31不等关系与不等式课时1学案(无答案)-人教A版高二数学必修5
高中数学必修五3.1不等关系与不等式(第1课时)学案新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式(第1课时)一、设计问题,创设情境问题1:请大家阅读下列问题,说出下列问题中蕴含着怎样的数量关系.(1)下面左图是某品牌牛奶盒子背面的图片,成分表传达了怎样的信息?(2)下面右图中的“100”“80”表示什么意思?(3)某天的天气预报报道,最高气温32℃,最低气温26℃．二、信息交流,揭示规律问题2:问题1中的三个问题,蕴含着怎样的数量关系?与等量关系一样,不等关系也是自然界中存在着的基本的数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,那么你能举出一些与不等关系有关的现实生活的例子吗?问题3:在数学中用什么来表示不等关系?什么是不等式?不等号有哪些?三、运用规律,解决问题你能用刚才所学的知识来解决一些问题吗?你敢于接受挑战吗?请大家看下面的问题: 【例1】用不等式表示下列情况:(1)a与b的和是负数;(2)x的平方加上x的2倍大于10;(3)实数a的绝对值不超过3;(4)x不小于y的2倍,且x与y的差不大于 6.四、变式训练,深化提高【例2】某种杂志原以每本 2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢?问题4:不等式(组)表示数量关系中的什么关系?既然不等式表示数量之间的不等关系,那么我们在用不等式解答实际问题时,应从哪些角度分析实际问题呢?问题5:例2中的不等关系是什么?销售收入由哪个量来决定?请大家列出相应的不等式.问题6:本题中,若不用“定价”表示题中的不等关系,你能否选取其他的变量来表示这个不等关系呢?【例3】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等式.问题7:这个问题中涉及哪些不等关系呢?这些不等关系中涉及的量最少能用几个变量表示呢?问题8:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,有哪些步骤?五、反思小结,观点提炼问题9:同学们,通过这节课的学习我们学到了什么知识、方法以及数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)花生含量>3%,乳粉含量>0.8%;(2)“小客车行驶速度≤100km/h”“除小客车外的其他车辆行驶速度≤80km/h”；(3)26℃≤这一天的气温≤32℃．二、信息交流,揭示规律问题2:不等关系;学生举例:高矮、胖瘦、长短、轻重等.问题3:不等式;用不等号将两个代数式连接起来的式子叫不等式;<、>、≠、≤、≥．三、运用规律,解决问题【例1】(1)a+b<0;(2)x2+2x>10;(3)|a|≤3;(4)四、变式训练,深化提高问题4:不等关系;找出不等关系以及不等关系中涉及的量,并用合理的字母表示这些量.问题5:“销售的总收入≥20万元”;定价.若杂志的定价为x元,则销售量就减少万本.销售量为万本,则总收入为x万元.即“销售的总收入不低于20万元”的不等式表示为x≥20.问题6:可设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*),那么销售量减少了0.2n万本,单价为(2.5+0.1n)元,则也可得“销售的总收入不低于20万元”的不等式,表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.【例3】问题7:①“500mm钢管总长度+600mm钢管总长度≤4000mm”；②“600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍”；③“两种钢管的数量都不能为负”．两个,即两种钢管的数量.解:假设截得500mm和600mm钢管的数量分别为x,y根.同时满足上述不等关系,可以用下面的不等式组来表示:问题8:(1)找出问题中的不等关系,必要时用文字、符号等表示出来;(2)分析不等关系中涉及的量,并分析这些量之间的数量关系;(3)用最少的变量(字母)表示不等关系中涉及的量;(4)列出与不等关系对应的不等式(组).五、反思小结,观点提炼问题9:(1)生活中存在着大量的不等关系;(2)用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);四列(不等式(组))”．(3)本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.。
人教A版高中数学高二必修5学案 3.1 不等关系与不等式
明目标、知重点 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b大小的文字叙述(1)如果a－b是正数，那么a>b；(2)如果a－b等于零，那么a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．比较实数a，b大小的符号表示(1)a－b>0⇔a>b；(2)a－b＝0⇔a＝b；(3)a－b<0⇔a<b.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb.[情境导学]现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．那么，数学中，如何表示不等关系呢？探究点一 用不等式(组)表示不等关系思考1 限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？ 答 v ≤40.思考2 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？答 ⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，p ≥2.3%.思考3 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与|AB |的大小关系如何？ 答 d ≤|AB |.例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.探究点二 实数大小的比较思考1 在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b .如果a －b 分别是正数、零、负数，那么a ，b 之间具有怎样的大小关系？ 答 a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b .思考2 如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别是怎样的数？ 答 a －b 分别是正数、零、负数．小结 a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <0.例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .探究点三 不等式的基本性质思考1 初中已经学习过不等式的一些性质，请同学们回忆初中不等式的基本性质有哪些？ 答 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a >b ⇒a ±c >b ±c . (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若a >b ，c >0⇒ac >bc ，a c >b c. (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若a >b ，c <0⇒ac <bc ，ac ＜b c. 思考2 从实数的基本性质出发，如何证明下列常用的不等式的基本性质？ (1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； (3)a >b ，c >0⇒ac >bc ；(4)a >b ，c <0⇒ac <bc .