运筹学黄皮版第二章习题答案
运筹学习题参考答案
习题参考答案第二章 习 题1.线性规划模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++++0,,1800231200214002..453max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x 2. 标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++-=++=++---+-0,,,,,,1002333800120035.15.1..322min 87654328325473262543254x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x 3.（1）最优解为（2,2），最优值为8.（2）根据等式约束得：213--6x x x =代入规划等价于：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+++0,3-6..62max 21212121x x x x x x t s x x 先用图解法求线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++0,3-6..2max 21212121x x x x x x t s x x 得最优解为（0,6）代入原规划可得最优解为（0,6,0）最优值为18.4.（1）以21,x x 为基变量可得基可行解（3,1,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 以31,x x 为基变量可得基可行解（2,0,1），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111 （2）规划转化为标准形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++--0,,,55623..34min 432142132121x x x x x x x x x x t s x x 以32,x x 为基变量可得基可行解（0,1,4,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛0512 5. 以432,,x x x 为基变量可得基可行解（0,2,3,9），对应的典式为：32192231412=+=+=x x x x x 非基变量1x 的检验数为21-。
6. (1) a=0,b=3,c=1,d=0;(2) 基可行解为(0,0,1,6,2) （3）最优值为3.7.（1）最优解为（1.6,0,1.2），最优值为-4.4；（2）令11-=x y ，则0≥y ，11+=y x ，在规划中用1+y 替代1x ，并化标准形式。
运筹学第二章课后题
习题2.1某厂利用A 、B 两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知单位产品所需的原料、利润及有关数据如表2—3所示。
表2—3 两种原料生产三种产品的有关数据产品甲 产品乙 产品丙 拥有量 原料A 6 3 5 45 原料B 3 4 5 30 单位利润 4 1 5 请分别回答下列问题：（1） 求使该厂获利最大的生产计划。
（2） 若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变？（3） 若原料A 市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B 如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否应该购买，且以购进多少为宜？解：（1）设产品甲的产量为x 1，产品乙的产量为x 2，产品丙的产量为x 3. 目标函数为:Max z =4 x 1 + x 2+5 x 3约束条件：s.t.{ 6x 1+3x 2+5x 3≤45；3x 1+4x 2+5x 3≤30；x 1,x 2,x 3≥0；该线性规划模型为：答：该厂获利最大的生产计划为产品甲产量为5，产品乙产量为0，产品丙产量为3，总利润为35。
（2）敏感性报告为：答：如数据显示，产品甲的单位利润变化范围为：[3，6]。
（3）敏感性报告为：由敏感性报告显示原料B允许的增量为15，其影子价格为0.667，又因为市场上原料B单价为0.5，此时，总利润为37.5。
答：该厂可购买15。
习题2.3已知某工厂计划生产三种产品，各产品需要在设备A、B、C上加工，有关数据如表2—5所示。
表2—5 生产三种产品的有关数据产品A产品B产品C每月设备有效台时设备A8210300设备B1058400设备C21310420单位利润（千元）32 2.9请分别回答下列问题：(1)如何充分发挥设备能力，才能使生产盈利最大？(2)为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，若每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？(3)若另有两种新产品（产品4和产品5），其中生产每件新产品4需用设备A、B、C各12、5、10台时，单位赢利2.1千元；生产每件新产品5需用设备A、B、C各4、4、12台时，单位赢利1.87千元。
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
运筹学习题集（第二章）
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
运筹学第二章答案.
2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行， 所以有无穷多最优解，max z=14（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x x z解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x则上述形式可化为：)'''(32'2m ax 3321x x x x z --+=⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23m ax 3221x x x x z ----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
运筹学第二章习题答案
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第二章习题解答
min c x Z ij ij
i j 1 1 m n
n , , ) ij i (i 1m x a jn1 (3 ) st ij bj ( j 1n , , ) . x 1 i x , , , , , ) ij 0 (i 1m j 1n
0 X4 1 0 0 0 ┆
0 X5 0 1 0 0 ┆
0 X6 0 0 1 0 ┆
基 X1 X2 X3 Cj－Zj ┆ X4 X2 Cj－Zj
┆ ┆ 0 1 0 0 0 0 1 (k)
(l) -1/4 -1/4 0 0 0 3/4 (i)
X1 25/4 5/2
(h) 1/2 -5/4 of Management School (j)
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第二章习题解答
min 21 2 y W y y 23 y y y 1 1 2 3 y 2 3 () 1 对偶问题： 2 1 y y st 1 y y 1 y 2 3 1 ,y y 无约束 ,y 3 0 02
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
page 13 November 1, 2010
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3在互为对偶的一对原问题与对偶问题中不管原问题是求极大或极小原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学第二章课后题
习题2.1某厂利用A、B两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知单位产品所需的原料、利润及有关数据如表2—3所示。
产品甲产品乙产品丙拥有量原料A63545原料B34530单位利润415（1）求使该厂获利最大的生产计划。
（2）若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变？（3）若原料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否应该购买，且以购进多少为宜？解：（1）设产品甲的产量为x1，产品乙的产量为x2，产品丙的产量为x3.目标函数为:Max z=4 x1 + x2+5 x3约束条件：s.t.该线性规划模型为：答：该厂获利最大的生产计划为产品甲产量为5，产品乙产量为0，产品丙产量为3，总利润为35。
