2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
高中人教A数学选修2-3学案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 含答案
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质自主预习·探新知情景引入幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把1到9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15”．杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？新知导学1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数__相等__．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__和__，即C r n＋1＝__C r－1n＋C r n__．2．二项式系数的性质对称性与首末两端“__等距离__”的两个二项式系数相等(即C m n＝C n－mn)．增减性当k<__n＋12__时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值最大值当n是偶数时，中间一项二项式系数取得最大值__C n2n__当n是奇数时，中间两项二项式系数相等，同时取得最大值__C n-12n＝C n+12n__各二项式系数的和C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝__2n__.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝__2n－1__.预习自测1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(C)A．5B．6C．7D．8[解析]二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．2．(全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(C)A．－80B．－40C．40D．80[解析]因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80．所以x3y3的系数为80－40＝40．故选C．3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(B)A．56B．160C．80D．180[解析]由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为T r＋1＝C r6(2x)r＝2r C r6x r，令r ＝3得23C36＝160．4．(2020·深圳二模)若(x－4x)n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为__96__．[解析]在(x－4x)n中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得n＝4．∴(x－4x)n的展开式的通项公式为：T r＋1＝C r4x4－r(－4x)r＝(－4)r·C r4·x4－2r，令4－2r ＝0，解得r ＝2.∴常数项为C 24×(－4)2＝96．故答案为96．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶与杨辉三角有关的问题典例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19．[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和．[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23；第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211．故S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312＝274． 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路┃┃跟踪练习1__■(1)如图，此数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行第2个数是__n 2－n ＋22__．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 … … …(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第__2n －1__行；第61行中1的个数是__32__．[解析] (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1．(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．命题方向❷二项展开式的系数和问题典例2 在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解析] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024．(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512． (3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 8．由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 故偶数项系数的和为12(1－510)．『规律总结』 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．┃┃跟踪练习2__■(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8． ∴(1＋2x )8的展开式中二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4， 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧8！·2r ！(8－r )！≥8！(r －1)！(8－r ＋1)！，8！r ！(8－r )！≥8！·2(r ＋1)！(8－r －1)！⇒⎩⎪⎨⎪⎧2(8－r ＋1)≥r ，r ＋1≥2(8－r ) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ≤6，r ≥5⇒5≤r ≤6． 又∵r ∈N ， ∴r ＝5或r ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6．有关二项式系数和展开式的系数和的问题典例3 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值．(1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2． [思路分析] 用赋值法求各系数的和．[解析] (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100(或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100)．(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100． (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② 与①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002．(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100×(2＋3)100＝1． 『规律总结』 1.各项的系数和一般地，二项展开式f (x )中的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，偶数项系数和为12[f (1)－f (－1)]．2．赋值法“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．┃┃跟踪练习3__■(2020·深圳高二检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7． 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|． [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094．(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093．(4)解法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187．解法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187．学科核心素养 杨辉三角的应用(1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规律．如(a ＋b )6的展开式中a 的指数，由首项的6次逐项下降为0次，b 的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a ，b 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．(2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问题时，往往运用组合数公式．典例4 如图所示，在杨辉三角中，猜想第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和与第(n ＋2)条斜线上各数之和的关系，并证明你的结论．[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论，然后再证明它的一般性．[解析] 第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和等于第(n ＋2)条斜线上各数之和．