高中数学 第三章 31 不等关系与不等式 新人教A版必修5PPT课件
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高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课件新人教A版必修5
• 答案： B
• 2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
• A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
• C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
• 解析： ∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
• 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
• 又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
• 1．实数比较大小的注意事项
• (1)符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推 出．“⇔”的右边反映的是两个实数a，b的大小关 系，左边反映的是实数的运算性质，三个等价式子 体现的是实数的大小顺序和实数的运算性质之间的 关系．
• (2)比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较 两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能 够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分 解因式等．
[提示] 如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么 在 8 天内它的行程为 8(x＋19)km，因此，不等关系“在 8 天内 它的行程将超过 2 200 km”可以用不等式 8(x＋19)>2 200 来表 示；如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它原来行驶 8 天的路程现在所花的时间为x－8x12，因此，不等关系“它原来行 驶 8 天的路程现在就得花 9 天多的时间”可以用不等式x－8x12>9 来表示．
第 三 章 不等式
•3.1 不等关系与不等式
自主学习 新知突破
• 1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存 在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示 不等关系．
人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
最新高中数学人教A版必修5课件：3.1 不等关系与不等式
探究四
探究一用不等式(组)表示不等关系
1.不等关系与不等式 不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示; 而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等 式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.
2.文字语言与数学符号之间的转换
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
学习目标 1.会用不等式 (组)表示实际 问题中的不等 关系. 2.掌握不等式 的有关性质. 3.能利用不等 式的性质进行 数或式的大小 比较或不等式 证明.
思维脉络
-3-
3.1 不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式
配套精品教学课件/人教版
高中数学(必修五)
授课老师：XX XX XX 授课日期：201X.XX.XX
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3.1 不等关系与不等式
高中数学必修五（人教版） 配套精品教学课件
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-2-
3.1 不等关系与不等式
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
2.不等式的性质 (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c. (3)如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b⇒a+c>b+c. (4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc. (5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
人教A版高中数学必修五第三章第一节《3.1不等关系与不等式》(第一课时)课件
2．课外探究： （1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比 十位数字大2.试用不等关系表示上述关系，并求出这 个两位数（用a和b分别表示两位数的个位数字和十位 数字）。 （2）一辆汽车原来每天行驶 x km，如果这辆汽车每 天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就 超过2200 km，写出不等式为_______________;如果 它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8 天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 _______________.
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
人教版必修五第三章3.1不等关系与不等式(第二课时)(28张ppt)
14
例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A， B的大小关系是 A≥B 。
15
例4．（1）如果30<x<36，2<y<6，求x－
2y及 x 的取值范围。
y
18<x－2y<32，
5 x 18 y
（2）若－3<a<b<1，－2<c<－1，
求(a－b)c2的取值范围。 因为－4<a－b<0，1<c2<4， 所以－16<(a－b)c2<0
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
4
由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b. 推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
5
推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
⑺ a b，ab 0 1 1 ab
(倒数法则)
注:一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的这些
基本性质 ,这是我们对不等式进行变形的基础.
你能推导10 它们吗?
例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证：1 1 ；
ab
证明：（1）因为ab>0，所以 1 0
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
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[自主解答] 设身高为h m，
文字表述
符号表示 票价
身高不足 1.2 m h<1.2 免票
身高在1.2 m～1.5 过 1.5 m h>1.5 全价票
[悟一法] 用不等式表示不等关系的注意事项： (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相 同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两 个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．
(5)因为c12>0 所以 a·c12>b·c12，故(5)正确． 因此正确的结论有(5)．
[研一题] [例1] 你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有 规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.2 m～1.5 m的儿 童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票．你能 用不等式表示这些规定吗？
[小问题·大思维] 1．不等关系与不等式有什么区别？
提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符 号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不 等关系的，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子 表示，不等关系是通过不等式来体现的．
2．关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？ (1)a>b 且 c>d 则 a－c>b－d. (2)a>b 则 ac>bc. (3)a>b>0 且 c>d>0 则ac>bd. (4)a>b>0 则 an>bn. (5)a>b 则ca2>cb2
[自主解答] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)[(x－12)2＋34]， ∵x<1，∴x－1<0.又(x－12)2＋34>0. ∴(x－1)[(x－12)2＋34]<0.∴x3－1<2x2－2x.
