新区间内均
保留了一个内点 x1或x2 故下次只需再对称的 增补一个内点
x1或x2 ，重复做上述两内点
函数值的比较： f1 f ( x1 ) f 2 f ( x2 ) 如此反复运算，区间即可逐步地加以缩短：
N1 1
ba
N0 0
x
x2 a 0.618(b a), f 2 f ( x2 )
( a b) 2
x1 a 0.382(b a), f1 f ( x1 )
转出
黄金分割法(0.618法)的基本原理 初始区间： [a, b] l
l
(1 )l
[a, b]2 区间长度 (1 )l
据上述原则：
l
(1 ) l l l
即： 2 1 0
取其正根： 0.618
故两个内分点的取点原则：
x1 a (1 )(b a ) a 0.382 (b a )
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
x2 a (1) (b(1) a (1) ) a (1) 0.618 (b(1) a (1) )
第一次缩短时的原区间：
a
(1)
a ;
b
(1)
b
5、区间缩短的终止条件：
设：k —区间缩短次数，ε—迭代精度，按点距准则：
b ( k ) a ( k ) k (b a ) 0.618 k (b a )
(a ( k ) b ( k ) ) x 2 f f ( x )
(最终区间中点）
工程实例


工程上可用黄金分割法求解受均匀力作用下横 梁的弯曲量最大的点。 该横梁一些参数为：
q 1kN / m
E 200Gpa b 0.5m h 1m
l 10m
• 以该梁的挠度方程为目标函数，运用黄金分割法 进行编程求极值点。 • 通过工程力学计算，得到最大挠度出现在：
(5, 1.5625 10 )
5
• 精度为0.01的黄金分割法编程求出极值点与数学 运算计算得到的极值点进行比较，结果是在误差 范围内的。
任课老师： 学生：学号
给定
a0、 b0 , ,
a a0、 b b0 ,
x1 a 0.382(b a), f1 f ( x1 ) x2 a 0.618(b a), f 2 f ( x2 )
f1 f 2
N0 0
b x2 x2 x1 , f 2 f1 a x1 x1 x2 , f1 f 2

对横梁进行简化可得到简图。
横梁受力简图
y
x o
qx(l 3 2lx 2 x 3 ) 根据力学公式，可算得该梁的挠度方程为： y 24 EI
以o为原点建立X-Y坐标系，如上图所示。
105 x 4 2 106 x3 108 x 代入数据得到挠度方程为： y 2 1011
4、内分点的选取原则
[a, b]1; [a, b]2 ; [a, b]3 ; ....
每次缩小的新区间长度 缩短率 1 2 原区间长度
⒈初始区间： ⒉第一个新区间： ⒊第二个Байду номын сангаас区间：
[a, b] 区间长度 l b a
[a, b]1 区间长度 l