证明如下：第n 条斜线上各数之和为C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…，第(n ＋1)条斜线上各数之和为C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋…，第n 条斜线上各数与第(n ＋1)条斜线上各数之和为：(C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…)＋(C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…)＝C 0n ＋(C 0n －1＋C 1n －1)＋(C 1n －2＋C 2n －2)＋(C 2n －3＋C 3n －3)＋(C 3n －4＋C 4n －4)＋…＝C 0n ＋1＋C 1n ＋C 2n －1＋C 3n －2＋C 4n －3＋…．这正好是第(n ＋2)条斜线上各数之和．『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用，利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．易混易错警示注意区分项数与项的次数典例5 已知(2x －1)n 的展开式中，奇次方项系数的和比偶次方项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值．[错解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项系数的和为A ，偶次项系数的和为B ，则A ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，由条件得B －A ＝316，又f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a n ＝B ＋A ＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋…＋(－1)n a n ＝A －B ＝－316，∴A ＝12(1－316)．即C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n ＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)． [辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项；二是没有弄清C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n 的准确含义．[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16．从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215． ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1．[误区警示] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n 项，第n 项的次数，第n 项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．课堂达标·固基础1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[解析] (2－x )8展开式的通项T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r2 .由r2＝4得r ＝8． ∴展开式中x 4项的系数为 C 88＝1．又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．2．在(2x －3x )n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( D )A ．32B ．－32C ．0D ．1[解析] 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D ．3．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x 2 019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019的值为(D )A ．2B ．0C ．－2D ．－1[解析] (1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019·x 2 019，令x ＝12，则(1－2×12)2 019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－1． 4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)__． 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 130 120 15 …[解析] 依题意得第n －1行第一个数为1n －1，第n 行第一个数为1n ，第n 行第二个数为1n －1－1n ，第n －1行第二个数为1n －2－1n －1，第n 行第三个数为(1n －2－1n －1)－(1n －1－1n )＝2n (n －1)(n －2)．5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．[解析] 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9．(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29．(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1． (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59．解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得： |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59．。
2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：1.2.1 第2课时排列的综合应用
第一章 1.2 1.2.1 第2课时【基础练习】1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12【答案】A2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法有()A．24种B．60种C．90种D．120种【答案】B3.(2019年台州期末)有甲、乙、丙三位同学，分别从物理、化学、生物、政治、历史五门课中任选一门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为( ) A.24 B.36 C.48 D.72【答案】B【解析】先不考虑物理必须有人选，则不同的选法有A53=60种.若物理没人选，即三位同学从四门课中任选一门，不同的选法有A43=24种.所以满足题目的不同选法种数为60-24=36.故选B.4．(2017年荆州月考)有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问老师成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() A．6 B．18C．20 D．24【答案】B【解析】(元素优先法)首先排A：A可在第二、四、五3个名次上，有A13种排法，排好A 后，C，D，E全排列，有A33种名次排法，即这5位学生的名次排列种数为A13·A33＝18(种)．5．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种．【答案】366．7个人站一队，其中甲在排头，乙不在排尾，则不同的排列方法有________种．【答案】6007．(1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？(2)由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的比1 300大的正整数？【解析】(1)由数字1,2,3,4,5可以组成A55＝120个没有重复数字的五位数．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的正整数，共分为5类．第1类，一位数有A15个；第2类，两位数有A25个；第3类，三位数有A35个；第4类，四位数有A45个；第5类，五位数有A55个．所以根据分类加法计数原理，由数字1,2,3,4,5可以组成A15＋A25＋A35＋A45＋A55＝325个没有重复数字的正整数．(2)由数字1,2,3,4组成没有重复数字的比1 300大的正整数，共分为4类．第1类，千位数字为1且比1 300大，百位数字只能是3或4，共有2×A22＝4个；第2类，千位数字为2，均比1 300大，有A33＝6个；第3类，千位数字为3，均比1 300大，有A33＝6个；第4类，千位数字是4，均比1 300大，有A33＝6个．根据分类加法计数原理，由数字1,2,3,4可以组成4＋6＋6＋6＝22个没有重复数字的比1 300大的正整数．8．有5名男生，4名女生排成一排．(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？(4)若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？【解析】(1)只要从9名学生中任选三名排列即可，∴共有A 39＝9×8×7＝504(种)．(2)将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有A 88种排法；另一类是甲既不站排尾又不能站排头有A 17种排法，乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个有A 17种排法，其余人全排列，于是这一类有A 17·A 17·A 77种排法．由分类加法计数原理，知共有A 88＋A 17·A 17·A 77＝287 280(种)．(3)女生必须站在一起，是女生的全排列，有A 44种排法．全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A 66种排法．由分步乘法计数原理，知共有A 44·A 66＝17 280(种)．(4)分两步走．第一步，男生的全排列有A 55种排法；第二步，男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，女生在这6个空中排列，有A 46种排法．由分步乘法计数原理知，共为有A 55·A 46＝43 200(种)．【能力提升】 9.(2019年吉林期中)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有( )A.480种B.240 种C.960种D.720 种【答案】A 【解析】方法一：按字母C 所在的位置分类，①字母C 排在左边第一个位置，则其余字母可任意排列，有A 55种排法；②字母C 排在左边第二个位置，则先把A,B 排在C 右边的四个位置中，再排剩下的三个字母，有A 42A 33中排法；③字母C 排在左边第三个位置，先把A,B 都排在C 左边的两个位置，或都排右边的三个位置，再排剩下的三个字母，有A 22A 33+A 32A 33种排法；④按照对称性，当字母C 排在左边第四、五、六个位置的情况分别与排在第三、二、一个位置的情况相同.