第8章信号奇异性检测和图象边缘提取
图像边缘的检测与提取
3.4 基于数学形态学的图像边缘提取研究。
数学形态学是数字图像处理领域中的一门新兴学科，它在形状识别、边缘检测、纹理分析、图像恢复和增强等领域得到了广泛应用。
形态学图像处理是以几何学为基础的，它着重研究图像的集合结构。
它的基本思想是利用一个结构元素去探测一个图像，看是否能够将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效[1]。
运用数学形态学检测图像边缘信息，取决于结构元素的选取和算法的构造。
在不同的应用场合，结构元素的选择及其相应的处理算法是不一样的，对不同的目标图像应该设计不同的结构元素和不同的处理算法。
但是对于复杂的图像，其边缘特征信息很难通过一个结构元素来提取，这也是形态学图像处理中的一个难点。
目前比较行之有效的方法就是将形态学运算与集合运算结合起来，采用多个结构元素分别对图像进行变换，然后将变换后的图像合并起来，即多结构元素形态学变换。
本文运用数学形态学的理论和方法，从多结构元素形态学变换的角度出发，提出了一种多结构元素的选取方案，并采取适当的处理算法进行图像边缘检测。
3.4.1 数学形态学的运算数学形态的基本运算是腐蚀运算和膨胀运算。
下面首先介绍一下腐蚀运算和膨胀运算的定义。
设A 是原始图像，B 是“结构元素”。
腐蚀运算定义为：E(A)= AΘB={(x, y) |Bxy ⊆ A} （1）也就是说，由B 对 A 腐蚀所产生的二值图像E(A)是这样的点(x，y)的集合：如果Ｂ的原点移到(x，y)点，那么B 将完全包含于A 中。
膨胀运算定义为：D(A) =A⊕B={(x, y) |Bxy A≠Φ} （2）也就是说，B 对A 膨胀产生的二值图像Ｄ(A)是由这样的点(x，y)组合的集合，如图B 的原点位移到(x，y)，那么它与A 的交集非空。
在此还要介绍一下数学形态学中的2 种基本操作：补操作和并操作，其代数表达式如下所述。
目标图像--A的补操作定义为：--A={(x, y) | (x, y)∈W ∧ (x, y)∉ A} （3）其中，符号∧表示与逻辑，A 的补图像--A实际上描述的是图像A 的背景。
图像处理中的边缘检测与特征提取研究
图像处理中的边缘检测与特征提取研究在现代的数字图像处理中，边缘检测和特征提取是两个非常重要的任务。
边缘是图像中连续亮度变化的区域，而特征则是描述图像中不同部分的量化属性。
这些任务在计算机视觉、模式识别和人工智能中发挥了关键作用。
边缘检测是图像处理中最基本的任务之一，用于识别图像中不同物体之间的边界。
边缘检测的主要方法包括梯度法、Laplacian法和Canny边缘检测等。
其中，梯度法是最常用的方法之一。
它基于图像的亮度变化来找到边缘，因此对噪声比较敏感。
为了提高结果的准确性，通常需要进行图像平滑处理。
Laplacian法是一种基于二阶导数的边缘检测方法。
它对灰度变化的方向不敏感，因此在不同方向的边缘检测中表现稳定。
然而，Laplacian法也对噪声比较敏感，因此需要进行去噪处理。
Canny边缘检测是一种基于多阶段的方法，可以在较大程度上减少噪声，得到更加准确的边缘结果。
它的基本思路是：先进行高斯平滑处理，然后计算梯度和方向，在进行非极大值抑制和双阈值检测后，最终得到边缘图像。
对于特征提取，图像处理中有很多的方法和技术。
其中，常用的特征提取方法包括颜色直方图、形态学、小波变换、SIFT和HOG等。
颜色直方图是一种将像素在颜色空间中的分布视为特征的方法。
它可以通过计算颜色直方图来提取图像特征。
形态学是一种形态学变换，可以处理二值图像，通过不同的膨胀、腐蚀操作来提取形状特征。
小波变换是一种多尺度分析方法，可以将图像拆分为多个不同的尺度和方向的频率分量。
SIFT是一种用于提取图像特征的算法，能够在不受光照、旋转和尺度变化影响的情况下提取图像的局部特征。
HOG是一种用于目标检测的技术，能够从图像中定位和检测出目标，广泛应用于行人检测和动作识别等领域。
边缘检测和特征提取可以相互结合，形成更加复杂的图像处理算法。
例如，在计算机视觉中，常用于目标检测和目标跟踪等任务。
其基本思路是：先利用边缘检测方法找到图像中的轮廓和边缘，然后利用特征提取方法对目标进行描述和识别。
数字图像处理中的边缘检测与提取技术
数字图像处理中的边缘检测与提取技术数字图像处理是一门极为重要的技术，在现代化的科技时代中，其广泛性和应用性已经远远超越人们的想象。
因此，数字图像处理技术也得到了越来越多的研究和应用。
在这些技术中，边缘检测与提取技术无疑占据了很大的比重。
