第一讲 集合中的计数问题
3.3集合的计数
集合的分类
如果集合A的元素个数为n，则记为|A|=n； 称A为有限集合（有穷集）；否则称A为 无限集合（无穷集）。
有穷集的计数
(1)max(A,B)≤AB≤A+B
(2)AB≤min(A,B)
(3)A—B≤A—B≤A (4)若A,B不相交,则AB=A+B
Байду номын сангаас
多个集合的包含排斥定理
三个集合的包含排斥定理 |A∪B∪C=A+B+C -A∩B-A∩C-B∩C +A∩B∩C =S1-S2+S3 |A1∪A2∪……∪An|=S1-S2+...+(-1)n-1Sn
例2、求1到500之间能被2,3,7任一数 整除的整数个数。
解 : 设 1 到 500 间分别能被 2,3,7 整除的整数集合为 A,B,C 。 则求： A∪B∪C。 可知：A=[500/2]=250(注[x]表示不大于x的最大整数)
B=[500/3]=166;
C=[500/7]=75;
A∩B=[500/(2*3)]=83;A∩C=[500/(2*7)]=35; B∩C=[500/(3*7]]=23; A∩B∩C =[500/(2*3*7)]=11 ∴A∪B∪C= S1-S2+S3 =(250+166+71)-(83+35+23)+11=357
习题
1、某班有25个学生，其中14人会打篮球， 12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人 会打篮球和网球，还有2人会打这3种球， 而6个会打网球的人都会打另外一种球（指 篮球和排球），求不会打这3种球的人数）
2、对24名科技人员进行掌握外语情况的 调查，其统计资料如下：会英、日、德和 法语的人数分别为13、5、10、9人，其中 同时会英语和日语的有2人。同时会英语和 法语的，或者同时会英语和德语，或者同 时会法语和德语各有4人。会日语的人既不 懂法语也不懂德语。由上述资料，知道在 这24名人员中只掌握一门外语的人数：会 英语的(?)人,会法语的(?)人,会德语的(?)人, 会日语的(?)人,会英、德、法语的(?)人
第一讲集合中的计数问题
第一讲---集合中的计数问题一．基本问题1．含有个元素的集合的子集的个数；2．领悟容斥原理并简单的应用之.二．学习目标1．通过探究含有个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；2．通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.3．通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.三．课程内容1．含有个元素的集合的子集的个数引例：（1）用列举法表示集合，（2）上述集合有多少个子集？答案：（1）（2）共有8个子集.注：要求学生把8个子集列举出来.问：如何探究含有n个元素的集合的子集的个数规律呢？填写下列表格：集合元素个数n 子集个数发现规律1 22 43 84 165 32发现了什么样的规律呢？猜测：含有个元素的集合的子集的个数为.如何证明这一猜测呢？方法一含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n个元素的集合的子集个数有什么关系吗？发现：集合每增加一个新元素x时，若将元素x加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。
即：.又,所以.方法二我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.依据乘法计数原理：完成一件事需要n步，每一步分别有种的方式，则完成这件事共有种不同的方式.可得含有个元素的集合的子集的个数为例1 如果A，则满足条件的集合A有_______个.解:所以满足条件的集合A的个数等于集合的非空子集的个数，共个.总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。
2．容斥原理及其应用引例：如果集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，问：（1）集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？（2）如果集合中有15个元素，那么集合中有多少个元素？由此例，可以总结出怎样的规律？设表示集合A中元素的个数，则这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.容斥原理可以拓展为求n个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的.例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？（2）共有多少人参加了三科竞赛？解：设参加数学竞赛的同学构成集合A，参加物理竞赛的同学构成集合B，参加化学竞赛的同学构成集合C，由已知可知：而，且（1）参加数学或物理竞赛的总人数，而没有参加数学或化学竞赛的人数为（2）所求依据容斥原理，可以得到如下公式：所以即共有213人参加了三科竞赛.容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
01第一章 集合与计数原理【讲义】
第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
3.3 集合中元素的计数 (1)
难点：文氏图法公式法——包含排斥原理教Biblioteka 内容:3.3集合中元素的计数
一、本节主要内容
集合的基数与有穷集合
包含排斥原理
有穷集的计数
二、教学内容
集合的基数与有穷集合
集合A的基数：集合A中的元素数，记作cardA
有穷集A：cardA=|A|=n，n为自然数.
有穷集的实例：
例2
24名科技人员，每人至少会1门外语.