所以不同的排法种数为2(A 55+A 42A 33+A 22A 33+A 32A 33)=480.故选A.方法二：六个字母全排列有A 66种排法.A,B,C 三个字母的排列顺序有6种(ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA)，其中满足“A,B 均在C 的同侧”的有4种(ABC,BAC,CAB,CBA)，故满足题意的不同排法种数为A 66×46=480.故选A.10．(2018年邢台检测)有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A 不能停在第3道上，货车B 不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有( )A ．56种B ．63种C ．72种D ．78种【答案】D【解析】若没有限制，5列火车可以随便停，则有A 55种不同的停靠方法；快车A 停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法有A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法有A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法有A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78(种)．11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五的位置，再从其余的7名队员中选2名安排在二、四的位置，那么不同的出场安排共有________种．(用数字作答)【答案】252【解析】主力队员有3名，安排在3个位置上故有A33种方法，其余7名中选2名安排在2个位置上有A27种方式，总共有A33·A27＝252种出场安排．12．某年级某班，数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则这样的课程不同排法的种数为多少？【解析】分两类：(1)数学在上午开头或结尾，有A12种，体育在下午，有A12种，理、化只能在上午两个位置上一节和下午上一节，有2A22种，其余两门在剩下的位置安排，有A22种．∴有A12·A12·2A22·A22＝32(种)．(2)数学在上午第二节或第三节安排，有A12种，体育在下午，有A12种，理、化只能在上午一个位置和下午一个位置上安排，有A22种，其余两门在剩下的位置安排，有A22种．∴有A12·A12·A22·A22＝16(种)．∴共有32＋16＝48(种)．。
选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
最新整理高中数学人教A版选修2-3课后训练：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习一、选择题1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )．A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－22．在312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．－7B ．7C ．－28D ．28 3．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．24．已知31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．A ．第19项B ．第17项C ．第17项或第19项D ．第18项或第19项5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )．A ．1B ．－1C ．36D ．26 二、填空题6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为__________．7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(32x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.三、解答题9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2013的值．(2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值．11.求证：(1)1C n ＋22C n ＋…＋C nn n ＝n ·2n －1；(2)0C n ＋1211C C 23n n +＋…＋11C 11n n n n =++ (2n ＋1－1)． 12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?参考答案1答案：D 解析：令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.2答案：B 解析：由已知n 为偶数，则2n＋1＝5， ∴n ＝8.∴8331122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式通项公式为T r ＋1＝8831C 2rrr x x -⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(－1)r ·848381C 2rrr x--⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·26811C 24⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭×28＝7.3答案：B 解析：令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(2－1)8＝1，由T r ＋1＝88C 2()rr r x -⋅，令r ＝8，得T 9＝88C ·20x 4＝x 4，其系数为1， ∴展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0. 4答案：A 解析：T 10＝9C n(3x )n －9·999391C n n x x --=，由T 10为常数，得93n -－9＝0，所以n ＝36，故第19项系数最大．5答案：C 解析：由已知展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，a 1，a 3，a 5小于零． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，①令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36.②∴①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝6312+，①－②得a 1＋a 3＋a 5＝6132-.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝66313122+-+＝36. 6答案：2 解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.7答案：－160x 解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由已知M ·N ＝64， ∴2n＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝36C ·(32x )3·(－1)3＝－160x .8答案：34 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314C :C n n ＝2∶3，所以!!:(13)!13!(14)!14!n n n n -⋅-⋅＝2∶3，∴142133n =-.∴n ＝34. 9解：由521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得T r ＋1＝55205225516116C C 55r rrr r r x xx ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令T r＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝4516C 5⨯＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝24C a 4＝54.所以a ＝3±.10解：(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝(1＋2x )2 013＋(1＋x )2 013，x ＝－1，得f (－1)＝(－1)2 013＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝－1. (2)由已知112C C m n +＝2m ＋n ＝20， ∴n ＝20－2m .∴x 2的系数为222(1)(1)2C C 422m n m m n n --+=⨯+＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值85.11分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的系数固定下来，从而使用二项式系数性质012C C C n n n ++＋…＋C n n＝2n .证明：(1)∵!C !()!kn n k k k n k =⋅-＝!(1)!()!n k n k --＝11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---⋅=--.∴左边＝0111C C n n n n --+＋…＋11C n n n --＝n (0111C C n n --+＋…＋11C n n --)＝n ·2n －1＝右边．(2)11!C 11()!k n n k k n k =⋅++- ＝!1(1)!(1)!()!1(1)!()!n n k n k n k n k +=⋅+-++-＝111C 1k n n +++. ∴左边＝121111C C 11n n n n +++++＋…＋111C 1n n n +++.＝11n +(1211C C n n +++＋…＋11C n n ++) ＝11n +(2n ＋1－1)＝右边． 12分析：(1)根据杨辉三角的规律“每个数都等于它肩上的两个数的和，每行两端都是1”可写出第6行二项式系数，但要注意每项的正负号．(2)求0.9986的近似值一般都是把它化为(1－0.002)6，再利用上面的展开式．(3)根据二项展开式可知，杨辉三角的第n 行的数依次为012C ,C ,C n n n ，…，C rn ，…，C nn ，因此可设出这相邻的三个数，运用组合数公式列出方程组，解此方程组即可求出n .解：(1)由杨辉三角知，第6行二项式系数为：1,6,15,20,15,6,1. 所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令其中a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)0.9986＝(1－0.002)6＝(1－x )6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…＋0.0026≈1－6×0.002＝0.988.(3)设在第n 行出现，并设相邻的三个数分别是1C k n -，C kn ，1C k n +，那么有113C ,4C 4C ,5C knk n kn k n-+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴3!!()!,4(1)!(1)!!4!(1)!(1)!,5!()!!n k n k k n k n n k n k k n k n -⎧=⨯⎪-⋅+-⎪⎨+⋅--⎪=⨯⎪-⎩即3,4141,5k n k k n k ⎧=⎪⎪+-⎨+⎪=⎪-⎩∴373,495,n k n k -=-⎧⎨-=⎩解得n ＝62，k ＝27，即第62行，此时262728626262C :C :C ＝3∶4∶5.。
