反证法 教学设计
反证法-北师大版选修2-2教案
反证法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.理解反证法的概念及其基本思想。
2.掌握反证法的基本方法和步骤。
3.通过练习，培养学生运用反证法解决问题的能力。
二、教学内容1. 反证法的概念和基本思想反证法是一种推理方法，它是在假设与原论题相反的结论为真的前提下，证明假设是错误的，从而证明原命题为真的方法。
反证法的基本思想是，如果一个命题是正确的，那么这个命题所对应的任何反命题都是错误的，即如果反命题成立，则原命题必为假。
2. 反证法的基本方法和步骤反证法的基本方法和步骤包括以下几个方面：第一步：对原论题进行推定，即假设所证明的结论为假。
第二步：在推定的前提下，运用逻辑推理方法，发现与推定的结论不符的一些事实或规律。
第三步：根据前两步的结果，推翻假设的结论，证明原论题的论证是正确的。
3. 反证法的应用举例反证法可以运用到各种不同领域的问题中，如数学、哲学、物理等。
以下举例说明反证法的应用：（1）数学比如用反证法证明勾股定理：设有两条直角边分别为a和b，斜边为c。
如果假设勾股定理不成立，即c2≠a2+b2，那么存在以下两种情况之一：c2>a2+b2或c2<a2+b^2。
经过推理可得出结论，这两种情况都是不成立的，说明假设的结论是错误的，从而证明了勾股定理是正确的。
（2）哲学比如用反证法证明存在的必要性：假设不存在某一事物B，那么与这个事物相关的一系列因果关系也将不存在，导致整个世界都会发生变化。
但是，事实上这个世界并没有发生任何变化，说明假设不成立，从而证明存在的必要性是成立的。
（3）物理比如用反证法证明相对论时空间的变化与物理定理的一致性：如果假设时空间的变化对物理定理没有影响，那么在不同的参考系中，物理现象的规律将会发生改变，这与实验观测结果是不符的，因此假设不成立，从而证明了时空间的变化对物理定律的影响。
三、教学方法教师通过给学生讲解反证法的基本概念、方法和步骤，引导学生在实际问题中应用反证法，帮助他们理解反证法的基本原理。
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
2024年冀教版八年级上册教学设计第十七章17.5 反证法
课时目标1.通过实例体会反证法的含义.2.掌握反证法证明命题的一般步骤,能用反证法进行简单的推理证明.3.借助实例感受反证法的思想.学习重点从生活实例中体会反证法的方法步骤.学习难点能用反证法进行简单的推理证明.课时活动设计导入新课在证明一些命题为真命题时,一般用直接证明的方法,但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.设计意图:开门见山,直接引出本节课所学.探究新知在第九章中,我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢?思考:该命题直接去证明,显然比较麻烦,所以,我们如何去证明呢?学生初步说出解决问题的思路,假设有两个直角的时候,不满足三角形的内角和定理,此时,教师可做出示范,引出本节课所学内容.已知:如图,△ABC.求证:在△ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角.证明:假设在△ABC中,有两个(或三个)直角,不妨设△A=△B=90°.△△A+△B=180°,△△A+△B+△C>180°.这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.因此,三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以,如果三角形含直角,那么它只能有一个直角.设计意图:通过学生思考,教师规范过程,让学生初步感受反证法的一般过程.归纳总结同学们,观察老师的写题思路,上面的证明过程,是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果,因此,假设是错误的,原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法.现在你能总结反证法的一般思路吗?学生思考,说出自己的想法,最后教师总结.用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.设计意图:学生独立思考,加深学生对反证法的理解.典例精讲例1用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.已知:如图,直线AB△CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H,△1和△2是同位角.求证:△1=△2.思考:应该假设什么?证明:假设△1≠△2.过点G作直线MN,使得△EGN=△1.△△EGN=△1,△MN△CD(基本事实).又△AB△CD(已知),△过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行,这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾.△△1≠△2的假设是不成立的.因此,△1=△2.例2用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,△C=△C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:△ABC△△A'B'C'.证明:假设△ABC与△A'B'C'不全等,即BC≠B'C'.不妨设BC<B'C'.如图.在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D.在△ABC和△A'B'C'中,△AC=A'C',△C=△C',CB=C'D,△△ABC△△A'DC'(SAS).△AB=A'D(全等三角形的对应边相等).△AB=A'B'(已知),△A'B'=A'D(等量代换).△△B'=△A'DB'(等边对等角).△△A'DB'<90°(三角形的内角和定理),即△C'<△A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).这与△C'=90°相矛盾.因此,BC≠B'C'的假设不成立,即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立.所以,△ABC△△A'B'C'.设计意图:让学生利用反证法对以前的知识进行证明,加深学生对反证法的理解.巩固训练1.用反证法证明:(1)如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0.(2)两条直线相交,有且只有一个交点.证明:(1)假设a≠0且b≠0,则ab≠0,与ab=0相矛盾.