清华大学硕士生入学考试试题1999数学分析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
1999年考研数学一试题答案与解析
dx
dx
dx
0
x
0
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注 必须将被积函数中的x设法变换到上限活着能方便的提到积分号外 边，才能对x求导。
∫ 解法二： 计算形如 F (x) = a(x) f (x,t)dt 的函数导数时，首先应借助变量代换等 0
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
lim
x→0
tan x − x x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x −1 3x2
= lim tan2 x = 1
x→0 3x2
3
解法二：
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
0
即 F (x)为偶函数。
故(A) 为正确选项。 至于(B) ，(C)，(D)可以分别举反例如下：
f (x) = x2 是偶函数，但其原函数 f (x) = 1 x3 +1 不是齐函数，可排除(B) ；
3
f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数 f (x) = 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数，
λ 1
=
2
，λ 2
=
−2
故 y* − 4 y = 0 的通解为 y1 = C1 −2x + C2 2x ，由于非齐次项为 f (x) = 2x
【考研数学】1999-数一真题、标准答案及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题 ⎛ 11 ⎞ ⎟ = （ 1）lim ⎜ − .2 x tan x ⎠x → 0 ⎝ x 1 【 【 答】3详解 1】⎛⎜ 1 1 ⎞ ⎟ tan x − x tan x − x lim − = lim = lim 2 x tan x ⎠ x 2 tan xx −1 3x tan x 3 x → 0 ⎝ x x → 0 x → 0 sec 2 = = = lim 2x → 0 2 x lim 2 x → 0 3x 1 3【 详解 2】⎛⎜ 1 1 ⎞ sin x − x cos x sin x − x cos x lim − = lim = lim ⎟ 2 x tan x ⎠ x 2 sin x x 3 x → 0 ⎝ x x → 0x → 0 cos x − cos x + x sin x = = lim 2x → 0 3x sin x 3x 1 lim = x → 0 3d∫ x( −) 2（ 2）sin x t dt = .dx【 答】 sin x 2 . 【 详解】dd∫x( − ) 2∫ 0(−)sin u dusin x t dtx t u − = 2dxdx0 xd x ∫ = sin u du2dx 0 = sin x 2故本题应填sin x2(3) y ' − 4y = e 2x的通解为.⎛ 1 ⎞ 4 ⎠ = −2x+ C + x e 2x ,其中C ,C 为任意常数.1 2 【 答】y C e⎜ ⎝⎟ 1 2 λ 2 − 4 = 0,解得 λ = 2,λ = −2 【 故 详解】 特征方程为： 1 2 ' − 4y = 0 的通解为 y 1C e = −2x+ C e 2x , 由于非齐次项为 f (x ) = e 2x ， a = 2 为特征方程2y 11y * = Axe 2x , 代入原方程可求得 A = ， 的单根，因此原方程的特解可设为 故所求通解为414y = y 1 + y * = C e −2xC e 2x+ + xe 2x12 ⎛ ⎝1 ⎞ 4 ⎠ 故本题应填y C e −2x= + ⎜ C + 2 x e 2x ⎟ , 1 （ 4）设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 .n −1【 答】n , 0,",0 【 详解】 因为λ −1 −1 " −1 λ − n −1 " −1 − # − 1 λ −1 " −1λ − n λ −1 "−1 λE − A = = # # # # # # # 1 −1 " λ −1 λ − n −1 " λ−1−1 " −1 1 0 # λ # " # " 0= λ − n#λ故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重）n −1因此本题应填 n , 0,",0 .12 （ 5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,9( ∪ ∪ ) = ( ) =,则 P A且 P A B C .16 1【 答】. 4【 详解】 根据加法公式有( ∪ ∪ ) = ( )+ ( )+ ( )− ( )− ( )− ( )+ ()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC 1 由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC= , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,因此有2( )= ( )= ( ) = 2 ( ) P AB P AC P BC P A , ( )= (φ) = P ABC P 0,9( ∪ ∪ )= ( )− 2( ) = 从而P A B C 3P A 3P A 163 1( ) =解得 P A( ) = , P A 4 4 1 2 1 4 ( ) < 又根据题设 P A( ) =,故 P A 二、选择题( ) ( )1）设 f x 是连续函数，F x 是其原函数，则 （ （ （ （ （ ( ) ( ) A ） 当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数. ( ) ( ) B ） 当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数. ( ) ( ) C ） 当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数. ( ) ( )D ） 当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数. 