微分几何_2.4___直纹面与可展曲面

A( ) x B( ) y C ( ) z D( ) 0
则特征线方程为
F ( x, y, z ) A( ) x B( ) y C ( ) z D( ) 0 F ( x, y, z ) A( ) x B( ) y C ( ) z D( ) 0
b (u u) r r a (u u) b (u)
(c )
M
l
a (u )
r
M
l
o
特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 r 就是 a (u ) ， 因此有 a b 0，即它们垂直。
1、定义：称满足 (a, b , b ) 0 的直纹面为可展曲面。
它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹 为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的。 由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相 切，所以此平面是直母线上所有点的公共切平面，即沿一条直母 线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的。
必要性：设曲面可展。由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线
* 所产生的，因此， S 上的每一点决定一个 的值 ( x, y, z ) ， 而点的坐标以及所对应的 * 值适合（4），但上面已经得到包络 * S上的每一点和它所对应的 值适合（4），因此S属于 S 。
*
再证 S 属于S 。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上， 因此它的坐标对 的某个值满足方程 F ( x, y, z, ) 0 在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：r {x(t ), y(t ), z (t )} 代入（4）式第一式中，然后关于t 求导，则有
0 ) n 0, r r0 n ( r r 得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点 在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在
这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同
一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络 面，因而是可展曲面。
二、可展曲面
（1）当 a(u) 0, 则a为常向量 ，这时腰曲线退化成一点，所 有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。 方程为 r r0 vb (u) （2） a 0 ，由于 (a, b , b ) 0 ，则三向量共面，且 b 1, b b , 但a b ， 所以a // b r a va为切线曲面。 （3） b 0, b为常向量，所有直母线平行，为柱面。
称为曲面族{S } 的判别曲面。 若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判 别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例：
例题：求平面族 2 x 2y 2 z 2 下面说明判别曲面就是S。
的包络面方程。
首先 S * 可以这样理解：对每一固定的 ，方程组（4）代表 * 曲面 S 和曲面 F 0 的交线 C ，而判别曲面 S 是这些交线
ru rv (a(u) vb (u)) b (u) a b vb b ,
（2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法 向量变化如下：
a) a b 不平行b b ， 即(a, b , b ) 0 ，法向量改变方向. b) a b // b b ， 即 (a, b , b ) 0 ，法向量不改变方向，
由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 证明：对于可展曲面有 (a, b , b ) 0 ，取腰曲线为导线， a b 0
*

dx dy dz d Fx Fy Fz F 0 dt dt dt dt dx dy dz Fy Fz 0 但由（4）第二式 F 0 ，所以 Fx dt dt dt 即P点 S 的法线和 S * 上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意 * 性， S 与 S * 在P点相切，这就说明了 S 的点也是 S 的点。
F ( x, y, z, ( x, y, z)) 0
…………(2)
对于S上的点，上式恒成立。 其次，在包络面S上任取一条曲线 (c) : r r (t ) {x(t ), y(t ), z (t )} 因为（c）上的点的坐标 满足方程，所以 F ( x(t ), y(t ), z (t ), (t )) 0
3、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 {S } : F ( x, y, z, ) 0 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 S 上的点，而且在S与 S 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 S ，在曲面S上有一点P ，使 S 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 {S } 的包络。 （2）包络面的方程 现在假定曲面族{ S }的包络S存在，由上面的定义，S上任意点 P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所 以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点 的坐标的函数，即 ( x, y, z ) 代入（1）得 …………（1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶
命题4：曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线曲面的
法线组成一可展曲面。 证明：必要性：曲面上的曲线 a a ( s) 是曲率线，有
一可展曲面 r a (s) vn ，即有 ) 0 三向量共面 (a, n, n ，
平行的曲线，所以对于可展曲面，它的直母线就是v线（u= 常数），当u变化时，得到v线族，所以可展曲面可以看成是由
单参数u的直母线族所构成的，即可展曲面的直母线族仅与单
参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此 所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展 曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展 曲面是这个单参数平面族的包络。
另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近 线，即直纹面上的渐近曲线。
4、腰曲线
为直母线 定义:如图M，M l , l u 0 的公垂线，当
垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置 M0，称为直母线 l上的腰点。
腰点的轨迹为腰曲线。它的表示 为 a b r a (u ) 2 b (u ) b
因此， S 属于S 。所以 S S
* *
(3)特征线
包络S与族中的曲面 S 相切的曲线称为特征线，因而当 固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中 每曲面沿特征线切于包络。
（4）命题2：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平 面族的包络。 证明：充分性：设单参数平面族为
第四节 直纹面与可展曲面 4、1 直纹面 1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。 2、直纹面的方程 （1）设导线为 (c) : a a (u) ，b (u) 是过导线上一点 a (u ) 处的直母 线上的单位向量，则有：
dx dy dz d Fy Fz F 0 …… （3） dt dt dt dt 在（c）上取一点，由于S和 S 在 P 有相同的切平面，所以（c） 在P的切线与 S 在P 的法线垂直，而切向量平行于 dx dy dz {Fx , Fy , Fz } , , , 法向量平行于 dt dt dt dx dy dz d Fx Fy Fz 0 F 0 dt dt dt dt d 对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有 dt 0 ， 否则 常数，因此 F 0 ，即 F ( x, y, z, ( x, y, z)) 0
反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于 为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这 个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判 别定理，dn k2 dr 0, n 为常向量。
这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲 线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为 dr，它垂直于 n 0, 积分有 r 法向量，所以 dr 0 对于渐近曲线上任 n 常量 r 一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有 r n r0 n 常量
r a(u) vb (u)
b (u)
其中直纹面上一点 P 到导线 上的点 a (u ) 的距离为v。
a (u )
o
(c )
（2）坐标曲线 v-曲线， r a(u0 ) vb (u0 ) 为直母线； u-曲线， r a(u) v0b (u) 为与导线平行的曲线。
(3) 几种特殊的直纹面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b (u) b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 a(u) a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 b (u) 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 (u) （1）由 r a(u) vb 得 ru a(u ) vb (u ) , rv b (u)
对t 求导得： Fx
由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组 F ( x, y, z , ( x, y, z )) 0 …… （4） F ( x, y, z , ( x, y, z )) 0
消去参数 得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面
S * : ( x, y, z) 0