△假设不成立.△a=0或b=0.(2)假设直线a与直线b相交没有交点或有两个及两个以上交点.若直线a与直线b没有交点,则直线a与直线b平行,与两直线相交矛盾;若直线a与直线b有两个及两个以上交点,根据两点确定一条直线,可知直线a与直线b重合,与两条直线相交矛盾,综上,假设不成立,所以直线a与直线b有且只有一个交点.2.已知:直线a△b,直线c与b相交,且c与b不垂直.用反证法证明:a与c相交.证明:假设直线a与c不相交,即a△c.△a△b,a△c,△b△c.这与已知直线c与b不垂直相矛盾,△假设a与c不相交不成立.△a与c相交.设计意图:学生通过习题的练习,能够熟练利用反证法解决问题.课堂小结反证法证明的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.设计意图:通过对本节课所学内容的归纳总结,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.随堂小测1.“a<b”的反面应是(D)A.a≠bB.a>bC.a=bD.a=b或a>b2.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设(B)A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中(B)A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°4.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形是等腰三角形.5.完成下列证明.在△ABC中,如果△C是直角,那么△B一定是锐角.证明:假设结论不成立,则△B是直角或钝角.当△B是直角时,则△A+△B+△C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾;当△B是钝角时,则△A+△B+△C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾.综上所述,假设不成立.△如果△C是直角,那么△B一定是锐角.设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第164页习题第1,2题.2.七彩作业.17.5反证法反证法证明的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.教学反思。
教学设计7：2.2.2 反证法
2．2.2反证法教学设计1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．教学知识梳理知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考本故事中王戎运用了什么论证思想？【答案】运用了反证法思想．梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．教学案例类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明 假设a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，∴4b ＝a ＋c ＋2ac .①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，②由②得b ＝ac ，代入①式，得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列．类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.证明 假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1.因为a ，b ，c ∈(0,2)，所以2－a >0,2－b >0,2－c >0.所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1. 同理(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1， (2－c )＋a 2≥(2－c )a >1. 三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a 2>3， 即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如： 结论词 反设词 结论词 反设词至少有一个一个也没有 对所有x 成立 存在某个x 0不成立 至多有一个至少有两个 对任意x 不成立 存在某个x 0成立 至少有n 个至多有n －1个 p 或q p 且q 至多有n 个 至少有n ＋1个 p 且q p 或qy 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点，由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，且Δ3＝4a 2－4bc ≤0.同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x ＝3有且只有一个根．证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的．假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则12b ＝3, 22b ＝3，两式相除得122b b ＝1，∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，求证：方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．达标检测1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A ．三角形中至少有一个直角或钝角B ．三角形中至少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角【答案】B2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么直线c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线 【答案】C【解析】假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．3．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 【答案】B4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交 【答案】D5．用反证法证明：关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，当a ≤－32或a ≥－1时，至少有一个方程有实数根． 证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2＋4(4a －3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4×(－2a )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，解得－32<a <－1，与a ≤－32或a ≥－1矛盾，故原命题成立．。