本文就来深入探讨数字图像处理中的边缘检测与提取技术。
一、数字图像的边缘概述在数字图像中，边缘指的是图像由一个物体和另一个物体之间的边界。
在物理世界中，边界就是物体的边界。
在数字图像中，边界则是不同区域之间颜色或亮度发生变化的地方。
在实际应用中，数字图像的边缘检测非常重要。
例如，在计算机视觉中，它是对象检测和跟踪的关键。
二、数字图像的边缘提取方法数字图像的边缘检测与提取一直是数字图像处理中的研究热点之一。
为了准确地检测和提取图像的边缘特征，现有许多不同的边缘检测和提取方法。
其主要的方法有：1. 基于梯度的边缘检测方法基于梯度的边缘检测方法通常使用Sobel、Prewitt或Roberts等算子来计算梯度。
这些算子可以对图像中每个像素的灰度值进行微分，以寻找灰度变化的最大值，以确定边界的位置。
虽然这种方法在大多数情况下能够有效地检测出边缘，但它对边缘噪声非常敏感。
因此，需要结合其他滤波器，如高斯滤波器或中值滤波器，对原始图像进行滤波。
2. 基于模板的边缘检测方法基于模板的边缘检测方法，也称为基于Laplace算子的边缘检测方法，通常使用Laplace算子将图像的高斯平滑滤波结果与模板相乘，以检测图像中的边界。
此外，也可以采用另一种常用的算子Canny算子。
3. 基于阈值的边缘检测方法基于阈值的边缘检测方法是最常见的边缘检测方法之一。
为了提取图像中的边缘，该方法使用预先定义的阈值将灰度值低于阈值的像素识别为背景像素，将灰度值高于阈值的像素视为边缘像素。
但是，这种方法通常对于灰度不稳定的图像效果不好，需要将阈值与其他滤波器结合使用，如先进行对比度增强。
三、数字图像的边缘检测算法的评价边缘检测算法被广泛用于许多领域的数字图像处理中。
图像边缘提取
图像边缘提取图像的边界信息⼀般通过灰度值突变来体现，所以图像边缘提取⼀般通过捕捉灰度突变的⽅法来实现，捕捉灰度突变可以通过求微分来实现导数越⼤说明变化越⼤，边缘信号越强1.Sobel算⼦也叫离散微分算⼦，⼀阶微分算⼦，求导算⼦，先做⾼斯平滑在做微分求导可以在各个⽅向上求图像的梯度如⽔平⽅向 Gx=[-1,0,1,-2,0,2,-1,0,1]，垂直⽅向Gy=[-1,-2,-1,0,0,0,1,2,1]最终G=sqrt(Gx^2+Gy^2),或者G=|Gx|+|Gy|第⼆种的运算速度要快于第⼀种，所以⼀般采⽤第⼆种⽅法Sobel算⼦的改进版叫Scharr算⼦[-3，0，3，-10，0，10，-3，0，3]#include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;int main(int argc, char **argv){Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);Mat gaussian,gray_src;GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);cvtColor(gaussian, gray_src, CV_BGR2GRAY);imshow("blur gray", gray_src);Mat xgrad, ygrad;Sobel(gray_src, xgrad, CV_16S, 1, 0, 3);Sobel(gray_src, ygrad, CV_16S, 0, 1, 3);convertScaleAbs(xgrad, xgrad);convertScaleAbs(ygrad, ygrad);imshow("x grade", xgrad);imshow("y grade", ygrad);addWeighted(xgrad, 0.5, ygrad, 0.5, 0, dst);imshow("output img", dst);/*dst = Mat(xgrad.size(), xgrad.type());int width = dst.cols;int height = dst.rows;for(int i=0;i<height;++i)for (int j = 0; j < width; ++j){int xg = xgrad.at<char>(i, j);int yg = ygrad.at<char>(i, j);int xy = xg + yg;dst.at<char>(i, j) = saturate_cast<uchar>(xy);}imshow("output