(2)∵a>0，b>0，∴aabb>0，abba>0. ∴aaabbbba＝abaa－－bb＝(ab)a－b. 讨论：(1)当 a>b 时，ab>1，a－b>0， ∴(ab)a－b>1. ∴aabb>abba.
(2)符号表示： a－b>0⇔ a>b ；a－b＝0⇔ a＝b ； a－b<0⇔ a<b . 2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a (对称性)； (2)a>b，b>c⇒ a>c (传递性)；
(3)a>b⇒a＋c > b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac > bc；a>b，c<0⇒ac < bc； (5)a>b，c>d⇒a＋c > b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac > bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an > bn； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n a > n b.
两边同乘以c－a1c－b得c－1 a>c－1 b>0. 又∵a>b>0，∴c－a a>c－b b.∴(5)正确．
[悟一法] 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实 质是看是否满足性质所需要的条件．若要判断一个命题是 假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出 一个反例予以否定．
[通一类]
(2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然不成立． ∴(2)错． (3) ac>>db>>00⇒ad>bc>0⇒ ad> bc成立． ∴(3)对．
(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对． (5)∵a>b>0⇒－a<－b<0⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0. ∴0<c－a<c－b.
[通一类] 1．某电脑用户计划用不超过500元的资金，购买单价分
别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘，根据需要， 软件至少买3张，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有 不等关系的不等式．
解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为 x 片、y 盒．
则6x0≥x＋3，70xy∈≤N5，00， y≥2，y∈N.
(2)当 a＝b 时，ab＝1，a－b＝0， ∴(ab)a－b＝1. ∴aabb＝abba.
由(ba＋ab)－2＝b2＋aa2b－2ab＝a－abb2， ∵b<a<0，∴(a－b)2>0.又 ab>0. ∴a－abb2>0.即ba＋ab>2.∴④正确． 答案：B
[研一题] [例3] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，b>0，比较aabb与abba的大小．
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；
④ba＋ab>2 中，正确的不等式有
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：∵1a<1b<0，∴a<0，b<0. ∴a＋b<0，ab>0.∴a＋b<ab.∴①正确． 由1a<1b<0，得1a－1b＝b－ aba<0. ∵ab>0，∴b－a<0.即 b<a.∴③错误． 由 b<a<0，知|b|>|a|，∴②错误．
提示：对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如 5>3,4>1 时，则 5－4>3－1 是错的，故(1)错． (2)中若 c≤0 时，不成立． (3)中例如 5>3 且 4>1，则54>31是错的，故(3)错．
(4)中对 n≤0 均不成立，例如 a＝3，b＝2，n＝－1 则 3 －1>2－1 显然错，故(4)错．
[研一题]
[例 2] 判断下列命题的对错，并说明理由．
(1)ac<bc且 c>0⇒a>b； (2)a>b 且 c>d⇒ac>bd；
(3)a>b>0 且 c>d>0⇒
a d>
bc；
(4)ca2>cb2⇒a>b. (5)若 c>a>b>0 则c－a a>c－b b. [自主解答] (1) acc><0bc⇒1a<1b， 当 a<0，b>0 时，此式成立，推不出 a>b，∴(1)错．
3.
第
1
三不
章
等 关
不
系 与
等不
式等
式
课前预习·巧设计
名
师
考点一
课
堂
考点二
·
一
考点三
点 通
考点四
创
新
演 练
N0.1 课堂强化
·
大
N0.2 课下检测
冲
关
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[读教材·填要点] 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述：
如果a－b是正数，那么a > b；如果a－b等于零，那么 a＝b；如果a－b是负数，那么a < b，反之也成立．