《大学数学A》第三章练习题

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高等数学第三章课后习题答案

第三章中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。

解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。

又xx f 1)(='，解方程,111,1)1()()(-=--='e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。

因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。

2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。

由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。

又因方程'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。

因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明:方程0)1(12110=++-+---n n n a x n a nxa 必有一个小于0x 的正根。

解：取函数()1011nn n f x a x a xa x --=+++。

0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。

《大学数学》习题及答案

大学数学习题第一章微积分的基础和研究对象§1 微积分的基础——集合、实数和极限一．论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。

二．叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。

二．叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。

§2 微积分的研究对象——函数一．填空题1．函数y =的定义域 . 2．设函数f (x) =⎪⎩⎪⎨⎧>≤1||01||21x x 则函数f[f(x)]= .3．函数y =xx+-11的反函数为 . 4．设)(x f 是奇函数,且ϕ(x)=)(x f .(21121-+x) , 则ϕ(x) 是___________函数. 5．函数f (x) = sinxsin3x 的周期T= . 二．求下列函数定义域 1．y = 423+x + 21arcsin3-x .2．y =xx -2+ )3ln(x +.三．设 ⎩⎨⎧≤<≤≤=+21210)1(2x xx x x ϕ , 求)(x ϕ.四．设函数 f (x) = ⎩⎨⎧≤<≤≤211022x xx x, g (x) = ln x ，求f [ g(x) ] , g [ f(x) ].五．已知f (sin 2x ) = cos x + 1 , 求f (cos 2x ).六．证明题：设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)在(-L,0)内也单调增加.第二章微积分的直接基础——极限§1 数列的极限一、判断题1．数列}{n a 中去掉或增加有限项，不影响数列的极限；（） 2．数列}{n n b a +极限存在，则}{n a 与}{n b 极限均存在；（）3．若0>∀ε，存在无限多个}{n a 满足}||ε<-a a n ，则有a a n n =+∞→lim .（）二．填空题 1．数列}{n a 有界是数列收敛的条件；2．=+∞→nn 32lim；3．=+∞→nnn cos lim； 4．=-++∞→3523limn n n . 三．用极限定义证明 1．15lim2=++∞→nn n . 2．0)5(lim 2=--+∞→n n n .3．0cos lim=+∞→nn n π.四．证明：若a a n n =+∞→lim ，则有||||lim a a n n =+∞→，并举例说明其逆命题不成立.五．证明数列}3{cos πn 极限不存在.§2 函数的极限一．填空题1．设函数⎩⎨⎧≥-<+=1,121,4)(x x x x x f ，则)x (f lim 01x -→＝，)x (f lim 01x +→＝ .2．=→xx 1sinlim 0. 3．设⎩⎨⎧>+≤=0)(x b ax x e x f x ，则=+)0(f ，=-)0(f ，当=b 时，1)(lim 0=→x f x .二．判断题1. 若A x f x x =→)(lim 0，0)(lim 0=→x g x x ，则有)()(limx g x f x x →不存在；（） 2.+∞=+∞→)sin (lim 2x x x ；（）3. 若A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且B A >，则)()(x g x f >；（）4. =→x x x 1coslim 0x x 0lim →01cos lim 0=→xx ；（） 5. 若)()(limx g x f x x →存在，且0)(lim 0=→x g x x 则0)(lim 0=→x f x x .（）6．1sin lim=∞→xxx ；（）7．e x xx =+∞→1)1(lim ；（）8．当∞→x 时，2311x x +与kx 1是等价无穷小量，则2=k ；（） 9．无穷小量的代数和还是无穷小量；（）10．当0→x 时，无穷小量43x x y +=是关于x 的4阶无穷小量；（）11．因为0→x 时x sin ～x ～x tan ，所以有000lim sin tan lim3030=-=-→→xx x x x x .（）三．利用定义证明下列函数的极限 1．4142lim22=--→x x x ；2．2arctan lim π=+∞→x x 。