img", dst);*/waitKey(0);return0;}plance算⼦求⼆阶导数，在⼆阶导数的时候，最⼤变化处的值为0，即边缘的⼆阶导数是0流程：⾼斯模糊去噪GaussianBlur()转为灰度值cvtColor()Laplance⼆阶导数计算Laplancian()取绝对值convertScaleAbs()显⽰结果#include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;int main(int argc, char **argv){Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);Mat gaussian,gray_src;GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);cvtColor(gaussian, gray_src, CV_BGR2GRAY);imshow("blur gray", gray_src);Laplacian(gray_src, dst, CV_16S,3);convertScaleAbs(dst, dst);imshow("Laplacian", dst);threshold(dst, dst, 0, 255, THRESH_OTSU | THRESH_BINARY);imshow("output img", dst);/*dst = Mat(xgrad.size(), xgrad.type());int width = dst.cols;int height = dst.rows;for(int i=0;i<height;++i)for (int j = 0; j < width; ++j){int xg = xgrad.at<char>(i, j);int yg = ygrad.at<char>(i, j);int xy = xg + yg;dst.at<char>(i, j) = saturate_cast<uchar>(xy);}imshow("output img", dst);*/waitKey(0);return0;}3.Canny边缘检测步骤：⾼斯模糊 GaussianBlur灰度转换cvtColor计算梯度Sobel/Scharr⾮最⼤信号抑制⾼低阈值输出⼆值图像⾮最⼤信号抑制需要计算梯度⽅向T1为低阈值，T2为⾼阈值，凡是⾼于T2的都保留，凡是低于T1的都丢弃，从⾼于T2的像素出发，凡是⼤于T1且相互连接的都保留，最终得到⼀个输出⼆值图像推荐的⾼低阈值⽐为3：1或2：1Canny(src,dst,threshold_low,threshold_high,Sobel_size,Lwgradient)最后⼀个如果是true就⽤L2归⼀化（开根），如果不是就L1归⼀化（绝对值），⼀般⽤L1 #include<iostream>#include<opencv2/opencv.hpp>using namespace std;using namespace cv;Mat src, dst, gray_src, gaussian;int t1_value = 50;int max_value = 255;const char* OUTPUT_TITLE = "Canny Result";void Canny_Demo(int,void*);int main(int argc, char **argv){//Mat src, dst;src = imread("b.png");if (src.empty()){cout << "load img failed" << endl;return -1;}imshow("input img", src);//Mat gaussian,gray_src;//GaussianBlur(src, gaussian, Size(3, 3), 0, 0);namedWindow(OUTPUT_TITLE, CV_WINDOW_AUTOSIZE);cvtColor(src, gray_src, CV_BGR2GRAY);createTrackbar("Threshold Value :", OUTPUT_TITLE, &t1_value, max_value, Canny_Demo);Canny_Demo(0, 0);waitKey(0);return0;}void Canny_Demo(int, void*){Mat edge_output;blur(gray_src, gray_src, Size(3, 3), Point(-1, -1), BORDER_DEFAULT);Canny(gray_src, edge_output, t1_value, t1_value * 2, 3, false);//dst.create(src.size(), src.type());//src.copyTo(dst, edge_output);imshow(OUTPUT_TITLE, ~edge_output);}去掉注释会变成彩⾊图，注意修改imshow中的输出变量。