【 】【 【 答】 应选（A ）∫ x( )+f t dt C ,于是( ) ( )( ) = 详解】 f x 的原函数F x 可以表示为F x− x x(− )= ∫0 ( ) + = − ∫(− ) (− )+F x f t dt Cu t f u d u C . 0 ( ) (− )= −( )u f u ，从而有当 f x 为奇函数时， f x (− )= ∫ ( ) F x f u du C + 0∫ x( ) + = ( ) f t dt C F x= 0( )F x 为偶函数.即故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：1 ( ) = f x2() = x 3 +1不是奇函数，可排除（B ）； x 是偶函数，但其原函数F x 3 1 2 14( ) = 2 ( ) = + f x cos x 是周期函数，但其原函数F x x sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；1 ( )= x 在区间(−∞ + ∞)f x( ) = 2x 在区间 (−∞ + ∞)内非内是单调增函数，但其原函数F x 2 单调增函数，可排除（D ）.⎧ ⎪ ⎨ 1− cos x, x > 0 ( ) = 2）设 f x( ) ( ) = （ x其中 g x 是有界函数，则 f x 在 x 0 处 ⎪ x 2g (x ), x ≤ 0⎩（ （ A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续 （D ）可导.C ）连续，但不可导 【 】【 【 答】 应选（D ） 详解】 因为( )− ( ) f x f 0 1− cos x(0 + 0)= lim= lim = 0, f ' 32→ 0 +xx →0 − x x ( )− ( )2 ( ) f x f 0 x g x f '(0 − 0)= lim= lim lim g (x )x = 0, x − x −x → 0 −x → 0 x →0 ( ) = ( ) = 可见， f x 在 x 0 处左、右导数相等，因此， f x 在 x 0 处可导， 故正确选项为(D).⎧1 2 x ,0 ≤ x ≤ ⎪ ⎪a ∞ ∑( ) = (3)设 f x( ) = ， S x + π −∞ < < +∞, ⎨ ⎪ 0 a cos n x , x n 1 2 n =1 2 − 2x , < x <1 ⎪ ⎩ 2⎛ ⎝ 5 ⎞2 ⎠ 1" ∫( ) ( = ) 则 S − 其中 a n = 2 f x cos n xdx , n 0,1, 2, π , 等于 ⎜ ⎟ 0 1 1 3 3 4(A)(B) −(C)(D) −2 24【 】【 答】 应选（C ）.( ) [ ) [− ] 【 详解】 由题设知，应先将 f x 从 0,1 作偶延拓，使之成为区间 1, 1 上的偶函数，然后 再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有⎛ ⎝ 5 ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝1 ⎞2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎝ 2 ⎠ S − = S −2 − = S − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎠ ⎛ 1 ⎝ 2 ⎞f − 0 + f + 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎠⎝ 2 = S = ⎜ ⎝ ⎟2 3 = . 4（ 4）设 A 是 m ×n 矩阵， B 是 n ×m 矩阵，则 （ A ）当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0（B ）当 m > n 时，必有行列式 AB = 0（ C ））当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D ）当 n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且( ) ≤ ⎡ ( ) ( )⎤ ≤ ( )秩 r AB min⎣r A ,r B ⎦ min m ,n 当 m > n 时，由上式可知， r (AB 因此，正确选项为（B ）.)≤ < n m ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB 0. =( ) ( ) 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N 0,1 和 N 1, 1 ，则（ （ （ 1 12 { + ≤ } = { +≤ } = A ） P X Y 0 . .(B) P X Y 1 . 2 11{ − ≤ } = {−≤ } = C ） P X Y 0 (D) P X Y 1 . 