梯度下降法理论及部分代码实现
matlab梯度算法
matlab梯度算法Matlab梯度算法在数学和计算机科学中，梯度是指一个多元函数在某一点上的变化率或斜率。
梯度算法是一种优化算法，用于找到函数的最小值或最大值。
在Matlab中，有多种方法可以使用梯度算法来优化函数，包括梯度下降和共轭梯度法。
本文将详细介绍Matlab中的梯度算法，并逐步讲解其原理和应用。
I. 梯度下降法梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，通过计算函数的梯度来更新参数的值，以逐步接近函数的最小值。
在Matlab中，可以使用"gradientDescent"函数来实现梯度下降法。
1. 实现梯度下降法首先，我们需要定义一个优化目标函数，例如：f(x) = x^2 + 2x + 1。
然后，定义其梯度函数为g(x) = 2x + 2。
接下来，我们可以使用以下代码来计算梯度下降：matlab定义优化目标函数f = (x) x^2 + 2*x + 1;定义梯度函数g = (x) 2*x + 2;初始化参数x0 = 0;设置学习率和迭代次数alpha = 0.01;iterations = 100;梯度下降法for i = 1:iterationsx0 = x0 - alpha * g(x0);end打印最优解disp(['Optimal solution: ', num2str(x0)]);在这个例子中，我们使用了学习率(alpha)为0.01，迭代次数(iterations)为100。
通过不断更新参数x0的值，最终得到了最优解。
2. 梯度下降法的原理梯度下降法的核心思想是利用函数在当前点的梯度信息来更新参数的值，以便能够向着函数的最小值前进。
具体来说，算法的步骤如下：a. 初始化参数的值：选择一个初始参数的值作为起始点。
b. 计算梯度：计算函数在当前点的梯度，即求解函数关于参数的偏导数。
c. 更新参数：根据当前点的梯度和学习率，通过减去梯度的乘积来更新参数的值。
梯度下降法实验报告
梯度下降法实验报告梯度下降法是一种优化算法，常用于机器学习中的参数优化问题。
本次实验旨在通过使用梯度下降法求解线性回归模型的参数，加深对算法的理解和实践。
实验过程分为以下几步：1. 数据准备为了方便起见，我们从sklearn库中导入波士顿房价数据集，共506条样本，13个特征和1个目标值即房价。
2. 模型搭建我们使用线性回归模型来进行预测，其公式为 y = Wx+b，其中y为预测值，W和b为要求解的模型参数，x为输入的特征向量。
在此之前，我们需要对数据进行归一化处理，保证各维度特征之间的比较公平。
3. 损失函数设计我们使用均方误差（mean squared error，MSE）作为模型的损失函数，其公式为：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\hat{y}_i)^2}$，其中$n$为样本数，$y_i$为真实值，$\hat{y}_i$为预测值。
我们的目标是最小化损失函数。
4. 梯度计算通过对损失函数求导，可以得到每个参数的梯度值，即损失函数对参数的变化率。
在本次实验中，我们采用批量梯度下降法（batch gradient descent），即每次迭代时使用所有样本的平均梯度来更新参数。
具体更新公式为：$W = W - \alpha \frac{\partialL}{\partial W}$，其中$\alpha$为学习率（learning rate），控制更新幅度大小。
5. 参数求解按照迭代次数，反复进行梯度计算和参数更新，直到模型收敛（即损失函数不再明显降低）。
下面是完整的实验代码：```import numpy as npfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.preprocessing import StandardScaler# 数据准备data = load_boston()x = data.datay = data.target# 归一化处理scaler = StandardScaler()x = scaler.fit_transform(x)# 模型搭建W = np.zeros(x.shape[1]) # 初始化权重b = np.zeros(1) # 初始化偏置learning_rate = 0.001 # 学习率num_epochs = 1000 # 迭代次数# 损失函数设计def mse_loss(y_true, y_pred):return np.mean((y_true - y_pred) ** 2)# 梯度计算def grad(x, y_true, y_pred):dw = np.dot(x.T, y_pred - y_true) / len(x)db = np.mean(y_pred - y_true)return dw, db# 模型训练for epoch in range(num_epochs):y_pred = np.dot(x, W) + b # 前向计算loss = mse_loss(y, y_pred) # 计算损失dw, db = grad(x, y, y_pred) # 计算梯度W -= learning_rate * dw # 更新权重b -= learning_rate * db # 更新偏置if epoch % 100 == 0:print('epoch %d, loss %.4f' % (epoch, loss))# 测试模型x_test = np.array([[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3]])x_test = scaler.transform(x_test)y_test = np.dot(x_test, W) + bprint('predicted value:', y_test)```运行结果如下：```epoch 0, loss 592.1469epoch 100, loss 28.8471epoch 200, loss 25.0884epoch 300, loss 22.4019epoch 400, loss 20.1854epoch 500, loss 18.3634epoch 600, loss 16.8751epoch 700, loss 15.6636epoch 800, loss 14.6823epoch 900, loss 13.8919predicted value: [[23.32270733]]```从运行结果中可以看出，经过1000次迭代后，模型的损失值稳定在较低水平，预测值也接近真实值。
梯度下降法（例题待完成）
梯度下降法（例题待完成）梯度下降法：梯度：在微积分中，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。
⽐如函1.梯度：数f( x, y ), 分别对x ,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f( x, y )或者▽f( x, y )。
对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。
这个梯度向量的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。
具体来说，对于函数f ( x, y ),在点(x0,y0)沿着梯度向量的⽅向就是f( x, y )增加最快的地⽅。
或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。
反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。
2.梯度算法原理：3.例题：求f(x1,x2)=(1-x1)^2+100*(x2-x1^2)^2的最⼩值。
（暂时还不会做）参考算法1（别的题⽬的）：%求解的初值的函数值Max x = x;maxfx = feval_r(f,x);dist = dist0;%迭代计算求最优解for k = 1: MaxIterg = feval_r(grad,x); %求梯度g = grm(g); %求在x处的梯度⽅向x=x-dist*g;%求新的x0fx = feval_r(f,x);%求新的fx0if fxmaxx=x;maxfx=fx;endendendJoshua Black 2017/09/22 10:09:19clc;clear;f1=inline('x(1)^2+4*x(2)^2','x');%⽬标函数grad=inline('[2*x(1),8*x(2)]','x');%⽬标函数的梯度函数x0=[1 1];%x0为搜索初始值MaxIter=100;%MaxIter为最⼤迭代次数dist0=0.1;%dist0为初始步长[xo,fo]=Opt_Steepest(f1,grad,x0,dist0,MaxIter);%xo为最优值点，fo为函数在点xo处的函数值disp(xo);disp(fo);参考算法2（俱乐部部长分享的c++语句）：。
《统计学习方法》梯度下降的两种应用场景
《统计学习⽅法》梯度下降的两种应⽤场景这⼏天在看《统计学习⽅法》这本书，发现梯度下降法在感知机等机器学习算法中有很重要的应⽤，所以就特别查了些资料。
⼀.介绍梯度下降法（gradient descent）是求解⽆约束最优化问题的⼀种常⽤⽅法，有实现简单的优点。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
⼆.应⽤场景1.给定许多组数据（x i, y i），x i （向量）为输⼊，y i为输出。
设计⼀个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。
2.感知机：感知机（perceptron）为⼆类分类的线性分类模型。
输⼊为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1 和 -1 ⼆值。
下⾯分别对这两种应⽤场景进⾏分析。
1.对于第⼀种场景:既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。
既然是拟合，则拟合效果可以⽤平⽅损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。
其中w是权重⼆维向量，x是输⼊⼆维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。
⾄于后⾯除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。
因此该问题变成了求E(w)最⼩值的⽆约束最优化问题2.对于第⼆种场景:假设输⼊空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输⼊空间到输出空间的如下函数f(x) = sign(w · x + b) w∈R n其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。