答 (1)a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c ； (2)(a ＋c )－(b ＋c )＝a －b >0⇒a ＋c >b ＋c ； (3)a >b ，c >0⇒a －b >0，c >0⇒(a －b )c ＝ac －bc >0 ⇒ac >bc ；(4)a >b ，c <0⇒a －b >0，c <0⇒(a －b )c ＝ac －bc <0 ⇒ac <bc .例3 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb .证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思与感悟 有关不等式的证明最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练3 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45. B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z ≥45. C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95，y >380，z >45. D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a . 3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小； 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0. ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800. [呈重点、现规律]1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．一、基础过关1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>ab >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a . 3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，⎩⎨⎧a >0b >c⇒ab >ac .5．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5. ∴－1≤a －b ≤6.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________. 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 7．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2.解 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.8．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式组将题中的不等关系表示出来．解 列不等式组，涉及到至少、至多问题，要用到“≥”或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 3≥z ≥y 2，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．二、能力提升9．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.10．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 11．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x2≤12. 12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．三、探究与拓展13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000，及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.。
高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢生可以用不等式或不等式组来表示师什么是不等式呢生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为生可以表示为（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生 |AC |+|BC |＞|AB |(只需结合上述三角形草图生 |AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以生 如果用v 表示速度，则生 f≥2.5%或(此时,一片安静,同学们在积极思考生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f生 也可表示为f≥2.5%且师 同学们看这两位同学的观点是否正确生 (齐答)大家齐声说，都可以师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达课堂练习教科书第83页练习1、(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点 ［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形 师 请同学们继续来处理问题［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--xx≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n∈N *)， （下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师 很好，请继续讲生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题 ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习 课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业第84页习题3.1A 组4、 板书设计不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x＜3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习） 师 一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或cbc a ＜)；a ＞b 且c ＞ac ＞bc (或c b c a ＞ 性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜ac ＜bc (或c b c a ＜（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据 （学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质 （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了师 很好.