英语：13；日语：5；德语：10；法语：9
英日：2;英德：4；英法：4；法德：4
会日语的不会法语、德语
求：只会1种语言人数，会3种语言人数
x+2(4-x)+y1+2=13
x+2(4-x)+y2=10
x+2(4-x)+y3=9
x+3(4-x)+y1+y2+y3=19
授课时间第七周第1次课
授课章节
3.3集合中元素的计数
任课教师
及职称
唐新华
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
2课时
使用教材和
主要参考书
1、教材：
耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
教学与目的要求：
掌握有穷集合的计数方法
教学重点、难点:
证明
证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０
证设x不具有性质P1, P2, … , Pm ,
xAi , i = 1, 2, … , m
xAiAj , 1i < jm
3.1集合的基本概念-3.3集合中元素的计数精品PPT课件
3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义
文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
14
集合基本运算的定义
并
AB = { x | xA xB }
交
AB = { x | xA xB }
相对补（差） AB = { x | xA xB }
对称差
AB = (AB)(BA)
6
集合与元素
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素，如 {1，1，2，2，3}＝{1，2，3}
集合的元素是无序的，如 {1，2，3}＝{3，1，2}
元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于
实例 A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1} 1A, 2A
= (AB)(AB)
绝对补
A = EA
Байду номын сангаас
15
例如 则有
A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d} A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}，
B－A＝ ，B∩C＝
如果两个集合的交集为 ，则称这两个集合是不相交
的。例如B和C是不相交的。
16
文氏图表示
17
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
补元律 零律 同一律 否定
AA=(矛盾律)
A= A=A =E
E AA=E(排中律)
AE=E AE=A E=
第1篇预备知识ch1集合论ch2计数问题
2.3.2 容斥原理(The Principle of Inclusionexclusion) • 定理1.3.2 设A和B是任意有限集合,则有 • A∪B= A+ B- A∩B • 容斥原理可推广到n个有限集上。 • 例4 求从1到1000的整数中不能被5、6和8中任何 一个整除的整数个数。 • 例5 有100个学生，其中60个爱看小说，30个爱下 棋，10个既爱看小说，又爱下棋，5个既爱看小说， 又爱跳舞，没有既爱下棋，又爱跳舞的，三种活 动都不爱的有10个，问有几个学生爱跳舞？
定义1-1.1
设A、B是任意两个集合，如果A的每
一个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的 子集合（或子集，subsets），或称A包含在B 内，记为AB ；或称B包含A，记为BA 。 即
AB x(xAxB)
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
第一篇
预备知识
第一章
集合论
第1章 集合
1-1 集合的概念和表示
1-2 集合运算 第2章 计数问题 2-1 基本原理 2-2 排列与组合 2-3 鸽笼原理与包含排斥原理（容斥原理） 2-4 离散概率简介 2-5 递归关系
1-1 集合的基本概念
集合是一些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定的、作为整体识别的、互相区别
的对象的总体。
。
• 证明思路： 根据并运算和交运算的定义， 先证： 等式的左端 等式的右端。 对任意x 左端 x 右端 再证： 等式的右端 等式的左端。 对任意x 右端 x 左端
•
定理1-2.2 设 A、B 为任意两个集合，则下列关系式 （吸收率）成立：
a) A (AB)=A b) A (AB)=A
10的集合计数教案
10的集合计数教案教案：10的集合计数一、教学目标1.了解集合的基本概念和符号表示法；2.掌握计算10的集合计数的方法；3.能够解决与10的集合计数相关的问题。
二、教学准备1.小白板/黑板和白板笔/粉笔；2.教学用具：10个小球/图钉等。
三、教学步骤步骤一：引入1.创设情境：张三有10个不同颜色的小球，他想知道组成多少种不同的排列组合。
2.提问引导学生思考：如果给你10个小球，你能够组成多少种不同的排列组合呢？步骤二：讲解集合的基本概念1.定义集合：集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母和花括号表示（如集合A：{a, b, c}）。
2.元素的个数称为集合的基数，用竖线表示（如集合A的基数：|A|）。
3.当集合A中的元素都是从集合B中选出来的，且集合A的基数等于集合B的基数时，集合A和集合B称为相等集合，用等号表示（如集合A = 集合B：A = B）。
步骤三：介绍10的集合计数方法1.列出全排列：将10个小球按照不同顺序排列，计算总共有多少种情况。
–第一个小球有10种选择，第二个小球有9种选择，以此类推，第十个小球有1种选择；–一共有10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 10!（10的阶乘）种情况。
2.列出组合数：从10个小球中选取一部分进行组合，计算总共有多少种情况。
–使用组合数公式：C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)，其中n为总数，k为选取的个数；–具体计算过程为：C(10, 0) + C(10, 1) + C(10, 2) + …+ C(10, 10) = 2^10 - 1 = 的二进制表示为1010 11111111）。
步骤四：练习与巩固1.练习一：如果有20个不同颜色的小球，计算组成的排列组合数。
2019届高中数学专题--集合中的计数.高考中的亮点(共19张PPT)(共19张PPT)
6.(2006 年辽宁高考试题)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( (A)1 (B)3 (C)4 (D)8
子题详解:
5.解:故选(B). 6.解:由 A={1,2},A∪B={1,2,3} B={3}∪X,其中 X 满足 X A,所以,B 的个数=X 的个数=A 的子集个数=22=4. 故选(C).