图像处理中的边缘检测和特征提取方法
图像处理中的边缘检测和特征提取方法图像处理是计算机视觉领域中的关键技术之一，而边缘检测和特征提取是图像处理中重要的基础操作。
边缘检测可以帮助我们分析图像中的轮廓和结构，而特征提取则有助于识别和分类图像。
本文将介绍边缘检测和特征提取的常见方法。
1. 边缘检测方法边缘检测是指在图像中找到不同区域之间的边缘或过渡的技术。
常用的边缘检测方法包括Sobel算子、Prewitt算子和Canny算子。
Sobel算子是一种基于梯度的边缘检测算法，通过对图像进行卷积操作，可以获取图像在水平和垂直方向上的梯度值，并计算获得边缘的强度和方向。
Prewitt算子也是一种基于梯度的边缘检测算法，类似于Sobel算子，但其卷积核的权重设置略有不同。
Prewitt算子同样可以提取图像的边缘信息。
Canny算子是一种常用且经典的边缘检测算法。
它结合了梯度信息和非极大值抑制算法，可以有效地检测到图像中的边缘，并且在边缘检测的同时还能削弱图像中的噪声信号。
这些边缘检测算法在实际应用中常常结合使用，选择合适的算法取决于具体的任务需求和图像特点。
2. 特征提取方法特征提取是指从原始图像中提取出具有代表性的特征，以便进行后续的图像分析、识别或分类等任务。
常用的特征提取方法包括纹理特征、形状特征和颜色特征。
纹理特征描述了图像中的纹理信息，常用的纹理特征包括灰度共生矩阵（GLCM）、局部二值模式（LBP）和方向梯度直方图（HOG）。
GLCM通过统计图像中像素之间的灰度变化分布来描述纹理特征，LBP通过比较像素与其邻域像素的灰度值来提取纹理特征，HOG则是通过计算图像中梯度的方向和强度来提取纹理特征。
这些纹理特征可以用于图像分类、目标检测等任务。
形状特征描述了图像中物体的形状信息，常用的形状特征包括边界描述子（BDS）、尺度不变特征变换（SIFT）和速度不变特征变换（SURF）。
BDS通过提取物体边界的特征点来描述形状特征，SIFT和SURF则是通过提取图像中的关键点和描述子来描述形状特征。
数字图像处理实验报告-图像边缘检测和特征提取
华南师范大学实验报告一、实验目的1、.掌握边缘检测的Matlab实现方法2、了解Matlab区域操作函数的使用方法3、了解图像分析和理解的基本方法4、了解纹理特征提取的matlab实现方法二、实验平台计算机和Matlab软件环境三、实验内容1、图像边缘检测2、图像纹理特征提取四、实验原理1、图像边缘检测图像理解是图像处理的一个重要分支，它研究的是为完成某一任务需要从图像中提取哪些有用的信息，以及如何利用这些信息解释图像。
边缘检测技术对于处理数字图像非常重要，因为边缘是所要提取目标和背景的分界线，提取出边缘才能将目标和背景区分开来。
在图像中，边界表明一个特征区域的终结和另一个特征区域的开始，边界所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部的特征或属性是不同的，边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的，这些差异包括灰度，颜色或者纹理特征。
边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。
由于噪声和模糊的存在，检测到的边界可能会变宽或在某些点处发生间断，因此，边界检测包括两个基本内容：首先抽取出反映灰度变化的边缘点，然后剔除某些边界点或填补边界间断点，并将这些边缘连接成完整的线。
边缘检测的方法大多数是基于方向导数掩模求卷积的方法。
导数算子具有突出灰度变化的作用，对图像运用导数算子，灰度变化较大的点处算得的值比较高，因此可将这些导数值作为相应点的边界强度，通过设置门限的方法，提取边界点集。