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高数A三复习试卷

（一）一、选择题1、在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（）。

(A) (B) (C) (D) 100010001⎛⎞⎜−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟⎟⎟010100001⎛⎞⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠101010001⎛⎞⎜−⎜⎟⎜⎟⎝⎠101010001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2、下列说法正确的是（）。

(A)向量组12,,,m ααα 线性相关，则1α可由2,,m αα 线性表示 (B)向量组12,,,m ααα 线性相关，则1α必不可由2,,m αα 线性表示 (C)向量组12,,,m ααα 线性无关，则1α可由2,,m αα 线性表示 (D)向量组12,,,m ααα 线性无关，则1α必不可由2,,m αα 线性表示3、已知二次型为正定二次型，则满足（）。

312322213212),,(x cx x bx ax x x x f +++=c b a ,,(A) (B) (C) (D)0,0,0>>>c b a 0,2>>b c a 0,>>ac b a 012>+++c b a 4、设是总体X 的样本，且，则（）是的无偏估计。

n X X X ,,,21 2)(,)(σμ==X D X E 2σ(A)211)(1X X n n i i −∑−= (B)211(11X X n n i i −−∑−= (C)211()ni i X X n =−∑(D)21(11X X n n i i −−∑= 5、设随机变量的方差均存在，那么下列说法正确的是（）。

（A）()()()D X Y D X D Y +=+时，必有X 与Y 是相互独立的。

（B）()()()D X Y D X D Y +=+时，必有X 与Y 是不相关的。

（C）X 与Y 是不相关的，必有X 与Y 是相互独立的。

（D）X 与Y 是不相关的是X 与Y 是相互独立的充分必要条件。

6、设总体X,Y 都服从正态分布，(0,1)N 129129(,,,)(,,,)X X X Y Y Y 与分别是来自X,Y且相互独立的样本，则T =服从（）。

高等数学第三章练习题及答案

第三章练习题一、填空1、设常数，函数在内零点的个数为 22、3、曲线的拐点是（1,4）．4、曲线的拐点是 (0, 0)5、.曲线的拐点是.6、217、38.9、函数xxe y =的极小值点是 ____1-=x ______10、函数x x e y xcos -+= 在 []π,0上的最小值是 011．=-→xe x x 1limsin 0 1 二、选择1、设，则有（ B ）实根.A.. 一个B. 两个C. 三个D. 无 2、的拐点是（ C ） A. BC.D.3．( B )A 、B 、C 、D 、4．( B )A、B、C、D、5．( C ) A、 B、C、 D、6．( A )A、 B、 C、 D、7．AA、B、C、D、8．DA、 B、C、 D、9．( C )A、B、C、 D、10．函数( C )A、0B、132C、120D、6011．( B )A、B、C、D、12．（B）A、B、C 、D 、13．设在＝2处（ A ）A. 连续B.不连续C. 可导D.不存在极限14．( B )A 、B 、C 、D 、15.设，则（ C ）A. 0B. 1C.-1.D. 2三、计算与证明：1、解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0()11lim 0-+-=→x x x e x e x 11lim 0-+-=→x x x x xe e e 2121lim lim 00-=+-=++-=→→x xe e e e x x x x x x2、()()()()2000ln 1ln 111lim lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+-+-==⎢⎥++⎣⎦解：()00111lim lim 221x x x x x x x →→-+==+ 12=3、2ln lnarctan 2lim arctan lim xx x x x x eππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解：112ln ln arctan 2arctan 1112lim limx x x x x xx eeπ⋅++-→+∞→+∞==2eπ-=4、1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim22=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x5、解：x x x e e x x x sin 2lim 0----→= xe e x x x cos 12lim 0--+-→ =x e e x x x sin lim 0-→-=x e e x x x cos lim 0-→+=26、解 x x x sin 0lim +→=xx x e ln sin 0lim +→而+→0lim x x x ln sin =+→0lim x x x ln =+→0lim x x x 1ln =+→0lim x 211xx-=+→0lim x )(x -= 0 故x x x sin 0lim +→=10=e 7、解：原式=30sin lim x x x x -→=203cos 1lim xx x -→=x x x 6sin lim 0→=618、求函数的单调区间和极值.解：定义域为(,)-∞+∞， 212363(2),0,0,2,y x x x x y x x ''=-=-===令得列表如下：x (,0)-∞0 (0,2)2 ∞(2,+)y' + 0 － 0 + y↑1↓-3↑(,0)-∞∞所以函数的单调增区间为及(2,+)，单调减区间为(0,2)，…01-x x =当时取极大值，当=2时取极小值3.9、确定函数的单调区间及极值和凹凸区间。