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3同步训练：1.3 二项式定理 Word版含答案
1.3 二项式定理1、5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3 2、二项式()()1nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n = ()A.4B.5C.6D.73、设m 为正整数, 2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = ( ) A.5 B.6C.7D.84、若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.1205、在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( )A.10B.10-C.40D.40- 6、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-17、84()(1)1x y ＋＋的展开式中22x y 的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．1688、设6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ) A. 4 B. 4- C. 62 D. 62-9、在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数为( ) A.-120 B.120 C.-15 D.1510、若()3nx y +的展开式中各项的系数之和等于()107a b +的展开式中各二项式的系数之和，则n 的值为( ).A.5B.8C.10D.1511、已知31nx ⎛⎫+ ⎝的展开式的二项式系数之和比()2na b +的展开式的系数之和小240,则1nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式系数中最大的项是__________ 12、已知()()*1,n mx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含3x 项的系数为80,则()()611n mx x +-的展开式中含2x 项的系数为__________ 13、如图所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,6,4,10, ⋅⋅⋅,记这个数列的前n 项和为n S 则16S =__________14、计算()0123521mn n n n C C C n C +++⋯++=__________(*)n N ∈.15、已知在n的展开式中,第6项为常数项. 1.求n ;2.求含2x 的项的系数 3.求展开式中所有的有理项.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中21x 的系数为445(1)5C -=,常数项的系数为5(1)(1)-=-,所以5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项是523-=,故选D.2答案及解析： 答案：C解析：本题主要考查二项式定理.11k n k k k n k k n n T C x C x --+==,由已知, 2n k -=时, 15k n C =,即2215n n n C C -==,故6n =,故本题选C.3答案及解析： 答案：B 解析：()2mx y +展开式中二项式系数的最大值为2mm C ,即2m m a C =,同理, 21m m b C +=,∴221137m mm m C C +=,即()()()132!721!!!!1!m m m m m m ⋅⋅+=+,∴()721131m m +=+,解得6m =.4答案及解析： 答案：B解析：因为1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，即为264,6nn ==,那么展开式中常数项就是x 的幂指数为0的项，即为20.5答案及解析： 答案：D解析：5121(2)()rr r r T C x x-+=-51035(1)2r r r r C x --=-，∴1031r -=，∴3r =，∴35335(1)240C --=-6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：A解析：166k kk k T C x +-⎛= ⎝()36262k k k C x -=-,令3632k -=，即2k =，所以()223336260T C x x =-=，所以3x 的系数为60A =，二项式系数为2615B C ==，所以60415A B ==9答案及解析： 答案：C 解析：在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数33101()152C -=-,选C10答案及解析： 答案：A解析：()107a b +的展开式中各二项式的系数之和为102,对于()3nx y +,令1,1x y ==,则由题意，知1042n =,解得5n =11答案及解析： 答案：463x解析：由题意,得222240n n-=,可得216,n =所以4n =,因此431x ⎛⎫+ ⎝的展开式中系数最大的项是第3项,为222431463C x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12答案及解析： 答案：-5解析：由题意,得n 232=,所以5n =,又()51mx +的展开式的通项为15r r rr T C m x +=,令3r =,得33580C m =,所以2m =,所以()()()()65611121n mx x x x +-=+-,其展开式中含2x 项的系数为0211205656562411525641015C C C C C C -+=⨯-⨯⨯+⨯⨯=-13答案及解析：答案：由杨辉三角的性质,得()1212122121162233992339S C C C C C C C C C C =++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()32223339101011164C C C C C +++⋅⋅⋅+-=+-=解析：14答案及解析： 答案：()12nn +⋅解析：设()0123521nn n n n n S C C C n C =+++⋯++,则()()01121213n nn n n n nS n C n C C C -=++-+⋯++,所以()()()01221212nn n n n n S n C C C n =+++=+⋅⋯+,所以()12nn S n =+⋅.15答案及解析：答案：1.n的展开式的通项为 33112rn rr rr n T C xx --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭2312rn rr n C x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为第6项为常数项, 所以5r =时,有203n r-=,解得10n =. 2.令223n r -=,得()()116106222r n =-=⨯-=,所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 3.根据通项公式与题意得102,3010,.rZ r r Z -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩令()1023rk k Z -=∈,则1023r k -=,即352r k =-.r Z ∈,k ∴应为偶数.又010r ≤≤,k ∴可取2,0,2-,即r 可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,即2454x ,638-,245256x . 解析：。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：1.3 二项式定理1 Word版含答案