一阶导数fx∂∂与fy∂∂是最简单的导数算子，它们分别求出了灰度在x和y方向上的变化率，而方向α上的灰度变化率可以用下面式子计算：cos sin (cos sin )f f f G i j x yααααα∂∂∂=+=+∂∂∂ 对于数字图像，应该采用差分运算代替求导，相对应的一阶差分为：(,)(,)(1,)(,)(,)(,1)x y f i j f i j f i j f i j f i j f i j ∆=--∆=--方向差分为： (,)(,)cos (,)sin x y f i j f i j f i j ααα∆=∆+∆函数f 在某点的方向导数取得最大值的方向是1tan /f f y x α-⎡⎤∂∂=⎢⎥∂∂⎣⎦，方向导数的最大值是1222f f G x y ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦称为梯度模。
边缘特征提取
边缘特征提取边缘检测（Edge Detection）是指图像处理和计算机视觉领域的重要基础技术，是从原始图像中提取更容易自然区分的边缘特征的过程。
通常，它可以在灰度图像中应用，也可以将其用于彩色图像的处理，它的目的是形成一张有明显边缘的图像，一般来说，用于检测边缘的函数只有两步：空间强度求差和非极大值抑制。
以下是边缘检测的主要方法：1. Sobel边缘检测：Sobel算子是一种基于空间滤波和梯度计算的边缘检测算法，其结构简单，但同时它也是最为高效的边缘检测技术。
其核心思想就是通过用权重数值滤波矩阵对图像进行处理，其矩阵滤波效果主要是一个水平方向和垂直方向，每一个矩阵滤波都是相对应图像的差分，在这样的情况下，在一幅图中，边缘的轮廓就能够更容易地突出边缘区域，从而进行边缘检测。
2. Canny边缘检测：Canny算子也是一种基于梯度计算的边缘检测算法，Canny算子中所用的是一个多阶梯度，Canny算子能更好的保留边缘的直线性，即使在边缘很模糊的情况下依然能够有很好的效果。
其处理图像的流程主要分为五步：去噪，求梯度，非极大值抑制，双阈值，滤波处理。
3. 综合滤波边缘检测：综合滤波是将多个滤波器联合起来，运用空间频率分别和方向滤波器，以及锐化和平滑，消除搞错等能够得到更加清晰的边缘，并且基本不会出现假脉冲。
此外，针对强度差异比较大时，综合滤波也能够很好的保留局部的边缘特征，避免掉了噪声的干扰。
4. LoG边缘检测：Laplacian of Gaussian（LoG）是由图像处理历史上著名的Gaussian平滑处理后的求Laplac的技术，它的目的在于得到更优秀的边缘检测效果。
LoG算子先会进行高斯变换，然后在原图上进行求Laplac求差操作，最后再进行非极大值抑制，其结果是一副有明显边缘的图像，尤其能更受更噪声较大的环境。
以上就是图像处理领域的边缘检测的几种主要的技术，它们中的每一种都有自己的应用场景，比如Sobel可以用于低频环境，Canny可以用于色彩边缘，综合滤波能用于强度差异比较大的图像，LoG则更适用于噪声比较严重的图像等等。
边缘提取
二阶微分锐化
2 f
2 f x2
2 f y 2
—— 算法推导
2 f x2 [ f x (i, j) f x (i 1, j)]
[ f (i, j) f (i 1, j)] [ f (i 1, j) f (i, j)]
2 f y 2
[ f y (i, j) f y (i, j 1)]
三、线的检测
通过比较典型模板的计算值，确定一个点是 否在某个方向的线上。
-1 -1 -1 222 -1 -1 -1
R1
-1 -1 2 -1 2 -1 2 -1 -1
R2
-1 2 -1 -1 2 -1 -1 2 -1
R3
2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2
R4
111111111
555555555
00 0 0 0 0 -3 -13 -20 0
30876
0 -6 -13 -13 0
12786 23269
0 1 12 00 0
50 00
问题：计算结果中出现了小于零的像素值
垂直方向的一阶锐化
—— 基本方法
垂直锐化算法的设计思想与水平锐化算法相 同，通过一个可以检测出垂直方向上的像素 值的变化模板来实现。
1 0 1 H 2 0 2
1 0 1
垂直方向的一阶锐化
—— 例题
1 0 1 H 2 0 2
1 0 1
1*1+2*2+1*3-1*3-2*2-1*8=-7
12321 21262 30876 12786 23269
00 0 00
0 -7 -17 4 0
0 -16 -25 5 0
0 -17 -22 -3 0
• Roberts算法的模板为2*2，提取出的信息较弱。 • 单方向锐化经过后处理之后，也可以对边界进行
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
紧支的n次连续可微的小波函数 ， 1 n
n