高中物理教案反证法
高中物理教案反证法教学内容：反证法在物理中的应用教学目标：1. 了解反证法的基本概念和原理2. 掌握如何利用反证法解决物理问题3. 能够加深对物理学知识的理解和运用教学重点：1. 反证法的定义和原理2. 反证法在物理中的应用教学难点：1. 如何运用反证法解决物理问题教学准备：1. 教师准备相关物理学知识和经典案例2. 准备PPT或其他教学工具教学过程：一、导入（5分钟）教师简单介绍反证法在物理中的应用，并提出一个物理问题，引出本节课的内容。
二、理论讲解（15分钟）1. 教师讲解反证法的基本概念和原理，引导学生理解反证法的作用和意义。
2. 通过实例讲解反证法在解决物理问题中的应用，让学生明白如何运用反证法解决问题。
三、案例分析（15分钟）教师以经典物理问题为例，与学生一起分析并讨论如何运用反证法解决问题，加深学生对反证法的理解和运用能力。
四、练习与讨论（15分钟）教师布置相关练习题，让学生独立或小组合作解决问题，然后让学生展示答案，并进行讨论和交流。
五、总结与拓展（10分钟）教师总结本节课的内容，强调反证法在物理中的重要性，并提供一些拓展问题供学生自主学习。
六、作业布置（5分钟）布置相关作业，让学生巩固所学内容，并鼓励他们在实践中运用反证法解决更多物理问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够更深入地理解反证法在物理中的应用，并能够灵活运用反证法解决相关问题。
同时，通过案例分析和练习，学生的思维能力和解决问题的能力得到了有效的提升，为他们未来学习物理和其他学科打下了良好的基础。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力、推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点反证法的概念和证明步骤，以及如何正确地提出反设和推出矛盾。
2、教学难点理解反证法的逻辑原理，如何在证明过程中寻找矛盾，以及反证法的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过一个有趣的推理故事引入反证法的概念。
例如：有一天，一个小偷被警察抓住了。
警察问小偷：“你偷东西了吗？”小偷说：“我没偷。
”警察说：“那好，假设你没偷，但是我们在现场发现了你的脚印和指纹，这怎么解释？”小偷无言以对。
这个故事中，警察就是运用了一种特殊的推理方法——反证法。
2、讲解反证法的概念反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后通过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
3、反证法的证明步骤（1）提出反设：假设命题的结论不成立。
（2）推出矛盾：从反设出发，通过推理，得出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果。
（3）得出结论：由于推出了矛盾，所以反设不成立，从而原命题的结论成立。
以“在一个三角形中，最多只能有一个直角”为例进行讲解。
假设在一个三角形中有两个直角，设∠A ＝∠B ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中，最多只能有一个直角。
4、反证法的应用（1）证明“根号 2 是无理数”假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ p ／ q（p、q 为互质的正整数），则 2 ＝ p^2 ／ q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
反证法完整版教学设计
主备人：吴哲审核：使用时间： 课题：反证法【学习目标】1．理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤．2．通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系，体现对立与统一的思想观点和方法． 3．通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，开拓数学视野，认识数学的科学价值和人文价值．【问题导学】（走进课本、夯实基础）证明分为和。
其中常用的直接证明方法有和有时直接证明很难推出结论，我们可以。
某些至多至少问题、唯一性问题、否定性问题，也可以采用。
应用反证法证明数学命题的一般步骤： 1、 2、 3、 4、我们这里所说的矛盾主要是指： 1、 2、 3、【合作探究】（集思广益、用心收获）例1、 两千多年前，古希腊人曾经使用反证法证明过2不是有理数的问题，你是否明白 练习1、设p 是质数，求证p 是无理数练习2、设q p ,是奇数，求证方程0222=++q px x 没有有理根练习3、设d c b a ,,,是正有理数，d c ,是无理数，求证d b c a +是无理数例2、反证法在几何中有着广泛的应用，“平面上有四个点，没有三点共线，求证以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形”【归纳小结】（构建知识、为我所用） 知识方面：。
数学思想与方法：。