1．3二项式定理1．3.1二项式定理[学习目标]1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识链接]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cn n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？答不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为Cr n a n－r b r，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为Cr n b n－r a r.[预习导引]1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n b n(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．(2)(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k na n－kb k.要点一二项式定理的正用、逆用例1 (1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解(1)法一(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)·(1x)3＋＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x)4＝（3x ＋1）4x2＝1x2[1＋C14·3x ＋C24(3x )2＋C34(3x )3＋C44(3x )4] ＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. (2)原式＝C05(x －1)5＋C15(x －1)4＋C25(x －1)3＋C35(x －1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 跟踪演练1 (1)展开(2x ＋1x)6； (2)化简：1＋2C1n ＋4C2n ＋…＋2n Cn n . 解 (1)(2x ＋1x)6＝1x3(2x ＋1)6 ＝1x3[C06(2x )6＋C16(2x )5＋C26(2x )4＋C36(2x )3＋C46(2x )2＋C56(2x )＋C66] ＝64x 3＋192x 2＋240x ＋160＋60x ＋12x2＋1x3. (2)原式＝1＋2C1n ＋22C2n ＋…＋2n Cn n ＝(1＋2)n ＝3n . 要点二 二项展开式通项的应用 例2 若(x ＋124x)n 展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中的所有有理项．解 (1)由已知可得C0n ＋C2n ·122＝2C1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝Ck 8(x )8－k·(124x)k＝Ck 8·2－k·x 4－34k ，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C482(2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0，4，8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2.规律方法 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k ＋1中k 的值或取值范围以满足题设的条件． 跟踪演练2 已知二项式(x 2＋12x)10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项． 解 (1)(x 2＋12x )10的展开式的第5项为T 5＝C410·(x 2)6·(12x )4＝C410·(12)4·x 12·(1x )4＝1058x 10. (2)设第k ＋1项为常数项，则T k ＋1＝Ck 10·(x 2)10－k ·(12x )k ＝Ck 10·x 20－52k ·(12)k (k ＝0，1，2，…，10)，令20－52k ＝0，得k ＝8，所以T 9＝C810·(12)8＝45256，即第9项为常数项，其值为45256. 要点三 二项式定理的应用例3 (1)用二项式定理证明：34n ＋2＋52n ＋1能被14整除； (2)求9192除以100的余数．(1)证明 34n ＋2＋52n ＋1＝92n ＋1＋52n ＋1＝[(9＋5)－5]2n ＋1＋52n ＋1 ＝(14－5)2n ＋1＋52n ＋1＝142n ＋1－C12n ＋1×142n ×5＋C22n ＋1×142n －1×52－…＋C2n 2n ＋1×14×52n －C2n 2n ＋1×52n ＋1＋52n＋1＝14(142n －C12n ＋1×142n －1×5＋C22n ＋1×142n －2×52－…＋C2n 2n ＋1×52n )． 上式是14的倍数，能被14整除，所以34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．(2)解 法一 9192＝(100－9)92＝10092－C192×10091×9＋C292×10090×92－…－C9192×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9092×102－C9192×10＋(－1)92 ＝1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9092×102－920＋1 ＝(1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9092×102－1 000)＋81， ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二由9192＝(90＋1)92＝C092×9092＋C192×9091＋…＋C9092902＋C9192×90＋1，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192×90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪演练3求证：5151－1能被7整除．证明∵5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950×2＋…＋C5051×49×250＋C5151×251－1.∴易知除(C5151×251－1)以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017×717＋C117×716＋…＋C1617×7＋C1717－1＝7(C017716＋C117715＋…＋C1617)，显然能被7整除，所以(5151－1)能被7整除.1．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b等于( )A．33 B．29 C．23 D．19答案 B解析∵(1＋2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122＝a＋b2，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.2．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )A．－5 B．5 C．－10 D．10答案 D解析(1－x)5中x3的系数－C35＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.3．求(2x－32x2)5的展开式．解先化简再求展开式，得(2x－32x2)5＝（4x3－3）532x10＝132x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4(－3)＋C25(4x3)3(－3)2＋C35(4x3)2(－3)3＋C45(4x3)(－3)4＋C55(－3)5]＝32x 5－120x 2＋180x －135x4＋4058x7－24332x10.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记Ck n a n －k b k 是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.一、基础达标1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( )A ．20B ．40C ．80D ．160答案 D解析 法一 设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝Cr 6x 6－r ·2r ，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C36×23＝160.法二 根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C36×23＝160. 2．(2013·江西理)(x 2－2x3)5展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝Ck 5(x 2)5－k (－2x3)k ＝Ck 5x 10－5k (－2)k .由10－5k ＝0，得k ＝2，所以常数项为T 2＋1＝C25(－2)2＝40. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210答案 A解析 在通项公式T r ＋1＝Cr 10(－2y )r x 10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C410·(－2)4＝840. 4．(2013·辽宁理)使得(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝Ck n (3x )n －k ·(1x x )k ＝Ck n 3n －k xn －5k 2.由n －5k 2＝0得n ＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.5．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________． 答案 4 860 156．(2013·四川理)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)． 答案 10解析 设二项式(x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝Cr 5x 5－r y r ， 令r ＝3，则含x 2y 3的项的系数是C35＝10. 7．已知在(x＋2x2)n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解 T 5＝C4n (x )n －424x －8＝16C4n x n －202， T 3＝C2n (x )n －222x －4＝4C2n x n －102.由题意知，16C4n 4C2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝Ck 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k Ck 10x 10－5k2， 令10－5k2＝0，解得k ＝2， ∴展开式中的常数项为C21022＝180. 二、能力提升8．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3答案 C解析 S ＝C03(x －1)3＋C13(x －1)2×1＋C23(x －1)×12＋C33×13＝[(x －1)＋1]3＝x 3，故选C. 9．(2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C25＋a ·C15＝5，解得a ＝－1. 10．对于二项式(1x ＋x 3)n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________． 答案 ①与④解析 二项式(1x ＋x 3)n的展开式的通项公式为T k ＋1＝Ck n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 11．