1 设 f t L a, b ，如果存在 s0 0 ，使得对任意的 s s0 和
u a, b ， Wf s, u 没有局部极大值点，则对任意的
0，
f 在 a , b 上是一致Lipschitz n的。
和小波变换 Wf 2 , u j , p
j
完全重构原信号？
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
1. 问题描述
已知 Wf 2 j , u
对应的局部极大点为 u j , p
p
，小波系数为
Wf 2 j , u j , p f , j , p
设 表示
定理8.1 蕴含如下事实：仅当存在一个小波极大点序列 s p , u p 在细尺度下收敛于v,亦即
lim s p 0 且 p
p
pN
lim u p v ，则 f 在
v
点是奇异的。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
u
log2 Wf (s, u)
log 2 s
u
注意： 模极大点可以在也可以不在同一条极大曲线上。 信号f的所有奇异点可以通过跟踪细尺度下小波变换模极大而检测出来。 但仅沿着尺度搜索小波模极大对于奇异性检测还是不充分的，还需要从模极大值的 衰减性计算函数在一点的Lipschitz正则性。
称为信号在尺度
s0
下的边界点：
Wf s0 , u0 T
Wf s0 , u 在 u0 点取得局部极大值。
离散小波系数序列模极大值的定义 对于离散的小波变换序列 Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n) 如果：
Wf s, m Wf s, m 1 Wf s, m Wf s, m 1
的位置 u j , p 研究现状： 1）实验数值表明，交错投影法等算法只能以10-2的级相对均方误差近似 地重构信号。 2）目前已证明，对于一般的二进小波，从二进小波变换模极大精确 重构信号是不可能的。 3）当信号的Fourier变换是带通的，并且小波的Fourier变换具有紧 支撑时，二进小波变换模极大可以给出信号的一个完备而稳定的表 示。
平滑函数及多尺度边缘点
t
s t s s
1 1
一个函数 f 在尺度
s 下的边缘定义为 f t 的局部突变点。
s
小波变换模极大用于信号多尺度边缘检测的可行性
t d t / dt
Wf s, u s1/ 2 f s u s1/ 2
j, p t
1 2j
t u j, p 2j
的导数，则有
Wf (2 j , u j , p ) u
1）、2）、3）
2 j f , j , p 0
，它满足以下条件：
则我们的问题是：重构一个近似函数 f
从二进小波模极大重构信号
一种重构信号的快速算法：
f 在该点 是n次可微的，但其n阶导数 f n t 在点
Lipschitz指数为
v
是奇异的，它的
0 n ，我们也说 0 描述了这个奇异性。
Lipschitz指数还可以扩展到
1 0 的范围。
噪声的Lipschitz指数为负数.
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
pv
，使得
t R, f t pv t K v t v
（8.1）
称函数 f 在区间 a, b 上是一致 Lipschitz
K 0
使得（8.1）对所有的 v
a, b 成立，其中 K
0
的，如果存在常数 与
v
无关。
函数在一点的Lipschitz指数: 如果函数 f 在点 v R 连续可微,或者可微，而导数有界但不连续时 ,
且两式中不能同时取等号。
则称在m点取得模极大值。
连续小波变换的模极大值பைடு நூலகம்信号多尺度边界检测
确定边界点的算法过程
已知输入信号
d0 , d1,dn
Wf (s,0),Wf (s,1),,Wf (s, n)
步骤1，计算连续小波变换
步骤2，确定阈值 T 0 ，对 m 0,1,, n ，如果以下条件满足：
j, p
f , j , p j , p f , j , p j , p f , j , p j , p
阶梯型边界点的提取 算法： 1）即在不同的尺度
s1 , s2 ,, sJ
下，计算 Ws1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
2）对于阈值T>0， 及r>1且非常接近1，如果
Ws j f v T ,
j 1, 2,, J
1 Ws j f v r r Wsl f v
t 1 t
n
n
且
t dt 0
构成平滑函数?Mallat原著中是否指平滑函数? 如果小波还是对称小波,能否保证 构成平滑函数?