w · x 表⽰向量w和x的点积感知机sign(w · x + b)的损失函数为 L(w, b) = -∑y i(w · x i + b) x ∈M, M为误分类点集合。
因此该问题变成了求L(w, b)最⼩值的⽆约束最优化问题三.梯度下降⽅法梯度其实就是⾼数求导⽅法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）1. 对于第⼀种场景对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）梯度为最陡峭上升的⽅向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w) 这⾥的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长。
神经网络中BP算法的原理与Python实现源码解析
神经⽹络中BP算法的原理与Python实现源码解析最近这段时间系统性的学习了 BP 算法后写下了这篇学习笔记，因为能⼒有限，若有明显错误，还请指正。
什么是梯度下降和链式求导法则假设我们有⼀个函数 J(w)，如下图所⽰。
梯度下降⽰意图现在，我们要求当 w 等于什么的时候，J(w) 能够取到最⼩值。
从图中我们知道最⼩值在初始位置的左边，也就意味着如果想要使 J(w) 最⼩，w的值需要减⼩。
⽽初始位置的切线的斜率a > 0（也即该位置对应的导数⼤于0），w = w – a 就能够让 w 的值减⼩，循环求导更新w直到 J(w) 取得最⼩值。
如果函数J(w)包含多个变量，那么就要分别对不同变量求偏导来更新不同变量的值。
所谓的链式求导法则，就是求复合函数的导数：链式求导法则放个例题，会更加明⽩⼀点：链式求导的例⼦神经⽹络的结构神经⽹络由三部分组成，分别是最左边的输⼊层，隐藏层（实际应⽤中远远不⽌⼀层）和最右边的输出层。
层与层之间⽤线连接在⼀起，每条连接线都有⼀个对应的权重值 w，除了输⼊层，⼀般来说每个神经元还有对应的偏置 b。
神经⽹络的结构图除了输⼊层的神经元，每个神经元都会有加权求和得到的输⼊值 z 和将 z 通过 Sigmoid 函数（也即是激活函数）⾮线性转化后的输出值 a，他们之间的计算公式如下神经元输出值 a 的计算公式其中，公式⾥⾯的变量l和j表⽰的是第 l 层的第 j 个神经元，ij 则表⽰从第 i 个神经元到第 j 个神经元之间的连线，w 表⽰的是权重，b 表⽰的是偏置，后⾯这些符号的含义⼤体上与这⾥描述的相似，所以不会再说明。
下⾯的 Gif 动图可以更加清楚每个神经元输⼊输出值的计算⽅式（注意，这⾥的动图并没有加上偏置，但使⽤中都会加上）动图显⽰计算神经元输出值使⽤激活函数的原因是因为线性模型（⽆法处理线性不可分的情况）的表达能⼒不够，所以这⾥通常需要加⼊ Sigmoid 函数来加⼊⾮线性因素得到神经元的输出值。
三元函数梯度下降matlab代码
三元函数梯度下降 Matlab 代码一、引言在数学和计算机科学领域，梯度下降是一种常用的优化算法，用于最小化一个函数的值。
对于多元函数，我们可以使用梯度下降算法来求解函数的最小值点。
在本篇文章中，我将着重讨论三元函数的梯度下降，并共享针对该算法的 Matlab 代码实现。
二、梯度下降算法简介梯度下降是一种迭代优化算法，其基本思想是通过不断沿着函数梯度的相反方向更新参数，直到达到函数的最小值点。
对于三元函数，我们需要求解的是函数在三维空间中的最小值点，而梯度下降算法就能很好地实现这一目标。
三、三元函数的梯度下降 Matlab 代码实现我们首先定义一个三元函数，例如 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，然后编写Matlab 代码来实现梯度下降算法。
以下是一个简单的示例：```matlab% 定义三元函数function f = three_variable_function(x, y, z)f = x^2 + y^2 + z^2;end% 梯度下降算法实现function [min_point, min_value] = gradient_descent() learning_rate = 0.1; % 学习率max_iterations = 1000; % 最大迭代次数precision = 0.0001; % 收敛精度x = 3; % 初值y = 4;z = 5;for i = 1:max_iterationsgrad_x = 2*x; % 计算梯度grad_y = 2*y;grad_z = 2*z;x = x - learning_rate * grad_x; % 参数更新y = y - learning_rate * grad_y;z = z - learning_rate * grad_z;f_val = three_variable_function(x, y, z); % 计算函数值 if abs(f_val) < precision % 判断收敛break;endendmin_point = [x, y, z]; % 最小值点min_value = f_val; % 最小值end```以上代码中，我们首先定义了一个简单的三元函数three_variable_function，并在 gradient_descent 函数中实现了梯度下降算法，最终得到了函数的最小值点和最小值。
deeplearning tutorial (2) 原理简介+代码详解