高等数学A三复习题(学生版)

A A 中必有一行元素（或一列）全为零 B A 中必有两行元素成比例 C A 中必有一行是其余各行的线性组合 D A 中任意一行是其余各行的线性组合 10、设 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × m 矩阵，则（） A 当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0 B 当 m > n 时，必有行列式 AB = 0 C 当 m < n 时，必有行列式 AB ≠ 0
⎛0 1 0 ⎞ ⎟ 23、设 A = ⎜ ⎜a 0 c ⎟， ⎜ b 0 1/ 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1）a，b，c 满足什么条件时，r(A)=3；（2）选择 a，b，c 使得 A 为正交阵。 2 24、设方阵 A 满足 A + 2 A − 3E = O （1）问 A + 4 E 是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵；（2）问 A + kE （其中 k 为整数）是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵。
上述基下的坐标为 ___________________ 16、设三维空间 V 上的两组基底： α1 , α 2 , α 3 和 β1 , β 2 , β3 ；又 β1 = α1 + 2α 2 + α 3 , β 2 = α1 + α 2 , β3 = α1 ， V 中向量 ξ 在基 β1 , β 2 , β3 下的坐标为 (1, 2, 2)T ，则 ξ 在基 α1 , α 2 , α 3 下的坐标是 __________ 17、设 ξ1 , ξ 2 , ξ3 是 AX = 0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（） A ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等价向量组 B ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等秩向量组 D ξ1 − ξ 2 , ξ 2 − ξ3 , ξ3 − ξ1 C ξ1 + ξ 2 , ξ 2 + ξ3 , ξ3 + ξ1 18、若 α1 = (1, −1, a, 4)T , α 2 = (−2,1,5, a − 7)T , α 3 = (a, 2, −10, −2)T 是齐次方程组 AX = 0 的基础解系，则 a 的取值范围是（） a≠0 a ≠1 a ≠ −9 A B C a ≠ 1且a ≠ −9 D ） 19、设 A 为 m × n 矩阵，齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解的充分条件是（ A A 的列向量组线性无关 B A 的列向量组线性相关 C A 的行向量组线性无关 D A 的行向量组线性相关