22【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( + ) ( ) ( −) (−1, 2)X Y ~ N 1, 2 , X Y ~ N 1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，（B ）为正确选项.2三、设 y = y (x ), z = z (x )是由方程 z = xf (x + y )和 F (x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和dz dxF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. ( + )和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得 详解】 分别在 z xf x y【 = ⎧ dz dx⎛ ⎝ dy ⎞ dx ⎠= f + x 1+ f '⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎨ ⎪ dy dz F ' x + F ' y + F ' z = 0 ⎪ ⎩dx dx 整理后得⎧ dy dz + − xf ' = f + xf '⎪ ⎪dx dx ⎨ ⎪ dy dx dz F ' y + F ' z = −F ' x ⎪⎩ dx解此方程组，得( ) F y − xf f + xf ' ' ' 'F z dz dx (z ≠ 0)= , F ' y + xf ' F ' F ' y +xf ' ' F z∫(e x ( ))( ) I =sin y −b x + y dx + e x cos y − ax dy 其 中 a ,b 为 正 常 数 ， L 为 从 点 , 四 、 求 L ( ) = ax − x 到点O (0, 0)的弧.2 A 2a ,0 沿曲线 y ( ) = ( )【 详解】 添加从点O 0,0 沿 y 0到点 A 2a ,0 的有向直线段 L , 则 1∫ ⎡y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dyI = − e xsin − + + xcos − ⎣ ⎦ L +L 1∫ ⎡ y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dye xsin − + + x cos − ⎣ ⎦ L 1利用格林公式，前一积分⎛ ∂ ∂ ⎞ Q P ∫ ∫ dxdy b a dxdy = ( − )∫∫ I 1 = − ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ x y ⎠ D D π =2 (b − a ) a2 其中 D 为 L + L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L : 11⎧ ⎨ ⎩x = xy = 0 ( ≤ ≤ ) , 0 x 2a , 可直接积分∫ 2a(− ) = − I 2 = bx dx 2a b 2 0⎛ π ⎞ ⎠ π 故I = I − I = ⎜ ⎝+ 2 a ⎟ 2 b −3 a . 1 2 2 2 ( )( ≥ )( )> ( )= = ( )设函数 y x x 0 二阶可导且 y x 0, y 0 1, 过曲线 y y x 上任意一点'五、( ) P x , y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区 1 [ ] = ( ) − 12间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S ，并设 2S S 恒为1，求此曲线 2yy x = ( )的方程.( )上点 P (x , y )处的切线方程为 详解】 曲线 y y x【 = ( ) =y x'( )( − )y x X xY −⎛⎞ y 它与 x 轴的交点为⎜ x − ,0⎟ 由于 '(x ) > 0, y (0) =1,因此 y (x )(x > 0) yy '⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 1y y 于是 S = y x −⎜ x − ⎟ = .1 ' 2y '2 ⎝ y ⎠ ∫ x( ) y t dt 又S 2 = 0y 2∫ x ( ) = y t dt 1,根据题设2S − S =1，有− 1 2 y ' 2 0 '(0) =1，两边对 x 求导并化简得y并且( )2yy ' = y ' 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ' ，则上述方程可化为dpyp= p 2 ，分离变量得 dydp dy = p ydy解得 p = C y ，即= C y , 1 1 dxy = C e + C 2x从而有 1 根据 y 0 1, y 0 1, 可得 C 1 =1,C 20,( ) = '( ) = =故所求曲线得方程为y = e x.六、试证：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 1】 ( )= ( − ) x 2 1 ln x x 1 . 易知 f (1)= 0−( − ) 2令 f x 又1 (x )= 2x ln x − x +2 − , f '(1)= 0f f ' x1' (x )= 2ln x +1+ , f ' (1)= 2 > 0 x2 2(x−1)2'' (x ) =f x 3可见，当 0 < x <1时，f '' (x )< 0;当1< x < +∞ 时， '' (x ) > 0;f因此，有当1< x < +∞ 时，' (x )≥ f ' (1)= 2 > 0(x ) 是单调增函数推知，当 0 < x <1时，f (1)= 0 及(x )> 0;因此进一步有 f x ''(x )< 0; 当1< x < +∞ 时，f又由 f ' f f '( )≥ ( )= ( < < +∞) f 1 0 0 x ，即证之：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，(x 2−1 ln x ≥ x −1 .