X A X
n
1. 元素个数
子题类型Ⅰ:(2013 年大纲高考试题)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
［解析］由 A 中的最小元素为 1,B 中的最小元素为 4 M 中的最小元素为 5;又由 A 中的最大元素为 3,B 中的最大元素为 5 M 中的最大元素为 8,且 M 中的元素构成连续的整数 M 中元素的个 数=8-5+1=4.故选(B).
集合计数问题与枚举计数、排列和组合方法有关,不仅具有综合性,而且还 具有技巧性,是数学竞赛的热点问题,随着高考的继续和深入,集合计数已成为 高考的热点问题。 母题结构: 母题解析:
关于子集个数有如下结论:①如果 A 是 n 元集合,则 A 的子集个数为 2 ;②满足条件 A∪X=M 的集合 X 的个数等于集合 A 的子集个数;③满足条件 A∩X=M 的集合 X 的个数等于集合 CUA 的子集个数。
子题类型Ⅲ:(2011 年安徽高考试题)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7}, 则满足 S A,且 S∩B≠ 的集合 S 的个数 是( ) (A)57 (B)56
6
(C)49
(D)8
3
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第一讲---集合中的计数问题
一． 基本问题
1． 含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数；
2． 领悟容斥原理并简单的应用之.
二． 学习目标
1． 通过探究含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；
2． 通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.
3． 通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.
三． 课程内容
1．含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数
引例：（1）用列举法表示集合 9|_______9N x N x ⎧⎫∈∈=⎨
⎬-⎩⎭
， （2）上述集合有多少个子集？ 答案：（1）{
}9,3,1 （2）共有8个子集. 注：要求学生把8个子集列举出来.
问：如何探究含有n 个元素的集合的子集的个数规律呢？
发现了什么样的规律呢？
猜测：含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n a 2=. 如何证明这一猜测呢？
方法一 含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n 个元素的集合的子集个数有什么关系吗？
发现：集合每增加一个新元素x 时，若将元素x 加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。
即：)(21N n a a n n ∈=+.
又,21=a 所以n n n n n a a a a 222211221=====--- .
方法二 我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n 步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.
依据乘法计数原理：完成一件事需要n 步，每一步分别有n M M M ,,,21 种的方式，则完成这件事共有n M M M ⨯⨯⨯ 21种不同的方式.
可得含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n n a 2222=⨯⨯⨯=
例1 如果{}2,1,1-⊂ A ⊆{}31|≤-∈x Z x ，则满足条件的集合A 有_______个.
解:{}
{}4,3,2,1,0,1,231|--=≤-∈x Z x
所以满足条件的集合A 的个数等于集合{}4,3,0,2-的非空子集的个数 ，共15个.
总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。
2． 容斥原理及其应用
引例：如果集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，问：
（1） 集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？
（2） 如果集合B A ⋃中有15个元素，那么集合B A 中有多少个元素？
由此例，可以总结出怎样的规律？
设)(A N 表示集合A 中元素的个数，则)()()()(B A N B N A N B A N -+=
这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.
容斥原理可以拓展为求n 个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的. 例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：
（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？
（2）共有多少人参加了三科竞赛？
解：设参加数学竞赛的同学构成集合A ，参加物理竞赛的同学构成集合B ，参加化学竞赛的同学构成集合C ，由已知可知：437)(,739)(,807)(===C N B N A N
而267)(,371)(,593)(===C B N C A N B A N ，且965)(=C B A N
（1） 参加数学或物理竞赛的总人数953593739807)(=-+=B A N ，而没有参加数学或化学竞赛的人数为1371437807965)(965=+--=-C A N 92=
（2） 所求?)(=C B A N
依据容斥原理，可以得到如下公式：
)()()()()()()()(C B A N C B N C A N B A N C N B N A N C B A N +---++=所以213267371593437739807965)(=+++---=C B A N
即共有213人参加了三科竞赛.
容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
练习：（1）在大于0小于1000的自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？
（2）在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
答案：（1）733336699166199333499=+---++（个）；
（2）设木棍长为60，则第一种刻度线有9条，相邻两条刻度线间距为6；第二种刻度线有11条，相邻两条刻度线的间距为5；第三种刻度线有14条，相邻两条刻度线的间距为4. 第一种刻度线与第二种刻度线重叠的有1条，第一种刻度线与第三种刻度线重叠的有4条，第二种刻度线与第三种刻度线重叠的有2条，没有三种刻度线重叠的情况.
由容斥原理，可得不同的刻度线有27024114119=+---++
故木棍共被锯成28段.。