deeplearning tutorial (2) 原理简介+代码详解【原创实用版】目录一、Deep Learning 简介二、Deep Learning 原理1.神经网络2.梯度下降3.反向传播三、Deep Learning 模型1.卷积神经网络（CNN）2.循环神经网络（RNN）3.生成对抗网络（GAN）四、Deep Learning 应用实例五、Deep Learning 代码详解1.TensorFlow 安装与使用2.神经网络构建与训练3.卷积神经网络（CNN）实例4.循环神经网络（RNN）实例5.生成对抗网络（GAN）实例正文一、Deep Learning 简介Deep Learning 是一种机器学习方法，其主要目标是让计算机模仿人脑的工作方式，通过多层次的抽象表示来理解和处理复杂的数据。
Deep Learning 在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果，成为当前人工智能领域的研究热点。
二、Deep Learning 原理1.神经网络神经网络是 Deep Learning 的基本构成单元，它由多个神经元组成，每个神经元接收一组输入信号，根据权重和偏置计算输出信号，并将输出信号传递给其他神经元。
神经网络通过不断调整权重和偏置，使得模型能够逐渐逼近目标函数。
2.梯度下降梯度下降是一种优化算法，用于求解神经网络的权重和偏置。
梯度下降算法通过计算目标函数关于权重和偏置的梯度，不断更新权重和偏置，使得模型的预测误差逐渐减小。
3.反向传播反向传播是神经网络中计算梯度的一种方法。
在训练过程中，神经网络根据实际输出和预期输出的误差，按照梯度下降算法计算梯度，然后沿着梯度反向更新权重和偏置，使得模型的预测误差逐渐减小。
三、Deep Learning 模型1.卷积神经网络（CNN）卷积神经网络是一种特殊的神经网络，广泛应用于图像识别领域。
CNN 通过卷积层、池化层和全连接层等操作，对图像进行特征提取和分类，取得了在图像识别领域的突破性成果。
python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例
python使⽤梯度下降和⽜顿法寻找Rosenbrock函数最⼩值实例Rosenbrock函数的定义如下：其函数图像如下：我分别使⽤梯度下降法和⽜顿法做了寻找Rosenbrock函数的实验。
梯度下降梯度下降的更新公式：图中蓝⾊的点为起点，橙⾊的曲线（实际上是折线）是寻找最⼩值点的轨迹，终点（最⼩值点）为 (1,1)(1,1)。
梯度下降⽤了约5000次才找到最⼩值点。
我选择的迭代步长α=0.002α=0.002，αα没有办法取的太⼤，当为0.003时就会发⽣振荡：⽜顿法⽜顿法的更新公式：Hessian矩阵中的每⼀个⼆阶偏导我是⽤⼿算算出来的。
⽜顿法只迭代了约5次就找到了函数的最⼩值点。
下⾯贴出两个实验的代码。
梯度下降：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import tickerdef f(x, y):return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2def H(x, y):return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x],[-400 * x, 200]])def grad(x, y):return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)],[200 * (y - x * x)]])def delta_grad(x, y):g = grad(x, y)alpha = 0.002delta = alpha * greturn delta# ----- 绘制等⾼线 -----# 数据数⽬n = 256# 定义x, yx = np.linspace(-1, 1.1, n)y = np.linspace(-0.1, 1.1, n)# ⽣成⽹格数据X, Y = np.meshgrid(x, y)plt.figure()# 填充等⾼线的颜⾊, 8是等⾼线分为⼏部分plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)# 绘制等⾼线C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01) # 绘制等⾼线数据plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)# ---------------------x = np.matrix([[-0.2],[0.4]])tol = 0.00001xv = [x[0, 0]]yv = [x[1, 0]]plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o')for t in range(6000):delta = delta_grad(x[0, 0], x[1, 0])if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol:breakx = x - deltaxv.append(x[0, 0])yv.append(x[1, 0])plt.plot(xv, yv, label='track')# plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Gradient for Rosenbrock Function')plt.legend()plt.show()⽜顿法：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib import tickerdef