高数a第三章习题提示与答案

习题3-1(A) 1，34=ξ 2，14-=πξ5，提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[)()(234x F x c b a cx bx ax x F ++-++=. 6，提示：.]1,1[)(,2arccos arcsin )(上为常数在证明令--+=x F x x x F π7，提示：.],[,)(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F n = 8，提示：.],[,ln )(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F =9，提示：x x x x x x x F cos ,],[,],[,sin )(3221再利用理上应用拉格朗日中值定分别在令= .),0(上的单调递减性在π10，提示：，再用罗尔定理内有根在内有根在用零点定理证明21)1,21(,)21,0()(ξξx f证明.)1,0(),()(21内有根在⊂'ξξx f 习题3-1(B)1, 提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[2)(210x F x na x a x a x F n n +++= . 2，提示：令，x n n a x a x a x F n )12sin()12(3sin 3sin )(21--+++= 满足罗尔定理上验证在)(]1,0[x F . 3，提示：.,0)(),(0)(),(21211以此类推使，存在使由罗尔定理存在=''∈='∈ξξξξξf b f b a 4，提示：),(,0)(),(211b c f c a ∈>'∈ξξξ存在有证明存在由拉格朗日中值定理可.],[)(,0)(212理上利用拉格朗日中值定在再对有ξξξx f f '<' 5，提示：,0)0(0)()1,0(11='='∈G G 又因为，使由罗尔定理存在ξξ .],0[)(1上验证罗尔定理在对ξx G ' 6，内，证明：在内二阶可导，且上连续，在在设]1,0[0)1()0()1,0(]1,0[)(==f f x fηηηξξξηξ-'=''-'=''1)(2)()2(1)()()1(,f f f f 得使分别存在提示：，使由罗尔定理存在设0)()1,0(),()1()()1(11='∈'-=ξξf x f x x F.0)()1,0()1,(1='⊂∈在使存在所以ξξξF.]1,0[),()1()()2(上二次应用罗尔定理在设x f x x F -= 7，提示：)(),(432)(35x F c bx ax x x F '+∞-∞+++=上有根，再证明在用零点定理证明.),(上无零点在+∞-∞ 8，提示：值定理上，所以由拉格朗日中在直线因为AB c f c ))(,( ，使得存在)()()()()()(),(),,(2121ξξξξf cb c f b f a c a f c f f b c c a '=--=--='∈∈ .),(),()(21上利用罗尔定理在再对b a x f ⊂'ξξ 9，提示：考虑.)(,)()(为常数先证明x e x f x xϕϕ=10，提示：.)()1,0()(,)()(单调内有根，并证明在用零点定理证明令x F x F x x f x F -=11，提示：.0)())(,()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛--k a f a f k a f a a x f 可证明上用拉格朗日中值公式在对 12，提示：.,1)(,)()(利用柯西中值定理令xx G x x f x F == 习题3-2 (A)1, (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞ 2，简答：,01sin lim 1sin lim sin 1sinlim02020===→→→xx x x x x x x x x x 但若用洛必达法则 =→x x x x sin 1sinlim 20 x x x x x c o s 1c o s1s i n 2lim0-→ 因为不存在，所以x x 1cos lim 0→不能用洛必达法则. 习题3-2 (B)1，n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2，363，简答：xx x xx x x x x xxx x x x e e ee x xf 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[10011000000200lim )1(lim )(lim -+-+-++→+→+→+→+→===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=).0(21)1(21lim 20f eex x ===-+-+→4，简答：)()(2lim )0()(lim )0()()(lim )(ln limln )(000020020000lim x f x f f xx f f x f x x f x f xxx f x x x x x eeeee'-'-''-+→+→+→+→+→=====题设.10==e5，)(a f '' 6，)0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续. 习题3-31，432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f 2，193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3，)40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4，)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5，)10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6，645.1≈e7，430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8，121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A) 1，单调减少 2，单调增加3， .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n 4，(1) 提示：，令x x x f +-+=1211)(利用函数的单调性证明. (2) 提示：，令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=利用函数的单调性证明. (3) 提示：，令331tan )(x x x x f --=利用函数的单调性证明. (4) 提示：，令22)(x x f x -=利用函数的单调性证明.5，提示：，令x x x f cos )(-=用零点定理证明)(x f 有根，用单调性证明其根唯一.6，提示：.)(),(的符号来说明用求出x f x f '''' 7，(1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹8，），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞9，29,32=-=b a 10，a=3, b= -9, c=811，a=1, b= -3, c=-24, d=16 12，简答：由极限的保号性可知或则无论设,00),0()()(lim00<>≠=-''-''→k k k x x x f x f x x.)(0左右异号在x x f ''习题3-4 (B)1，.)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞ .]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2，.1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3，.)2,0(内只有一个实根在π4，(1) 提示：，令x x x x f 2tan sin )(-+=利用函数的单调性证明. (2) 提示：.)1(2ln ln 21)1ln()(是极小值，证明令f x x x f --+= (3) 提示：证明中可利用利用函数的单调性证明令.),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=.)