中考数学题型专项训练：二次函数与最值问题(含答案)
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容同样也是难点内容一般同学都很பைடு நூலகம்把控尤其是最值问题多数同学遇到这样的题目都直接放弃
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容，同样也是难点内容，一般同学都很难把控，尤其是最值问题，多数同学遇到这样的题目都直接放弃。
但是如果我们了解了二次函数最值的常考题型，典型题，以及解题方法，这样是可以帮助同学们在这一部分突破一定的分数的。
2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题【含答案】
专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．（3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y 轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ 的长最大时，求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l 的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x 轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴当m＝时，n的值最大，最大值是．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣2x+2＞2，当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，解得x＝0或x＝﹣2，由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣x+2＞x+2，观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，①如图1，当P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，2），②如图2，当P点在A点左侧时，同理①可得PD＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第三象限，∴x＝﹣﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），③如图3，当P点在B点右侧时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第一象限，∴x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，），综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），∴a•（﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）；（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：设点E（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，当∠EAC＝90°时，AE2+AC2＝CE2，∴14+m2＝1+（m+3）2，∴m＝，∴E1（1，），当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴11+（m+3）2＝4+m2，∴m＝﹣，∴E2（1，﹣），当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴5+m2+（m+3）2＝10，∴m＝﹣1或﹣2，∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；（3）设AD的中点为I，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴AD＝＝2，I（0，﹣2），∴PA⊥PD，∴∠ADP＝90°，∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，∵BI＝＝，＝﹣．∴PB最小1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6），将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝，故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C（2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）；（3）由题意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3），再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A（1，0），C（﹣3，0），当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，所以点M坐标为（﹣1，2）；（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得：＝，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，当＝时，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P坐标为（2，3）．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得OC＝2，AC＝4，设点D（x，﹣x2﹣4x），则DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根据∠ACO＝∠DEO＝90°，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE 或∠AOC＝∠DOE，分两种讨论，即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为y＝x+，联立方程组，得到点F．G的坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝0，∴点B（﹣4，0），∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4，0）；（2）∵AC⊥x轴，点A（﹣2，4），∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，AC＝4，∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，设D（x，﹣x2﹣4x），①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图：∵∠AOC＝∠ODE，∴tan∠AOC＝tan∠ODE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x），∴x1＝0（舍去），x2＝﹣或x3＝0（舍去），x4＝﹣，∴点D的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）；②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图：∵∠AOC＝∠DOE，∴tan∠AOC＝tan∠DOE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x，∴x1＝0（舍去），x2＝﹣6或x3＝0（舍去），x4＝﹣2（舍去），∴点D的坐标为（﹣6，﹣12）；点D（﹣6，﹣12）；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（﹣6，﹣12）或（﹣，﹣）或（﹣，）；（3）∵在（2）的条件下，点D在第二象限，∴点D的坐标为（﹣，），直线BD的解析式y＝kx+m，∴，解得，∴直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，∴直线FG的的解析式为y＝x+，联立得，解得，，∴F（﹣，），G（﹣5，﹣5），∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，顶点D坐标为（2，﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I，∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9），∴AE＝3，DE＝9，∴在Rt△EAD中，，∵EF∥AD，FG∥x轴，∴四边形AGFE是平行四边形，∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，∴在Rt△EHF中，EH＝3HF，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5，解得：或m＝（舍去），∴．