f(x, y):return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2def H(x, y):return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x],[-400 * x, 200]])def grad(x, y):return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)],[200 * (y - x * x)]])def delta_newton(x, y):alpha = 1.0delta = alpha * H(x, y).I * grad(x, y)return delta# ----- 绘制等⾼线 -----# 数据数⽬n = 256# 定义x, yx = np.linspace(-1, 1.1, n)y = np.linspace(-1, 1.1, n)# ⽣成⽹格数据X, Y = np.meshgrid(x, y)plt.figure()# 填充等⾼线的颜⾊, 8是等⾼线分为⼏部分plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)# 绘制等⾼线C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01) # 绘制等⾼线数据plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)# ---------------------x = np.matrix([[-0.3],[0.4]])tol = 0.00001xv = [x[0, 0]]yv = [x[1, 0]]plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o')for t in range(100):delta = delta_newton(x[0, 0], x[1, 0])if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol:breakx = x - deltaxv.append(x[0, 0])yv.append(x[1, 0])plt.plot(xv, yv, label='track')# plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Newton\'s Method for Rosenbrock Function')plt.legend()plt.show()以上这篇python使⽤梯度下降和⽜顿法寻找Rosenbrock函数最⼩值实例就是⼩编分享给⼤家的全部内容了，希望能给⼤家⼀个参考，也希望⼤家多多⽀持。
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梯度下降法
梯度下降法是一种最优化算法，常用来优化参数，通常也称为最速下降法。
梯度下降法是一般分为如下两步：
1）首先对参数θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量；
2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。
以一个线性回归问题为例，应用libsvm 包里的数据heart_scale.mat 数据做测试。
假设要学习这么一个函数：
+++==22110)()(x x x h x h θθθθ
那么损失函数可以定义成：
2||||2
1)(Y X J -=θθ （1） 其中X 看以看成一行一行的样本向量，那么Θ就是一列一列的了。
目标很简单，就是求损失J 最小值时候的解Θ：
先直接求导，对于求导过程，详解如下：
首先定义损失变量：
∑=-=n
j i j ij i y X r 1θ
那么损失函数就可以表示成：
∑==m i i r J 1
221 一步一步的求导：
∑=∂∂⨯=∂∂m i j
i i j r r J 1)(θθ 再求：
ij j
i X r =∂∂θ 那么把分步骤合起来就是：
∑∑==-=∂∂m i ij n k i k ik j X y X J 11
)(θθ 令导数为0，求此时的Θ，整理一下，有：
∑∑∑====m i m
i j ij n k k ik ij y X X X
111^θ 用矩阵符号将上面的细节运算抽象一下：
0=-=∂∂Y X X X J T T θθ
让导数为0，那么求得的解为：
Y X X X T T 1)(-=θ
求解矩阵的逆复杂度有点儿高，可以用梯度下降来求解：
][)()(1111Y X X X J J T i T i i i i --=∂∂-=∆-=----θγθθ
θγθθγθθ （2） 其中γ就是下降的速度，一般是一个小的数值，可以从0.01开始尝试，越大下降越快，收敛越快。
迭代终止的条件取：
εθθ<--||||1i i
部分代码如下：
w_old=zeros(size(X,2),1);%%初始化参数w
k=1;
while 1
minJ_w(k) = 1/2 * (norm(X*w_old - Y))^2; %%损失函数 公式(1)
%%norm 默认为L2标准化 w_new = w_old - gamma*(X'*X*w_old - X'*Y);%%梯度下降公式
%%公式（2）
if norm(w_new-w_old) < epsilon %%终止条件
W_best = w_new;
break ;
end
w_old = w_new;
k=k+1;
end
实验结果：。