(0)(↑'>''x f x f 来证明(4) 提示：.,21arctan )(利用函数的单调性证明令π-+=x x x f 证明中注意.0)(=+∞f (5) 提示：.,212)(21利用函数的单调性证明令---=x xx x f(6) .2)(),(2)(),12()(2-=''-+='+--=x x x e x f x a e x f ax x e x f 证明：令 .2ln 0)(==''x x f 可得由的极小值，是从表中可见)(2ln x f '单调递增，即时所以当)(.0)]2ln 1([2)2(ln )(2ln x f a f x f x >-+='>'≠ .,0)0()(题设得证从而=>f x f5，证明：22)()]()([))(()()())(()(a x a f x f a x x f a x x f a x x f x ----'=---'='ϕ .)),((0)()()())(())((2x a a x f x f a x a x f a x x f ∈>-'-'=--'--'=ξξξ6，提示：用5，题的方法证明.7，提示：.],[)()(0)()(上的极小值在是证明根据b a x f c f x f c x ≥'- 8，.9320实根时，方程有且仅有一个及当=≤k k 9，）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 10，略 11，略12，82±=k 习题3-5 (A)1，.1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值 .0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值 .25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值 .45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值(7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值 .0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值 2，.14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值 .2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3，提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y ' 4，.29)1(-=y 最大值 5，.27)3(=-y 最小值 6，.3)32(,2为极大值==f a7，.21,2-=-=b a 8，长为100m ，宽为5m. 9，.1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10，.44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11，.3843a a h π时，最小体积为锥体的高为= 12，.22.1.776小时时间为公里处应在公路右方 13，.6000)2(1000)1(==x x14，.45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15，.167080,101利润=p 习题3-5 (B) 1，1,0,43,41==-==d c b a 2，x=1为极小点，y(1)=1为极小值3, 当c=1时，a=0,b= -3，当c= -1时，a=4,b=5 4, 296)(23++-=x x x x P 5, (1) f(x)在x=0处连续；(2) 当ex 1=时,f(x)取极小值；当x=0时f(x)取极大值 6，310=x 当时，三角形面积最小7，323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8，122,2-≥<b b b b 时为当时为当 9，400 10，bc a 2 11，c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2(ed q 21)3(==得当η 12，2)2()4(25)1(=-=t t x13，156250元14，(1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元 15，2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16，提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---= 习题3-6 (A)1， (1) x=0, y=1 (2) x= -1, y=0 (3) x= -1,x=1,y=0 (4) x=1,x=2,x= -32，略习题3-6 (B)1，ex y e x 1,1)1(+=-= （2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x 2，略习题3-7 (A) 1， k=22， x x k sec ,cos ==ρ3， 02sin 32t a k =4， a a k t 4,41,===ρπ 5， 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B) 1，略 2， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心 3， 8)2()3(22=++-ηξ4，约1246(N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5， 16125)49()410(22=-+--ηπξ习题3-81，19.018.0<<ξ 2，19.020.0-<<-ξ 3，33.032.0<<ξ 4，51.250.2<<ξ总习题三一，(1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二，25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xe yx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++= 三，9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四，证明题和应用题1，提示：.)21(,)0()1()1()(是最小值是最大值，证明令f f f x x x f p p =-+= 2，提示：.)ln(ln )()(明，利用函数的单调性证令x a a a x a x f +-+= 3，提示：.)1(0)(12arcsin arctan 2)(2π=='++=f x f x xx x f ，且有，证明令 4，提示：().0)(ln >'x f 证明 5，提示：，令xx x f 1)1ln(1)(-+=内单调递减，在证明)1,0()(x f)1()()0(f x f f >>+所以.6，)027.0,025.0()2(450449)1(7，)2,2(b a P8，12ln 31,2ln 3121-+ 9，%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10，略第三章作业（仅供参考）习题 3-1（A ） 1，2，4，6，8，10 习题 3-1（B ） 2，3，5，6，9，12 习题 3-2（A ） 1，2 习题 3-2（B ） 1（单），5，6 习题 3-3 1，4，7，8 习题 3-4（A ） 1，3（双），4（单），5，8（双），11 习题 3-4（B ） 2，4（单），6，10 习题 3-5（A ） 1（单），2（2），5，8，10 习题 3-5（B ） 3，5，8，10，13 习题 3-6（A ） 1（单），2（双）习题 3-6（B ） 1（3）（5），2（1）（3）习题 3-7（A ） 1，4 习题 3-7（B ） 1，3，5 习题 3-8 1，3总习题三一，二，三（双），四2，4，8，10。