（2）敏感性报告为：答：如数据显示，产品甲的单位利润变化范围为：。
（3）敏感性报告为：由敏感性报告显示原料B允许的增量为15，其影子价格为0.667，又因为市场上原料B单价为0.5，此时，总利润为37.5。
答：该厂可购买15。
习题2.3已知某工厂计划生产三种产品，各产品需要在设备A、B、C上加工，有关数据如表2—5所示。
产品A产品B产品C每月设备有效台时设备A8210300设备B1058400设备C21310420单位利润（千元）32 2.9请分别回答下列问题：(1)如何充分发挥设备能力，才能使生产盈利最大？(2)为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，若每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？(3)若另有两种新产品（产品4和产品5），其中生产每件新产品4需用设备A、B、C各12、5、10台时，单位赢利2.1千元；生产每件新产品5需用设备A、B、C各4、4、12台时，单位赢利1.87千元。
如果设备A、B、C台时不增加，分别回答这两种新产品的投资在经济上是否合算？(4)对产品工艺重新进行设计，改进构造。
改进后生产每件产品1，需用设备A、B、C各9、12、4台时，单位赢利4.5千元，问这对原生产计划有何影响？解：（1）设每月产品A的产量为x1,产品B的产量为x2，产品C的产量为x3。
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第二章习题解答
min W 2 y1 3 y 2
(1) 对偶问题：
y1 2 y 2 2
st
.
2 3
y1 y1
y2 y2
3 5
y1
3 y2
6
y1 0, y 2 0
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
运筹学黄皮版第二章习题答案
电话：5108157(H)，5107443(O) E-mail:
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z 2 x1 2 x2 4 x3
x1 3 x2 4 x3 2
(1)
st
(3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等 号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
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第二章习题解答
2.5 给出线性规划问题
page 8 November 1, 2010
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第二章习题解答
(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。 (4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。 答：结论正确！
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第二章习题解答
m
maxZ cjxj
j1
n
aijxj bi
(i 1,,m1 m)
(4)
j1 st n aijxj bi
(i m1 1,m1 2,,m)
j1
xj 0 ( j 1,,n1, n),xj无约束（ j n1 1,,n）
page 6 November 1, 2010
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第二章习题解答
max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(2)
st
4 xx1175xx22
3x3 3x3
3 8
x1无约束, x2 , 0, x3 0
maxW 5y1 3y2 8y3
y1 y2 4y3 5
对偶
问题： st22yy11
d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4
page 10 November 1, 2010
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Cj→
3
2
2
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X1
(b)
1
1
1
1
0
0
0
X2
15 (a) 1
2
0
1
0
0
X3
20
2 (c)
1
0
0
1
Cj－Zj
5y2 3y2
7y3 3y3
6 3
y1无约束, y2 0, y3 0
page 4 November 1, 2010
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第二章习题解答
mn
min Z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
(i 1, , m )
(3)
j1
st
n
xij b j
max Z x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 2
st
x1 2 x1
x
2
x
2
x
3
x
1 3
2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z≤1。
2 x1 x1 4
x x
2 2
3x3 3x3
3 5
x1 , x2 , 0, x3无约束
maxW 2y1 3y2 5y3
y1 2y2 y3 2
对偶问题: st34yy11
y2 4y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
page 3 November 1, 2010
( j 1, , n )
.
i1 xij 0
(i 1, , m , j 1, , n )
m
n
maW x aiyi bjyjm
对偶问 s.t 题 yyii无 y： ji 限 m 1 c制 ii j 1j(,， i1,1n, m ,m,j1, ,n)
page 5 November 1, 2010
page 9 November 1, 2010
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第二章习题解答
2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终 单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
解：
l=1, k=0 , h=-1/2, a=2,
c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2,
3
2
2
0
0
0
┆┆
┆
┆┆
┆
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0
X4
5/4
0
0
(d) (l) -1/4 -1/4
3
X1
25/4
1
0
(e)
0
3/4 (i)
2
X2
5/2
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Cj－Zj
0
1
(f)
0 (k) (g)
0
(h) 1/2
0 -5/4 (j) School of Management
运筹学教程
School of Management
运筹学教程
第二章习题解答
2.2 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：不对！道理同上。
School of Management
运筹学教程
第二章习题解答
min j 1,2,,n1)
对偶问题： stim1 aijyi cj
( j n1 1,n1 2,,n)
i1 yi 0
(i 1,,m1)
yi无约束（ j m1 1,,m）
page 7 November 1, 2010
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
minZ 2x1 3x2 5x3 6x4
st.x21x1 2xx22
3x3 x4 x3 3x4
2 3
xj 0,( j 1,,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性 质写出原问题最优解。
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