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t，t2﹣t﹣4），则G（1﹣t，t2﹣t﹣4），利用tan∠GCH＝＝，求出CN，即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T，可证得△PDH≌△PBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D 作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得△DRF≌△QKF（ASA），过点Q作QW∥PD，可证得△DPF≌△QWF（AAS），过点Q作QZ⊥PE于点Z，再证明△EQZ≌△EPT（AAS），再利用HL证明Rt △QWZ≌Rt△PBT，设EB＝m，运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，设P（t，t2﹣t﹣4），∵抛物线的对称轴为直线，PG∥x轴，∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，∴G（1﹣t，t2﹣t﹣4），设PG与y轴交于点H，则H（0，t2﹣t﹣4），在抛物线中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t，GH＝t﹣1，∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，∴四边形PHOT为矩形，∴∠HPT＝90°，∴∠DPH＝∠BPT，∵PD＝PB，∴△PDH≌△PBT（AAS），∴DH＝BT，PH＝PT，∴，解得：t1＝6，t2＝﹣2（舍），∴P（6，6），∴T（6，0），∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，∵PE＝3PF，∴EF＝2PF，∵cos∠PFM＝cos∠EFK，∴，∴FK＝2FM，∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，∴四边形PMKT为矩形，∴MK＝PT＝6，∴FM＝2，FK＝4，同理四边形DHMR为矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，∵∠DFR＝∠KFQ，∴△DRF≌△QKF（ASA），∴DF＝QF，过点Q作QW∥PD，∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，∴△DPF≌△QWF（AAS），∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，∴，过点Q作QZ⊥PE于点Z，∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，∴△EQZ≌△EPT（AAS），∴PT＝QZ，EZ＝ET，∵QW＝PB，∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL），∴WZ＝BT，∴EW＝EB．设EB＝m，则EW＝WF＝FP＝m，∴EP＝3m，∵BT＝2，∴ET＝m+2，PT＝6，在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2，∴（3m）2＝（m+2）2+62，解得：，m2＝﹣2（舍），∴，∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，∴OQ＝9，∵ON＝2，∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（﹣，﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB＝3OA，所以x2＝﹣3x1，又由于x1，x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根，所以x1+x2＝2，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题；（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使△BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，﹣a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，﹣a+3），从而得的MG＝﹣a2+3a，利用S＝S△MGC+S△MGB，得到S△MBC＝，当a＝时，△MBC面积最大，从而求得M点坐△MBC标；。
二次函数与最值问题(含答案)
二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253±,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图①图②图③第1题解图2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点,(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值. 解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,∴1421a b ba b a++=⎧⎨++=⎩,解得11ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c ba mb mc a⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am, ∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba-=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点. (Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1). (Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋74=－(n－12)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋94,y2),∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋94时,即n＜45时,y1＜y2;②当n2－4n＋6=n2－n＋94时,即n=45时,y1=y2;③当n2－4n＋6＜n2－n＋94时,即n＞45时,y1＞y2.和(m－b, m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若∴a=1,∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;x轴距离最大的点的纵坐标为h,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|＞|h|,当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |＞|h |,6.在平面直角坐标系中,直线l :y =x ＋3与x 轴交于点A ,抛物线C:y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(Ⅰ)当m =4时,求n 的值;(Ⅱ)设m =－2,当－3≤x ≤0时,求二次函数y =x 2＋mx ＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x ≤0时,若二次函数y =x 2＋mx ＋n 时的最小值为－4,求m 、n 的值. 解:(Ⅰ)当y =x ＋3=0时,x =－3,∴点A 的坐标为(－3,0).∵二次函数y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ,∴0=9－3m ＋n,即n =3m －9,∴当m =4时,n =3m －9=3;当m =－2时,对称轴为x =1,n =3m －9=－15,∴当－3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2＋mx ＋n 取得最小值,最小值为－15.在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =－3时,y 取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4,解得:2 3m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去),∴m =2,n =－3;∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝,综上所述:m =2,n =－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2－2x ＋c (c 为常数)的对称轴为x =1.(Ⅰ)当c =－3时,点(x 1,y 1)在抛物线y=x 2－2x ＋c 上,求y 1的最小值;∴B (2m ,0),∵二次函数y =x 2－2x ＋c 的对称轴为x =1,∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上, ②当点A 在原点的左侧,点B 在原点的右侧时,如解图②,设A (－n ,0),∵OA =12OB ,且点A 、B 在原点的两侧, ∴B (2n ,0),由抛物线的对称性得n ＋1=2n －1,解得n =2,∴A (－2,0),∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上,∴0=4＋4＋c ,解得c =－8,此时抛物线的解析式为y =x 2－2x －8,综上,抛物线的解析式为y =x 2－2x ＋89或y =x 2－2x －8; (Ⅲ)∵抛物线y =x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点,∴对于方程x 2－2x ＋c =0,判别式b 2－4ac =4－4c ≥0,∴c ≤1.当x =－1时,y =3＋c ;当x =0时,y =c ,∵抛物线的对称轴为x =1,且当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点, ∴3＋c ＞0且c ＜0,解得－3＜c ＜0,综上,当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点时,c 的取值范围为－3＜c ＜0.第7题解图8.已知抛物线 y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点.(Ⅰ)求m 的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴的交点,∴令y =0,即 (m －1)x 2＋(m －2)x －1=0.∴新图象经过点D (－2,－5).当直线y ＝－x ＋b 经过D 点时,可得b =－7. 当直线y ＝－x ＋b 经过C 点时,可得b =－1. 