次函数的图象和性质2江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
次函数的图象和性质1江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
整理（2)y=2x2；（3)y=
1
2
x2.
跟踪练习：
(1)y=-x2；
（2)y=-2x2；（3)y=- 1 2
x2.
讨论：类比一次函数以及反比例函数的知识，你 能归纳出二次函数y=ax2的图像的一些性质吗？
整理课件
3
知识梳理
二次函数y=ax2的图象的性质：
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线.
2.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
3.当a﹥0时，抛物线y=ax2的开口向上.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而增大；当x=0时，y最小=0.
当a﹤0时，抛物线y=ax2的开口向下.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而减小；当x=0时，y最大=0.
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质（1）
兴化市板桥初级中学 顾厚春
温故知新
1.什么叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
2.类比一次函数以及反比例函数的知识，你认为 我们学习二次函数还应该研究什么内容？
整理课件
2
典例研习
例1.用描点法画下列二次函数的图象，并观察
①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
整理课件
9
巩固练习
5.已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围.
次函数的图像和性质教案
1．老师呈现“用一个平面切割圆锥”的视频动画，截面的边缘曲线是抛物线吗？
2．设计：“老师对这个问题研究后，得到如下结果，但是被墨水…！你能帮我还原这个函数的图像吗？”情景，引入今天的新课----对“比较一般的二次函数函数y=(x－1)2+1 ”的研究.
激发学习兴趣，数学无处不在；
到该课的主题中来.
b)经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
（3）情感与价值观目标
a）经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
b）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
2．教学重点
（1）经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.
活动二
1．画出二次函数y=－(x+1)2+2的图像．
猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=(x－3)2+16；y=3(x－3)2+18；y=－(x+3)2+1；y=－5(x+1)2－13.
总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：
抛物线
对称轴
顶点坐标
开口方向
y= a(x－h)2+k(a>0)
x=h
(h，k)
6.2二次函数的图象和性质(3)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
x
x y=x2 y=x2+1
… … …
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
… …
5
2
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 个图象有哪 函数y=x +1的图 象与y=x 的图象 些性质吗？
2 2
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
的形状相同吗?
O
-2 5
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
2 2
y=x2
O
-2
的形状相同吗?
5
x
10
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 2 y=x个图象有哪 函数y=x +1的图 些性质吗？ 象与y=x 的图象
苏科版数学八年级上册 .一次函数的图象 课件精品PPT
4
y=2x
3
2
y=2x-2
1
-3 -2 -1 0 -1
-2
1x
⑴当k＞0时，y随x 的增大而增大，从 左到右看函数的图 象是上升的．
请大家观察上面的图象,你有什么发现?
苏科版数学八年级上册 .一次函数的图象 课件精品课件
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y=-2x y
4 3 2
1
大致图象
y
0
x
y
0
x
y
0
x
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随堂练习
根据下面的图象，确定
一次函数y=kx+b中k、b的符号.
y yyy
x
0 00
xx
2 x3 3
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随堂练习
一次函数y=2x-3的图象经过（ C ）
一次函数的图象与性质
·
·
清晨4时气温最低 下午14时气温最高
画出函数y=2x+4, y=2x,y=2x－2的图
象，你有什么发现？
填表:
x -2 -1 0 1 2 … y=2x+4 0 2 4 6 8 …
y=2x -4 -2 0 2 4 … y=2x-2 -6 -4 -2 0 2 …
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写出一个一次函数的表达式，使它满足条件 （y随着x的增大而减小）
（写一个即可）。
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江苏省2019届中考数学专题复习 第二章 函数(第6课时)二次函数的图像和性质课件
11
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
解析
由题意知此抛物线的对称轴是直线x＝2，故b＝－4， 得方程x2－4x＝5，解之，得x1＝－1，x2＝5.
