数学小百科

数学百科书

编者：冯挺张智洋薛约楠陈智展

一. 数学与艺术 (1)

二. 完全数 (2)

三. 奇数与偶数 (3)

四. 哥德巴赫猜想 (4)

五. 几何学与欧几里得 (5)

六. 分数的意义 (6)

七. 最大公因数与最小公倍数 (7)

八. 古人对分数有什么看法 (8)

九. 用天平找次品 (9)

十．各类解决问题.............10、11、12 十一. 参考答案.. (13)

艺术家们利用几何学中的平移.对称.旋转变换，设计了许多美丽的镶嵌图案。如下：

1

6的因数有1.2.3.6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样的数，叫作完全数，也叫完美数。

28也是完全数，而8不是，因为1+2+4=7。完全数十分稀少，到2004年才发现40个完全数。

下面我们来做一个小练习：

1.判断下列数字是不是完全数，是的打。28（）496（）

8128（）3（）

2.把上列数字相加是（）

2

奇数的意义:1.3.5.7.9……等单数叫奇数；偶数的意义:2.4.6.8.10……等双数叫偶数。一般习惯上，人们也把1，3，5，7，9…叫单数；把2，4，6，8，10…叫双数。两个偶数的和与差，都是偶数；两个奇数的和与差也都是偶数；一个奇数与一个偶数的和与差，都是奇数；进一步还可以得出：只有奇数个奇数的和或差，才是奇数。

小练习：

例1 傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？

例2 把11个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分？

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哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想的由来

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成素数 (就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对3564以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的"明珠"。人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史

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几何学是数学学科的一个重要分支，它主要研究空间图形的有关图形。古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》在数学发展史上有着深远的影响。该书从17世纪传入我国。

小练习：

1.几何学研究什么？

2.《几何原本》什么时候传入我国？

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分数的意义

1.分数与分数单位的意义：把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。表示这样一份的数，叫做分数单位。

2.单位‘一’的意义：一个物体，一个计量单位，或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数‘一’来表示，通常我们把它叫做单位‘1’

3.把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份。

小练习：

0.3是（）分之（），它有（）个小数单位，化成小数是（）。

1.9 是（）分之（），它有（）个小数单位，化成小数是（）。

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如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的因数．几个自然数公有的因数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．例如12，16的公约数有1，2，4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4．12，15，18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3．几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如4的倍数有4，8，12，16，……，6的倍数有6，12，18，24，4和6的公倍数有12，24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12．12，15，18的最小公倍数是180，记为[12，15，18]=180．常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法

最大公因数最小公倍数

36和9（）( ）56和8（）（）5和6 （）（）7