当直线y ＝－x ＋b (b ＞−1)与函数y ＝－3x 2−4x −1的图象仅有一个公共点P (x 0,y 0)时,得－x 0＋b ＝－3x 02−4x 0−1.整理得 3x 02＋3x 0＋b ＋1＝0.第8题解图9.如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C .(Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值; (Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM=2,求抛物线y =x 2＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1,∵BC =5,∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.转化为y =(x ＋12)2－94; ∴函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM∽△COB,BC上的x最小取值,使P、C、M重合,满足点P在线段根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,－1,由c=2b－4,解得c=。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5，0)，B(-1，0)两点，与．y轴交于点C0，52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y=-1x2+bx+c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点(点A在点B左2侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(Ⅰ)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4，0)，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点NQ的最小值．N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求DQ+54二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点)，过点P(2，2a)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合)，连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．(1)a=32时，求抛物线的解析式和BC的长；(2)如图a>1时，若AP⊥PC，求a的值；(3)是否存在实数a，使APPN =12若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=12x2+mx-2经过点A，和x轴的另一个交点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，经过点M(-4，1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b2a，4ac-b24a7.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．(1)如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线顶点，点P(m，n)是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD=∠ABP，求m的值；(3)如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F(不与点A重合)，则1AE+1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．4.如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A3,2，且与直线y=-x+72交于B、C两点，点B的坐标为4,m．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0两点．，B4,0(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P的坐标；(3)当m取(2)中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．8.已知抛物线y=x+1(m为常数，m>1)的顶点为P．x-m(1)当m=5时，求该抛物线顶点P的坐标；(2)若该抛物线与x轴交于点A，C(点A在点C左侧)，与y轴交于点B．①点Q是该抛物线对称轴上一个动点，当AQ+BQ的最小值为22时，求该抛物线的解析式和点Q 的坐标．②连接BC，与抛物线的对称轴交于点H，过点P作PD⊥BC，垂足为D，若BC=8PD，求该抛物线的解析式．9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A-1,0和点B．(1)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．10.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)坐标分别为-2,0，4,0，交y轴于点C．(1)求出抛物线解析式：5时，请求(2)如图1，过y轴上点D做BC的垂线，交线段BC于点E，交抛物线于点F，当EF=35出点F的坐标；(3)如图2，点H的坐标是0,2在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，，点Q为x轴上一动点，点P2,8使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．11.抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴交于A -1,0 、B 4,0 、C 0,2 三点．点P 为抛物线上位于BC 上方的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，连结CP 、CF ．当S ΔPCE =2S ΔCEF 时，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG ⊥BC 于点G ，是否存在点P ，使线段PG 、CG 的长度是2倍关系？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-4，0．、B1，0、C0，4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式；(2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC=20，求点P的坐标；(3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值．13.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1,0两点，与y轴交于点N，其顶，C2,3点为D．(1)求抛物线及直线AC的解析式．(2)设点M3,m，求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有且只有一个交点A2,0，且与y轴于交于点B．(1)求a与c的关系式；(2)若a=1时，点P2,1c在抛物线的对称轴上；①若过B点的直线l：y=kx+m(k≠0)与抛物线只有一个交点；证明：直线l平分∠OBP；②设过P点的直线与抛物线交于M，N点，则1PM+1PN是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．15.如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．16.已知抛物线y=-x2+2kx-k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P a,b是抛物线上异于点H的一个动点．(1)若抛物线的对称轴为直线x=1，请用含a的式子表示b；(2)若a=1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取值范围；(3)在(1)的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P作PF⊥CD 于点E并交x轴于点F，若a<3，PE=3EF，求a的值．17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A2,0．且经过点3,1(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l：y=-x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于B、C两点(C点在B点的左侧)，与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP=t·BP(2≤t≤3)．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．18.如图1，二次函数y =ax 2+bx +3的图像与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为抛物线上一动点．①如图2，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点D ，连接BC ，BD ．当S △PBC =2S △DBC 时，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，连接OP 与BC 交于点E ，求PE OE的最大值．19.抛物线y=ax2-4经过A、B两点，且OA=OB，直线EC过点E4，-1，点D是线段，C0，-3OA(不含端点)上的动点，过D作PD⊥x轴交抛物线于点P，连接PC、PE．