请同学们思考下面这个问题(此时，老师用投影仪给出问题 ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x2（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析 （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ） (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b＞ （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞ ∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞ （2）a 4-b 4-4a 3(a -b=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a3=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b2=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜∴a 4-b 4＜4a 3(a -b师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用(此时，老师用投影仪给出下列问题［合作探究］【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0 ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c＞0，所以得证师 这位同学证明得是否正确？生 正确师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析 （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式教案
3.1不等关系与不等式第一课时三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.4.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课：(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg(3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的?思考一下什么是不等式？推进新课：我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.［合作探究］用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( v )不小于第一宇宙速度(记作v1 ),且小于第二宇宙速度(记v2 ).(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.［合作探究］ 【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量. 师 很好，请继续讲.生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较. （留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系. 生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习. 课堂练习（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ）［教师精讲］师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？生 显然正确.师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜0. 师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？ 生 只要考察它们的差就可以了.师 很好.请同学们思考下面这个问题. (此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2， 由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与ba 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴ba b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题第二课时授课类型：新授课【三维目标】1．知识技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
高中数学3.1不等关系与不等式教案新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．认识不等式或不等式组的实质背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。
【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。
２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。
难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。
【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。
【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。
你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。
活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。
的例子。
在老师实例 3. 两点之间线段最短。
的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。
待的能说出很多个例子来。
即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。
边思虑：生活中新的数目关系，特别好。
并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。
高二人教A版必修5系列教案：3.1不等关系与不等式3
3.1不等关系和不等式（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
高中数学新人教A版必修5学案3.1不等关系与不等式(第2课时)
3.1不等关系与不等式( 第 2 课时 )学习目标1.掌握常用不等式的基天性质 .2.会将一些基天性质联合起来应用 .3.学习怎样利用不等式的相关基天性质研究不等关系.合作学习一、设计问题 , 创建情境问题 1: 等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题 2: 依据等式的这些性质, 你能猜想不等式的近似性质吗?请大家加以研究.二、信息沟通 , 揭露规律问题3: 上边获得的结论能否正确, 需要我们给出证明. 需要证明的不等式, 是描绘两个数之间的大小关系, 能够用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题 4: 请大家用作差法证明性质(4).问题 5: 利用上边的性质, 证明不等式的以下性质:性质 5假如a>b,c>d,那么a+c>b+d;性质 6假如a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;性质 7假如a>b>0,那么a n>b n(n∈ N,n≥1);性质 8假如a>b>0,那么(n∈N,n≥2).三、运用规律 , 解决问题【例题】已知a>b>0,c<0, 求证 .