12
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
2．【2017·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有 三个交点，则b的取值范围是( A )
ab<0(b 与 a 异号)
c＝0
c
c>0
c<0
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交
5
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
b2－4ac
特殊 关系
b2－4ac＝0
与 x 轴有唯一交点 (顶点)
8
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
考向探究
探究1 二次函数与一元二次方程 例1 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴
的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0 的两实数根是x1＝____1____，x2＝____2____．
9
第14课时 二次函数的图象及其性质(二)
1
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
回归教材
1．[九上P35例3改编]
怎样移动抛物线y＝－
1 2
x2就可以得到抛
物线y＝－12(x＋1)2－1( B )
6.2二次函数的图象和性质(4)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
巩固练习
5.将函数y=3（x－4）2的图象）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ； 6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ， h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且 与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 则SΔ MAB= .
函数开口方向对称轴顶点坐标y的最值最值增减性在对称轴轴左侧在对称轴右侧轴右侧温故知新yax2a0a0yax2ca0a0向上y轴00最小值是0最大值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴00y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴0c最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴0c最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小例1
最小值 y随x的增
大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小
y轴 y轴 y轴 y轴
y=ax2
a＜0
a＞0
向下 向上 向下
最大值 y随x的增 是0
大而增大
最小值 y随x的增 是C
大而减小
y=ax2+c
a＜0
最大值 是C
y随x的增 大而增大
典例研习
巩固练习
7.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象. 8.函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的图象 向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称 轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的 增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
初中数学九年级上册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(4)
62二次函数的图象和性质6江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
• •
例3：指出抛物线: yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点 坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的 交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图 象。
1x
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( )
A.b=2
B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8
D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
A. 4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
y
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 C.a+b+c=0
B.abc>0 -1 D.a-b+c<0
()
-3
-3
-3
-3
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=ax+c的大致图象可能是
（）
y
y
y
板桥初中三轮复习资料——回归课本
回归课本——课本例、习题梳理七年级（上）（执笔：许殿斌，统稿：顾厚春）例题1：按如图所示的方式搭正方形，则搭n 个正方形所需的火柴棒数是 根．练习：1.为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n 2.找规律：用火柴棒搭三角形．搭1个三角形需要火柴棒 根； 搭2个三角形需要火柴棒 根； 搭3个三角形需要火柴棒 根； 搭10个三角形需要火柴棒 根； 搭100个三角形需要火柴棒 根；3.、用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖按下图的方式铺人行道： ⑴图①中有彩色水泥砖 块， 图②中有彩色水泥砖 块， 图③中有彩色水泥砖 块；⑵像这样，第n 个图形需要彩色水泥砖 块； ⑶第n 个图形需要普通水泥砖 块.。
4.剪绳子：⑴将一要挟绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成 段；将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成 段；将一根绳子对折3次后从中间剪一刀，绳子变成 段； ⑵将一根绳子对折n 次后从中间剪一刀，绳子变成 段；⑶根据⑵的结论，计算一根绳子对折10次后从中间剪一刀，绳子变成 段。