(1)求抛物线与直线CE的解析式；(2)求证：PC+PD为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q，使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．20.如图1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0，，点B4,0与y轴交于点C0,2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内的抛物线上一点．过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+5CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；5(3)如图2．将地物线沿射线BC的方向平移5个单位长度．得到新抛物线y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，新抛物线与原抛物线交于点G，点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析一、单选题(共12题；共24分)1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A．0cm2B．8cm2C．16cm2D．24 cm2 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A．②④⑤⑥⑦B．①②③⑥⑦C．①③④⑤⑦D．①③④⑥⑦3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．- 或4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣25．二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时有最大值t=2，则t的取值范围为（）A．t≤0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm27．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．x＞1时y随x的增大而减小C．顶点坐标是（1，2）D．函数有最大值28．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时函数的最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4A．4B．3C．2D．110．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√2 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y=ax2+4ax+a2−1，当−4≤x≤1时y的最大值为5，则实数a的值为.14．函数y=2x2-8x+1的最小值是.15．当-2≤x≤1时二次函数若y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则m的值为．16．如图，在△ABC中△B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒四边形APQC的面积最小.17．一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点M，N的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为．18．二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣√3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．20．X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104b（k，b为常数，k≠0）；②y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）.21．在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A(1，−1)，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点P(m，n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？最大为多少元？23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.（1）求销售量y件与销售单价x(x>10)元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知直线y=﹣12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y 轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】2−√10 或1 14．【答案】-7 15．【答案】2或- √3 16．【答案】3 17．【答案】-3 18．【答案】（-4，-4）19．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）由抛物线的对称性知B 点坐标为（3，0） 依题意得： {a −b +c =09a +3b +c =0c =−√3解得： {a =√33b =−2√33c =−√3∴所求二次函数的解析式为 y =√33x 2−2√33x −√3（2）解：∵P 点的横坐标为m∴P 点的纵坐标为 √33m 2−2√33m −√3设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数） 依题意，得 {3k +b =0b =−√3∴{k=√33b=−√3故直线BC的解析式为y=√33x−√3∴点F的坐标为(m,√33m−√3)∴PF=−√33m2+√3n(0＜m＜3)（3）解：∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=12PF⋅BO=12×(−√33m2+√3m)×3=−√32(m−32)2+9√38∴当m=32时△PBC的最大面积为9√38把m=32代入y=√33x2−2√33x−√3得y=−5√34∴点P的坐标为(32,−5√3 4)20．【答案】（1）-2n+24（2）解：由题意得：Q=pmn=pn(−2n+24)=−2pn2+24pn ∵−2p<0∴Q有最大值∴当n=−24p2×(−2p)=6时Q有最大值此时答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时一天的设计运营人数最多. 21．【答案】（1）（0，2）（2）解：①依题意，当N=2时该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为y=ax2+2.由抛物线过A（1，−1），得a+2=−1解得a=−3∴抛物线的表达式为y=−3x2+2．②2≤N<322．【答案】（1）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得(50-x)(20+2x)=1600 解得：x1=10，x2=30因要求每件盈利不少于25元，故x2=30应舍去……答：每件商品应减价10元，该商店每天销售利润为1600元.（2）解：设每件商品应降价x元，销售利润为W元。
中考数学真题二次函数专项练习(带答案)
中考数学真题二次函数一、选择题1．已知点M(−4，a−2) N(−2，a) P(2，a)在同一个函数图象上.则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1).B(x2，y2)两点.若x1+x2<0.则直线y= ax+k一定经过（）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限3．设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0，m，k是实数).则（）A．当k=2时.函数y的最小值为−a B．当k=2时.函数y的最小值为−2aC．当k=4时.函数y的最小值为−a D．当k=4时.函数y的最小值为−2a4．已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0).下列说法正确的是()A．点(1，2)在该函数的图象上B．当a=1且−1≤x≤3时.0≤y≤8C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当a>0时.该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒.经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2.那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A．5B．10C．1D．2二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中.一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界）.这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图.函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象（抛物线中的实线部分）.它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC.则b=.三、解答题7．设二次函数y=ax2+bx+1.（a≠0.b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：（1）若m=4.求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围.使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中.只有一个是正数.求a的取值范围．8．如图.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，−2)和B(0，−5)．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤−2时.请根据图象直接写出x的取值范围．9．已知二次函数y=−x2+bx+c.（1）当b=4，c=3时.①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时.求y的取值范围.（2）当x⩽0时.y的最大值为2；当x>0时.y的最大值为3.求二次函数的表达式.10．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中.（1）若它的图象过点(2，1).则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时.y的最小值为−2.求出t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上.且a<b<3.求m的取值范围。