等价于当 0 < x <1时，) ( ) 2ln x ≤x−1;当1< x < +∞ 时， ln x ≥x−1;于是令x +1x +1x −1 x +1 ( ) =f x ln x− 1 2 x +1 2 (x ) = − = > 0(x > 0) 2则 f 'x ( + ) 2( + ) x x 1x 1 ( ) = 又因为 f 1 0，可见有当 0 < x <1时， f x 0 ，( ) < 当1< x < +∞ 时， f x 0 ，从而当 x 0 时，有( ) > > (x 2 )( ) ( −1 f x = x −1)ln x −(x −1) ≥ 0,22x > 0 时，(x 2) ( ) 2即当 −1 ln x ≥ x −1 .七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 N ,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m =1J ;m , N ,s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【 详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W =W +W +W 31 2其中W 是克服抓斗自重所作的功；W 是克服缆绳重力作的功；W 为提出污泥所作的功.由题 1 2 3 意知W = 400×30 =12000.1将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为( − )dW 2 50 30 x dx , = 3 0∫ ( −) =50 0 x dx 22500.从而 W 2 =[ + ]在时间间隔 t ,t dt 内提升污泥需作功为 ( − ) dW 3 3 2000 20t dt. = 3 0将污泥从井底提升至井口共需时间=10 ，所以 31 0∫ 3(2000 − 20t )dt = 57000.W 3 = 0因此，共需作功= + + = ( )W 12000 22500 57000 91500 J【 详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 ( ) ( − )( ) 力 f x 包 括 抓 斗 的 自 重 400 N , 缆 绳 的 重 力 50 30 x N ， 污 泥 的 重 力12000 −⋅ ( )，即 x 20 N32 0 1703 ( )=+( − )+f x400 50 30 x2000− x = 3900 − x ,3于是⎛ 170 ⎞85 3∫ 302|30 0=117000 − 24500 = 91500(J )W = 3900 − x dx = 3900x − x ⎜ ⎝⎟ 3 ⎠ 0 x 2 y 2八、设 S 为椭球面 ++ z 2 =1的上半部分，点 P (x , y , z )∈S ,π 为 S 在点 P 处的切平面， 2 2 zρ (x , y , z)为点O (0, 0, 0)到平面π 的距离，求 ∫∫ ρ (x , y , z )dS .Sx 2 y 2 ( ) = + + z 21,设 X ,Y ,Z 为π 上任意一点，则π 的方程为− () 【 详解】 令 F x , y , z 2 2(X − x )+ F' (Y − y )+ F (Z − z )= 0,z' F ' x y xX yY即 + + zZ =1 2 2从而知−1Ax + By + Cz⎛ x ⎞ ⎟ ⎠ 2y22ρ (x , y , z ) = = ⎜+ + z 2 + B 2 + C 2 ⎝ 4 4 A 2 x y这里 A = , B = ,C = z ,2 2 ⎛ 2 2 ⎞x y 由曲面方程知 z = 1−⎜ + ⎟,⎝2 2 ⎠ 于是∂z−x∂z∂y−y= , = ,∂x⎛ 22 ⎞ ⎟⎛ ⎜ 22⎞ ⎟xy x y 2 1−⎜ + 2 1− + ⎝ 22 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠因此2⎛ ∂⎞ 2− 4 x 2 − y 2⎛ ∂ ⎞ z z dS = 1+ + d σ =d σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎛ 22⎞ xy 2 1− + ⎜⎝ ⎟ 22 ⎠故有z x 2 y 2 ∫ ∫ ∫∫ ρ (x , y , z )dS =z 4 + 4 + z dS 2S S 11 4 2π2 ∫∫(4 − x 2 )d σ = ∫ ∫ (4 − r )rdr = − y 2d θ 2 40 D32= ππ ∫ 九、设 a =n4 tan nxdx,∞1∑ (+ a n a n +2 )的值；（ 1） 求n n =1∞ann λ∑（ 【 2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数 收敛n =1详解】 （1）因为ππ1 1 )= ∫ n1 ( + n ( +2 )= ∫n 2 a n a n +2 4tan x 1 tan x dx 4tan x sec xdx n n 0 0 1 11 ∫ tan x = t tn dt = ( + )n n 1n 0 又由部分和数列n1 n1 1n +1 ∑ ∑ ( + ) = =1− S n = a a i +2 ,i ( + )i i 1i i =1 i =1 有lim S =1, n n →∞ ∞1 ∑ (a n a n +2)=1.+ 因此n n =1 （ 2）先估计a 的值，因为 nπ nt 1n +1 11 ∫ x = t ∫∫ 0a =ntan n xdx tandt <nt dt = , 41+ t 2 00 a nnλ1 1所以< <, n n 1 n λ+1 ( + ) λ ∞1nλ+ ∑ 由λ +1>1知 收敛 1 n =1 ∞a n λ ∑ n 也收敛.