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《大学数学A 》第三章练习题
2014-2015学年第一学期
一、选择题
1. 已知)(x f 的一个原函数是x sin ，则)(x f '等于……………………………………………………….
（）
A. x sin
B.x sin -
C.x cos
D.x cos - 2. 若
C x dx x f +=⎰2
sin
2)( (C 为常数)，则)(x f 等于…………………………………………………………………………….
（） A. 2cos x B. C x +2cos C. C x +2cos 2 D. 2
sin 2x
3. 若
⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰dx x f )2(等于
…………………………………………………………….
（）
A. C x F +)2(
B. C x F +)(21
C. C x F +)2(2
1
D.C x F +)(2
4. 若c x F dx x f +=⎰)()((c 为常数)，则⎰dx x x f )
(ln 等于……………………………………….（） A.c x f +)(ln B.c x F +)(ln C.
c x x f +)(ln D.c x
x F +)
(ln 5. 设)(x f 的一个原函数为x
e
2，则⎰
'dx x f x )(等于……………………………………………………….
（）
A. C e x +221
B.C xe x
+22
C.C e xe x x +-222
1 D.C e xe x
x +-222 6. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰x
dt t f dx d sin 1
)(等于…………………………………………………（） A ．)(x f B ．)(sin x f C ．)(sin sin x xf D ．)(sin cos x xf 7. 广义积分
⎰
∞+-0
2
dx xe x 的值为…………………………………………………………………………………………
（） A. 1
2
B. 2
C. 0
D. 1
二、填空题
8. 填上恰当的不等号：
dx x ⎰
1
dx x ⎰+1
)1ln(．
9. 设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰
dx x xf )(=______________．
10.
43-=⎰
．
11. =++⎰-1
122
31cos dx x
x x x . 12. =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+⎰-dx x x x x 1
1243
1 . 13. 设⎰
=20
cos )(x tdt x f ，则=')(x f ．
14.
⎰∞
+∞-+dx x 211
= ______________．
三、解答与证明题
15. 计算下列不定积分
（1）dx x x ⎰+101
2)1( （2）53tan sec x xdx ⎰
（3）
⎰++dx x x 13412 （4）dx x x ⎰-+202
2
（5）
dx x ⎰++3
211 （6）dx x x ⎰cos 2
（7）xdx x ln 2
⎰
（8）⎰
-
dx xe
x
2
（9）dx x x ⎰arctan （10）dx x ⎰
arctan
16. 计算下列定积分
（1）
dx x x ⎰
20
cos sin π
（2）dx x
x
⎰
+20
2
sin 1cos π
（3）
dx x
x e
e ⎰
12
)(ln （4）⎰--1142dx x x
（5）
dx x
x ⎰
--1
1
45 （6
）41
⎰
（7）
⎰
++4
1
22dx x x （8）dx x ⎰
-10
24
（9）
dx e x x ⎰
10
2 （10）dx x ⎰40
2
sin π
（11）
dx x e x ⎰
20
sin π
17. 求计算下列极限（1）2
sin lim
x
dt t x
x ⎰
→ （2）3
20
20
sin lim
x
dt t x
x ⎰
→
18 设)(x f 在],[a a -上(0>a )连续，证明⎰⎰=-a a
dx x f dx x a f 0
)()(．
19. 计算由曲线32+=x y 及21x y -=与直线2-=x 及1=x 所围成的平面图形的面积． 20. 求由曲线x y 22=与直线4-=x y 所围平面图形的面积． 21. 计算由曲线x y =2
与直线032=--y x 所围的平面图形的面积.
22. 求由曲线x y =，x y ln =及0=y ，1=y 围成的平面图形的面积S 及此平面图形绕y
轴旋转一周所得旋转体的体积. 23. 过点)0,0(作曲线1-=
x y 的切线L
(1) 求L 的方程；
(2) 设图形S 由切线L 、曲线1-=
x y 及x 轴所围成，试求S 的面积；
(3) 求图形S 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.。