问题6: 察看条件和结论中的不等式有什么差别?用不等式的哪些性质能够将条件向结论转变 ?问题 7: 请大家思虑还有其余证明方法吗?请大家试试试看.问题 8: 用作差法比较两个数的大小, 一般经历哪几个步骤?四、变式训练 , 深入提升变式训练1: 以下结论的正误, 正确的打“√” , 错误的打“×”.①若 b<a<0, 则 .()②若 a>b, 则. ()③若 , 则 a>b. ()④若 a+c>b+d, 则 a>b,c>d.()⑤若 a2>b2>0, 则 a>b>0. ()⑥若 , 则 a>b. ()变式训练2: 设 x<y<0, 试比较 (x 2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.变式训练3: 设α∈ , β∈ , 那么 2α - 的取值范围是()A. B. C.(0, π) D.五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境问题1: ①对称性 :a=b ? b=a; ②传达性a=b,b=c ? a=c; ③加法法例:a=b ? a±c=b±c; ④乘法法例 :a=b,c ≠0? ac=bc.问题 2:(1)假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b.即a>b? b<a.(2)假如 a>b,b>c, 那么 a>c. 即 a>b,b>c ? a>c.(3)假如 a>b, 那么 a+c>b+c.(4)假如 a>b,c>0, 那么 ac>bc; 假如 a>b,c<0, 那么 ac<bc.二、信息沟通 , 揭露规律问题 3: 能够用作差法比较.a-b>0 ? a>b;a-b=0 ? a=b;a-b<0 ? a<b.问题 4: 证明 : 由于 a>b,c>0,因此 ac-bc=c(a-b)>0,因此 ac>bc.同理可证假如a>b,c<0, 那么 ac<bc.问题 5: 证明 :(5) 由于 a>b,因此 a+c>b+c.①由于 c>d,因此 b+c>b+d.②由①②得 ,a+c>b+d.(6)? ac>bd;(7)由于 a>b>0, 由性质 (6) 可得 a n>b n,(n ∈ N,n ≥1);(8)( 反证法 ) 假定 ,若这都与a>b 矛盾 ,因此 .三、运用规律 , 解决问题【例题】证明 : 由于 a>b>0, 因此 ab>0,>0.于是 a×>b×, 即 .由 c<0, 得 .问题 6: 结论中的a,b 在分母上 , 且结论中a,b,c在同一个不等式中; 性质 (4).问题 7: 有, 用作差法 .证明: 由于,又由于 a>b>0, 因此 b-a<0,ab>0.又 c<0, 因此 >0, 因此 .问题 8: 作差—变形—定号—结论, 四个步骤 .四、变式训练 , 深入提升变式训练1: 答案 : √、×、×、×、×、√变式训练2: 解 : 方法一 :(x 2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)=-2xy(x-y),∵x<y<0, ∴xy>0,x-y<0, ∴ -2xy(x-y)>0,2222∴(x +y )(x-y)>(x-y )(x+y).方法二 : ∵ x<y<0, ∴ x-y<0,x 2>y2,x+y<0.∴(x 2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,∴0<<1,∴(x 2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).变式训练3: 分析 : 由题设得0<2α <π,0 ≤,-≤- ≤0, 因此 - <2α - <π.答案 :D五、反省小结 , 看法提炼略。
高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2 不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或c b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b⇒a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b⇒a-b＞0;a=b⇒a-b=0;a＜b⇒a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与b a 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴b a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】求证：（1）a＞b且c＞0 ac＞bc；（2）a＞b a+c＞b+c.师请同学们思考第一小问该如何证明？生可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.师这位同学证明得是否正确？生正确.师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c＞.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a ＞b ,b ＞c a ＞c ;a＞b,b＞c ⇒a-b＞0,b-c＞0⇒ (a-b)+(b-c)＞0⇒a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b⇒a-b＞0⇒ (a-b)+(c-c)＞0⇒ (a+c)-(b+c)＞0⇒a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＞0⇒a-b＞0,c＞0⇒ (a-b)c＞0⇒ac-bc＞0⇒ac＞bc.（4）a＞b,c＜0⇒ac＜bc.a＞b,c＜0⇒a-b＞0,c＜0⇒ (a-b)c＜0⇒ac-bc＜0⇒ac＜bc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入方法引导方法归纳不等式和实数的基本性质实例剖析（知识方法应用）小结示范解题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
周次：编号：1班级：姓名：
不等式与不等关系
学习目标
重点难点
1.通过实例，体 会用不等式（组）表示不等关系。
2.学会如何比较两数（式）的大小。
何比较两数（式）的大小
学习过程
【导读 】
阅读课本P72-73
请你用不等式表示下列不等关系：
1.某市环保局为增加城市的绿化面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元， 方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元，列出不等式表示“经过多少年后，方案B的投入不少于方案A的投 入”。
2.设 ，比较 的大小。
3.已知 ，试比较 的大小
4.若 ＜ ＜ ， ＞ 且 ，试比较 的大小关系。
5.设 ∈ ，且 ，比较 与 的大小。
6.比较 与 （ 为不相等的正数）的大小。
7.已知 为正实数，试比较 与 的大小。
达标训练
1.比较两数的大小：（1） 与 ；（2） 与 .
2.已知 ＜ ＜ ，试将下列各数按大小顺序排列：
2.在一个三角形中存在哪些不等关系 ？
【导思】
1.不 等式的定义：.
2.对于任意两个实数 ，则：
＞ ； ； ＞ .
【导练】
1.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐 篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的帐篷少5顶。若 只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满。若只选择B型号的，每顶帐篷住3人 ，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则帐篷没有多余。设A型号的帐篷有 顶，用不等式将题目中的不等式关系表示出来。
3.
·反思小结