工业机器人教案

教案（章、节备课）
图2.1 空间任一点的坐标表示 教案（课时备课）
课目、课题
第一节 位姿描述
1. 齐次坐标
2. 动系的位姿表示 教学目的
和要求 掌握齐次坐标及动系位姿表示
重点 难点
重点: 齐次坐标和动系位姿表示
难点：动系位姿表示
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计） 一、复习
二、讲授新课
2.1 位姿描述
2.1.1 齐次坐标
一、空间任意点的坐标表示
在选定的直角坐标系{A }中，空间任一
点P 的位置可以用3 ⨯ 1的位置矢量A P 表示，
其左上标表示选定的坐标系{A }，此时
A P =[P X P Y P Z ]T
式中：P X 、P Y 、P Z 是点P 在坐标系{A }中的
三个位置坐标分量，如图2.1所示。

二、齐次坐标表示
将一个n 维空间的点用n + 1维坐标表示，则该n + 1维坐标即为n 维坐标的齐次坐标。

一般情况下w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w = 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即
P = [P X P Y P Z 1]T
三、坐标轴的方向表示
i 、j 、k 分别表示直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
X = [1 0 0 0 ]T
Y = [0 1 0 0]T
Z = [0 0 1 0]T
由上述可知，若规定：4 ⨯ 1列阵[a b c w ]T 中第四个元素为零，且满足a 2 + b 2 + c 2 = 1，则[a b c 0]T 中a 、b 、c 的表示某轴的方向； 4 ⨯ 1列阵[a b c w ]T 中第四个元素不为零，则[a b c w ]T 表示空间某点的位置。

图2.2坐标轴及矢量的方向表示
图2.4 连杆的位姿表示
四、矢量的方向表示
图2.2中所示的矢量u 的方向用4 ⨯ 1列
阵可表达为：
u = [a b c 0]T
a = cos α，
b = cos β，
c = cos γ
图2.2中所示的矢量u 的起点O 为坐标
原点，用4 ⨯ 1列阵可表达为：
O = [0 0 0 1]T
例2.1 用齐次坐标表示图2.3中所示的矢
量u 、v 、w 的坐标方向。

图2.3 用不同方向角表示方向矢量u 、v 、w
2.1.2 位姿描述
在机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。

动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。

一、连杆的位姿描述
设有一个机器人的连杆，若给定了连杆PQ 上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全确定的。

如图 2.4所示，O '为连杆上任一点，
O 'X 'Y 'Z '为与连杆固接的一个动坐标系，即
为动系。

连杆PQ 在固定坐标系OXYZ 中的
位置可用一齐次坐标表示为
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来
表示。

令n 、o 、a 分别为X '、Y '、Z '坐标轴
的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量
为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式
分别表示为
由此可知，连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：
显然，连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系位姿表示。

例2.2图2.5表示固连于连杆的坐标系{B}位于O B点，X B=2，Y B=1，Z B =0。

在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4⨯4矩阵表达式。

图2.5 动坐标系{B}的位姿表示
二、手部的位姿描述
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图2.6所示。

坐标系{B}可以这样来确定；取手部的中心点为原点O B；关节轴为Z B轴，Z B轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为Y B轴，Y B轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；X B轴与Y B轴及Z B轴垂直，X B轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n=o⨯a，指向符合右手法则。

图2.6 手部的位姿表示
手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。

于是手部的位姿可用4⨯4矩阵表示为
图2.7 抓握物体Q的手部
例2.3图2.7表示手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。

三、目标物齐次矩阵表示
如图2.8所示，楔块Q在图2.8(a)所示位置，其位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为
若让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot(Z，–90°)表示，再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，则楔块成为图2.8(b)所示的情况。

此时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为
图2.8 楔块Q的齐次矩阵表示
三、小结。