5.已知任意三角形的内角和为180°,试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式。
根据上图所示，一个四边形可以分成____个三角形；于是四边形的内角和为______度：一个五边形可以分成______个三角形，于是五边形的内角和为______度，……，按此规律，n 边形可以分成_______个三角形,于是n 边形的内角和为________________度.例2：观察公式：公式1：3223333)(a xa a x x a x +++=+ 公式2：4322344464)(a xa a x a x x a x ++++=+ （1）这两个公式有什么特点？（2）利用公式计算： )21()21(24)21(26)21(24232234-+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+ 练习1．观察下列等式，并回答问题：23)31(6321⨯+==++ ，24)41(104321⨯+==+++，25)51(1554321⨯+==++++ ，…=++++n 321 ，1000321++++ = .2.223214111⨯⨯==，22333241921⨯⨯==+，22333434136321⨯⨯==++，…. (1)猜想填空：⨯=++++413213333n ( )2⨯( )2(2)若2333324041321⨯=++++n ,试求n 的值.例题3：观察日历：⑴同一列中相邻两数之差为；⑵月历中方框内的4个数之间有何关系？再找一个这样的方框，是否仍有这样的关系？⑶若方框内有9个数，它们之间有何关系？⑷小明一家外出旅游5天，这5天的日期和是25，问小明几号出发的？练习：1.、在如图所示的1月份的日历中，用一个方框圈出任意3×3个数(1) 从左下角到右上角的三个数字之和为45,那么这9个数的和是多少?这9个日期中最后一天是1月几日?(2) 用这样的方框能否圈出总和为162的9个数?2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（）A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28例题4：合情推理题：观察右面的图形（每个正方形的边长均为１）和相应的等式，探究其中的规律：①11 1122⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④444455⨯=-表二表三表四11235...（1） 写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；⑤（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．练习1：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
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当a>0时，抛物线的开 口向上，顶点是抛物线 的最低点
当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y的值最小，最小值为0
y22x图 像 的 开 1x2口 图比 像y的 小开 口
2整理课件
3
抛物线y=ax2（a≠0）
当a<0时，抛物线的
开口向下，顶点是抛
物线的最高点
当x>0时，y随x的增
4、如图，请 数 y指 x2， y出 x二 2,y次 2x2， y 函 1x2 3
的对应函数图像。
6 5 4 3 2 1
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-1
2
4
6
8
10
12
-2
-3
-4
-5
整理课件
10
-6
巩固练习
y
5 .如图，为二次函数图像
，
2
（ 1）求此函数解析式； （ 2）当函数值为 8时，求 x ；
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(2)
兴化市板桥初级中学 顾厚春
整理课件
1
温故知新
y 2x2
y 1 x2 2
画出 y 2x2 和
y 1 x2 2
的图像。
整理课件
2
y
2x2
y
1
抛物线y=ax2（a≠0）
x 2 的图象是顶点在原
2 点、对称轴是y轴所
在直线的抛物线.
的增大而
；当x=
时，函数有最 值，最
值是
；
（2）对于函数 y
大而
，当x=
1 3
Байду номын сангаас
x 2 ，当x<0时函数值随x的增
时，函数有最 值，最
值为
。
整理课件
9
巩固练习
3、若一条抛物线经过点（2,8）且顶点在原点，则抛物线 的开
口_____；对称轴是_______；当x_____时，y随x值的增大而增 大，当x=________时; y有最_____值，其值为_______,抛物线 与x轴的交点是______,与y轴的交点是_____。
(1)求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
整理课件
6
典例研习
例2.已知函数y=(2k-1)x k2 k是二次函数，且当 x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
整理课件
7
典例研习
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就整越理课小件 .
5
典例研习
例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 （4）若点A（x1,y1）、B（x2,y2）在此抛物线上， 且x1>x2>0,判断y1,y2的大小关系.
例2.已知函数y=(2k-1)xk2-k是二次函数，且当x<0 时，y随x的增大而增大．
0 1x
（ 3）判断点（ 3,1 7）是否在此函数图像上
；
（ 4）若点
A
（
x
，
1
y
）、
1
B
（
x
，
2
y
）在此函数图像
2
上，且 x 1 x 2 0，请判断
y
，
1
y
的大小关系。
2
整理课件
11
课堂小结
结合函数图像回顾y=ax2（a≠0）具有 哪些性质？
整理课件
12
大而减小
当x<0时，y随x的增
大而增大
y 1 x2 2
y 2x2
当x=0时，y的值最 大，最大值为0
y22x 图 像 的 开 1x2图 口像 比 口 的 y小
2
整理课件
4
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图
y
y
象 开口方向
Ox 向上
O
x
向下
顶点坐标
(0 ,0)
(0 ,0)
对称轴
y轴
y轴
增 减 性
❖ 友情提醒： 此题是二次函数实际应用问题，解这 类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时， 自变量C的取值应在取值范围内
整理课件
8
巩固练习
1、分别说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标及对称
轴。 y=-3x2 y=
1 x2
3
y 5x2
(4)y 3 x2 4
2、（1）对于函数 y 3x2 ，当x>0,时函数值随x