(x ＋23x)n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解 C8n ＝C9n ，∴n ＝17，T r ＋1＝Cr 17x 17－r 2·2r ·x －r 3， ∴17－r 2－r3＝1，∴r ＝9，∴T 10＝C917·x 4·29·x －3＝C917·29·x ，其一次项系数为C91729.12．已知在(12x 2－1x )n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．解 已知二项展开式的通项T k ＋1＝Ck n (12x 2)n －k ·(－1x )k ＝(－1)k (12)n －k Ck n x 2n －52k .(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0， 解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6(12)4C610＝1058.(3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．三、探究与创新13．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值． 解 (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C1m·2x＋C1n·4x＝(2C1m＋4C1n)x，∴2C1m＋4C1n＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C2m22＋C2n42＝2m2－2m＋8n2－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16(n2－374n＋1534)，∴当n＝378时，t取最小值，但n∈N*，∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
2018-2019版高中数学人教A版浙江选修2-3文档：1-3-2杨
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质目标定位 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.自 主 预 习1.杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .2.二项式系数的性质即 时 自 测1.思考题(1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示 不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n 行与杨辉三角中的第n ＋1行对应数值相等.(2)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示 错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项), 但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.2.在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于( )A.8B.9C.10D.11解析 由题意，展开式中只有第6项系数最大，所以展开式中共11项，n ＝10. 答案 C3.(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3解析 (1＋x )2n ＋1展开式有2n ＋2项.系数最大的项是中间两项，是第n ＋1项与第n ＋2项，它们的二项式系数为C n 2n ＋1与C n ＋12n ＋1.答案 C4.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________.解析 由题意，C 2n ＝15，解得n ＝6，则展开式中所有项系数之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126＝164. 答案 164类型一 与杨辉三角有关的问题【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.解 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.【训练1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行1 1第2行12 1第3行133 1第4行1464 1第5行1510105 1………解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·（n－13）！＝2·n！14！·（n－14）！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34类型二二项展开式的系数和问题【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值.(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a7＝37.②(1)令x＝0，得a0＝1，代入①中得：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)由①－②得2a 1＋2a 3＋2a 5＋2a 7＝－1－37，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)由①＋②得2a 0＋2a 2＋2a 4＋2a 6＝－1＋37，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)法一 ∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.规律方法 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0).【训练2】 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值：(1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2.解 (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100.或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，①∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，②与①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝（2－3）100－（2＋3）1002. (4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝(2－3)100×(2＋3)100＝1. 类型三 二项式系数性质的综合应用(互动探究)【例3】 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.[思路探究] 探究点一 二项式展开式中各项系数之和与x 的取值有何关系？提示 当x ＝1时，二项式展开式即为各项系数之和.探究点二 系数最大的项与二项式系数最大项相同吗？提示 不相同.二项式系数最大的项，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 而系数最大项不仅与各项的项数有关，而且也与两项的值有关.探究点三 求二项式中系数问题的关键是什么？提示 关键是分清二项式系数与项的系数，注意n 的奇偶，正确运用二项展开式的通项公式解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r ).假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！（5－r ）！r ！×3≥5！（6－r ）！（r －1）！，5！（5－r ）！r ！≥5！（4－r ）！（r ＋1）！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92， ∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45·34x 263＝405x 263.规律方法 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R )展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项.【训练3】已知(1＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求(2x －1x)2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·(－1x)5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·(－1x )k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k . ∴83≤k ≤113，∵k ∈N ，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.[课堂小结]1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r ∈{0，1，2，…，n }的范围.1.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A.－15x 4B.15x 4C.－20i x 4D.20i x 4解析 由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.选A.答案 A2.在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A.第6项B.第5项C.第5，6项D.第6，7项解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.3.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________.解析 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案 －24.已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项.解 由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n （n －1）2＝121，即n 2＋n －240＝0， 解得：n ＝15或－16(舍).