从而n =1⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤⎥ 十、设矩阵A = 5 b 3 − ⎥a，其行列式 A = −1，又A 的伴随矩阵A * 有一个特征值λ ， ⎥ 0 ⎢ 1− c 0 ⎣ ⎦ 属于λ 的一个特征向量为 1, 1, 1 α = (− − )T ，求a ,b ,c 和λ 的值.0 0【 详解】A α = λ α, * 根据题设有 0 AA * = A E = −E , 于是 AA *α = A λ α = λ A α,又 即0 0 −α = λ A α 0⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤ ⎡−1⎤ ⎡−1⎤⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 也即λ 0 5 b 3 −1 = − −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− a − ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ c 0 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦由此，可得⎧ a 1 c λ ( + + ) = 1 0 ⎪ ⎨ 5 b 3 λ (− − + ) = 1 0⎪ ⎩1 c a λ (− + − )= − 1 0 解此方程组，得 λ =1,b = −3,a = c又由A = −1和 a = c ，有a −1 −3 3 = a −3 = −1 −aa51 − a 0 故 a = c = 2,因此 a = 2,b = −3,c = 2,λ =1. 0十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m ×n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：( ) =n .B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r B 详解】 必要性. 设 B AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有T【 (B T AB x > 0, )即 (Bx ) BA (Bx )> 0, TxT 于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r B ( ) = n(B T AB)T= B A TB = B AB 故 B , AB 为实对称矩阵.若 r B = nT T T ()充分性. 因则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A 为正定 矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有 Bx BA Bx 0, ( ) T() >(B T ( ) AB x = Bx A Bx > ，故B AB 为正定矩阵. ) ( ) T 0 于是当 x ≠ 0 ，有 x T T( ) 十二、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X ,Y 联合分布律及关于X 和 关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.{ P X= } = y 1y 2 y 3x p ii 1 8x 1 x 218 1 { P Y= } = 1y ip j6【 详解】{ P X= } = y 1y 2 y 3 x p ii 11 1 1 x 1 x 224 8 3 12 1 4 3 1 8 1 8 1 4 1 4{ P Y= } =pj1y i623十三、设总体X 的概率密度为⎧ 6x(θ − ) < <θ x ，0 x⎪ ( )= θ f x ⎨ 3 ⎪ ⎩ 0, 其他 X , X ,", X 是取自总体X 的简单随机样本. 1 2 n ^（ 1） 求θ 的矩估计量θ ；^⎛ ⎞ ^（ 2） 求θ 的方差D ⎜θ ⎟. ⎝ ⎠6 θ xθ + ∞θ()= ∫ ( ) = ∫ 0(θ −) 【 详解】 (1) E X xf x dx x dx = 3 2 −∞ 1 nθ ^ ∑ 记 X = X , 令 = X ,得θ 的矩估计量θ = 2X ；i n 2i =1 （ 2）由于6 θ x 2 6x 2+ ∞( ) ∫ ( ) ∫ (θ − x )dx =E X2= x 2f x dx = 3 20−∞6θ 2 ⎛θ ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 θ 2 ( )= (D xE x)− ⎡( )⎤ 22E x = − = ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ 2 0 20^因此 θ = 2X 的方差为⎛ ⎞ ^ ( ) ( )D ⎜θ ⎟ = D 2X = 4D X ⎝ ⎠4θ 2 = ( ) = D X n 5n。
清华大学1999-2007年硕士研究生入学考试(法学法理)试题
清华大学1999-2007年硕士研究生入学考试（法学法理）试题清华大学1999年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、概念题（每题2分）（1）法学（2）法律作用（3）司法解释二、简答题（每题5分）1、当代中国的立法应遵循哪些原则？2、简述现代西方法理学的形式特征。
三、论述题（每题10分）1、论法治清华大学2000年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、名词解释（每个2分，共20分）9、普通法10、法律推理二、简答题（50分）l、霍姆斯认为：法是对法院实际上将作什么的预言，请对这一观点加以评述（8分）三、论述题（l5分）试论法的分类及根据清华大学2001年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、名词解释（每题2分，共20分）：1、法律解释2、法律部门二、简答题（共50分）：1、有人认为法律的作用是无限的，你对此有何看法？（8分）三、论述题。