【我要提问】 【作业】一、选择题1．实数a ，b ，c 不全为0的含义是A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 2．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是 A ．a 0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题错误的是A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f 至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a 、b 中至少有一个为奇数 7．00，>0，＋≤4，则有 ≤错误!＋错误!≥1≥2 ≥110．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1a ，b 是常数，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个 二、填空题11．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________． 12．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．13．用反证法证明命题“如果AB ∥CD ，AB ∥EF ，那么CD ∥EF ”，证明的第一个步骤是________． 14．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________． 三、解答题：15设二次函数()()02≠++=a c bx ax x f 中的c b a ,,均为奇数，求证：方程()0=x f 无整数根。
教学设计5：2.2.2 反证法
2.2.2 反证法例1.已知x 、y 、z 是整数，且x 2+y 2=z 2 求证：x 、y 、z 不可能都是奇数.证明：设x 、y 、z 都是奇数，则x 2、y 2、z 2都是奇数 ∴x 2+y 2为偶数 ∴ x 2+y 2≠z 2 这与已知矛盾 ∴ x 、y 、z 不可能都是奇数.例2. 若三个方程x 2+4mx -4m +3=0；x 2+(m -1)x +m 2=0；x 2+2mx -2m =0 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.解：当三个方程都没有实根时， 有即： 得：∴ -3/2<m <-1∴ 上述三个方程至少有一个方程有实根的m 的范围应为：m ≥-1或m ≤-3/2. 例3 若{},x y ∈正实数,且2x y +>,求证:12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 证明 (用反证法证明) 假设12x y +<和12y x +<都不成立,则有12x y +≥和12y x+≥同时成立. 因为0x >且0y >,所以12x y +≥且12y x +≥. 两式相加得 222x y x y ++≥+,所以2x y +≤, 这与已知条件2x y +>矛盾,因此,12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 课堂巩固1．实数a ，b ，c 不全为0等价于 ( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0学习笔记教师备课△1=(4m )2-4(3-4m )<0△2=(m -1)2-4m 2<0 △=4m 2+8m<0 4m 2+4m -3<03m 2+2m -1>0-3/2<m <1/2 m <-1或m >1/3证明假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案a，b不全为09．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．10．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．证明由a n＋1＝f(a n)得a n＋1＝a2n2a n－2，∴1a n＋1＝－2a2n＋2a n＝－2⎝⎛⎭⎫1a n－122＋12≤12，∴a n＋1<0或a n＋1≥2；(1)若a n＋1<0，则a n＋1<0<3，学习笔记∴结论“当n≥2时，恒有a n<3”成立；(2)若a n＋1≥2，则当n≥2时，有a n＋1－a n＝a2n2a n－2－a n＝－a2n＋2a n2a n－1＝－a n a n－22a n－1≤0，∴a n＋1≤a n，即数列{a n}在n≥2时单调递减；由a2＝a212a1－2＝168－2＝83<3，可知a n≤a2<3，在n≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有a n<3成立．。
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反证法
【教学目标】
1．使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。
2．培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。
【教学重点】
反证法证题的步骤。
【教学难点】
理解反证法的推理依据及方法。
【教学方法】
讲练结合教学。
【教学过程】
一、提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2
二、探究
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。
探究：
假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
像这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾。
假设不成立。
∴∠B≠∠C．小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。
例2：已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//C。
求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A．那么过点A就有两条直线a．b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立。
∴a//B 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾。
例3：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°。
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。
即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾。
假设不成立。
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
三、课堂练习：
课本“练习”。
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。
对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
【作业布置】
课本“习题”1、2题。