∴在(1＋3x )15展开式中二项式系数最大的项是第8，9两项，且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7，T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.基 础 过 关1.已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A.4B.5C.6D.7解析 令x ＝1，各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，故有4n 2n ＝64，∴n ＝6.答案 C2.(x －1)11展开式中x 的奇次项系数之和是( )A.－2 048B.－1 023C.－1 024D.1 024解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11，令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，两式相减得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024.3.(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( )A.2n ＋1B.2n －1C.2n ＋1－1D.2n ＋1－2解析 令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.答案 D4.在(a －b )10的二项展开式中，系数最小的项是________.解析 在(a －b )10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T 6＝C 510a 5(－b )5＝－252a 5b 5.答案 －252a 5b 55.若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.答案 76.已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值.解 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100，①令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，②由①－②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1).7.对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3)写出展开式中系数最大的项.解 (1)由题意可知：r ＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5.(2)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，令x ＝0，得a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1.(3)∵中间项T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 5和T 7，T 5＝C 410x 4＝210x 4，T 7＝C 610x 6＝210x 6.8.已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2 015(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015，求a 1＋a 3＋…＋a 2 013＋a 2 015的值；(2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数.解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n ，所以f 2 015(x )＝(1＋x )2 015，又f 2 015(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015，所以f 2 015(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2 015＝22 015，①f 2 015(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2 014－a 2 015＝0，②①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013＋a 2 015)＝22 015，所以：a 1＋a 3＋…＋a 2 013＋a 2 015＝22 014.(2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8，g (x )中含x 6项的系数为1＋2×C 67＋3C 68＝99.能 力 提 升9.若(x ＋1x )n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.10B.20C.30D.120解析 由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r (1x )r ＝C r 6x6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ).由6－2r ＝0，得r ＝3.∴T 4＝C 36＝20.答案 B10.在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A.330B.462C.682D.792 解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案 B11.设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 解析 二项式(x －13x)5的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 5·x 5－r 2·(－1)r x －r 3＝(－1)r C r 5·x 15－5r 6.令15－5r 6＝0，解得r ＝3，故展开式的常数项为－C 35＝－10.答案 －1012.若(1＋2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________；－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01422 014的值为________.解析 令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得32 014＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 014，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝32 014 －1.令x ＝－12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 2 014＝1－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01422 014，∴－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01422 014＝－1.答案 32 014－1 －113. 在(3x －2y )20的展开式中，求(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项.解 (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020310(－2)10x 10y 10＝C 1020610x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是r ＋1项，于是⎩⎨⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1，化简得⎩⎨⎧3（r ＋1）≥2（20－r ），2（21－r ）≥3r ，解得725≤r ≤825(r ∈N )，所以r ＝8，即T 9＝C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项.(3)由于系数为正的项为y 的偶次方项，故可设第2r －1项系数最大，于是⎩⎨⎧C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4，C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ， 化简得⎩⎨⎧10r 2＋143r －1 077≤0，10r 2＋163r －924≥0. 解之得r ＝5，即2×5－1＝9项系数最大.T 9＝C 820·312·28·x 12y 8.探 究 创 新14.已知数列{a n }的首项为1，设f (n )＝a 1C 1n ＋a 2C 2n ＋…＋a k C k n ＋…＋a n C n n (n ∈N *).(1)若{a n }为常数列，求f (4)的值；(2)若{a n }为公比为2的等比数列，求f (n )的解析式.解 (1)因为{a n }为常数列，所以a n ＝1(n ∈N *).所以f (4)＝C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.(2)因为{a n }为公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1(n ∈N *).所以f (n )＝C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ， 所以1＋2f (n )＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ，故f (n )＝3n －12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 1.3 1.3.2
【基础练习】
1．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
【答案】C
2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )
A ．1或3
B ．－3
C ．1
D ．1或－3
【答案】D
3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m
＋1
展开式的二项
式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，即a ＝C m 2m .同理b ＝C m 2m ＋1，∴13C m 2m
＝7C m 2m ＋1，即
13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)
m ＋1
＝13，解得m ＝6.