（15分）1、试论关于法的本质的各种学说。
清华大学2002年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、简析题(法学理论专业考生在前三道题中任选两题，按“简析题”回答；第四道题按“论述题”回答。
)1、试述法的形式特征。
(15分)2、以中国大陆现行法为例，试述法的渊源。
(15分)3、试论法律意识对于法律实践的作用。
(15分)4、如何理解通过法律来进行社会控制。
(35分)二、论述题1、试述法与正义的关系。
(35分)法学理论综合考试一、名词解释(每题3分，共12分)1、“法令滋彰，盗贼多有”2、《读通鉴论》3、社团法人4、继续性合同二、简答题(共24分)1、梁启超法律思想的主要内容有哪些？(7分)2、用益物权的特征。
(7分)3、简述亚里士多德的法治思想。
(10分)三、论述题(共64分)1、试述儒家法律思想的主要特点和现实意义。
(12分)2、试述违约责任与侵权责任的竞合。
(12分)3、评述西方近代启蒙思想家的自然权利观。
(15分)4、我国行政许可制度的改革及其理由和根据。
(25分)清华大学2003年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、简述题（法理学专业任做五题，刑法学专业全做）1.法的特征2.法与法律3.法的体系4.法的要素5.善法与恶法6.法律是手段，正义是目的。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
清华大学往年考试试卷真题
清华大学往年考试试卷真题清华大学是中国顶尖的高等学府之一，其考试试卷真题通常包含多个学科领域，以下是一个模拟的清华大学往年考试试卷真题的示例：清华大学数学分析考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是连续函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3 - 2x + 1在x=1处的导数是：A. 2B. 0C. -2D. 43. 积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的极值点是_________。
2. 若f(x) = e^x，那么f'(x) = __________。
3. 函数y = ln(x)的定义域是_________。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是单调递增的。
2. 解释什么是泰勒级数，并给出e^x的泰勒级数展开式。
3. 计算定积分∫(1, e) (x + 1/x) dx。
四、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 3]上的最小值。
2. 给定函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求其在x=π/4处的导数，并解释其几何意义。
3. 解析下列微分方程：dy/dx = x^2 - y^2，初始条件为y(0) = 1。
五、附加题（10分）1. 讨论函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在实数域R上的零点。
注意事项：- 请在答题纸上作答，不要在试卷上直接书写。
- 请保持答题纸整洁，字迹清晰。
- 选择题请用2B铅笔涂黑，填空题和解答题请用黑色签字笔书写。
祝考试顺利！请注意，以上内容仅为模拟示例，并非真实的清华大学考试试卷真题。
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析一、填空题（本题5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
） （1）曲线sin 2,cos x e t y e t'=⎧⎨'=⎩在点()0,1处的法线方程为___________。
【思路点拔】本题的考点是曲线的法线方程。
欲求曲线的法线方程，需先求曲线法线斜率，即与曲线方程的一阶导数值乘积为-1的数，然后由直线的点斜式即可求曲线的法线方程。
【解题分析】cos sin sin 22cos 2x y t t ty x t t t'-'=='+。
()(),0,1x y =对应0t =，012xt y ='=，所求法线方程为12y x -=-。
即21x y +=。
（2）设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则x dy dx==_________。
【思路点拔】本题的考点是隐函数求导。
隐函数求导有两种方法：解法一，直接求导法；解法二，利和我函数的求导公式求解。
【解题分析】解法一：方程两边对x 求导得32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
以0x =代入原方程得ln 0y =，1y =；以0x =，1y =代入32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
得01x y ='=。
解法二：令()()23ln sin F x y x y x y x ⋅=+--22123sin Fx x x y x x y=⋅--+ 321Fy x x y=-+ dy Fxdx Fy=()()()2223223cos 1x x y x y x x y x x y -+-+=--+由题意：0x =时，1y =∴1x dy dx==。
（3）25613x dx x x +=-+⎰______________。