高等数学基础班讲义[研究生入学考试]

----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；洛必达法则；两个重要极限：。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。

函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。

设有数列和常数A。

若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。

没有极限的数列称为发散数列。

收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。

（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

（2）判定数列的单调性主要有三种方法：Ⅰ计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。

Ⅱ当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。

Ⅲ令，将n改为x，得到函数。

若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。

【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，，证明数列的极限存在。

【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则. 【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。

【例3·计算题】计算极限：【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有，【例4·计算题】求下列极限：【例5·选择题】等于（）【考点四】设，则。

也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限，即综合题也很重要。

【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限.【例7·选择题】设, 则极限等于（）【例8·证明题】设，证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。

（2）设二、函数的极限【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A 的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。

①②【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。

【例9·解答题】确定常数a 的值，使极限存在。

【考点六】使用洛必达法则求型未定式的极限之前，要将所求极限尽可能地化简。

化简的主要方法： （1）首先用等价无穷小进行代换。

注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限；（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。

（5）常见的等价无穷小代换： 当X →0时，我们有：当0→x 时常用的等价无穷小1）)1ln(~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x e x x x x x x +-； 2）221~cos 1x x -； 3）ax x a ~1)1(-+； 4）31sin ~arcsin ~6x x x x x --，31arctan ~tan ~arcsin sin ~3x x x x x x x ---， 31tan sin ~arcsin arctan ~2x x x x x --，2ln (1+)~2x x x -5)2ln(1)~x x x ++ 6)ln 11~ln x x a a e x a -=- 7)ln(1)log (1)~ln ln a x xx a a++=未定式极限：00,∞∞,∞－∞ ， 0×∞, 1∞ ，00 ，∞0 【例10·解答题】求极限.【例11·解答题】求极限【例12·解答题】设函数f （x ）在x=0处可微，又设，函数，求极限【考点七】求型未定式极限的方法：（1）分子、分母同时除以最大的无穷大 （2）使用洛必达法则【例13·解答题】求极限 .【考点八】化和型未定式为型和型的方法是：∞－∞型：（1）通分法 （2）根式有理化法 （3）变量代换法 0×∞型：0×∞1100000∞∞∞⨯∞==⨯∞==∞或【例14·解答题】求极限.【例15·解答题】求极限：【例16·解答题】求极限 .【例17·解答题】求极限.【考点九】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“对数分解式”化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的 型极限计算公式：设()()00lim 0,lim x x x x f x g x →→==∞，则()()()()()()00lim ln 1lim 1lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x ee→+⎡⎤⎣⎦→→+==⎡⎤⎣⎦即1A e ∞=，A 是括号中1后的函数()f x 与指数幂()g x 的乘积的极限。

【例18·解答题】（北京大学，2002年）求极限.【例19·解答题】计算.【考点十】（1）已知 ＝，则有：（2）已知，若，则.【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决问题的方法。

若 且 则【例20·解答题】设 ，则.【例21·选择题】设为两实常数，且有，则的值分别为（ ）（A ）， （B ） ，（C ）， （D ），【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。

【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。

其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。

设是同一过程下的两个无穷小，即。

若若则称是比低阶的无穷小；若若则称与是等价无穷小。

若＝C≠0,＞0,则称是的阶无穷小。

【例22·解答题】已知当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数和。

【例23·选择题】当时，和都是关于的n阶无穷小量，而是关于的m阶无穷小，则（）。

（A）必有m=n （B）必有（C）必有（D）以上几种情况都有可能【例24·证明题】设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且，。

证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。

第二节函数的连续性【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。

一、函数的连续性与间断点Ⅰ.函数连续性概念连续：定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。

定义2若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且，则称函数在点处左（右）连续。

显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。

定义3 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。

使函数连续的区间，称为的连续区间。

Ⅱ.函数的间断点及其分类定义函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（3）与都存在，但，则称在点处不连续，或称为函数的间断点。

间断点的分类：设为函数的间断点，间断点的分类是以点的左、右极限来划分的。

第一类间断点：若与都存在，则称为第一类间断点：（1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度；（2）若存在（即=），则称为可去间断点。

此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。

第二类间断点：若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。

【例25·解答题】设函数问a为何值时，在x=0处连续；a为何值时，x=0是的可去间断点？【例26·解答题】设，其中试求的表达式，并求函数在间断点处的左、右极限。

【例27·解答题】试确定和的值，使有无穷间断点，且有可去间断点.二、闭区间上连续函数的性质定理定理1:（有界性定理）闭区间[a,b]上的连续函数必在[a,b]上有界。

定理2:（最大值最小值定理）闭区间[a,b]上的函数，必在[a,b]上有最大值和最小值，即在[a,b]上，至少存在两点，使得对[a,b]上的一切x，恒有.此处与就是在[a,b]上最小值与最大值。

定理3:（介值定理）设函数在闭区间[a,b]连续，m与M分别为在[a,b]上的最小值与最大值，则对于任一实数c（m≤c≤M），至少存在一点，使。

定理4:（零点定理或根的存在定理）若在闭区间[a,b]上连续，且，则至少存在一点，使。

【例28·解答题】设函数在[a,b]上连续，且。

利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使。

【例29·解答题】设为正常数，证明方程有且仅有三个实根，它们分别位于区间内。

第三节函数、极限、连续习题一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（ ）。

（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f -1（x ）的图形对称于直线（ ）。