4．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11
等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】令x ＝－1，得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.故选A.
5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中，含x 2项的系数是________.(结果
用数值表示)
【答案】84 【解析】展开式中，含x 2项的系数是
C 22+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 33+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 93=84.
6．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．
【答案】2n －1
7．(1－x )5(3＋2x )9＝a 0(x ＋1)14＋a 1(x ＋1)13＋…＋a 13(x ＋1)＋a 14，求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 14的值； (2)a 1＋a 3＋…＋a 13的值．
【解析】(1)令x ＝0，得a 0＋a 1＋…＋a 14＝39.
(2)设A ＝a 0＋a 2＋…＋a 14，B ＝a 1＋a 3＋…＋a 13，则有A ＋B ＝39.令x ＝－2，有A －B ＝－35，联立方程组，解得
a 1＋a 3＋…＋a 13＝39＋35
2
.
8．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．
【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项， T 11＝C 1020·310·(－2)10·x 10y 10＝C 1020·610·x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是第r ＋1项，
于是⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1
，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1.
化简，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r .解得725≤r ≤82
5
.
所以r ＝8，
即T 9＝C 820·
312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大． T 9＝C 820·
312·28·x 12y 8. 【能力提升】
A.-80
B.-40
C.40
D.80
【答案】D
【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5
=2，解得a=1,则(1+a x )(2x-1x )5
=(2x-1x )5+1
x
(2x-1x )5.其中，(2x-1x )5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x)5-r
(-1x )r =(-1)r 25-r C 5r x 5-2r ，其中不含常数项，令r=2得T 3=80x ，所以该展开式中常数项为80.故选D.
10．若(x ＋1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2的值等于
( )
A ．0
B ．－32
C ．32
D ．－1
【答案】A
【解析】令x ＝1得到25＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0， 令x ＝－1得到0＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，
所以(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2＝(a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(a 5－a 4＋a 3－a 2＋a 1－a 0)＝0. 11．(2015年上海)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1
x 2 01510的展开式中，x 2项的系数为________．(结果用数值表示)
【答案】45
【解析】⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣
⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 2 01510，其二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(1＋x )10－r x －2 015r .当
r >0时不合题意，故r ＝0，问题转化为求(1＋x )10的展开式中x 2的系数，其二项展
开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10x k ，令k ＝2，则x 2项的系数为C 2
10＝45.
12.(2019年江苏)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 32=2a 2a 4． (1)求n 的值；
(2)设(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *，求a 2-3b 2的值． 【解析】(1)由(1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+…+C n n x n ,n ≥4，
可得a 2=C n 2=12n (n -1),a 3=C n 3=16n (n -1)(n -2),a 4=C n 4=1
24n (n -1)(n -2)(n -3).
由a 32=2a 2a 4，可得[16n (n -1)(n -2)]2=12n (n -1)·1
24n (n -1)(n -2)(n -3)，
化简得2(n -2)=3(n -3)，解得n =5.
(2)方法一:
(1+3)5=C 50+C 513+C 52(3)2+C 53(3)3+C 54(3)4+C 55(3)5 =1+53+30+303+45+9 3 =76+443,
又(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *， 所以a =76,b =44. 所以a 2-3b 2=762-3×442=-32. 方法二:
(1+3)5=a 0+a 13+a 2(3)2+a 3(3)3+a 4(3)4+a 5(3)5=a +b 3，
则(1-3)5=a 0+a 1(-3)+a 2(-3)2+a 3(-3)3+a 4(-3)4+a 5(-3)5=a -b 3， 可得(a +b 3)(a -b 3)=(1+3)5(1-3)5, 即a 2-3b 2=(1-3)5=-32.。