二次函数最值问题(含标准答案)
二次函数最值问题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。
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二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图① 图② 图③第1题解图2.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a <0)过(m ,b ),(m ＋1,a )两点, (Ⅰ)若m =1,c =1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b ≥a ,求m 的取值范围;(Ⅲ)当b ≥a ,m ＜0时,二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值－2,求a 的最大值.解:(Ⅰ)∵m =1,c =1,∴抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋1(a <0)过(1,b ),(2,a )两点,∴1421a b b a b a++=⎧⎨++=⎩, 解得11a b =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y =－x 2＋x ＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c b a m b m c a ⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am,∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y 轴于A点,交直线x=4于B点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1; (Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,5.已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点; (Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:)＋c=m2－mb＋na(m－b)2＋b(m－b∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若不合, ∴a =1,∴抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点;的纵坐标为H ,在x 轴下方与x 轴距离最大的点的纵坐标为h ,大的点是(1,y0),在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),h|,∴|H|＞|距离最大的点是(1,y0),当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),大的点是(－1,y0),在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|H|＞|h|,6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m、n的值.解:(Ⅰ)当y=x＋3=0时,x=－3,∴点A的坐标为(－3,0).∵二次函数y=x2＋mx＋n的图象经过点A,∴0=9－3m＋n,即n=3m－9,∴当m=4时,n=3m－9=3;当m=－2时,对称轴为x=1,n=3m－9=－15,∴当－3≤x≤0时,y随x的增大而减小,15.∴当x=0时,二次函数y=x2＋mx＋n取得最小值,最小值为－在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=－3时,y取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4,解得:23m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去), ∴m =2,n =－3;减小,当x =0时,y 取最小值,即n =－4,∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝,综上所述:m=2,n=－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值;B左侧,且(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点(Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x2－2x－3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y 1的最小值为－4;(Ⅱ)抛物线与x 轴有两个交点,①当点A 、B 都在原点的右侧时,如解图①,∴B(2m ,0),∵二次函数y =x 2－2x ＋c 的对称轴为x =1,∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上,②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n＋1=2n－1,解得n=2,∴A(－2,0),∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,∴0=4＋4＋c,解得c=－8,此时抛物线的解析式为y=x2－2x－8,(Ⅲ)∵抛物线y=x2－2x＋c与x轴有公共点,∴对于方程x2－2x＋c=0,判别式b2－4ac=4－4c≥0,∴c≤1.当x=－1时,y=3＋c;当x=0时,y=c,∵抛物线的对称轴为x=1,且当－1＜x＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0,综上,当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为－3＜c＜0.第7题解图8.已知抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B 两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x轴的交点,∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0.∵m＜0,∵点A在点B左侧,∵OA:OB=3:1,∴m＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－3x2−4x−1.(Ⅲ)∵点C是抛物线y＝－3x2−4x−1与y轴的交点,∴点C的坐标为(0,－1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y=－5,即－3x2−4x−1＝－5.∴新图象经过点D(－2,－5).当直线y＝－x＋b经过D点时,可得b=－7.当直线y＝－x＋b经过C点时,可得b=－1.当直线y＝－x＋b(b＞−1)与函数y＝－3x2−4x−1的图象仅有一个公共点P(x0,y0)时,得－x0＋b＝－3x02−4x0−1. 整理得 3x02＋3x0＋b＋1＝0.结合图象可知,符合题意的b的取值范围为－7≤b＜－1或b＞−1.4第8题解图9.如图,已知c＜0,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2＞x1),与y轴交于点C.(Ⅰ)若x2=1,BC=5,求函数y=x2＋bx＋c的最小值; (Ⅱ)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP 交y轴于点M.若OA=2,求抛物线y=x2＋bx＋c顶点的纵OM坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1, ∵BC =5, ∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2, 解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2. 转化为y =(x ＋12)2－94;(Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°, ∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM ∽△COB ,抛物线的解析式为:y =x 2＋bx ＋c ,其顶点坐标为(－BC上的x最小取值,使P、C、M重合,满足点P在线段根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,由c=2b－4,解得c=－1,∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y=－x2。