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: Mallat等进一步分析发现，Wf s, u 的衰减性可以由其局部极大值控制。 定理 8.1（HWANG,MALLAT） 设n>0， t 平滑函数
Wf (s, m) T
Wf (s, m) 在 m点取得模极大值。
则m点就是信号在尺度s下的一个边界点。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩小波的小波变换的特性： 设 f t 在v点的Lipschitz 指数为 ,则在v 点的某邻域内,f 可以用 多项式
pv
也即小波变换可以刻画信号在奇异点的奇异性质. 人们已从理论上证明，小波变换模 Wf s, u 在v点的邻域中在细尺度下的 衰减性能够刻画函数f在点v的局部Lipschitz正则性 。
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
基本原理: n阶消失矩的小波与一个平滑函数的导数之间的关系 [教材中参考文献1] 假设
f
d f s u du
t t
f s
Wf ( s, u )
连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测
小波变换模极大值、模极大点 与极大曲线 （定义8.2）
信号的边界点 假设 T 0 是一个阈值，在尺度 s0 0 下，则满足以下两个 条件的点
u0
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
孤立奇异点的检测： 假定 满足定理8.1的假设条件， 其 紧支集为 C, C
C 0
中
对 s s0 ，设收敛于v点的所有模极大点都包含在锥 则对小于n 的非整数 ，函数 f t 在
u v Cs
v
点为 Lipschitz
，当且仅当
简介
• • • • • • 简介 函数光滑性与奇异性的定义 奇异性点的重要性 传统检测方法的缺点 小波变换检测方法的可行性及有效性 本章的主要内容
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
称函数 f 在点 v R 为Lipschitz 和 m 次多项式
0
，如果存在常数 Kv 0
小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春
第8章 小波在信号奇异性检测及图象 边缘提取中的应用
信号/函数奇异性的定量描述 连续小波变换的模极大值与信号多尺度边界检测 连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测 从二进小波模极大重构信号
二维小波变换模极大与图象多尺度边缘提取
d0 , d1,dn ，则计算它的奇异性的主
log 2 Wf s, u 作为log s的函数沿着收敛 2
于 v的极大曲线的最大斜率，，该斜率为 1/ 2 ，从而求出 问题： 通过实验搞清楚具体的计算过程！（习题8.2）
连续小波变换的模极大值与信号奇异性检测
阶梯型边界点的提取 ： 满足Lipschitz
f 在该点的Lipschitz指数为1. 在
v
点不连续但有界时,其 Lipschitz指数为0.
用Lipschitz指数刻画信号的奇异性
如果函数 f 在点 v R 的Lipschitz指数小于1,则称它在该点是奇异的. 如果函数 f 在点
v 的Lipschitz指数
0
满足 n 0 n 1 ，则
2. 求解方法——共轭梯度法
设
V
是由 j , p , , p j
生成的线性空间，则对于如下 L算子：
j, p
r V , Lr r , j , p j , p r , j , p j , p
j, p
可得，
f L1w
，其中
w Lf
0
的点属于一种特殊的奇异点，这种点对应信号
的不连续点或称为阶梯型边界，是一类重要的边界点。记
Ws f u f s u
Wf s, u s1/ 2Ws f u
对应式（8.4），有
Ws f u As
这表明，对于阶梯型边界v，沿着收敛于v点的极大曲线上的点u,其模 极大值都小于A。从而
W 下， s1 f v ,Ws 2 f v ,,WsJ f v
是一个相同的非零常数。
Ws j f v Wsl f v
1
1 Ws j f v r r Wsl f v